Pourcentages et évolutions successives : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « pourcentages et évolutions successives », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Chaque pourcentage y est d’abord converti en coefficient multiplicateur, puis les calculs sont posés ligne par ligne, avec les arrondis signalés. Ainsi, tu vois comment le taux global se déduit du produit des coefficients.
Le schéma de flèches et le diagramme de la baguette sont complétés, ce qui te permet de comparer ta copie. Tu trouveras aussi le calcul de l’évolution réciproque et celui des indices base 100. Compte ensuite tes points grâce au barème placé sous chaque exercice. Lis enfin les pièges signalés, car ils portent presque tous sur l’addition fautive de pourcentages.
L’énoncé complet se trouve ici : Pourcentages et évolutions successives : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : pourcentages et évolutions successives
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les sportifs du lycée | 3 points |
| 2. Coefficients multiplicateurs | 4 points |
| 3. La trottinette et le loyer | 4 points |
| 4. Le prix de la baguette | 4 points |
| 5. Les soldes de la veste | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : pourcentages et évolutions successives
Exercice 1 – Les sportifs du lycée (3 points)
- Prendre 40 % d’un nombre revient à le multiplier par \(0{,}40\) : \(0{,}40 \times 1\,250 = 500\). Le lycée compte 500 élèves de seconde.
- De même, \(0{,}36 \times 500 = 180\). Donc 180 élèves de seconde sont inscrits à l’association sportive.
- Il s’agit d’un pourcentage de pourcentage, alors on multiplie les deux proportions : \(0{,}40 \times 0{,}36 = 0{,}144\).
On vérifie : \(\frac{180}{1\,250} = 0{,}144\). Ces sportifs représentent 14,4 % des élèves du lycée. - La population de référence est celle des 180 sportifs de seconde : \(\frac{45}{180} = 0{,}25\). Ainsi, 25 % des sportifs de seconde sont internes.
Piège classique : additionner 40 % et 36 %, ou soustraire l’un de l’autre. En effet, une proportion de proportion se calcule toujours par un produit.
Exercice 2 – Coefficients multiplicateurs (4 points)
- Une hausse de \(t\,\%\) correspond au coefficient \(1 + \frac{t}{100}\), tandis qu’une baisse de \(t\,\%\) correspond à \(1 – \frac{t}{100}\).
Hausse de 7 % : \(1 + 0{,}07 = 1{,}07\).
Baisse de 15 % : \(1 – 0{,}15 = 0{,}85\).
Hausse de 120 % : \(1 + 1{,}2 = 2{,}2\).
Baisse de 3,5 % : \(1 – 0{,}035 = 0{,}965\).
Les coefficients sont 1,07 ; 0,85 ; 2,2 et 0,965. - On calcule \(1{,}045 – 1 = 0{,}045\), qui est positif : c’est une hausse de 4,5 %.
Ensuite, \(0{,}72 – 1 = -0{,}28\), qui est négatif : c’est une baisse de 28 %. - Le premier coefficient vaut \(\frac{92}{80} = 1{,}15\), soit une hausse de 15 %.
Puis \(92 \times 0{,}75 = 69\) ; or \(0{,}75 = 1 – 0{,}25\), donc c’est une baisse de 25 %.
Le schéma se complète par × 1,15 (+15 %), puis × 0,75 (−25 %), et le prix final est 69 €.
Piège classique : écrire 1,2 pour une hausse de 120 %. Pourtant, 120 % s’écrit \(1{,}2\), donc le coefficient vaut \(1 + 1{,}2 = 2{,}2\).
Exercice 3 – La trottinette et le loyer (4 points)
- Après la hausse : \(450 \times 1{,}2 = 540\).
Après la baisse : \(540 \times 0{,}8 = 432\).
La trottinette coûte finalement 432 €. - Le coefficient global est le produit des coefficients : \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\).
Or \(0{,}96 – 1 = -0{,}04\), donc le prix a globalement baissé de 4 %. En effet, la baisse de 20 % porte sur 540 €, un prix plus grand que 450 € : elle retire \(108\) €, alors que la hausse n’avait ajouté que \(90\) €. - On cherche le coefficient \(c\) tel que \(540 \times c = 450\), d’où \(c = \frac{450}{540} = \frac{1}{1{,}2} \approx 0{,}8333\).
Ensuite, \(0{,}8333 – 1 = -0{,}1667\). Il aurait fallu une baisse d’environ 16,67 %. - Le coefficient global vaut \(1{,}03 \times 1{,}03 \times 1{,}03 = 1{,}03^3 \approx 1{,}0927\), donc le loyer a augmenté d’environ 9,27 % en 3 ans, et non de 9 %.
Puis \(600 \times 1{,}03^3 = 655{,}6362\). Le loyer atteint environ 655,64 € au bout de 3 ans.
Piège classique : penser que « +20 % puis −20 % » ramène au prix de départ. Cependant, les deux pourcentages ne s’appliquent pas à la même valeur.
Exercice 4 – Le prix de la baguette (4 points)
- Le taux d’évolution vaut \(\frac{1{,}26 – 1{,}20}{1{,}20} = \frac{0{,}06}{1{,}20} = 0{,}05\). Le prix a donc augmenté de 5 % entre 2021 et 2022.
- De même, \(\frac{1{,}35 – 1{,}44}{1{,}44} = \frac{-0{,}09}{1{,}44} = -0{,}0625\). Le prix a baissé de 6,25 % entre 2024 et 2025.
- L’indice d’une année vaut \(100 \times \frac{P}{1{,}20}\), où \(P\) est le prix de cette année.
2022 : \(100 \times \frac{1{,}26}{1{,}20} = 105\).
2023 : \(100 \times \frac{1{,}38}{1{,}20} = 115\).
2024 : \(100 \times \frac{1{,}44}{1{,}20} = 120\).
2025 : \(100 \times \frac{1{,}35}{1{,}20} = 112{,}5\).
Les indices sont 105 ; 115 ; 120 et 112,5. - L’indice passe de 100 à \(112{,}5\), car 2021 sert de référence. Le prix a donc augmenté de 12,5 % entre 2021 et 2025.
- L’indice gagne 5 points, mais le taux se calcule par rapport à l’indice de 2023 : \(\frac{120}{115} \approx 1{,}0435\). Anouk a tort : le prix a augmenté d’environ 4,35 %, et non de 5 %. D’ailleurs, \(\frac{1{,}44}{1{,}38} \approx 1{,}0435\) confirme le résultat.
Piège classique : confondre une différence de points d’indice avec un pourcentage. Ce n’est vrai que lorsque l’indice de départ vaut 100.
Exercice 5 – Les soldes de la veste (5 points)
- Une baisse de 30 % correspond au coefficient \(0{,}7\), puis une baisse de 20 % au coefficient \(0{,}8\).
\(120 \times 0{,}7 = 84\), ensuite \(84 \times 0{,}8 = 67{,}2\).
Après la deuxième démarque, la veste coûte 67,20 €. - Le coefficient global vaut \(0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56\), et \(0{,}56 – 1 = -0{,}44\). La baisse globale est donc de 44 %.
Pour cette veste, l’affiche est trompeuse : les réductions de 30 % et de 20 % ne s’additionnent pas, car la seconde porte sur le prix déjà soldé. La veste ne bénéficie pas de −50 %. - Inès paie \(67{,}2 \times 0{,}9 = 60{,}48\), soit 60,48 €.
Le coefficient global vaut alors \(0{,}56 \times 0{,}9 = 0{,}504\), et \(0{,}504 – 1 = -0{,}496\). Son taux de baisse global est de 49,6 %, donc toujours un peu moins de 50 %. - On cherche le coefficient \(c\) tel que \(67{,}2 \times c = 120\), d’où \(c = \frac{120}{67{,}2} \approx 1{,}7857\).
Ensuite, \(1{,}7857 – 1 = 0{,}7857\). Le magasin doit appliquer une hausse d’environ 78,57 %.
On peut aussi utiliser l’inverse du coefficient global : \(\frac{1}{0{,}56} \approx 1{,}7857\).
Piège classique : répondre « une hausse de 44 % » à la dernière question. Au contraire, la hausse se calcule sur le petit prix de 67,20 €, donc elle est bien plus forte que la baisse.
À retenir de ce contrôle
- Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100, et baisser de t % revient à multiplier par 1 − t/100.
- Le coefficient global de plusieurs évolutions successives est le produit des coefficients, et non la somme des taux.
- Le coefficient de l’évolution réciproque est l’inverse du coefficient ; une hausse de 20 % se compense donc par une baisse d’environ 16,67 %.
- Un indice base 100 se calcule par une proportionnalité : il vaut 100 fois la valeur étudiée divisée par la valeur de référence.
- Un écart de points d’indice n’est pas un pourcentage : il faut toujours diviser par l’indice de départ.
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