Statistiques et probabilités : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « statistiques et probabilités », question par question.
Cette correction suit l’ordre du sujet. Pour chaque fréquence ou probabilité, elle indique d’abord la population de référence, puis le quotient posé, car c’est là que se glissent la plupart des erreurs. Les indicateurs statistiques sont aussi calculés pas à pas, avec les effectifs cumulés pour la médiane et les quartiles.
L’arbre pondéré est redessiné en entier, avec les probabilités des chemins au bout des branches. Compare ensuite ta rédaction avec le barème placé sous chaque exercice : il montre où se gagnent les points de méthode. Enfin, les encadrés rappellent les pièges fréquents, par exemple confondre intersection et probabilité conditionnelle, ou lire la hauteur d’un histogramme comme un effectif.
L’énoncé complet se trouve ici : Statistiques et probabilités : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : statistiques et probabilités
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le tableau croisé de l’enquête | 4 points |
| 2. Temps de trajet d’une classe | 4 points |
| 3. Un élève choisi au hasard | 4 points |
| 4. La course solidaire | 4 points |
| 5. Les chronos de la course | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : statistiques et probabilités
Exercice 1 – Le tableau croisé de l’enquête (4 points)
- On lit les six effectifs sur le diagramme, puis on calcule les totaux par addition.
Sport en club Pas de sport en club Total Seconde 81 99 180 Première 68 102 170 Terminale 51 99 150 Total 200 300 500 On vérifie que 180 + 170 + 150 = 500 et que 200 + 300 = 500.
- La population de référence est le lycée entier : \(\frac{200}{500} = 0{,}4\). 40 % des élèves pratiquent un sport en club.
- Parmi les secondes, \(\frac{81}{180} = 0{,}45\), soit 45 %. En revanche, parmi les terminales, \(\frac{51}{150} = 0{,}34\), soit 34 %. La fréquence des sportifs vaut 45 % en seconde et 34 % en terminale.
- Cette fois, la population de référence est celle des 200 sportifs : \(\frac{81}{200} = 0{,}405\). 40,5 % des sportifs sont en seconde.
- En première, la fréquence vaut \(\frac{68}{170} = 0{,}4\), soit 40 %. Ainsi, les fréquences passent de 45 % à 40 % puis à 34 %. La pratique d’un sport en club diminue donc quand le niveau augmente.
Piège classique : comparer les effectifs 81 et 51 au lieu des fréquences. Or les trois niveaux n’ont pas le même nombre d’élèves, c’est pourquoi seules les fréquences conditionnelles permettent de conclure.
Exercice 2 – Temps de trajet d’une classe (4 points)
- On calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
\(\overline{x} = \frac{2 \times 5 + 3 \times 10 + 5 \times 15 + 4 \times 20 + 3 \times 25 + 2 \times 30 + 1 \times 40}{20}\)
\(\overline{x} = \frac{10 + 30 + 75 + 80 + 75 + 60 + 40}{20} = \frac{370}{20} = 18{,}5\)
Le temps de trajet moyen est de 18,5 minutes. - Les effectifs cumulés croissants sont 2 ; 5 ; 10 ; 14 ; 17 ; 19 ; 20.
L’effectif 20 est pair, donc la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs, qui valent 15 et 20 : \(Me = \frac{15 + 20}{2} = 17{,}5\).
Ensuite, \(\frac{20}{4} = 5\) : le premier quartile est la 5e valeur, donc \(Q_1 = 10\).
Enfin, \(\frac{3 \times 20}{4} = 15\) : le troisième quartile est la 15e valeur, donc \(Q_3 = 25\).
\(Me = 17{,}5\) min, \(Q_1 = 10\) min et \(Q_3 = 25\) min. - La calculatrice donne une variance de \(75{,}25\), puis \(\sigma = \sqrt{75{,}25} \approx 8{,}67\). L’écart type vaut environ 8,67 minutes.
- La seconde 5 a un temps moyen plus long (21 min contre 18,5 min). Cependant, son écart type est deux fois plus petit (4,2 contre 8,67). Les élèves de seconde 5 mettent donc en moyenne plus de temps, mais leurs temps sont beaucoup plus homogènes.
Piège classique : faire la moyenne des sept temps du tableau, sans tenir compte des effectifs. En effet, \(\frac{5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 40}{7} \approx 20{,}7\) ne correspond pas à la moyenne des 20 élèves.
Exercice 3 – Un élève choisi au hasard (4 points)
- Il y a équiprobabilité sur les 500 élèves, donc :
\(p(S) = \frac{200}{500} = \frac{2}{5}\) et \(p(T) = \frac{150}{500} = \frac{3}{10}\).
\(p(S) = \frac{2}{5}\) et \(p(T) = \frac{3}{10}\). - \(S \cap T\) est l’événement « l’élève est en terminale et pratique un sport en club ». Le tableau donne 51 élèves, d’où \(p(S \cap T) = \frac{51}{500} = 0{,}102\). Par ailleurs, \(p(\overline{S}) = 1 – \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\). \(p(S \cap T) = \frac{51}{500}\) et \(p(\overline{S}) = \frac{3}{5}\).
- On applique la formule de la réunion :
\(p(S \cup T) = p(S) + p(T) – p(S \cap T)\)
\(p(S \cup T) = \frac{200}{500} + \frac{150}{500} – \frac{51}{500} = \frac{299}{500} = 0{,}598\)
\(p(S \cup T) = \frac{299}{500}\), soit 0,598. - L’univers est maintenant réduit aux 150 élèves de terminale, parmi lesquels 51 sont sportifs : \(p_T(S) = \frac{51}{150} = \frac{17}{50} = 0{,}34\). La probabilité cherchée vaut \(\frac{17}{50}\).
Piège classique : confondre \(p(S \cap T) = \frac{51}{500}\) et \(p_T(S) = \frac{51}{150}\). Le numérateur est le même, mais le dénominateur change, car la population de référence n’est pas la même.
Exercice 4 – La course solidaire (4 points)
- Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1. Ainsi, \(p(\overline{S}) = 1 – 0{,}4 = 0{,}6\), puis \(p_S(\overline{C}) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\) et \(p_{\overline{S}}(\overline{C}) = 1 – 0{,}25 = 0{,}75\). L’arbre complet est dessiné ci-dessus.
- On multiplie les probabilités le long du chemin : \(p(S \cap C) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28\). 28 % des élèves pratiquent un sport en club et sont inscrits à la course.
- D’après la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins qui mènent à C :
\(p(C) = p(S \cap C) + p(\overline{S} \cap C) = 0{,}28 + 0{,}6 \times 0{,}25\)
\(p(C) = 0{,}28 + 0{,}15 = 0{,}43\)
On retrouve bien \(p(C) = 0{,}43\). - On cherche \(p_C(S)\), car le coureur est choisi parmi les inscrits :
\(p_C(S) = \frac{p(S \cap C)}{p(C)} = \frac{0{,}28}{0{,}43} \approx 0{,}651\)
La probabilité que ce coureur soit sportif en club vaut environ 0,651.
Piège classique : répondre 0,7 à la question 4. Pourtant, 0,7 est la probabilité qu’un sportif s’inscrive, alors qu’on demande la probabilité qu’un inscrit soit sportif.
Exercice 5 – Les chronos de la course (4 points)
- Les deux premières classes regroupent \(6 + 14 = 20\) coureurs, et \(\frac{20}{40} = 0{,}5\). 50 % des coureurs ont mis moins de 25 minutes.
- Les centres des classes sont 17,5 ; 22,5 ; 27,5 et 35. On calcule donc :
\(\overline{t} = \frac{6 \times 17{,}5 + 14 \times 22{,}5 + 12 \times 27{,}5 + 8 \times 35}{40}\)
\(\overline{t} = \frac{105 + 315 + 330 + 280}{40} = \frac{1\,030}{40} = 25{,}75\)
Le temps moyen est estimé à 25,75 minutes, soit 25 min 45 s. - Dans un histogramme, c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif. Or la classe \([30 \,;\, 40[\) a une amplitude de 10 minutes, deux fois plus grande que celle de \([15 \,;\, 20[\). Sa hauteur est donc proportionnelle à \(\frac{8}{10} = 0{,}8\), alors que celle de \([15 \,;\, 20[\) est proportionnelle à \(\frac{6}{5} = 1{,}2\). Le rectangle est plus large, c’est pourquoi il est moins haut malgré un effectif plus grand.
- Les coureurs ont la même probabilité d’être choisis. Ainsi, \(p = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}\) pour au moins 30 minutes. De plus, \(14 + 12 = 26\) coureurs ont mis entre 20 et 30 minutes, d’où \(p = \frac{26}{40} = \frac{13}{20}\). Les probabilités valent \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{13}{20}\).
Piège classique : prendre 30 comme centre de la classe \([30 \,;\, 40[\), ou 25 par habitude. En réalité, le centre vaut \(\frac{30 + 40}{2} = 35\).
À retenir de ce contrôle
- Une fréquence conditionnelle se calcule en divisant par l’effectif de la sous-population indiquée, et non par l’effectif total de l’enquête.
- Pour une série de N valeurs, le premier quartile est la plus petite valeur atteignant au moins le quart des effectifs cumulés.
- La probabilité d’une réunion vérifie p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), car l’intersection serait sinon comptée deux fois.
- Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d’un chemin, puis on additionne les chemins qui mènent au même événement.
- Dans un histogramme, l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif : une classe deux fois plus large a donc un rectangle deux fois moins haut à effectif égal.
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