QCM : Intégrales doubles et triples en L2 de maths

Réponse A.

Sur un rectangle, une fonction produit se sépare : l’intégrale vaut \(\int_0^1x\,dx\times\int_0^2y^2\,dy=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\). Le piège \(\frac{8}{3}\) oublie l’intégrale en \(x\). La valeur \(\frac{2}{3}\) évalue mal la primitive de \(y^2\), en écrivant \(\frac{2^2}{3}\) au lieu de \(\frac{2^3}{3}\). Enfin, \(2\) correspond à l’aire du rectangle, sans tenir compte de la fonction.

Réponse D.

Le domaine est le triangle \(0\leqslant x\leqslant y\leqslant 1\), situé au-dessus de la diagonale. Si l’on fixe d’abord \(y\), la variable \(x\) parcourt donc \([0,y]\). Le piège aux bornes \(\int_y^1\) recopie les bornes sans redessiner le domaine, ce qui donne le triangle opposé. Le piège aux bornes \(\int_0^x\) laisse \(x\) dans les bornes de sa propre intégrale. Enfin, le carré entier ajoute un second triangle.

Réponse B.

Pour une fonction continue sur un rectangle fermé borné, les deux intégrales itérées existent et coïncident : c’est le cadre le plus simple du théorème. En revanche, l’existence des intégrales itérées ne garantit pas leur égalité ; des contre-exemples classiques le montrent. Par ailleurs, une fonction continue sur l’ouvert peut exploser au bord. Enfin, une hypothèse portant sur une seule variable ne contrôle pas l’intégrale double.

Réponse B.

Le domaine est élémentaire : pour \(x\) fixé, \(y\) varie de \(0\) à \(x\). On intègre donc d’abord en \(y\), ce qui donne \(\int_0^1x\cdot x\,dx=\frac{1}{3}\). Le piège \(\frac{1}{2}\) intègre \(x\) sur \([0,1]\) comme si le domaine était le carré. La réponse \(\frac{1}{6}\) correspond au triangle complémentaire, situé au-dessus de la diagonale. Enfin, \(\frac{1}{4}\) ajoute un facteur \(x\) de trop dans l’intégrande.

Réponse A.

En coordonnées polaires, \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\), donc l’intégrale vaut \(\int_0^{2\pi}\int_0^2r^3\,dr\,d\theta=2\pi\times 4=8\pi\). Le piège \(\frac{16\pi}{3}\) oublie le jacobien \(r\) et intègre seulement \(r^2\). La valeur \(4\pi\) est l’aire du disque, sans la fonction. Enfin, \(16\pi\) oublie le facteur \(\frac{1}{4}\) de la primitive \(\frac{r^4}{4}\).

Réponse B.

On exprime \(x=\frac{u+v}{2}\) et \(y=\frac{u-v}{2}\). Le jacobien de \((u,v)\mapsto(x,y)\) vaut alors \(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\), et l’on prend sa valeur absolue. Le piège \(2\) utilise le jacobien du changement direct \((x,y)\mapsto(u,v)\), sans l’inverser. Oublier le jacobien donne \(du\,dv\). Enfin, garder le signe moins rendrait négative l’aire d’un domaine.

Réponse D.

On découpe le cône en tranches horizontales : à la hauteur \(z\), la section est un disque de rayon \(z\), d’aire \(\pi z^2\). Le volume vaut donc \(\int_0^3\pi z^2\,dz=9\pi\), ce qui redonne bien le tiers du cylindre. Le piège \(27\pi\) calcule justement le cylindre de même base et de même hauteur. La valeur \(\frac{9\pi}{2}\) prend une section d’aire \(\pi z\), en oubliant le carré du rayon. Enfin, \(36\pi\) est le volume de la boule de rayon \(3\).

Réponse C.

Le jacobien du passage en sphériques vaut \(r^2\sin\varphi\), positif sur \([0,\pi]\). On le vérifie avec le volume de la boule : \(\int_0^R r^2\,dr\times 2\pi\times\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi=\frac{4}{3}\pi R^3\). Le piège \(r\) confond avec les polaires. Le cosinus correspond à une latitude mesurée depuis l’équateur, donc à une autre convention. Enfin, oublier le sinus donne un mauvais volume.

Réponse C.

À hauteur \(z\) fixée, la section est un triangle rectangle isocèle de côté \(1-z\), d’aire \(\frac{(1-z)^2}{2}\). On intègre ensuite sur \([0,1]\) et l’on obtient \(\frac{1}{6}\). Ce résultat correspond à la formule « base fois hauteur sur trois ». Le piège \(\frac{1}{3}\) oublie que la base est un demi-carré. La valeur \(\frac{1}{2}\) est l’aire de cette base, et \(\frac{1}{24}\) divise une fois de trop.

Réponse D.

La longueur vaut \(\int_0^{2\pi}\|\gamma^{\prime}(t)\|\,dt\). Ici, \(\gamma^{\prime}(t)=(-3\sin t,\,3\cos t,\,4)\), de norme constante \(\sqrt{9+16}=5\). Ainsi, la longueur est \(5\times 2\pi=10\pi\). Le piège \(6\pi\) ne garde que le cercle projeté et oublie la montée. La valeur \(8\pi\) ne garde que la montée verticale. Enfin, \(14\pi\) additionne les vitesses \(3\) et \(4\) au lieu de prendre la norme.

Réponse C.

La forme \(\omega\) est exacte : c’est la différentielle de \(F(x,y)=xy\). Par conséquent, son intégrale le long d’un chemin vaut \(F(2,3)-F(0,0)=6\), indépendamment du trajet. Le piège \(0\) applique un résultat valable seulement pour un chemin fermé. La valeur \(5\) additionne les coordonnées de l’arrivée. Enfin, la dépendance au chemin concerne les formes non exactes.

Réponse A.

La formule de Green-Riemann donne \(\oint_{\partial D}x\,dy=\iint_D1\,dx\,dy\), c’est-à-dire l’aire du domaine intérieur. Or l’ellipse de demi-axes \(3\) et \(2\) délimite une aire \(\pi\times 3\times 2=6\pi\). Le piège \(-6\pi\) inverse le sens de parcours. La valeur \(12\pi\) confond avec \(\oint(x\,dy-y\,dx)\), qui vaut le double de l’aire. Enfin, \(3\pi\) introduit un facteur \(\frac{1}{2}\) superflu.