QCM : Fonctions à valeurs vectorielles en maths spé (MP)

Réponse A.

En dimension finie, on dérive coordonnée par coordonnée : \(f^{\prime}(t)=\left(-\sin t,\ 3t^2,\ 2e^{2t}\right)\), donc \(f^{\prime}(0)=(0,0,2)\). La réponse \((1,0,2)\) recopie \(\cos 0\) au lieu de dériver le cosinus. Le vecteur \((0,0,1)\) oublie le facteur \(2\) venu de la dérivée de \(2t\). Enfin, \((0,3,2)\) évalue \(3t^2\) en \(1\) et non en \(0\).

Réponse D.

En dimension finie, \(L\) est continue. Le taux d’accroissement de \(L\circ f\) vaut donc \(L\) appliquée au taux d’accroissement de \(f\), et le passage à la limite donne \(L(f^{\prime})\). La réponse avec \(L^{\prime}\) singe la dérivée d’une composée réelle, alors que \(L\) n’est pas une fonction d’une variable réelle. La somme \(L(f)+L(f^{\prime})\) mélange linéarité et règle d’un produit.

Réponse A.

Le produit scalaire est bilinéaire. Par conséquent, la dérivée suit la règle de Leibniz : on dérive un facteur à la fois, puis on additionne. La réponse \(\langle f^{\prime},g^{\prime}\rangle\) dérive les deux facteurs en même temps, erreur classique. Le signe moins rappelle à tort la dérivée d’un quotient. Quant à \(2\langle f,g^{\prime}\rangle\), elle ne serait juste que si \(f=g\).

Réponse D.

On dérive l’identité \(\langle f,f\rangle=1\) : il vient \(2\langle f,f^{\prime}\rangle=0\), d’où l’orthogonalité. La réponse \(f^{\prime}=0\) confond norme constante et vecteur constant ; or \(t\mapsto(\cos t,\sin t)\) tourne sans s’arrêter. Une vitesse de norme \(1\) n’est pas imposée, car \((\cos 5t,\sin 5t)\) va cinq fois plus vite. Enfin, la colinéarité est exactement le contraire de ce qu’on obtient.

Réponse B.

Le déterminant est \(n\)-linéaire en ses colonnes. Ainsi, comme pour un produit de \(n\) facteurs, on dérive une colonne à la fois et on somme les \(n\) déterminants obtenus. Dériver toutes les colonnes en même temps est le piège le plus fréquent. Le produit des déterminants ne respecte pas la linéarité. Quant à \(n\det(C_1,\dots,C_n)\), elle ressemble à la dérivée de \(t^n\) sans aucun rapport avec les colonnes.

Réponse C.

On a \(D^{\prime}=\det(u^{\prime},v)+\det(u,v^{\prime})\). En \(t=1\), \(\det\big((0,1),(1,1)\big)=-1\) et \(\det\big((1,1),(1,3)\big)=2\), donc \(D^{\prime}(1)=1\). On le vérifie avec \(D(t)=t^3-t^2\). La valeur \(-1\) vient de \(\det(u^{\prime},v^{\prime})\), qui dérive les deux colonnes. La valeur \(2\) oublie le terme où \(u\) est dérivé. Enfin, \(0\) est \(D(1)\) lui-même.

Réponse B.

Coordonnée par coordonnée, on applique la dérivée d’une composée de fonctions réelles. On obtient donc le scalaire \(\varphi^{\prime}(s)\) multiplié par le vecteur \(f^{\prime}\) évalué en \(\varphi(s)\). La réponse \(\varphi^{\prime}(s)f^{\prime}(s)\) évalue \(f^{\prime}\) au mauvais point, qui n’est même pas forcément dans \(I\). Sans le facteur \(\varphi^{\prime}(s)\), on oublie la vitesse du changement de paramètre. Enfin, composer avec \(\varphi^{\prime}\) n’a aucun sens ici.

Réponse C.

On dérive une première fois : \(h^{\prime}=B(f^{\prime},g)+B(f,g^{\prime})\). En dérivant à nouveau chaque terme, le terme croisé \(B(f^{\prime},g^{\prime})\) apparaît deux fois. C’est donc la formule de Leibniz avec les coefficients binomiaux \(1,2,1\), et \(h\) est bien de classe \(C^2\). Le coefficient \(1\) devant le terme croisé oublie ce double comptage. Supprimer ce terme revient à dériver chaque facteur deux fois isolément, ce qui est faux.

Réponse D.

L’intégrale d’une fonction vectorielle continue se calcule coordonnée par coordonnée dans une base. En effet, \(\int_0^1 2t\,\mathrm{d}t=1\) et \(\int_0^1 e^t\,\mathrm{d}t=e-1\). La réponse \((1,e)\) oublie de soustraire la valeur de la primitive en \(0\), qui vaut \(e^0=1\). Le vecteur \((2,e-1)\) évalue la dérivée de \(t^2\) au lieu de la primitive. Enfin, \(1-e\) inverse les bornes.

Réponse C.

On reconnaît une somme de Riemann de \(t\mapsto(t,t^2)\), continue sur \([0,1]\). Elle converge donc vers \(\int_0^1(t,t^2)\,\mathrm{d}t=\left(\frac12,\frac13\right)\). Le vecteur \(\left(\frac12,\frac12\right)\) traite la seconde coordonnée comme la première. La réponse \(\left(1,\frac12\right)\) remplace chaque fonction par sa dérivée au lieu de l’intégrer. Quant à \(\left(\frac13,\frac14\right)\), elle décale l’exposant d’un cran de trop.

Réponse A.

On a \(f^{\prime}(t)=(-2\sin 2t,\ 2\cos 2t,\ 1)\), donc \(\|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{4+1}=\sqrt5\) pour tout \(t\). L’inégalité donne alors \(\|f(3)-f(0)\|\leqslant 3\sqrt5\). La réponse \(\sqrt5\) oublie la longueur \(3\) de l’intervalle. Le piège \(3\sqrt3\) néglige le facteur \(2\) issu de la dérivée de \(2t\). Enfin, \(15\) multiplie la longueur par \(\|f^{\prime}\|^2\) au lieu de \(\|f^{\prime}\|\).

Réponse B.

Les énoncés à point intermédiaire \(c\) tombent dès la dimension \(2\). Ainsi, \(t\mapsto(\cos t,\sin t)\) sur \([0,2\pi]\) prend la même valeur aux bornes, alors que sa dérivée ne s’annule jamais : Rolle échoue. Par conséquent, l’égalité des accroissements finis et l’égalité de Taylor-Lagrange échouent aussi. En revanche, Taylor avec reste intégral reste exact, et il fournit l’inégalité de Taylor-Lagrange \(\|R_n\|\leqslant M\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\).