Événements presque sûrs et dénombrabilité : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « événements presque sûrs et dénombrabilité », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cette interrogation d’une heure trente porte sur le début des probabilités de MP. Vous montrerez d’abord qu’un ensemble est dénombrable, puis qu’un autre ne l’est pas grâce à un argument diagonal. Ensuite, une famille de parties de N formée de paires d’entiers vous fera vérifier les axiomes d’une tribu et la σ-additivité. Le troisième exercice suit une lampe qui peut tomber en panne chaque jour : la continuité décroissante donne alors la probabilité qu’elle fonctionne indéfiniment. Enfin, le problème modélise une suite infinie de lancers, établit qu’un motif est presque sûr et utilise un système quasi-complet. Faites ce contrôle dès que le chapitre sur les espaces probabilisés est terminé.
Ce qu’évalue le contrôle : événements presque sûrs et dénombrabilité
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver qu’un ensemble est dénombrable ou, par un argument diagonal, qu’il ne l’est pas
- Vérifier qu’une famille de parties est une tribu et qu’une application est une probabilité
- Calculer la probabilité d’une intersection décroissante par continuité monotone
- Montrer qu’un événement est presque sûr grâce à la sous-additivité
- Appliquer la formule des probabilités totales à un système quasi-complet dénombrable
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, écrivez l’événement étudié comme une intersection ou une réunion dénombrable d’événements simples, puis vérifiez la monotonie de la suite obtenue. Citez ensuite le théorème utilisé par son nom, car le correcteur attend la continuité croissante ou décroissante. Pour un produit infini, décomposez chaque facteur afin de faire apparaître un produit télescopique. Enfin, contrôlez vos formules sur les premières valeurs de N, par exemple avec l’arbre fourni.
Le sujet du contrôle : événements presque sûrs et dénombrabilité
Exercice 1 – Mots finis, intervalles et suites infinies (5 points)
On note \(\Omega = \{P, F\}^{\mathbb{N}^*}\) l’ensemble des suites infinies \(\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3, \ldots)\) dont chaque terme vaut P (pile) ou F (face). Un tel \(\omega\) décrit donc une suite illimitée de lancers d’une pièce.
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(W_n = \{P, F\}^n\) l’ensemble des mots de longueur \(n\), avec \(W_0\) réduit au mot vide. Montrer que l’ensemble \(W = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} W_n\) de tous les mots finis est dénombrable.
- Soit \(\mathcal{I}\) une famille d’intervalles ouverts non vides de \(\mathbb{R}\), deux à deux disjoints. Montrer que \(\mathcal{I}\) est au plus dénombrable.
- On suppose par l’absurde que \(\Omega\) est dénombrable, et l’on en note \(\omega^{(1)}, \omega^{(2)}, \omega^{(3)}, \ldots\) une énumération, comme sur la figure. En construisant une suite à partir de la diagonale du tableau, aboutir à une contradiction.
- Soit \(C\) l’ensemble des suites de \(\Omega\) qui ne contiennent qu’un nombre fini de F. Montrer que \(C\) est dénombrable, puis en déduire que \(\Omega \setminus C\) ne l’est pas.
Exercice 2 – Une tribu faite de paires d’entiers (4 points)
Pour \(k \in \mathbb{N}\), on pose \(B_k = \{2k, 2k+1\}\). Les ensembles \(B_k\) forment ainsi une partition de \(\mathbb{N}\). On note \(\mathcal{T}\) l’ensemble des parties de la forme \(A_J = \bigcup_{k \in J} B_k\), où \(J\) décrit les parties de \(\mathbb{N}\), avec la convention \(A_\varnothing = \varnothing\).
- Montrer que \(\mathcal{T}\) est une tribu sur \(\mathbb{N}\).
- Le singleton \(\{0\}\) appartient-il à \(\mathcal{T}\) ? Et l’ensemble \(2\mathbb{N}\) des entiers pairs ? Justifier.
- Pour \(J \subset \mathbb{N}\), on pose \(\mathbf{P}(A_J) = \sum_{k \in J} \frac{1}{2^{k+1}}\). Justifier que \(\mathbf{P}\) est bien définie, puis montrer que c’est une probabilité sur \((\mathbb{N}, \mathcal{T})\).
- Soit \(m \in \mathbb{N}\). Calculer la probabilité de l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à \(2m\), puis celle de l’ensemble des entiers dont le reste dans la division par 4 vaut 0 ou 1.
Exercice 3 – La lampe qui s’use (5 points)
Une lampe neuve est allumée le jour 1. Chaque jour \(n \geq 1\), si elle fonctionne encore au début du jour, elle tombe en panne pendant ce jour avec la probabilité \(\frac{1}{(n+1)^2}\) ; une lampe en panne le reste. Pour \(n \geq 1\), on note \(A_n\) l’événement « la lampe fonctionne encore à la fin du jour \(n\) », et l’on pose \(A_0 = \Omega\). L’arbre ci-dessous décrit les trois premiers jours.
- Justifier que la suite \((A_n)\) est décroissante pour l’inclusion. Écrire ensuite l’événement \(A\) « la lampe ne tombe jamais en panne » à l’aide des \(A_n\).
- Montrer que, pour tout \(N \geq 1\), \(\mathbf{P}(A_N) = \dfrac{N+2}{2(N+1)}\). On pourra factoriser \(1 – \frac{1}{(n+1)^2}\).
- En déduire \(\mathbf{P}(A)\), en nommant le résultat de cours utilisé.
- Pour \(n \geq 1\), calculer la probabilité que la lampe tombe en panne exactement le jour \(n\). Vérifier alors la cohérence avec la question précédente.
- Un second modèle remplace \(\frac{1}{(n+1)^2}\) par \(\frac{1}{n+1}\). Montrer que, dans ce modèle, la lampe tombe presque sûrement en panne.
Exercice 4 – Problème : un motif finit toujours par sortir (6 points)
On lance indéfiniment une pièce qui donne F avec la probabilité \(p \in \left] 0, 1 \right[\), et l’on pose \(q = 1 – p\). L’existence d’un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})\) qui modélise cette expérience est admise. De plus, on admet que des événements qui portent sur des blocs de lancers deux à deux disjoints sont mutuellement indépendants.
La suite des lancers est ensuite découpée en blocs de trois : pour \(k \in \mathbb{N}\), le bloc numéro \(k\) contient les lancers \(3k+1\), \(3k+2\) et \(3k+3\). On note \(E_k\) l’événement « le bloc numéro \(k\) donne, dans cet ordre, F puis P puis F ».
Sur cet exemple de douze lancers, les événements \(E_1\) et \(E_3\) sont réalisés, mais pas \(E_0\) ni \(E_2\).
Partie A – Le motif apparaît
- Calculer \(\mathbf{P}(E_k)\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
- Pour \(n \geq 1\), on pose \(H_n = \bigcap_{k=0}^{n-1} \overline{E_k}\). Calculer \(\mathbf{P}(H_n)\).
- Montrer que, presque sûrement, au moins un bloc donne le motif F, P, F.
- Pour \(m \in \mathbb{N}\), on note \(D_m\) l’événement « au moins un bloc de numéro \(k \geq m\) donne le motif ». Montrer que \(D_m\) est presque sûr, puis que, presque sûrement, une infinité de blocs donnent le motif.
Partie B – Le premier F
Pour \(n \geq 1\), on note \(F_n\) l’événement « le premier F apparaît au lancer numéro \(n\) ».
- Calculer \(\mathbf{P}(F_n)\), puis montrer que \((F_n)_{n \geq 1}\) est un système quasi-complet d’événements. Calculer enfin la probabilité que le premier F apparaisse à un rang pair.
- Soit \(G\) l’événement « le lancer qui suit le premier F donne P ». À l’aide de la formule des probabilités totales, calculer \(\mathbf{P}(G)\).
Réviser événements presque sûrs et dénombrabilité avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés ; entraînez-vous sur les exercices dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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