Étude d’une suite itérative : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : étude d’une suite itérative

Le sujet du contrôle : étude d’une suite itérative

Dans tout le sujet, \(f\) désigne la fonction définie sur \(]-1, +\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{3}{1 + x}\). On étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). Les exercices s’enchaînent, mais un résultat admis peut toujours être utilisé dans la suite.

Exercice 1 – Une fonction homographique et son point fixe (3 points)

La courbe de \(f\) et la première bissectrice se coupent en un point \(\Lambda\), dont l’abscisse est notée \(\ell\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-1, +\infty[\). Montrer ensuite que \(f\) admet un unique point fixe dans \(]-1, +\infty[\) et en donner l’expression exacte. (1 point)
2. Démontrer l’encadrement \(\frac{13}{10} < \ell < \frac{4}{3}\), puis vérifier que \(\ell^2 + \ell = 3\). (1 point)
3. On pose \(J = \left[1, \frac{3}{2}\right]\). Montrer que \(J\) est stable par \(f\), puis en déduire que tous les termes \(u_n\) existent et appartiennent à \(J\). (1 point)

Exercice 2 – Premiers termes et dessin en escargot (3,5 points)

La figure ci-dessous agrandit la partie de la courbe de \(f\) située au-dessus de l’intervalle \(J\). Le premier terme \(u_0\) y est placé sur l’axe des abscisses.

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\) sous forme de fractions irréductibles. (1 point)
2. Reproduire sommairement la figure, puis y construire les termes \(u_1\) à \(u_4\) sur l’axe des abscisses. Formuler alors une conjecture sur la monotonie et sur la limite de \((u_n)\). (1 point)
3. Établir que, pour tout \(x > -1\), \(f(x) – \ell = -\dfrac{\ell\,(x – \ell)}{1 + x}\). En déduire, pour tout \(n\), la position de \(u_n\) par rapport à \(\ell\) selon la parité de \(n\), puis justifier que \((u_n)\) n’est pas monotone. (1,5 point)

Exercice 3 – Les termes pairs et les termes impairs (4 points)

On note \(g = f \circ f\), puis \(a_n = u_{2n}\) et \(b_n = u_{2n+1}\) pour tout entier naturel \(n\). Ainsi \(a_{n+1} = g(a_n)\) et \(b_{n+1} = g(b_n)\).

1. Montrer que, pour tout \(x \in J\), \(g(x) = \dfrac{3(1 + x)}{4 + x}\), puis que \(g\) est strictement croissante sur \(J\). (1 point)
2. Démontrer par récurrence que \((a_n)\) est croissante et que \((b_n)\) est décroissante. (1,5 point)
3. Justifier que \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent, puis que leurs limites sont des points fixes de \(g\) appartenant à \(J\). Déterminer ces points fixes et conclure sur la convergence de \((u_n)\). (1,5 point)

Exercice 4 – Vitesse de convergence (4 points)

On sait désormais que \((u_n)\) tend vers \(\ell\). On cherche maintenant à quantifier cette convergence, sans calculatrice.

1. Montrer que \(|u_{n+1} – \ell| \leq \frac{2}{3}\,|u_n – \ell|\) pour tout \(n\), puis que \(|u_n – \ell| \leq \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^n\). En comparant \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\) à \(\frac{1}{3}\), prouver enfin que l’écart entre \(u_{18}\) et \(\ell\) reste inférieur à \(10^{-3}\). (1,5 point)
2. On pose \(\varepsilon_n = u_n – \ell\). Justifier que \(\varepsilon_n\) ne s’annule jamais. Calculer alors la limite du quotient \(\varepsilon_{n+1} / \varepsilon_n\) et l’exprimer à l’aide de \(\ell^2\) uniquement. (1,5 point)
3. Soit \(q\) un réel tel que \(\frac{\ell^2}{3} < q < 1\). Montrer qu’il existe un rang \(N\) et une constante \(C > 0\) tels que \(|u_n – \ell| \leq C q^n\) pour tout \(n \geq N\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : la méthode de Newton pour le même nombre (5,5 points)

On pose \(\varphi(x) = x^2 + x – 3\) pour tout réel \(x\), de sorte que \(\ell\) est la racine positive de \(\varphi\). Pour \(a > -\frac{1}{2}\), on mène la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_\varphi\) en \((a, \varphi(a))\), et l’on note \(N(a)\) l’abscisse de son intersection avec l’axe horizontal. On définit enfin la suite \((v_n)\) par \(v_0 = 2\) et \(v_{n+1} = N(v_n)\).

1. Justifier que \(N(a)\) existe pour tout \(a > -\frac{1}{2}\) et que \(N(a) = \dfrac{a^2 + 3}{2a + 1}\). (1 point)
2. Établir que, pour tout \(x > -\frac{1}{2}\), \(N(x) – \ell = \dfrac{(x – \ell)^2}{2x + 1}\). En déduire que chaque terme \(v_n\) existe et vérifie \(v_n \geq \ell\). (1 point)
3. Montrer que \((v_n)\) est décroissante, puis qu’elle converge vers \(\ell\). (1,5 point)
4. Prouver que \(0 \leq v_{n+1} – \ell \leq \frac{1}{3}(v_n – \ell)^2\) pour tout \(n\). Calculer ensuite \(v_1\), puis démontrer que \(v_n – \ell \leq 3 \times 30^{-2^{n-1}}\) pour tout \(n \geq 1\). (1,5 point)
5. Calculer \(v_2\) sous forme de fraction. Comparer alors les rangs nécessaires pour approcher \(\ell\) à \(10^{-5}\) près avec chacune des deux suites, puis commenter. (0,5 point)

Réviser étude d’une suite itérative avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours suites définies par u(n+1) = f(u(n)) et points fixes ; entraînez-vous sur les exercices suites définies par u(n+1) = f(u(n)) et points fixes avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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