Matrices par blocs et sous-espaces stables : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : matrices par blocs et sous-espaces stables

Le sujet du contrôle : matrices par blocs et sous-espaces stables

Exercice 1 – Vrai ou faux sur la stabilité (4 points)

On se place sur un espace \(E\) réel de dimension finie, muni de deux endomorphismes \(u\) et \(v\). Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse ; puis la démontrer, ou bien la réfuter par un contre-exemple explicite.

1. Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces stables par \(u\), alors \(F + G\) et \(F \cap G\) sont aussi stables par \(u\). (1 point)
2. Lorsqu’un sous-espace \(F\) est stable par \(u\), tout supplémentaire de \(F\) dans \(E\) est encore stable par \(u\). (1 point)
3. Toute famille formée de vecteurs propres de \(u\) est libre. (1 point)
4. Quand \(u \circ v = v \circ u\), chaque sous-espace propre de \(u\) est stable par \(v\). (1 point)

Exercice 2 – Une matrice triangulaire par blocs (4 points)

Dans la base canonique \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) de \(\mathbb{R}^4\), un endomorphisme \(u\) est représenté par la matrice \(A\) dessinée ci-dessous. On la découpe ainsi en quatre blocs carrés de taille 2, notés \(B\), \(C\), \(0\) et \(D\).

1. Justifier que \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)\) est stable par \(u\), puis écrire la matrice qui représente \(u_F\), induit par \(u\) sur \(F\), relativement à \((e_1, e_2)\). (1 point)
2. Calculer le déterminant de \(u\) en citant le résultat utilisé. (1 point)
3. Écrire \(A^2\) sous forme de blocs en fonction de \(B\), \(C\) et \(D\), puis le calculer. (1 point)
4. Le plan \(G = \mathrm{Vect}(e_3, e_4)\) est-il stable par \(u\) ? Justifier sans calcul superflu. (1 point)

Exercice 3 – Une matrice de rang un (3 points)

On considère la matrice \[M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}\] et l’on note \(C\) la colonne de coordonnées \(1\), \(2\), \(-1\). Le schéma montre alors la position du noyau de \(M\) et de la droite engendrée par \(C\) ; il n’est pas à l’échelle.

1. Montrer que \(M\) est de rang \(1\) et l’écrire sous la forme \(M = C L\), où \(L\) est une matrice ligne à préciser. (0,5 point)
2. Déterminer une équation du noyau de \(M\). Que peut-on en déduire pour la valeur propre \(0\) ? (0,5 point)
3. Calculer \(MC\). Prouver ensuite, sans polynôme caractéristique, que \(M\) n’a pas d’autre valeur propre que \(0\) et \(1\). (1 point)
4. En déduire \(M^2 = M\), puis décrire géométriquement l’endomorphisme canoniquement associé à \(M\). (1 point)

Exercice 4 – Ce qui commute avec une matrice triangulaire (4 points)

Soit \[T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\] et \(t\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé. On appelle commutant de \(T\) l’ensemble \(\mathcal{C}(T)\) des matrices \(N\) de taille 3 telles que \(NT = TN\).

1. Expliquer pourquoi \(T – \lambda I_3\) est inversible dès que \(\lambda\) n’est pas un coefficient diagonal de \(T\). En déduire le spectre de \(T\), puis donner un vecteur propre pour chaque valeur propre en résolvant \(TX = \lambda X\). (1,5 point)
2. Soit \(N \in \mathcal{C}(T)\). Montrer que chaque droite propre de \(T\) est stable par \(N\), et donc que les vecteurs propres de \(T\) sont aussi vecteurs propres de \(N\). (1 point)
3. En notant \(P\) la matrice de passage vers la base de vecteurs propres trouvée, décrire \(\mathcal{C}(T)\) et donner sa dimension. (0,5 point)
4. Prouver que \((I_3, T, T^2)\) est libre, puis conclure que \(\mathcal{C}(T) = \mathrm{Vect}(I_3, T, T^2)\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : droites et plans stables (5 points)

On fixe une matrice \(A\) de taille 3 à coefficients réels et l’on identifie \(\mathbb{R}^3\) aux colonnes. Pour une colonne \(n\) non nulle, on note \(\Pi_n\) le plan d’équation \(n^{\top} X = 0\). Un sous-espace \(V\) est dit stable par \(A\) quand \(AX \in V\) pour tout \(X \in V\).

1. Soit \(X\) une colonne non nulle. Établir que la droite \(\mathrm{Vect}(X)\) est stable par \(A\) exactement quand \(AX\) est colinéaire à \(X\). (1 point)
2. Prouver l’équivalence entre la stabilité de \(\Pi_n\) par \(A\) et le fait que \(A^{\top} n\) soit colinéaire à \(n\). Pour le sens direct, on pourra d’abord établir que \(A^{\top} n\) est orthogonal à tout vecteur de \(\Pi_n\). (1,5 point)
3. Dans cette question, on prend \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.\] Déterminer les éléments propres de \(A\), puis ceux de \(A^{\top}\). (1,5 point)
4. Dresser alors la liste complète des sous-espaces de \(\mathbb{R}^3\) stables par cette matrice \(A\), et vérifier que chaque plan stable contient exactement deux droites stables. (1 point)

Réviser matrices par blocs et sous-espaces stables avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours sous-espaces stables, blocs et éléments propres ; entraînez-vous sur les exercices sous-espaces stables, blocs et éléments propres avant de retenter le sujet.

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