Moyenne, écart type et histogrammes : corrigé du contrôle de maths en seconde

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Barème du contrôle corrigé : moyenne, écart type et histogrammes

Le corrigé détaillé : moyenne, écart type et histogrammes

Exercice 1 – Des moyennes à combiner (3 points)

1. On calcule d’abord la somme des notes de chaque groupe, puis on divise par l’effectif total :
   \(\frac{20 \times 11 + 30 \times 13}{20 + 30} = \frac{220 + 390}{50} = \frac{610}{50} = 12{,}2\).
   Le résultat n’est pas 12, car les deux groupes n’ont pas le même effectif : le groupe B, plus nombreux, pèse davantage dans la moyenne. La moyenne des 50 élèves est 12,2.
2. On multiplie d’abord chaque note par son coefficient :
   \(\frac{11 \times 2 + 14 \times 1 + 9 \times 3}{2 + 1 + 3} = \frac{22 + 14 + 27}{6} = \frac{63}{6} = 10{,}5\).
   La moyenne actuelle d’Inès est 10,5.
3. Notons \(x\) la note du dernier devoir. La somme des coefficients devient \(6 + 2 = 8\), donc on résout :
   \(\frac{63 + 2x}{8} = 12\)
   \(63 + 2x = 96\)
   \(2x = 33\), puis \(x = 16{,}5\).
   On vérifie : \(\frac{63 + 33}{8} = \frac{96}{8} = 12\). Inès doit donc obtenir 16,5 au dernier devoir.

Piège classique : faire la moyenne des deux moyennes, \(\frac{11 + 13}{2} = 12\). En effet, ce calcul oublie que les groupes ont des effectifs différents.

Barème : 1) 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour l’explication) ; 2) 1 point ; 3) 1 point (0,5 pour l’équation, 0,5 pour la solution).

Exercice 2 – Le devoir commun (5 points)

1. Chaque effectif cumulé s’obtient en ajoutant l’effectif de la note au cumul précédent.
   

   Note	6	8	10	12	14	16	18
   Effectif	1	2	4	7	5	3	2
   Effectif cumulé croissant	1	3	7	14	19	22	24

   Enfin, le dernier cumul vaut bien 24, l’effectif total. La ligne est complétée ci-dessus.

2. La moyenne vaut alors :
   \(\overline{x} = \frac{6 \times 1 + 8 \times 2 + 10 \times 4 + 12 \times 7 + 14 \times 5 + 16 \times 3 + 18 \times 2}{24}\)
   \(\overline{x} = \frac{6 + 16 + 40 + 84 + 70 + 48 + 36}{24} = \frac{300}{24} = 12{,}5\).
   La moyenne de la classe est 12,5 sur 20.
3. L’effectif total 24 est pair, donc la médiane est la moyenne des 12^e et 13^e notes. D’après les effectifs cumulés, les notes de rang 8 à 14 valent 12, ainsi ces deux notes valent 12.
   Pour \(Q_1\), on calcule \(\frac{24}{4} = 6\) : c’est la 6^e note, qui vaut 10 car le cumul atteint 7 pour la note 10.
   Pour \(Q_3\), on calcule \(\frac{3 \times 24}{4} = 18\) : c’est la 18^e note, qui vaut 14 car le cumul passe de 14 à 19 pour la note 14.
   Médiane : 12 ; \(Q_1 = 10\) ; \(Q_3 = 14\).
4. On saisit les notes en liste 1 et les effectifs en liste 2, puis on lance les statistiques à une variable. La calculatrice donne \(\sigma \approx 3{,}0139\).
   Pour contrôler, la somme des \(n_i (x_i – 12{,}5)^2\) vaut 218, donc la variance est \(\frac{218}{24} \approx 9{,}083\) et \(\sqrt{9{,}083} \approx 3{,}01\). L’écart type vaut environ 3,01.
5. Les élèves qui ont au moins 12 sont au nombre de \(7 + 5 + 3 + 2 = 17\). Alors \(\frac{17}{24} \approx 0{,}708\). Environ 70,8 % des élèves ont obtenu au moins 12.

Piège classique : prendre la 6^e valeur du tableau au lieu de la 6^e note de la série rangée. Le rang se lit toujours dans les effectifs cumulés.

Barème : 1) 1 point ; 2) 1 point (0,5 pour le calcul posé, 0,5 pour le résultat) ; 3) 1,5 point (0,5 par indicateur justifié) ; 4) 1 point ; 5) 0,5 point.

Exercice 3 – Les temps de trajet (4 points)

1. On lit tout d’abord la hauteur de chaque rectangle.
   

   Temps (min)	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[	[40 ; 50[
   Effectif	6	12	15	9	8
   Centre	5	15	25	35	45

   On vérifie le total : \(6 + 12 + 15 + 9 + 8 = 50\). Le tableau des effectifs est ci-dessus.

2. Le centre d’une classe est la moyenne de ses bornes, par exemple \(\frac{20 + 30}{2} = 25\). Ensuite :
   \(\overline{t} \approx \frac{5 \times 6 + 15 \times 12 + 25 \times 15 + 35 \times 9 + 45 \times 8}{50}\)
   \(\overline{t} \approx \frac{30 + 180 + 375 + 315 + 360}{50} = \frac{1260}{50} = 25{,}2\).
   Le temps de trajet moyen est estimé à 25,2 minutes.
3. Moins de 20 minutes, cela regroupe les deux premières classes : \(6 + 12 = 18\) élèves. Donc \(\frac{18}{50} = 0{,}36\). 36 % des élèves mettent moins de 20 minutes.
4. L’effectif est 50, donc la médiane se situe entre la 25^e et la 26^e valeur. Or les effectifs cumulés valent 6, puis 18, puis 33. Ainsi, les valeurs de rang 19 à 33 sont dans la classe [20 ; 30[. La médiane appartient à la classe [20 ; 30[.

Piège classique : diviser par 5, le nombre de classes, au lieu de 50, l’effectif total.

Barème : 1) 1 point ; 2) 1,5 point (0,5 pour les centres, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat) ; 3) 0,5 point ; 4) 1 point (0,5 pour les cumuls, 0,5 pour la classe).

Exercice 4 – La hauteur des plants de tomates (4 points)

1. Le point d’abscisse 50 a pour ordonnée 0,65 : ainsi, 65 % des plants mesurent moins de 50 cm. Donc \(0{,}65 \times 240 = 156\). 156 plants mesurent moins de 50 cm.
2. La médiane correspond à la fréquence cumulée 0,5. On trace la droite horizontale d’ordonnée 0,5 jusqu’au polygone, puis on descend sur l’axe des abscisses. La médiane vaut 45 cm.
   Par le calcul, entre les points \((40\,;\,0{,}35)\) et \((50\,;\,0{,}65)\), on obtient \(40 + 10 \times \frac{0{,}5 – 0{,}35}{0{,}3} = 40 + 5 = 45\).
3. De même, on lit \(Q_1\) à la fréquence 0,25 et \(Q_3\) à la fréquence 0,75. D’où \(Q_1 = 36\) cm et \(Q_3 = 54\) cm.
   L’écart interquartile vaut \(54 – 36 = 18\) cm. Ainsi, la moitié centrale des plants a une hauteur comprise entre 36 cm et 54 cm, soit une plage de 18 cm.
4. Le point d’abscisse 60 a pour ordonnée 0,90, alors 10 % des plants mesurent au moins 60 cm. Donc \(0{,}10 \times 240 = 24\). 24 plants seront tuteurés en premier.

Barème : 1) 1 point (0,5 pour la lecture, 0,5 pour l’effectif) ; 2) 1 point, tracés compris ; 3) 1,5 point (0,5 par quartile, 0,5 pour l’écart et son sens) ; 4) 0,5 point.

Exercice 5 – Deux producteurs de pommes (4 points)

1. Pour Maël : \(150 + 160 + 165 + 170 + 170 + 175 + 180 + 190 = 1360\), puis \(\frac{1360}{8} = 170\).
   Pour Léna : \(130 + 145 + 160 + 170 + 175 + 185 + 195 + 200 = 1360\), puis \(\frac{1360}{8} = 170\).
   Les deux producteurs ont une masse moyenne de 170 g.
2. La calculatrice donne, pour Maël, \(\sigma_M = \sqrt{\frac{1050}{8}} = \sqrt{131{,}25} \approx 11{,}456\).
   Pour Léna, elle donne \(\sigma_L = \sqrt{\frac{4100}{8}} = \sqrt{512{,}5} \approx 22{,}638\).
   Écarts types : environ 11,46 g pour Maël et 22,64 g pour Léna.
3. Les moyennes sont égales, mais l’écart type de Maël est environ deux fois plus petit. Ses masses sont donc moins dispersées autour de 170 g. Maël fournit les pommes les plus régulières.
4. Chez Maël, les masses comprises entre 155 g et 185 g sont 160, 165, 170, 170, 175 et 180, soit 6 pommes : \(\frac{6}{8} = 75\,\%\).
   Chez Léna, ce sont 160, 170, 175 et 185, soit 4 pommes : \(\frac{4}{8} = 50\,\%\).
   Par conséquent, seul le lot de Maël est accepté ; celui de Léna est refusé.

Piège classique : oublier la pomme de 185 g chez Léna, alors que les bornes sont incluses. Ici, le lot reste refusé, mais le pourcentage serait faux.

Barème : 1) 1 point (0,5 par moyenne) ; 2) 1 point (0,5 par écart type) ; 3) 0,5 point ; 4) 1,5 point (0,5 par comptage, 0,5 pour la conclusion).

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