Vecteurs et repérage : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « vecteurs et repérage », question par question.
Cette correction détaille chaque démonstration comme on l’attend sur une copie de seconde. Pour chaque question, la formule est d’abord écrite, puis les coordonnées sont remplacées et le calcul est mené jusqu’à une valeur exacte. Les propriétés des quadrilatères sont citées avant chaque conclusion.
Tu trouveras aussi deux figures : la construction du point de l’exercice 3 et l’alignement de l’exercice 4. Compare ta rédaction à la nôtre, puis compte tes points avec le barème placé sous chaque exercice. Les pièges signalés t’aideront enfin à éviter les erreurs de signe, qui sont les plus fréquentes dans ce chapitre.
L’énoncé complet se trouve ici : Vecteurs et repérage : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : vecteurs et repérage
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Premiers calculs dans le repère | 4 points |
| 2. Le quadrilatère est-il un rectangle ? | 3 points |
| 3. Un point construit par des vecteurs | 4 points |
| 4. Alignement et parallélisme | 4 points |
| 5. Le parterre de fleurs | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : vecteurs et repérage
Exercice 1 – Premiers calculs dans le repère (4 points)
- On calcule « arrivée moins départ » :
\(\overrightarrow{AB}(4 – (-2)\,;\,3 – 1)\), soit \(\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)\).
\(\overrightarrow{DC}(3 – (-3)\,;\,6 – 4)\), soit \(\overrightarrow{DC}(6\,;\,2)\). Donc \(\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{DC}(6\,;\,2)\). - Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux. Or, si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme. \(ABCD\) est un parallélogramme.
- D’abord, \(x_I = \frac{-2 + 3}{2} = 0{,}5\) et \(y_I = \frac{1 + 6}{2} = 3{,}5\), d’où \(I(0{,}5\,;\,3{,}5)\).
Ensuite, le milieu de \([BD]\) a pour coordonnées \(\frac{4 + (-3)}{2} = 0{,}5\) et \(\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\). Les diagonales ont donc le même milieu \(I(0{,}5\,;\,3{,}5)\). - Comme \(\overrightarrow{AB}(6\,;\,2)\), on a \(AB = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}\).
Puis \(\overrightarrow{AD}(-3 – (-2)\,;\,4 – 1)\), soit \(\overrightarrow{AD}(-1\,;\,3)\), d’où \(AD = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}\). Ainsi, \(AB = 2\sqrt{10}\) et \(AD = \sqrt{10}\).
Piège classique : écrire \(\overrightarrow{CD}\) au lieu de \(\overrightarrow{DC}\). Pour un parallélogramme \(ABCD\), c’est bien \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), car les deux vecteurs vont dans le même sens.
Exercice 2 – Le quadrilatère est-il un rectangle ? (3 points)
- On a \(\overrightarrow{AC}(5\,;\,5)\), donc \(AC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).
De plus, \(\overrightarrow{BD}(-7\,;\,1)\), donc \(BD = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Les deux diagonales mesurent \(5\sqrt{2}\). - D’après l’exercice 1, \(ABCD\) est un parallélogramme. Or ses diagonales ont la même longueur, et un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Par conséquent, \(ABCD\) est un rectangle.
- Deux côtés consécutifs d’un carré sont égaux. Pourtant, \(AB = 2\sqrt{10}\) alors que \(AD = \sqrt{10}\). Ce rectangle n’est donc pas un carré.
Piège classique : conclure « rectangle » à partir des seules diagonales égales, sans avoir prouvé le parallélogramme. Un quadrilatère quelconque peut en effet avoir des diagonales de même longueur.
Exercice 3 – Un point construit par des vecteurs (4 points)
- On calcule d’abord \(\overrightarrow{PR}(1 – (-2)\,;\,2 – (-1))\), soit \(\overrightarrow{PR}(3\,;\,3)\). Pour placer \(T\), on part de \(Q\) et on reproduit ce déplacement : 3 carreaux vers la droite, puis 3 vers le haut. Ainsi, \(x_T = 2 + 3 = 5\) et \(y_T = -2 + 3 = 1\). Donc \(T(5\,;\,1)\).
- D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{PT} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QT}\).
Or \(\overrightarrow{QT} = \overrightarrow{PR}\) par définition de \(T\), donc \(\overrightarrow{PT} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR}\).
On peut aussi le vérifier : \(\overrightarrow{PQ}(4\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{PR}(3\,;\,3)\) ont pour somme \((7\,;\,2)\), et \(\overrightarrow{PT}(5 – (-2)\,;\,1 – (-1)) = (7\,;\,2)\). L’égalité est démontrée. - On a \(\overrightarrow{PQ}(4\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{RT}(5 – 1\,;\,1 – 2)\), soit \(\overrightarrow{RT}(4\,;\,-1)\). Ces vecteurs sont égaux, alors \(PQTR\) est un parallélogramme. \(PQTR\) est un parallélogramme.
Exercice 4 – Alignement et parallélisme (4 points)
- On a \(x_M = \frac{-2 + 4}{2} = 1\) et \(y_M = \frac{1 + 3}{2} = 2\). Donc \(M(1\,;\,2)\).
- On calcule \(\overrightarrow{DM}(1 – (-3)\,;\,2 – 4)\), soit \(\overrightarrow{DM}(4\,;\,-2)\), puis \(\overrightarrow{DG}(9 – (-3)\,;\,-2 – 4)\), soit \(\overrightarrow{DG}(12\,;\,-6)\).
Ensuite, \(\text{det}\left(\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{DG}\right) = 4 \times (-6) – (-2) \times 12 = -24 + 24 = 0\).
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires ; comme ils ont en plus le point \(D\) en commun, les points \(D\), \(M\) et \(G\) sont alignés. - D’une part, \(\overrightarrow{AC}(5\,;\,5)\) ; d’autre part, \(\overrightarrow{BG}(9 – 4\,;\,-2 – 3)\), soit \(\overrightarrow{BG}(5\,;\,-5)\).
Alors \(\text{det}\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BG}\right) = 5 \times (-5) – 5 \times 5 = -50\), qui n’est pas nul. Les droites \((AC)\) et \((BG)\) ne sont donc pas parallèles. - La norme vaut \(BG = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Ainsi, la norme de \(\overrightarrow{BG}\) vaut \(5\sqrt{2} \approx 7{,}07\).
Piège classique : se tromper de signe dans le déterminant. On calcule toujours \(x \times y^{\prime} – y \times x^{\prime}\), en gardant les parenthèses autour des nombres négatifs.
Exercice 5 – Le parterre de fleurs (5 points)
- On a \(\overrightarrow{KL}(4\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{PN}(6 – 2\,;\,5 – 3)\), soit \(\overrightarrow{PN}(4\,;\,2)\). Ces vecteurs sont égaux, donc \(KLNP\) est un parallélogramme.
- On calcule deux côtés consécutifs : \(KL = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}\).
Puis \(\overrightarrow{KP}(2\,;\,4)\), d’où \(KP = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}\).
Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange. Donc \(KLNP\) est un losange. - On a \(\overrightarrow{LP}(2 – 4\,;\,3 – 1)\), soit \(\overrightarrow{LP}(-2\,;\,2)\), donc \(LP^2 = 4 + 4 = 8\).
Dans le triangle \(KLP\), \(KL^2 + KP^2 = 20 + 20 = 40\). Or \(40 \neq 8\), alors le triangle \(KLP\) n’est pas rectangle en \(K\) : l’angle \(\widehat{LKP}\) n’est pas droit. Le parterre n’est donc pas un carré : Soren se trompe. - D’abord, \(\overrightarrow{KN}(6\,;\,6)\), donc \(KN = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\).
Ensuite, \(LP = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\). Les diagonales mesurent \(6\sqrt{2}\) m et \(2\sqrt{2}\) m. - L’aire d’un losange vaut le produit des diagonales divisé par 2 :
\(\text{Aire} = \frac{6\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{2} = \frac{12 \times 2}{2} = 12\) m².
Il faut ainsi \(12 \times 8 = 96\) fleurs. L’aire du parterre est de 12 m², donc Soren doit acheter 96 fleurs.
Piège classique : oublier de diviser par 2 dans l’aire du losange. En effet, le produit des diagonales donne l’aire du rectangle qui entoure le losange, soit le double.
À retenir de ce contrôle
- Le vecteur AB a pour coordonnées la différence des coordonnées de B et de A, toujours dans l’ordre arrivée moins départ.
- Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme lorsque les vecteurs AB et DC sont égaux, ou lorsque ses diagonales ont le même milieu.
- Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ; s’il a deux côtés consécutifs égaux, c’est un losange.
- Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, ce qui permet de prouver un alignement ou un parallélisme.
- L’aire d’un losange est égale au produit des longueurs de ses diagonales divisé par deux.
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