Sommes de Riemann et Taylor-Lagrange : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : sommes de Riemann et Taylor-Lagrange

Le sujet du contrôle : sommes de Riemann et Taylor-Lagrange

Exercice 1 – Question de cours : rectangles et fonctions lipschitziennes (3 points)

Soient \(a < b\) deux réels et \(f\) une fonction définie sur \([a, b]\). Pour \(n \geq 1\), on pose \(h = \frac{b-a}{n}\), \(x_k = a + kh\) et \(R_n(f) = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\).

1. Énoncer tout d’abord le théorème de convergence des sommes de Riemann pour une fonction continue sur \([a, b]\). (0,5 point)
2. On suppose que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \([a, b]\). Démontrer que \(\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t – R_n(f) \right| \leq \frac{K(b-a)^2}{2n}\). (1,5 point)
3. On choisit ensuite \(g(t) = \sqrt{1+t^2}\) sur \([0, 2]\). Montrer que \(g\) est 1-lipschitzienne, puis déterminer un entier \(n\) pour lequel \(R_n(g)\) approche \(\int_0^2 g(t)\,\mathrm{d}t\) à \(10^{-3}\) près. (1 point)

Exercice 2 – Trois limites par les sommes de Riemann (4 points)

Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit alors les trois suites suivantes.

\[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + 3k^2}, \quad v_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 4kn}}, \quad P_n = \left( \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right) \right)^{1/n}.\]

1. Déterminer d’abord la limite de \((u_n)\). (1 point)
2. Justifier que \(v_n\) est une somme de Riemann d’une fonction continue sur le segment \([0, 2]\), puis calculer sa limite. (1,5 point)
3. Calculer \(\int_0^1 \ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x\) par une intégration par parties. En déduire la limite de \((P_n)\). (1,5 point)

Exercice 3 – Une intégrale entre x et 3x (4,5 points)

On définit, pour tout réel \(x > 0\), \(F(x) = \int_x^{3x} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\). La figure représente la fonction \(\varphi : t \mapsto \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\) sur \(]0, 4]\) ; l’aire colorée vaut \(F(0{,}4)\).

1. Justifier que \(F\) est bien définie et de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\), puis montrer que \(F^{\prime}(x) = \frac{\mathrm{e}^{-3x} – \mathrm{e}^{-x}}{x}\). En déduire le sens de variation de \(F\). (1,5 point)
2. Établir, pour tout \(x > 0\), l’encadrement \(\mathrm{e}^{-3x} \ln 3 \leq F(x) \leq \mathrm{e}^{-x} \ln 3\). Déterminer ensuite les limites de \(F\) en \(0\) et en \(+\infty\). (1,5 point)
3. On prolonge \(F\) par continuité en posant \(F(0) = \ln 3\). Montrer que la fonction prolongée est dérivable en \(0\), préciser \(F^{\prime}(0)\) et donner l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(0\). (1,5 point)

Exercice 4 – Une valeur approchée rapide de ln 2 (4 points)

On pose, pour \(x \in \,]-1, 1[\), \(h(x) = \ln(1+x) – \ln(1-x)\), et l’on note \(T_n\) le polynôme de Taylor de \(h\) à l’ordre \(n\) en \(0\). La figure compare \(h\) et \(T_3\) sur \([0 \,;\, 0{,}9]\).

1. Calculer \(h^{(k)}(x)\) pour tout \(k \geq 1\), puis \(h^{(k)}(0)\). En déduire que \(T_n(x)\) est la somme des termes \(\frac{2x^k}{k}\) pour \(k\) impair compris entre \(1\) et \(n\). (1 point)
2. Vérifier que \(h\left(\frac{1}{3}\right) = \ln 2\). Démontrer ensuite, à l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, que pour tout \(n \geq 1\) : \[\left| \ln 2 – T_n\left(\frac{1}{3}\right) \right| \leq \frac{1}{n+1}\left( \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+1}} \right).\] (1,5 point)
3. Prendre enfin \(n = 4\) : calculer \(T_4\left(\frac{1}{3}\right)\) sous forme de fraction irréductible, puis montrer que l’erreur commise est inférieure à \(10^{-2}\). (1 point)
4. Avec la fonction \(x \mapsto \ln(1+x)\) sur \([0, 1]\), quelle majoration de l’erreur donnerait la même inégalité ? Quel ordre faudrait-il alors pour garantir une erreur au plus égale à \(10^{-2}\) ? Conclure. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : la correction en 1/n des rectangles (4,5 points)

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur \([0, 1]\). On note \(M_2 = \sup_{[0, 1]} |f^{\prime\prime}|\) et, pour \(n \geq 1\), \(R_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\), la somme des rectangles à gauche. On veut ainsi préciser la vitesse à laquelle \(R_n(f)\) tend vers \(I(f) = \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Soient \(a \in [0, 1]\) et \(\delta > 0\) tels que \(a + \delta \leq 1\). Rappeler l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 entre \(a\) et \(t \in [a, a+\delta]\), puis en déduire : \[\left| \int_a^{a+\delta} f(t)\,\mathrm{d}t – \delta f(a) – \frac{\delta^2}{2} f^{\prime}(a) \right| \leq \frac{M_2 \delta^3}{6}.\] (1 point)
2. Appliquer ce résultat sur chaque segment \(\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]\) pour obtenir \(I(f) – R_n(f) = \frac{1}{2n} R_n(f^{\prime}) + \varepsilon_n\), avec \(|\varepsilon_n| \leq \frac{M_2}{6n^2}\). (1 point)
3. En déduire que \(n\left(I(f) – R_n(f)\right)\) tend vers \(\frac{f(1) – f(0)}{2}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). (1 point)
4. Application. On pose \(S_n = \sum_{j=n}^{2n-1} \frac{n}{j^2}\). Écrire \(S_n\) comme une somme \(R_n(f)\) pour une fonction \(f\) bien choisie. Montrer alors que \(S_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{8n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\). (1,5 point)

Réviser sommes de Riemann et Taylor-Lagrange avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours intégrale d’une fonction continue par morceaux ; entraînez-vous sur les exercices intégrale d’une fonction continue par morceaux avant de retenter le sujet.

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