Équivalents et négligeabilité en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Classer cinq fonctions en plus l’infini

On considère, pour \(x > 1\), les fonctions \(f_1(x) = x^3 \ln x\), \(f_2(x) = e^{\sqrt{x}}\), \(f_3(x) = x^4\), \(f_4(x) = x^2 (\ln x)^{10}\) et \(f_5(x) = 2^x\).

1. Ranger ces cinq fonctions de sorte que chacune soit négligeable devant la suivante au voisinage de \(+\infty\).
2. Justifier chaque relation par un quotient et une croissance comparée.

Exercice 2 – Équivalents usuels en 0

Déterminer un équivalent simple, au voisinage de \(0\), de chacune des expressions suivantes.

1. D’abord, le produit \(\sin(3x)\,\ln(1 + 2x)\).
2. Ensuite, le quotient \(\dfrac{e^{x^2} – 1}{\tan x}\).
3. Puis la différence \(\sqrt{1 + 4x} – 1\).
4. De même, la fonction \(1 – \cos\sqrt{x}\), pour \(x > 0\).
5. Enfin, le polynôme \(3x^5 + x^3 – 7x^2\). Donner aussi un équivalent de ce polynôme en \(+\infty\).

Exercice 3 – Équivalents de quatre suites

Trouver un équivalent simple de chacune des suites suivantes, puis en déduire sa limite.

1. Pour commencer, \(a_n = \dfrac{n^2 + 3n}{2n^3 – 1}\).
2. Ensuite, \(b_n = \sin\Big(\dfrac{1}{n^2}\Big)\sqrt{n^2 + 1}\).
3. De plus, \(c_n = \dfrac{3^n + n^5}{2^n + n!}\).
4. Enfin, \(d_n = n^{1/n} – 1\), en l’écrivant sous forme exponentielle.

Exercice 4 – Vrai ou faux sur les relations de comparaison

Pour chaque affirmation, donner une preuve si elle est vraie, ou un contre-exemple si elle est fausse. Les fonctions sont étudiées en \(+\infty\) et ne s’annulent pas.

1. Lorsque \(f \sim g\), la différence \(f – g\) tend vers \(0\).
2. Si \(f = o(g)\) et \(g = o(h)\), alors \(f = o(h)\).
3. En outre, l’équivalence \(f \sim g\) entraîne \(e^f \sim e^g\).
4. De \(f \sim g\), on déduit \(f^2 \sim g^2\).
5. Enfin, pour des suites, \(u_n \sim v_n\) entraîne \(u_n^n \sim v_n^n\).

Exercice 5 – Limites par équivalents

Calculer les limites suivantes à l’aide d’équivalents.

1. En \(0\), d’abord : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x\sin x)}{1 – \cos x}\).
2. Ensuite, pour une suite : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \Big(1 + \frac{2}{n}\Big)^{3n}\).
3. Puis, en \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\Big(1 – \cos\frac{1}{x}\Big)\).
4. Enfin, de nouveau en \(0\) : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1/3} – 1}{\sin(2x)}\).

Exercice 6 – Signe au voisinage de 0

Déterminer le signe des fonctions suivantes au voisinage de \(0\), à gauche et à droite quand cela a un sens.

1. La fonction \(g(x) = \sin(x^2)\,(e^{-x} – 1)\).
2. Ensuite, \(h(x) = (1 – \cos x)\ln x\), pour \(x > 0\).
3. Enfin, \(k(x) = \ln(1 + 2x) – \sin(3x)\) : attention, ici les deux termes sont du même ordre.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Équivalents de sommes avec compensation

Dans chaque cas, les termes principaux se compensent. Trouver malgré tout un équivalent simple.

1. La différence \(\sqrt{x^2 + x} – \sqrt{x^2 – x}\) en \(+\infty\).
2. De même, l’écart \(\ln(x + 1) – \ln x\) en \(+\infty\).
3. Ensuite, \(\tan x – \sin x\) en \(0\), en factorisant par \(\tan x\).
4. Toujours en \(0\), la fonction \(\ln(\cos x)\).
5. Enfin, la suite \(e^{1/n} – e^{1/(n+1)}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 8 – Logarithme et exponentielle d’équivalents

1. Prouver que \(\ln(x^2 + x) \sim 2\ln x\) en \(+\infty\), puis que \(\ln(x + x^2) \sim \ln x\) en \(0^+\).
2. Vérifier que \(1 + x \sim 1 + 3x\) en \(0\), mais que \(\ln(1 + x)\) et \(\ln(1 + 3x)\) ne sont pas équivalents. Quelle hypothèse du cours est en défaut ?
3. Soit \(f\) et \(g\) définies au voisinage de \(+\infty\). Établir que \(e^f \sim e^g\) si et seulement si \(f – g\) tend vers \(0\).
4. En déduire si \(e^{\sqrt{x^2 + 1}} \sim e^x\) en \(+\infty\). Même question pour \(e^{\sqrt{x^2 + x}}\), et donner dans ce cas un équivalent de la forme \(C e^x\).

Exercice 9 – Somme des inverses de racines par encadrement

Pour \(n \geq 2\), on pose \(u_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}}\).

1. Justifier que, pour tout \(k \geq 2\), \(\displaystyle\int_{k}^{k+1} \frac{dt}{\sqrt{t}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{dt}{\sqrt{t}}\).
2. En déduire un encadrement de \(u_n\) par deux intégrales que l’on calculera.
3. Prouver que \(u_n \sim 2(\sqrt{2} – 1)\sqrt{n}\).

Exercice 10 – Coefficient binomial de 3n et n par Stirling

1. À l’aide de la formule de Stirling, établir que
   \[ \binom{3n}{n} \sim \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi n}} \Big(\frac{27}{4}\Big)^n. \]
2. En déduire la limite de \(\binom{3n}{n}^{1/n}\).

Exercice 11 – Factorielles et logarithme de n!

1. Montrer que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).
2. Trouver un équivalent simple de \(\ln(n!) – n\ln n + n\).
3. Déterminer un équivalent de \(\dfrac{(2n)!}{n!\; n^n}\) de la forme \(C q^n\), et en déduire sa limite.

Exercice 12 – Racine positive de x^5 + nx – 1

Pour \(n \geq 1\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^5 + nX – 1\).

1. Montrer que \(P_n\) admet une unique racine positive \(x_n\), et que \(0 < x_n < \frac{1}{n}\).
2. En déduire que \(x_n \sim \frac{1}{n}\).
3. Établir que \(x_n = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n^6} + o\Big(\dfrac{1}{n^6}\Big)\).

Exercice 13 – Comparer trois suites à croissance rapide

Pour \(n \geq 3\), on pose \(u_n = n^{\ln n}\), \(v_n = (\ln n)^n\) et \(w_n = 2^{\sqrt{n}}\).

1. Calculer \(\ln u_n\), \(\ln v_n\) et \(\ln w_n\).
2. Ranger les trois suites de sorte que chacune soit négligeable devant la suivante.
3. À l’aide de la formule de Stirling, comparer \(n!\) et \(n^{n/2}\).

Exercice 14 – Calculs avec des o et des O

Les questions 1 à 3 se placent au voisinage de \(0\), les questions 4 et 5 portent sur des suites.

1. Justifier que \(o(x^2) + O(x^3) = o(x^2)\).
2. Justifier que \(x \cdot o(x) = o(x^2)\) et que \(o(x)\cdot o(x^2) = o(x^3)\).
3. Prouver que si \(f = O(g)\) et si \(g\) tend vers \(0\), alors \(f\) tend vers \(0\).
4. Établir que \(O(1/n) \cdot O(n) = O(1)\), et donner un exemple où ce produit n’est pas un \(o(1)\).
5. Développer \(\Big(\dfrac{1}{n} + o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)\Big)^2\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Développement asymptotique de la solution de x + ln x = n

Pour \(n \geq 1\), on considère l’équation \(x + \ln x = n\), d’inconnue \(x > 0\).

1. Montrer que cette équation admet une unique solution \(x_n\), et que \(x_n \geq 1\).
2. Prouver que \(x_n\) tend vers \(+\infty\), puis que \(x_n \sim n\).
3. Établir que \(x_n = n – \ln n + o(1)\).
4. Pousser le développement d’un cran : montrer que \(x_n = n – \ln n + \dfrac{\ln n}{n} + o\Big(\dfrac{\ln n}{n}\Big)\).

Exercice 16 – Suite récurrente u(n+1) = u(n) + 1/u(n)

On définit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}\) pour tout \(n \geq 0\).

1. Montrer que la suite est bien définie, strictement positive et croissante.
2. Exprimer \(u_{n+1}^2 – u_n^2\), puis en déduire que \(u_n^2 \geq 2n + 1\) pour tout \(n\).
3. Établir que \(u_n^2 \leq 2n + 2 + \ln n\) pour tout \(n \geq 1\). On admettra que \(\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \leq 1 + \ln n\).
4. En déduire que \(u_n \sim \sqrt{2n}\).

Exercice 17 – Sommes dominées par leur dernier terme

1. Pour \(n \geq 2\), montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1} k! \leq 2\,(n-1)!\). En déduire que \(\sum_{k=0}^{n} k! \sim n!\).
2. Pour \(n \geq 2\), montrer que \(\sum_{k=1}^{n-1} k^k \leq 2\,(n-1)^{n-1}\).
3. En déduire que \(\sum_{k=1}^{n} k^k \sim n^n\).
4. Expliquer pourquoi la majoration plus grossière \(\sum_{k=1}^{n-1} k^k \leq (n-1)^n\) ne suffit pas pour conclure.

Exercice 18 – Problème – Racine de x^n + x – 1 proche de 1

Pour \(n \geq 1\), on pose \(f_n(x) = x^n + x – 1\) sur \([0, 1]\).

Partie A : existence et limite.

1. Montrer que \(f_n\) s’annule en un unique point \(x_n\) de \(]0, 1[\).
2. Calculer \(f_{n+1}(x_n)\) et en déduire que la suite \((x_n)\) est croissante.
3. Prouver que \((x_n)\) converge vers \(1\).

Partie B : un équivalent de l’écart. On pose \(\varepsilon_n = 1 – x_n\) et \(a_n = n\varepsilon_n\).

1. Justifier que \(\varepsilon_n = (1 – \varepsilon_n)^n\), puis que \(-\ln \varepsilon_n = -n\ln(1 – \varepsilon_n)\).
2. En déduire que \(-\ln \varepsilon_n \sim a_n\), puis que \(a_n\) tend vers \(+\infty\).
3. Établir que \(a_n + \ln a_n \sim \ln n\), puis que \(a_n \sim \ln n\). Conclure que \(1 – x_n \sim \dfrac{\ln n}{n}\).

Partie C : le terme suivant.

1. Montrer que, pour tout \(t \in [0, \frac{1}{2}]\), on a \(-t – t^2 \leq \ln(1 – t) \leq -t\).
2. En déduire que \(-\ln \varepsilon_n = a_n + o(1)\).
3. Établir que \(a_n = \ln n – \ln\ln n + o(1)\), c’est-à-dire \(x_n = 1 – \dfrac{\ln n – \ln\ln n}{n} + o\Big(\dfrac{1}{n}\Big)\).

Pour aller plus loin

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