Produit scalaire dans l’espace : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « produit scalaire dans l’espace », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue le chapitre sur le produit scalaire dans l’espace, avant l’étude des équations cartésiennes de plans. D’abord, tu fais des calculs directs en coordonnées : produit scalaire, norme d’un vecteur et condition d’orthogonalité.
Ensuite, tu montres qu’un vecteur est normal à un plan, puis qu’une droite est orthogonale à ce plan. Le troisième exercice se déroule dans un cube, où tu calcules un angle grâce au produit scalaire. Enfin, une verrière en forme de pyramide te fait réinvestir ces outils dans une situation concrète. Fais ce contrôle quand le cours est terminé, calculatrice en main pour les valeurs approchées.
Ce qu’évalue le contrôle : produit scalaire dans l’espace
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée1 heure
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Produit scalaire dans l’espace (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un produit scalaire et une norme à partir des coordonnées dans un repère orthonormé de l’espace
- Démontrer que deux vecteurs ou deux droites de l’espace sont orthogonaux ou ne le sont pas
- Justifier qu’un vecteur est normal à un plan et qu’une droite est orthogonale à un plan
- Déterminer la mesure d’un angle géométrique dans un solide à l’aide du produit scalaire
Avant de commencer le devoir
Commence toujours par écrire les coordonnées des vecteurs utiles, en faisant « extrémité moins origine » : la plupart des erreurs viennent de là. Ensuite, pour prouver une orthogonalité, un produit scalaire nul suffit, mais pour une droite orthogonale à un plan, il faut deux vecteurs non colinéaires du plan. Enfin, vérifie qu’un cosinus reste compris entre −1 et 1 avant de chercher l’angle.
Le sujet du contrôle : produit scalaire dans l’espace
Exercice 1 – Calculs en coordonnées (4 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les vecteurs \(\vec{u}\left(2\,;\,-1\,;\,3\right)\), \(\vec{v}\left(1\,;\,4\,;\,-2\right)\) et \(\vec{w}\left(-3\,;\,0\,;\,2\right)\).
- Calcule d’abord le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
- Détermine ensuite les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
- Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont-ils orthogonaux ? Justifie.
- Trouve enfin le réel \(a\) pour lequel le vecteur \(\vec{t}\left(a\,;\,2\,;\,1\right)\) est orthogonal à \(\vec{v}\).
Exercice 2 – Un vecteur normal au plan (ABC) (5 points)
Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les points \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,2\,;\,1)\) et \(D(4\,;\,4\,;\,7)\), ainsi que le vecteur \(\vec{n}\left(3\,;\,4\,;\,5\right)\).
- Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\), puis montre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
- Montre ensuite que \(\vec{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\).
- Déduis-en donc que \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\), en citant la propriété utilisée.
- Démontre alors que la droite \((AD)\) est orthogonale au plan \((ABC)\).
- Enfin, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles orthogonales ? Justifie ta réponse.
Exercice 3 – Un triangle dans le cube (6 points)
\(ABCDEFGH\) est un cube d’arête 1. On note \(I\) le milieu de l’arête \([BF]\) et on se place dans le repère orthonormé \(\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}\right)\). Le triangle \(AIG\) est ainsi colorié sur la figure.
- Donne d’abord les coordonnées des points \(B\), \(D\), \(E\), \(G\) et \(I\).
- Montre alors que la droite \((AG)\) est orthogonale au plan \((BDE)\).
- Calcule ensuite le produit scalaire \(\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IG}\).
- Calcule aussi les longueurs \(IA\) et \(IG\). Que peux-tu donc en déduire pour le triangle \(AIG\) ?
- Déduis-en enfin une mesure de l’angle \(\widehat{AIG}\), arrondie au dixième de degré.
Exercice 4 – La verrière pyramidale (5 points)
Le hall d’un musée est couvert par une verrière en forme de pyramide régulière \(SABCD\). Sa base est un carré \(ABCD\) de centre \(O\) et de côté 4 m, et sa hauteur \(SO\) mesure 3 m. On note \(M\) le milieu de \([BC]\). Dans un repère orthonormé d’origine \(O\) et d’unité 1 m, on a :
\(A(2\,;\,-2\,;\,0)\), \(B(2\,;\,2\,;\,0)\), \(C(-2\,;\,2\,;\,0)\), \(D(-2\,;\,-2\,;\,0)\) et \(S(0\,;\,0\,;\,3)\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Calcule tout d’abord la longueur de l’arête \(SA\).
- Calcule \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SC}\), puis déduis-en une mesure de l’angle \(\widehat{ASC}\) au dixième de degré.
- Vérifie ensuite que la droite \((SO)\) est orthogonale au plan de la base.
- Montre enfin que \((SM)\) est perpendiculaire à \((BC)\). Le vitrier doit alors commander le verre des quatre faces triangulaires : quelle aire de verre lui faut-il, arrondie au centième de mètre carré ?
Réviser produit scalaire dans l’espace avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon produit scalaire dans l’espace ; entraîne-toi sur la fiche produit scalaire de l’espace avant de retenter le sujet.
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