QCM : Différentielle de Fréchet en L3 de maths
Ce QCM Fréchet L3 vérifie que tu sais calculer et utiliser une différentielle dans un espace vectoriel normé. Les premières questions portent sur la définition et sur trois exemples incontournables : le carré d’une matrice, l’inverse et le déterminant. Viennent ensuite la norme euclidienne, les dérivées directionnelles, la différentielle d’une composée et le critère de classe \(C^1\). La fin traite des accroissements finis, du théorème de Schwarz et des développements de Taylor.
Réponds aux douze questions sans le cours, en écrivant au brouillon le développement de \(f(x+v)\) à chaque fois que c’est possible. Ensuite, lis toutes les explications : elles justifient la bonne réponse et décrivent l’erreur derrière chaque piège, qu’il s’agisse d’un ordre de facteurs inversé, d’un oubli de continuité ou d’une égalité des accroissements finis appliquée hors de son cadre.
Les 12 questions
Question 1
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés, \(U\) un ouvert de \(E\) contenant \(x\). On dit que \(f:U\to F\) est différentiable au point \(x\) lorsqu’on dispose d’une application \(L\) avec :
- \(L\) linéaire, éventuellement discontinue, et \(f(x+v)-f(x)-L(v)=o(\|v\|)\)
- \(L\) linéaire continue et \(f(x+v)-f(x)-L(v)=o(\|v\|)\)
- \(L\) linéaire continue et \(f(x+v)-f(x)-L(v)=O(\|v\|)\)
- \(L\) linéaire continue et \(f(x+v)-f(x)-L(v)=o(1)\)
Réponse B.
En dimension infinie, une application linéaire peut être discontinue ; on exige donc la continuité de \(L\) dans la définition. Le reste doit être négligeable devant \(\|v\|\), et non seulement borné par un multiple de \(\|v\|\). En effet, un reste en \(O(\|v\|)\) ne détermine pas \(L\). Enfin, la version en \(o(1)\) exprime seulement la continuité de \(f\) au point \(x\).
Question 2
Sur l’espace des matrices carrées réelles de taille \(n\), on pose \(f(M)=M^2\). Que vaut la différentielle \(\mathrm{d}f(M)(H)\) ?
- \(MH+HM\)
- \(2MH\)
- \(2HM\)
- \(H^2\)
Réponse A.
On développe : \((M+H)^2=M^2+MH+HM+H^2\). La partie linéaire en \(H\) est \(MH+HM\), et le reste vérifie \(\|H^2\|\leqslant\|H\|^2\) pour une norme sous-multiplicative, donc il est négligeable. Le piège \(2MH\) recopie la règle de la dérivée de \(x^2\) ; cependant, le produit matriciel n’est pas commutatif. Quant à \(H^2\), c’est justement le terme négligé.
Question 3
On note \(\varphi(M)=M^{-1}\) sur l’ouvert des matrices inversibles. Que vaut \(\mathrm{d}\varphi(M)(H)\) ?
- \(-M^{-2}H\)
- \(-M^{-1}HM^{-1}\)
- \(M^{-1}HM^{-1}\)
- \(-HM^{-2}\)
Réponse B.
Pour \(H\) petit, on écrit \(M+H=M(I+M^{-1}H)\), puis \((I+K)^{-1}=I-K+o(\|K\|)\). Ainsi, \((M+H)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}HM^{-1}+o(\|H\|)\). Les pièges \(-M^{-2}H\) et \(-HM^{-2}\) imitent la dérivée de \(1/x\), comme si \(H\) commutait avec \(M\). La réponse sans signe moins oublie que l’inverse est décroissant en dimension 1.
Question 4
Que vaut la différentielle du déterminant en \(I_n\), appliquée à une matrice \(H\) ?
- \(\mathrm{tr}(H)\)
- \(\det(H)\)
- \(n\,\mathrm{tr}(H)\)
- \(1+\mathrm{tr}(H)\)
Réponse A.
En développant \(\det(I_n+H)\), les seuls termes de degré 1 en les coefficients de \(H\) viennent de la diagonale : \(\det(I_n+H)-1-\mathrm{tr}\,H=o(\|H\|)\). Donc la différentielle est la trace. Le piège \(\det(H)\) est de degré \(n\), donc non linéaire si \(n\geqslant 2\). Par ailleurs, \(1+\mathrm{tr}(H)\) n’est pas linéaire : la constante 1 vaut \(\det(I_n)\).
Question 5
Sur \(\mathbb{R}^n\) euclidien, on pose \(N(x)=\|x\|\). Pour \(x\neq 0\), que vaut \(\mathrm{d}N(x)(h)\) ?
- \(2\langle x,h\rangle\)
- \(\dfrac{\langle x,h\rangle}{\|x\|^2}\)
- \(\|h\|\)
- \(\dfrac{\langle x,h\rangle}{\|x\|}\)
Réponse D.
On écrit \(N=\sqrt{q}\) avec \(q(x)=\langle x,x\rangle\), dont la différentielle vaut \(2\langle x,h\rangle\). Par composition avec la racine, dérivable en \(q(x)>0\), on divise par \(2\sqrt{q(x)}\). Le piège \(2\langle x,h\rangle\) différencie le carré de la norme. Quant à \(\|h\|\), ce n’est pas linéaire en \(h\) ; c’est d’ailleurs la dérivée à droite en 0 dans la direction \(h\).
Question 6
Soit \(f(x,y)=\dfrac{2x^2y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\neq(0,0)\), et \(f(0,0)=0\). Que peut-on dire en \((0,0)\) ?
- \(f\) n’est pas continue en ce point
- \(f\) est différentiable en ce point, de différentielle nulle
- \(f\) a des dérivées dans toutes les directions, mais n’est pas différentiable
- \(f\) n’admet aucune dérivée partielle en ce point
Réponse C.
Pour \((h,k)\neq(0,0)\), on trouve \(f(th,tk)/t=2h^2k/(h^2+k^2)\), donc toutes les dérivées directionnelles existent. Or cette expression n’est pas linéaire en \((h,k)\) : elle est nulle pour \((1,0)\) et pour \((0,1)\), mais vaut 1 pour \((1,1)\). Ainsi, \(f\) n’est pas différentiable. Pourtant, \(|f(x,y)|\leqslant 2|y|\) assure la continuité, ce qui écarte la réponse affirmant la discontinuité.
Question 7
On prend \(f\) de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) et \(g(t)=f(\cos t,\,t^3+2t)\). Que vaut \(g^{\prime}(0)\) ?
- \(\partial_1 f(1,0)+2\,\partial_2 f(1,0)\)
- \(2\,\partial_2 f(1,0)\)
- \(2\,\partial_2 f(0,0)\)
- \(\partial_2 f(1,0)\)
Réponse B.
En dérivant la composée, on obtient \(g^{\prime}(t)=-\sin t\;\partial_1 f(\gamma(t))+(3t^2+2)\,\partial_2 f(\gamma(t))\), où \(\gamma(t)=(\cos t,t^3+2t)\). En \(t=0\), le point est \(\gamma(0)=(1,0)\) et \(\sin 0=0\). Le piège \(\partial_1 f(1,0)+2\,\partial_2 f(1,0)\) oublie de dériver \(\cos\), dont la dérivée s’annule en 0. Le piège \(2\,\partial_2 f(0,0)\) évalue les dérivées partielles en \((0,0)\) au lieu de \(\gamma(0)\).
Question 8
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) et \(f:U\to\mathbb{R}\). Laquelle de ces hypothèses suffit à garantir que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(U\) ?
- Chaque dérivée partielle est définie partout sur \(U\)
- \(f\) est continue et a des dérivées partielles sur \(U\)
- \(f\) a des dérivées directionnelles en tout point de \(U\)
- Les dérivées partielles existent et sont continues sur \(U\)
Réponse D.
Le théorème fondamental affirme ceci : des dérivées partielles partout définies et continues sur \(U\) entraînent que \(f\) est différentiable et \(\mathrm{d}f\) est continue. En revanche, la seule existence des dérivées partielles ne suffit pas, même avec \(f\) continue. La fonction \(2x^2y/(x^2+y^2)\) le montre : elle est continue et possède toutes ses dérivées directionnelles, sans être différentiable en 0.
Question 9
On considère \(f(t)=e^{it}\) sur \([0,2\pi]\), à valeurs dans \(\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^2\). Laquelle de ces affirmations est vraie ?
- Aucun \(c\) ne vérifie \(2\pi f^{\prime}(c)=f(2\pi)-f(0)\)
- Il existe \(c\in\,]0,2\pi[\) tel que \(f^{\prime}(c)=0\)
- L’inégalité \(|f(2\pi)-f(0)|\leqslant 2\pi\sup|f^{\prime}|\) est fausse ici
- \(f\) n’est pas dérivable sur \(]0,2\pi[\)
Réponse A.
On a \(f(2\pi)=f(0)\), alors que \(|f^{\prime}(t)|=1\) pour tout \(t\). Par conséquent, l’égalité des accroissements finis et le théorème de Rolle tombent pour une fonction à valeurs vectorielles. Cependant, l’inégalité des accroissements finis reste vraie, et elle est ici évidente puisque \(0\leqslant 2\pi\). Le piège consiste à transposer Rolle hors du cadre réel.
Question 10
On cherche \(f\), deux fois continûment différentiable sur le plan, avec \(\partial_x f=3x^2y+ay^2\) et \(\partial_y f=x^3+4xy\). Pour quelle valeur du réel \(a\) est-ce possible ?
- \(a=4\)
- \(a=1\)
- \(a=-2\)
- \(a=2\)
Réponse D.
D’après le théorème de Schwarz, une fonction \(C^2\) vérifie \(\partial_y\partial_x f=\partial_x\partial_y f\). Ici, \(3x^2+2ay=3x^2+4y\), donc \(a=2\). Réciproquement, \(f(x,y)=x^3y+2xy^2\) convient. Le piège \(a=4\) identifie directement les coefficients de \(y^2\) et de \(xy\), sans dériver. Ainsi, la condition de Schwarz est nécessaire ; sur \(\mathbb{R}^2\), elle est aussi suffisante.
Question 11
Au voisinage de l’origine, quelle est la formule de Taylor-Young, à l’ordre 2, pour \(f(x,y)=\cos(x)\,e^{2y}\) ?
- \(1+2y-\frac{x^2}{2}+y^2+o(x^2+y^2)\)
- \(1+2y+\frac{x^2}{2}+2y^2+o(x^2+y^2)\)
- \(1+2y-\frac{x^2}{2}+2y^2+o(x^2+y^2)\)
- \(1+2y-x^2+2y^2+o(x^2+y^2)\)
Réponse C.
On multiplie \(\cos x=1-\tfrac{1}{2}x^2+o(x^2)\) par \(e^{2y}=1+2y+\frac{(2y)^2}{2}+o(y^2)\), puis on garde les termes de degré au plus 2. Le terme en \(xy\) est nul, car \(\cos\) n’a pas de terme d’ordre 1. Le piège en \(+y^2\) oublie d’élever le facteur 2 au carré. Celui en \(+\frac{x^2}{2}\) se trompe de signe pour le cosinus, et celui en \(-x^2\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\).
Question 12
Sur \(E=C([0,1],\mathbb{R})\) muni de la norme uniforme, on pose \(\Phi(u)=\int_0^1 u(t)^3\,\mathrm{d}t\). Que vaut la différentielle seconde \(\mathrm{d}^2\Phi(u)(h,k)\) ?
- \(\int_0^1 3\,u^2\,h\,k\,\mathrm{d}t\)
- \(\int_0^1 6\,u\,h^2\,\mathrm{d}t\)
- \(\int_0^1 6\,u\,h\,k\,\mathrm{d}t\)
- \(\int_0^1 6\,h\,k\,\mathrm{d}t\)
Réponse C.
En développant \((u+h)^3\), on obtient \(\mathrm{d}\Phi(u)(h)=\int_0^1 3u^2h\), car le reste est majoré par \(3\|u\|\|h\|^2+\|h\|^3\). On différencie ensuite \(u\mapsto\mathrm{d}\Phi(u)\) dans la direction \(k\), ce qui donne \(\int_0^1 6uhk\). Le piège en \(3u^2hk\) confond différentielle première et seconde. Le piège en \(h^2\) n’est pas bilinéaire en \((h,k)\) : il correspond seulement à la forme quadratique associée.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L3 de maths sur différentielle de Fréchet
- S’exercer : exercices corrigés sur différentielle de Fréchet
- QCM précédent : QCM : Dunford et Jordan en L3 de maths
- QCM suivant : QCM : Inversion locale et implicites en L3 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
