Diagonaliser une matrice en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Éléments propres d’une matrice 2×2

On considère \(M=\begin{pmatrix}6 & -3\\ 2 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(M\) et en déduire son spectre.
2. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur qui engendre la droite propre.
3. Expliquer pourquoi \(M\) se diagonalise. Écrire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(MP=PD\), puis calculer \(P^{-1}\).
4. La figure représente le carré unité et son image par \(M\). Calculer l’aire du parallélogramme obtenu et la comparer au produit des valeurs propres.

Exercice 2 – Tester des vecteurs propres

Soit \(A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}\), ainsi que les vecteurs \(a=(-1,0,1)\), \(b=(0,1,0)\) et \(c=(1,1,1)\).

1. Déterminer, parmi \(a\), \(b\) et \(c\), ceux qui sont des vecteurs propres de \(A\), en précisant la valeur propre associée.
2. Calculer \(\chi_A\) en développant selon la deuxième colonne.
3. Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

Exercice 3 – Trois matrices triangulaires

On pose \(T_1=\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}\), \(T_2=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 0 & 2\end{pmatrix}\) et \(T_3=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}\).

1. Donner le spectre de chacune de ces matrices sans calcul de déterminant.
2. Déterminer lesquelles sont diagonalisables, en justifiant.
3. Pour \(T_3\), donner une base de vecteurs propres.

Exercice 4 – Un plan stable

On note \(f\) l’application linéaire de \(\mathbb{R}^3\) vers lui-même représentée par \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5\\ 3 & 2 & -3\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\) dans la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\). On note \(\Pi=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)\).

1. Montrer que \(\Pi\) est stable par \(f\) et donner la matrice de l’endomorphisme induit \(f_\Pi\) dans la base \((e_1,e_2)\).
2. Déterminer les valeurs propres de \(f_\Pi\) et un vecteur propre pour chacune.
3. En déduire \(\chi_A\), puis montrer que \(A\) est diagonalisable.
4. Trouver un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre 2.

Exercice 5 – Polynôme caractéristique d’une matrice 3×3

Soit \(N=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 0 & 3 & -2\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_N\) et le factoriser.
2. Pour chaque valeur propre, donner sa multiplicité algébrique et une base du sous-espace propre.
3. Conclure sur la diagonalisabilité de \(N\).

Exercice 6 – Pas de valeur propre réelle

Soit \(K=\begin{pmatrix}2 & -5\\ 1 & -2\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(K\) n’admet aucune valeur propre réelle. Est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
2. Diagonaliser \(K\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).
3. Calculer \(K^2\), puis en déduire \(K^{2027}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Matrice de rang un

On pose \(A=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\\ 6 & 0 & 2\\ -3 & 0 & -1\end{pmatrix}\) et \(u=(1,2,-1)\).

1. Déterminer le rang de \(A\) et une base de son noyau.
2. Calculer \(Au\). Que peut-on en déduire ?
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable et donner \(P\) et \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\).
4. Soit \(A^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & -1\end{pmatrix}\). Calculer \(A^{\prime 2}\) et montrer que \(A^{\prime}\) n’est pas diagonalisable.

Exercice 8 – Valeur propre double et diagonalisation

Soit \(A=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -3\\ -3 & 5 & -3\\ -3 & 3 & -1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\). On pourra commencer par remplacer la première colonne du déterminant par la somme des trois colonnes.
2. Résoudre \((A-2I_3)X=0\) et \((A+I_3)X=0\).
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable et donner \(P\) et \(D\).
4. Vérifier que \((A-2I_3)(A+I_3)=0\).

Exercice 9 – Diagonalisabilité selon un paramètre

Pour \(a\in\mathbb{R}\), on pose \(M_a=\begin{pmatrix}1 & 1 & a\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).

1. Lire les valeurs propres de \(M_a\), avec leur ordre de multiplicité dans \(\chi_{M_a}\).
2. Discuter, suivant \(a\), la valeur de \(\mathrm{rg}(M_a-I_3)\).
3. Pour quels réels \(a\) la matrice \(M_a\) admet-elle une base de vecteurs propres ?
4. Pour la ou les valeurs trouvées, écrire \(M_a=PDP^{-1}\) explicitement.

Exercice 10 – Puissances d’une matrice 2×2

Soit \(A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ -2 & 4\end{pmatrix}\).

1. Diagonaliser \(A\).
2. Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. Déterminer la limite de \(2^{-n}A^n\) lorsque \(n\to+\infty\), coefficient par coefficient.
4. Trouver deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que \(A^n=a_nA+b_nI_2\) pour tout \(n\).

Exercice 11 – Deux suites couplées

On définit \(u_0=0\), \(v_0=6\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :

\[u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{4}.\]

1. Écrire le système sous la forme \(X_{n+1}=AX_n\).
2. Diagonaliser \(A\).
3. Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer leurs limites.
4. Montrer directement que \(u_n+2v_n\) ne dépend pas de \(n\), et vérifier la cohérence avec la question précédente.

Exercice 12 – Récurrence linéaire d’ordre deux

Soit \((w_n)\) définie par \(w_0=0\), \(w_1=4\) et \(w_{n+2}=2w_{n+1}+3w_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). On pose \(X_n=\begin{pmatrix}w_n\\ w_{n+1}\end{pmatrix}\).

1. Trouver une matrice \(C\) telle que \(X_{n+1}=CX_n\).
2. Établir que \(C\) se diagonalise, en exhibant deux vecteurs propres non colinéaires.
3. En décomposant \(X_0\) dans cette base, exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 13 – Système différentiel 2×2

On cherche les couples \((x,y)\) de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(x^{\prime}=x+3y\) et \(y^{\prime}=2x+2y\).

1. Mettre le système sous forme matricielle \(X^{\prime}=AX\), puis diagonaliser \(A\).
2. Écrire la solution générale.
3. Trouver l’unique solution qui vaut \((4,-1)\) en \(t=0\).
4. Quelles solutions restent bornées quand \(t\) parcourt \([0,+\infty[\) ?

Exercice 14 – Liberté de vecteurs propres

Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\). On se donne trois scalaires \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) tous différents, et pour chacun un vecteur \(x_k\neq 0\) vérifiant \(u(x_k)=\lambda_kx_k\).

1. Montrer, sans utiliser le théorème du cours, que \((x_1,x_2)\) est libre.
2. Soit \(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3=0\). Appliquer \((u-\lambda_2\mathrm{id})\circ(u-\lambda_3\mathrm{id})\) à cette relation et en déduire \(\alpha_1=0\). Conclure.
3. Application : on note \(\Delta\) l’endomorphisme de dérivation de l’espace des fonctions de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que les fonctions \(t\mapsto e^{t}\), \(t\mapsto e^{2t}\) et \(t\mapsto e^{5t}\) forment une famille libre.

Exercice 15 – Une relation polynomiale lue sur le spectre

Soit \(A=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}\).

1. Soit \(Q\) un polynôme et \(X\) un vecteur propre de \(A\) pour \(\lambda\). Montrer que \(Q(A)X=Q(\lambda)X\).
2. Diagonaliser \(A\).
3. En déduire, sans calculer \(A^2\), que \(A^2-3A=4I_2\).
4. Montrer que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) comme combinaison de \(A\) et \(I_2\).

Exercice 16 – Même polynôme caractéristique, non semblables

On pose \(U=3I_2\), \(V=\begin{pmatrix}3 & -4\\ 0 & 3\end{pmatrix}\) et \(W=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 5\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(U\), \(V\) et \(W\) ont le même polynôme caractéristique.
2. Montrer que \(V\) et \(W\) ne sont pas diagonalisables, puis qu’aucune des deux n’est semblable à \(U\).
3. Calculer \((W-3I_2)^2\). On pose \(x=(1,0)\) et \(y=(W-3I_2)x\). Montrer que \((y,x)\) est une base et écrire la matrice de \(X\mapsto WX\) dans cette base.
4. Procéder de même avec \(V\) et \(x^{\prime}=(0,1)\). En déduire que \(V\) et \(W\) sont semblables.

Pour approfondir

Exercice 17 – La matrice aI + bJ

Soit \(n\ge 2\) et \(J\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent 1. Pour \(a\in\mathbb{R}\) et \(b\in\mathbb{R}^*\), on pose \(M=aI_n+bJ\).

1. Déterminer le rang de \(J\), calculer \(J^2\), puis donner le spectre de \(J\) et ses sous-espaces propres.
2. En déduire que \(J\) et \(M\) sont diagonalisables, et donner le spectre de \(M\) avec les multiplicités.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit inversible. Dans ce cas, chercher \(M^{-1}\) sous la forme \(\alpha I_n+\beta J\).
4. Montrer que, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(M^k=a^kI_n+\dfrac{(a+nb)^k-a^k}{n}J\).
5. Application : pour \(n=3\), \(a=-1\) et \(b=1\), écrire \(M^k\).

Exercice 18 – Commuter avec une matrice à spectre simple

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) possédant \(n\) valeurs propres distinctes, et \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP=D\) soit diagonale. Soit \(B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(AB=BA\).

1. Montrer que chaque sous-espace propre de \(A\) est stable par \(B\).
2. En déduire que chaque colonne de \(P\) est un vecteur propre de \(B\), puis que \(P^{-1}BP\) est diagonale.
3. Dans cette question, \(A=\begin{pmatrix}6 & -3\\ 2 & 1\end{pmatrix}\). Montrer que les matrices qui commutent avec \(A\) sont exactement les \(\lambda I_2+\mu A\), avec \(\lambda,\mu\) réels.
4. Avec la même matrice \(A\), déterminer toutes les matrices \(B\) telles que \(AB=BA\) et \(B^2=B\).

Exercice 19 – Sous-espaces stables d’une matrice diagonale

On travaille dans \(\mathbb{R}^3\), muni de sa base usuelle \((e_1,e_2,e_3)\), avec l’application linéaire \(u\) définie par \(u(e_k)=k\,e_k\) pour \(k=1,2,3\).

1. Montrer que tout sous-espace engendré par une partie de \(\{e_1,e_2,e_3\}\) est stable par \(u\).
2. Soit \(F\) un sous-espace stable et \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\in F\). Exprimer \(u(x)\) et \(u^2(x)\), puis montrer que \(x_ke_k\in F\) pour \(k=1,2,3\).
3. En déduire que \(u\) possède exactement 8 sous-espaces stables.
4. Montrer qu’en revanche l’endomorphisme de matrice \(\mathrm{diag}(1,1,3)\) possède une infinité de sous-espaces stables.

Exercice 20 – Système différentiel 3×3

Soit \(B=\begin{pmatrix}-2 & 3 & -3\\ -3 & 4 & -3\\ -3 & 3 & -2\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(B\) appliquée aux vecteurs \((1,1,0)\), \((-1,0,1)\) et \((1,1,1)\). En déduire que \(B\) est diagonalisable.
2. Résoudre le système \(X^{\prime}=BX\) avec la condition \(X(0)=(1,2,0)\).
3. Déterminer les conditions initiales \(X(0)\) pour lesquelles la solution tend vers 0 en \(+\infty\).

Exercice 21 – Problème – Trois réservoirs qui s’équilibrent

Trois réservoirs \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) contiennent, au jour \(n\), les volumes \(x_n\), \(y_n\), \(z_n\) en litres. Chaque jour, chaque réservoir garde les trois cinquièmes de son contenu et envoie un cinquième à chacun des deux autres, comme le résume le schéma. Au départ, \(x_0=15\) et \(y_0=z_0=0\).

Partie A : modèle jour par jour.

1. Montrer que \(X_{n+1}=QX_n\) avec \(Q=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\) et \(X_n=(x_n,y_n,z_n)\).
2. Montrer que le volume total \(x_n+y_n+z_n\) est constant.
3. Écrire \(Q=\frac{2}{5}I_3+\frac{1}{5}J\), où \(J\) a tous ses coefficients égaux à 1. Déterminer le spectre de \(Q\), ses sous-espaces propres, et justifier que \(Q\) est diagonalisable.
4. Décomposer \(X_0\) dans une base propre et en déduire \(x_n\), \(y_n\), \(z_n\).
5. Déterminer les limites, puis le plus petit entier \(n\) tel que \(x_n<5{,}1\).

Partie B : modèle continu. On suppose maintenant que les échanges se font en continu, selon \(X^{\prime}(t)=(Q-I_3)X(t)\), avec \(X(0)=(15,0,0)\) et le temps compté en jours.

1. Déterminer le spectre de \(Q-I_3\) et ses sous-espaces propres.
2. Résoudre le système et comparer le comportement en temps long avec celui de la partie A.

Pour aller plus loin

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