Calcul d’intégrales : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « calcul d’intégrales », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur le calcul d’intégrales en terminale. D’abord, tu calcules des intégrales simples à l’aide d’une primitive, puis tu utilises les propriétés de l’intégrale : linéarité, relation de Chasles, positivité et comparaison. Ensuite, deux exercices te demandent une intégration par parties, avec un produit par une exponentielle ou par un logarithme.
Enfin, tu relies l’intégrale à une aire sous une courbe : tu l’encadres d’abord en comptant les carreaux, puis tu la calcules exactement, avant un problème de peinture sur un panneau en bois. Fais ce contrôle après le chapitre sur les primitives, quand les dérivées usuelles sont automatiques.
Ce qu’évalue le contrôle : calcul d’intégrales
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée1 heure 30
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Calcul intégral (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive d’une fonction usuelle
- Utiliser la linéarité, la relation de Chasles et la positivité de l’intégrale
- Mener une intégration par parties sur des exemples simples comme \(x\,\mathrm{e}^x\) ou \(x\ln x\)
- Encadrer une aire par comptage de carreaux, puis la calculer exactement en unités d’aire
- Calculer la valeur moyenne d’une fonction et résoudre un problème concret d’aire
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, écris clairement la primitive choisie entre crochets, puis vérifie-la en la dérivant de tête. Pour une intégration par parties, pose d’abord u et v’ en choisissant de dériver le facteur qui se simplifie, comme x ou ln x. Ensuite, contrôle toujours ton résultat : une aire doit être positive et cohérente avec le comptage des carreaux. Enfin, garde les valeurs exactes jusqu’à la dernière ligne.
Le sujet du contrôle : calcul d’intégrales
Exercice 1 – Quatre intégrales directes (4 points)
Calcule la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes, puis donne une valeur approchée au centième lorsque le résultat n’est pas entier.
- \(I_1 = \int_0^2 \left(3x^2 – 4x + 5\right)\,\mathrm{d}x\)
- \(I_2 = \int_1^{\mathrm{e}} \frac{3}{x}\,\mathrm{d}x\)
- \(I_3 = \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\)
- \(I_4 = \int_0^{\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x\)
Exercice 2 – Chasles, linéarité et comparaison (4 points)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0\,;\,3]\). On sait que \(\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\), que \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 2\) et que \(\int_0^3 g(x)\,\mathrm{d}x = -1\).
- Calcule d’abord \(\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x\) en justifiant.
- Déduis-en ensuite \(\int_0^3 \left(2f(x) – 3g(x)\right)\mathrm{d}x\).
- Que vaut \(\int_3^0 f(x)\,\mathrm{d}x\) ?
- Sans calculer l’intégrale, explique pourquoi \(\int_1^3 \ln(x)\,\mathrm{d}x \geq 0\).
- Montre que \(x^3 \leq x^2\) pour tout \(x\) de \([0\,;\,1]\), puis compare \(\int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x\) et \(\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\) sans les calculer.
Exercice 3 – Deux intégrations par parties (4 points)
À l’aide d’une intégration par parties, calcule la valeur exacte des deux intégrales suivantes. Précise ainsi à chaque fois les fonctions u et v choisies.
- \(J = \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\)
- \(K = \int_1^{\mathrm{e}} x \ln(x)\,\mathrm{d}x\), puis donne une valeur approchée au centième.
Exercice 4 – Une aire sur quadrillage (4 points)
La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -\frac{x^2}{4} + x + 2\). Sa courbe est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé, où chaque carreau représente une unité d’aire. Le domaine hachuré est limité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 4\).
- En comptant les carreaux, donne un encadrement de l’aire \(A\) du domaine hachuré par deux nombres entiers.
- Vérifie que \(f(x) = 3 – \frac{(x – 2)^2}{4}\), puis justifie que \(f\) est positive sur \([0\,;\,4]\).
- Calcule alors la valeur exacte de \(A\) en unités d’aire, puis vérifie qu’elle respecte ton encadrement.
- Détermine enfin la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\,4]\).
Exercice 5 – Le panneau de la rampe (4 points)
Pour son club de skate, Nolwenn fabrique les deux panneaux latéraux d’une petite rampe. Chaque panneau a la forme du domaine hachuré ci-dessous : il est limité par l’axe des abscisses, les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 3\), et la courbe de la fonction \(h\) définie par \(h(x) = 1 + x\,\mathrm{e}^{-x}\). L’unité est le mètre.
- Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = -(x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}\). Montre que \(F\) est une primitive de \(x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-x}\).
- Déduis-en l’aire exacte d’un panneau en m², puis sa valeur arrondie au centième.
- Nolwenn peint les deux faces de chacun des deux panneaux. Or un litre de peinture couvre 3 m², et la peinture est vendue en pots de 0,5 litre. Combien de pots doit-elle acheter ?
Réviser calcul d’intégrales avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon intégrale ; entraîne-toi sur la fiche les intégrales avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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