Récurrence et coefficients binomiaux en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une divisibilité par 7

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), l’entier \(3^{2n+1}+2^{n+2}\) est divisible par \(7\).

Exercice 2 – Premiers calculs avec Σ et Π

Soit \(n\geq 2\) un entier. Calculer les expressions suivantes en fonction de \(n\).

1. \(A_n=\sum_{k=1}^{n}(4k-1)\).
2. \(B_n=\sum_{k=2}^{n}5^{k}\).
3. \(C_n=\prod_{k=1}^{n}(2k)\), à exprimer à l’aide de \(n!\).
4. \(D_n=\prod_{k=1}^{n}3^{k}\).

Exercice 3 – Trois changements d’indice

Soit \(n\geq 1\) un entier.

1. Écrire \(\sum_{j=4}^{n+3}(j-3)^{2}\) sous la forme \(\sum_{k=1}^{n}k^{2}\), puis en donner la valeur.
2. Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1-k}\right)=0\).
3. À l’aide du changement d’indice \(j=2n-k\), montrer que \(\sum_{k=0}^{2n}(k-n)^{3}=0\).

Exercice 4 – Télescopages immédiats

Soit \(n\geq 2\) un entier. Calculer :

1. \(\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\) ;
2. \(\sum_{k=0}^{n}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\) ;
3. \(\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)\).

Exercice 5 – Simplifier des factorielles

Soit \(n\) un entier naturel.

1. Simplifier \(\frac{(n+2)!}{n!}\) et \(\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\).
2. Calculer \(\binom{9}{3}\) et \(\binom{10}{7}\) sans calculatrice.
3. Pour \(0\leq k\leq n\), montrer que \(\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}\).
4. Résoudre l’équation \(\binom{n}{2}=45\) d’inconnue \(n\geq 2\).

Exercice 6 – Deux développements par le binôme

1. Développer et réduire \((x-2)^{5}\).
2. Écrire \(\left(1+\sqrt{3}\right)^{4}\) sous la forme \(a+b\sqrt{3}\) avec \(a,b\) entiers.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une suite récurrente double

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=1\), \(u_1=4\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n\).

1. Calculer \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
2. Montrer que \(u_n=(n+1)\,2^{n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 8 – Pièces de 3 et de 5

Un distributeur ne rend la monnaie qu’en pièces de \(3\) et de \(5\) unités.

1. Vérifier que les montants \(1\), \(2\), \(4\) et \(7\) ne peuvent pas être obtenus.
2. Montrer par récurrence forte que tout entier \(n\geq 8\) s’écrit \(n=3a+5b\) avec \(a,b\in\mathbb{N}\).

La figure indique, pour chaque montant de \(1\) à \(20\), s’il est accessible.

Exercice 9 – Bon ordre et racine de 3

On suppose qu’il existe des entiers \(p,q\geq 1\) tels que \(p^{2}=3q^{2}\).

1. Justifier qu’on peut choisir un tel couple avec \(p\) minimal.
2. Montrer que \(3\) divise \(p\). On pourra examiner \(p^{2}\) selon le reste de \(p\) modulo \(3\).
3. Écrire \(p=3p^{\prime}\) et obtenir une contradiction avec la minimalité. Conclure sur \(\sqrt{3}\).

Exercice 10 – La somme des k(k+1)(k+2)

Soit \(n\geq 1\) un entier.

1. Vérifier que \(4k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\) pour tout entier \(k\).
2. En déduire \(\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\).
3. Développer \(k(k+1)(k+2)\) et retrouver, à l’aide des sommes usuelles, la valeur de \(\sum_{k=1}^{n}k^{3}\).

Exercice 11 – Une somme rationnelle télescopique

Pour \(n\geq 2\), on pose \(V_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}-1}\).

1. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\frac{1}{k^{2}-1}=\frac{\alpha}{k-1}+\frac{\beta}{k+1}\) pour tout \(k\geq 2\).
2. En déduire une expression de \(V_n\) sans symbole somme.
3. Montrer que \(V_n<\frac{3}{4}\) pour tout \(n\geq 2\) et déterminer la limite de \(V_n\).

Exercice 12 – Un produit qui se simplifie

Pour \(n\geq 2\), on pose \(P_n=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)\).

1. Factoriser \(1-\frac{1}{k^{2}}\) en un produit de deux quotients.
2. Montrer que \(P_n=\frac{n+1}{2n}\).
3. Vérifier le résultat pour \(n=3\) par un calcul direct.

Exercice 13 – Sommes sur une colonne du triangle de Pascal

Soit \(p\in\mathbb{N}\) fixé.

1. Montrer par récurrence sur \(n\geq p\) que \(\sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}\).
2. Retrouver la somme des \(n\) premiers entiers en choisissant \(p=1\).
3. En prenant \(p=2\), calculer \(\sum_{k=1}^{n}k(k-1)\) pour \(n\geq 1\).

Exercice 14 – Deux identités par la formule du pion

Soit \(n\) un entier naturel.

1. Montrer que \(\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}\) pour \(0\leq k\leq n\).
2. En déduire \(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}\).
3. Pour \(n\geq 2\), montrer que \(\sum_{k=2}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\,2^{n-2}\).

Exercice 15 – Coefficients de rang pair

Soit \(n\geq 1\) un entier.

1. Calculer \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k}\) et \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-3)^{k}\).
2. On note \(E_n\) la somme des \(\binom{n}{k}\) pour \(k\) pair et \(O_n\) celle pour \(k\) impair, avec \(0\leq k\leq n\). Calculer \(E_n+O_n\) et \(E_n-O_n\).
3. En déduire \(E_n\) et \(O_n\), puis la valeur de \(\binom{10}{0}+\binom{10}{2}+\cdots+\binom{10}{10}\).

Exercice 16 – Chercher un coefficient précis

On développe \(\left(2x-\frac{1}{x^{2}}\right)^{9}\) pour \(x\) réel non nul.

1. Écrire le terme général du développement sous la forme \(c_k\,x^{m_k}\), avec \(m_k\) entier.
2. Déterminer le terme constant.
3. Déterminer le coefficient de \(x^{3}\), puis celui de \(x^{-6}\).
4. Expliquer pourquoi aucun terme en \(x^{2}\) n’apparaît.

Pour approfondir

Exercice 17 – Diagonales de Pascal et Fibonacci

On note \((F_n)\) la suite de Fibonacci : \(F_0=0\), \(F_1=1\) et \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\). Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose

\[D_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n-k}{k},\]

avec la convention \(\binom{m}{k}=0\) lorsque \(k>m\). La figure montre que \(D_n\) est la somme d’une diagonale montante du triangle de Pascal.

1. Calculer \(D_0\), \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\), \(D_4\) et \(D_5\).
2. À l’aide de la formule de Pascal, montrer que \(D_{n+2}=D_{n+1}+D_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. En déduire, par une récurrence double, que \(D_n=F_{n+1}\) pour tout \(n\).

Exercice 18 – La formule de Vandermonde

Soit \(p\), \(q\) et \(n\) des entiers naturels.

1. En développant de deux façons \((1+x)^{p}(1+x)^{q}\), montrer que \(\sum_{k=0}^{n}\binom{p}{k}\binom{q}{n-k}=\binom{p+q}{n}\).
2. En déduire que \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}=\binom{2n}{n}\).
3. Vérifier cette dernière égalité pour \(n=4\).

Exercice 19 – Partie entière de (2+√3)^n

Soit \(n\geq 1\) un entier.

1. À l’aide du binôme, montrer qu’il existe des entiers naturels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n}=a_n+b_n\sqrt{3}\) et \(\left(2-\sqrt{3}\right)^{n}=a_n-b_n\sqrt{3}\).
2. En déduire que \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n}\) est un entier pair.
3. Montrer que la partie entière de \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n}\) vaut \(2a_n-1\), et qu’elle est impaire.
4. Calculer \(a_3\), \(b_3\) et la partie entière de \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{3}\).

Exercice 20 – Problème – Sommes de puissances d’entiers

Pour \(p\in\mathbb{N}\) et \(n\geq 1\), on pose \(S_p(n)=\sum_{k=1}^{n}k^{p}\). Ainsi \(S_0(n)=n\).

1. Développer \((k+1)^{p+1}-k^{p+1}\) par le binôme, puis sommer pour \(k\) de \(1\) à \(n\). En déduire la relation
   \[\sum_{j=0}^{p}\binom{p+1}{j}S_j(n)=(n+1)^{p+1}-1.\]
2. Retrouver \(S_1(n)\) et \(S_2(n)\) à l’aide de cette relation.
3. Calculer \(S_3(n)\) par la même méthode, puis la valeur de \(S_3(20)\).
4. Montrer par récurrence forte sur \(p\) que \(S_p(n)=\frac{n^{p+1}}{p+1}+R_p(n)\), où \(R_p\) est une fonction polynomiale de degré au plus \(p\).
5. En déduire la limite de \(\frac{S_p(n)}{n^{p+1}}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Pour aller plus loin

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