Problèmes de Cauchy linéaires : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : problèmes de Cauchy linéaires

Le sujet du contrôle : problèmes de Cauchy linéaires

Exercice 1 – Premier ordre à coefficient variable (4 points)

On se place sur l’intervalle \(I = \left]0\,;+\infty\right[\) et l’on considère l’équation différentielle

\[(E_1) : \quad x\,y^{\prime} – 2y = x^3 \mathrm{e}^{x}.\]

1. Écrire l’équation homogène associée sous forme résolue, puis la résoudre sur \(I\). (1 point)
2. Par la méthode de variation de la constante, déterminer toutes les solutions de \((E_1)\) sur \(I\). (1,5 point)
3. Déterminer l’unique solution \(y_0\) de \((E_1)\) qui vérifie \(y_0(1) = 0\). (1 point)
4. La figure ci-dessous représente trois solutions de \((E_1)\). Identifier la courbe de \(y_0\), puis justifier ce choix à l’aide de la valeur de \(y_0(1)\) et du signe de \(y_0\) sur \(\left]0\,;1\right[\). (0,5 point)

Exercice 2 – Un second membre résonant (4 points)

On étudie ensuite sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle

\[(E_2) : \quad y^{\prime\prime} – 4y^{\prime} + 3y = 4\,\mathrm{e}^{x}.\]

1. Résoudre d’abord l’équation homogène associée à \((E_2)\). (1 point)
2. Expliquer pourquoi aucune fonction de la forme \(x \mapsto a\,\mathrm{e}^{x}\) n’est solution de \((E_2)\). Chercher alors une solution particulière de la forme \(x \mapsto a\,x\,\mathrm{e}^{x}\). (1,5 point)
3. En déduire la solution générale de \((E_2)\), puis la solution qui vérifie \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). (1,5 point)

Exercice 3 – Second membre trigonométrique et régime permanent (4 points)

On considère cette fois l’équation

\[(E_3) : \quad y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 10\cos x.\]

1. Donner d’abord les solutions réelles de l’équation homogène associée. (1 point)
2. Trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(y_p : x \mapsto a\cos x + b\sin x\) soit solution de \((E_3)\). (1,5 point)
3. Déterminer alors la solution \(y\) de \((E_3)\) telle que \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). (1 point)
4. Montrer que \(y(x) – y_p(x)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Écrire ensuite \(y_p\) sous la forme \(x \mapsto R\cos(x – \varphi)\), avec \(R > 0\), et donner l’amplitude \(R\) de ce régime permanent. (0,5 point)

Exercice 4 – Charge d’un condensateur (3 points)

Un générateur de tension \(e(t)\) alimente une résistance \(R = 10\text{ k}\Omega\) montée en série avec un condensateur de capacité \(C = 100\ \mu\text{F}\), initialement déchargé. On note \(u(t)\) la tension aux bornes du condensateur, en volts, et \(t\) le temps, en secondes. Le courant vaut \(i = C\,u^{\prime}\), et la loi des mailles donne \(R\,i + u = e(t)\).

1. Montrer que \(u\) vérifie \(\tau\,u^{\prime} + u = e(t)\), avec une constante \(\tau\) dont on donnera la valeur. (0,5 point)
2. Dans cette question, la tension est constante : \(e(t) = 6\) pour \(t \geq 0\). Déterminer \(u\), puis le temps au bout duquel le condensateur atteint \(95\,\%\) de sa charge finale. On donne \(\ln 20 \approx 3{,}0\). (1 point)
3. Le générateur délivre maintenant une tension qui s’éteint : \(e(t) = 6\,\mathrm{e}^{-t}\). Par variation de la constante, déterminer \(u\), puis l’instant où la tension \(u\) est maximale et la valeur de ce maximum. On donne \(\frac{6}{\mathrm{e}} \approx 2{,}2\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : un changement de fonction inconnue (5 points)

On souhaite résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle

\[(E_5) : \quad y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + y = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1 + x^2}.\]

Son second membre n’est pas de la forme étudiée en cours ; on va donc changer de fonction inconnue.

1. Résoudre tout d’abord l’équation homogène associée à \((E_5)\). (1 point)
2. Soit \(y\) une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et soit \(z : x \mapsto \mathrm{e}^{x} y(x)\). Exprimer \(y^{\prime}\) et \(y^{\prime\prime}\) à l’aide de \(z\), \(z^{\prime}\) et \(z^{\prime\prime}\), puis montrer que \(y\) est solution de \((E_5)\) si et seulement si \(z^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) pour tout réel \(x\). (1,5 point)
3. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonction \(\arctan\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
4. En déduire toutes les solutions de \((E_5)\), puis la solution qui vérifie \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). (1,5 point)

Réviser problèmes de Cauchy linéaires avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours résoudre une équation différentielle linéaire ; entraînez-vous sur les exercices résoudre une équation différentielle linéaire avant de retenter le sujet.

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