Comatrice, inversibilité et aires : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « comatrice, inversibilité et aires », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur le chapitre des déterminants. Vous commencerez par calculer des déterminants en combinant opérations sur les lignes et développement, puis vous utiliserez les propriétés du produit et de la transposée. Ensuite, un exercice géométrique relie le déterminant 2×2 à une aire et à l’effet d’une application linéaire.
Vous discuterez ensuite un système de Cramer selon un paramètre, avant de factoriser un déterminant de Vandermonde pour trouver une parabole. Enfin, le problème inverse une matrice circulante grâce à sa comatrice. Traitez ce sujet à la fin du chapitre, une fois l’algèbre linéaire matricielle bien maîtrisée.
Ce qu’évalue le contrôle : comatrice, inversibilité et aires
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Déterminant, formules de Cramer et inverse (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un déterminant par opérations élémentaires puis par développement selon une ligne
- Relier la valeur absolue d’un déterminant 2×2 à l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle
- Discuter un système linéaire à paramètre et le résoudre par les formules de Cramer
- Factoriser un déterminant de Vandermonde pour justifier une interpolation
- Inverser une matrice à l’aide de sa comatrice
Avant de commencer le devoir
Avant de développer un déterminant, cherchez d’abord à faire apparaître des zéros par des opérations sur les lignes ou les colonnes, car le calcul devient alors court. Notez à chaque étape l’opération effectuée et son effet sur la valeur. Pour les aires, n’oubliez pas la valeur absolue et le facteur un demi pour un triangle. Dans le problème, vérifiez enfin votre inverse en effectuant le produit avec la matrice de départ.
Le sujet du contrôle : comatrice, inversibilité et aires
Exercice 1 – Trois calculs de déterminants (4 points)
Dans cet exercice, on justifiera chaque opération sur les lignes ou les colonnes.
- Calculer \(D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix}\) en développant selon la première ligne.
- Pour \(x\) réel, on note \(D(x)\) le déterminant de la matrice \(4 \times 4\) dont les coefficients diagonaux valent \(x\) et tous les autres valent \(2\). Factoriser \(D(x)\), puis donner les valeurs de \(x\) pour lesquelles cette matrice n’est pas inversible.
- Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(\det A = -2\). Calculer alors \(\det(2A)\), \(\det\left(-A^{T}\right)\) et le déterminant de la comatrice \(\mathrm{com}(A)\).
Exercice 2 – Aire d’un triangle et image linéaire (3 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé, puis on considère les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(2\,;\,4)\), représentés sur la figure.
On note aussi \(f\) l’application linéaire de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) dans la base canonique.
- Rappeler d’abord le lien entre \(\left|\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right)\right|\) et l’aire d’un parallélogramme. En déduire ensuite l’aire du triangle \(ABC\).
- Sans calculer les images des points, déterminer l’aire du triangle \(f(A)f(B)f(C)\).
- Enfin, l’application \(f\) conserve-t-elle l’orientation des triangles ? Justifier.
Exercice 3 – Un système de Cramer à paramètre (4 points)
Pour un réel \(m\), on considère le système suivant, d’inconnues réelles \(x\), \(y\) et \(z\) :
\[(S_m) : \begin{cases} x + 2y – z = -3 \\ 2x + my + z = 4 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases}\]
- Calculer le déterminant de la matrice du système en fonction de \(m\). Pour quelles valeurs de \(m\) le système \((S_m)\) est-il de Cramer ?
- On prend \(m = 3\). Résoudre \((S_3)\) à l’aide des formules de Cramer, puis vérifier la solution trouvée.
- On prend désormais \(m = 13\). En combinant les équations, montrer que \((S_{13})\) n’a aucune solution.
Exercice 4 – Vandermonde et parabole (3 points)
Pour trois réels \(a\), \(b\) et \(c\), on pose \(V(a, b, c) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}\). La figure montre trois points \(P_1(-1\,;\,4)\), \(P_2(1\,;\,0)\) et \(P_3(2\,;\,1)\).
- Montrer que \(V(a, b, c) = (b – a)(c – a)(c – b)\), en commençant par des opérations sur les lignes.
- En déduire que, si \(a\), \(b\) et \(c\) sont distincts, il existe un unique polynôme \(P\) de degré au plus \(2\) qui prend des valeurs imposées en \(a\), \(b\) et \(c\).
- Déterminer enfin le polynôme \(P\) dont la courbe passe par \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\).
Exercice 5 – Problème : une matrice circulante (6 points)
Pour tout réel \(t\), on pose \(A_t = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & t \\ t & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Chaque ligne s’obtient donc en décalant la précédente d’un cran vers la droite.
- Calculer \(\det A_t\) en développant selon la première colonne, puis factoriser le résultat.
- Déterminer donc l’ensemble des réels \(t\) pour lesquels \(A_t\) est inversible.
- Calculer alors les neuf cofacteurs de \(A_t\) et écrire la comatrice \(\mathrm{com}(A_t)\).
- Rappeler la relation entre \(A\), \(\mathrm{com}(A)\) et \(\det A\). En déduire \(A_t^{-1}\) quand elle existe, puis expliciter \(A_1^{-1}\).
- Résoudre ensuite le système \(x + y = 2\), \(y + z = 4\), \(x + z = 6\) en utilisant \(A_1^{-1}\).
- Pour \(t = -1\), trouver un vecteur non nul du noyau de \(A_{-1}\), ce qui confirme la non-inversibilité.
Réviser comatrice, inversibilité et aires avant le contrôle
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