Tonelli, Fubini et jacobien en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Sections d’un domaine entre deux courbes

Soit \(A = \{(x, y) \in [0, 1] \times \mathbb{R} : x^2 \leq y \leq x\}\).

1. Justifier que \(A\) est un borélien de \(\mathbb{R}^2\).
2. Déterminer la section \(A_x\) pour \(x \in [0, 1]\), puis la section \(A^y\) pour \(y \in [0, 1]\).
3. Calculer \(\lambda_2(A)\) de deux façons, en intégrant les longueurs des sections verticales puis horizontales.

La figure représente le domaine \(A\), coincé entre la parabole et la première bissectrice.

Exercice 2 – Une série sous l’intégrale

On pose \(I = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1 – e^{-x}/2} \, \mathrm{d}x\).

1. Développer l’intégrande en série de fonctions positives.
2. Justifier l’échange de la série et de l’intégrale, puis exprimer \(I\) comme somme d’une série numérique.
3. Calculer \(I\) directement par le changement de variable \(u = e^{-x}\). En déduire la valeur de \(\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k \, 2^k}\).

Exercice 3 – Volume d’un tétraèdre

Soit \(T = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x \geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0, \ x/2 + y/3 + z \leq 1\}\).

1. Pour \(z \in [0, 1]\), décrire la section horizontale de \(T\) à la hauteur \(z\) et calculer son aire.
2. En déduire \(\lambda_3(T)\) par le théorème de Tonelli.
3. Retrouver ce résultat à l’aide d’une application linéaire et du volume \(1/6\) du tétraèdre \(\{u, v, w \geq 0, \ u + v + w \leq 1\}\).

Exercice 4 – Changement de variables dans un parallélogramme

Soit \(D = \{(x, y) : 0 \leq x + y \leq 1, \ 0 \leq x – y \leq 2\}\).

1. Montrer que \((x, y) \mapsto (x + y, x – y)\) envoie \(D\) sur un rectangle à préciser, et calculer la valeur absolue du jacobien de l’application réciproque.
2. Calculer l’aire de \(D\).
3. Calculer \(\iint_D (x – y) \, e^{x + y} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\).

Exercice 5 – Coordonnées polaires sur le plan entier

1. Justifier que \((x, y) \mapsto (1 + x^2 + y^2)^{-2}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^2\) et calculer son intégrale.
2. Calculer l’intégrale de la même fonction sur le quart de disque \(\{x \geq 0, \ y \geq 0, \ x^2 + y^2 \leq 1\}\).
3. La fonction \((x, y) \mapsto (1 + x^2 + y^2)^{-1}\) est-elle intégrable sur \(\mathbb{R}^2\) ?

Exercice 6 – Convolution de deux créneaux

Soit \(c = \mathbb{1}_{[-1, 1]}\).

1. Pour \(x\) réel, exprimer \((c * c)(x)\) comme la longueur d’un intervalle.
2. En déduire une formule explicite de \(c * c\) et tracer son graphe.
3. Vérifier que \(\int (c * c) = \left(\int c\right)^2\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une intégrale de Frullani par Tonelli

On veut calculer \(J = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(2x) – \arctan(x)}{x} \, \mathrm{d}x\).

1. Pour \(x > 0\), écrire \(\arctan(2x) – \arctan(x)\) comme une intégrale en \(t\) sur \([1, 2]\).
2. Justifier l’interversion des deux intégrales.
3. En déduire la valeur de \(J\).

Exercice 8 – Fubini pour une fonction de signe variable

Sur \(P = [0, 1] \times [0, +\infty[\), on pose \(f(x, y) = e^{-y} \cos(xy)\).

1. Montrer que \(f\) est intégrable sur \(P\).
2. Calculer \(\int_0^{+\infty} e^{-y} \cos(xy) \, \mathrm{d}y\) pour \(x\) réel.
3. Calculer de deux façons l’intégrale de \(f\) sur \(P\), et en déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} e^{-y} \, \frac{\sin y}{y} \, \mathrm{d}y\).

Exercice 9 – Mesure de comptage et diagonale

On note \(\mu\) la mesure de Lebesgue sur \([0, 1]\) et \(\nu\) la mesure de comptage sur \([0, 1]\), toutes deux définies sur la tribu borélienne. Soit \(\Delta = \{(x, x) : x \in [0, 1]\}\).

1. Montrer que \(\Delta\) appartient à la tribu produit.
2. Comparer les deux nombres \(\int \nu(\Delta_x) \, \mathrm{d}\mu(x)\) et \(\int \mu(\Delta^y) \, \mathrm{d}\nu(y)\).
3. Quelle hypothèse du théorème de Tonelli fait défaut ici ? Le démontrer.

Exercice 10 – Deux intégrales itérées différentes

Sur \(Q = ]0, +\infty[ \times ]0, 1]\), on pose \(g(x, y) = e^{-xy}(1 – xy)\).

1. Calculer \(\int_0^1 g(x, y) \, \mathrm{d}y\) pour \(x > 0\), puis l’intégrale itérée \(\int_0^{+\infty} \left(\int_0^1 g \, \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x\).
2. Calculer \(\int_0^{+\infty} g(x, y) \, \mathrm{d}x\) pour \(y \in ]0, 1]\), puis l’autre intégrale itérée.
3. Que peut-on en conclure sur \(g\) ? Le vérifier en calculant \(\iint_Q |g|\) à l’aide du changement de variable \(t = xy\) à \(y\) fixé.

Exercice 11 – Volume et centre de masse d’un cornet

Soit \(K = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 \leq 9, \ z \geq \sqrt{x^2 + y^2}\}\).

1. Décrire \(K\) en coordonnées sphériques.
2. Calculer le volume de \(K\).
3. Calculer \(\iiint_K z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\), puis la cote \(\bar{z}\) du centre de masse de \(K\), supposé homogène.

Exercice 12 – Intégrale de Gauss par un changement linéaire

On pose \(q(x, y) = 2x^2 + 2xy + y^2\) et \(G = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-q(x, y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\).

1. Écrire \(q\) comme somme de deux carrés de formes linéaires indépendantes.
2. À l’aide d’un changement de variables linéaire puis des coordonnées polaires, calculer \(G\).
3. Justifier que \(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(u^2 + v^2)} \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v = \left(\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t\right)^2\), et en déduire \(\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t\).

Exercice 13 – Un disque non centré en polaires

Soit \(\Omega = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 2x\}\).

1. Montrer que \(\Omega\) est un disque dont on précisera le centre et le rayon.
2. Décrire \(\Omega\) en coordonnées polaires : pour chaque angle \(\theta \in ]-\pi/2, \pi/2[\), donner l’intervalle des rayons.
3. Calculer l’aire de \(\Omega\) et \(\iint_{\Omega} x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\) en polaires. Interpréter le quotient de ces deux nombres.

La figure montre le disque et un rayon issu de l’origine, qui sort du disque au point de rayon \(2\cos\theta\).

Exercice 14 – Convolution de densités exponentielles

Pour \(a > 0\), on note \(f_a(x) = a \, e^{-ax} \, \mathbb{1}_{]0, +\infty[}(x)\).

1. Calculer \(f_1 * f_2\) et vérifier que son intégrale vaut 1.
2. Calculer \(f_a * f_a\) pour \(a > 0\).
3. Interpréter ces résultats en termes de sommes de variables aléatoires indépendantes.

Exercice 15 – Dériver une convolée

Soit \(f\) intégrable sur \(\mathbb{R}\) et \(g\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(g\) et \(g^{\prime}\) bornées.

1. Montrer que \(f * g\) est définie partout, et que \((f * g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(y) \, g(x – y) \, \mathrm{d}y\).
2. Montrer que \(f * g\) est de classe \(C^1\) et que \((f * g)^{\prime} = f * g^{\prime}\).
3. Application : calculer \(\mathbb{1}_{[0, 1]} * g\) pour \(g(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), vérifier la formule de dérivation, puis déterminer le maximum de cette convolée.

Exercice 16 – Aires d’images linéaires

1. Calculer l’aire de l’image du disque unité par l’application de matrice \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
2. Calculer l’aire du domaine \(\{2x^2 + 2xy + y^2 \leq 1\}\).
3. Montrer qu’une droite du plan est négligeable pour \(\lambda_2\).
4. Calculer l’aire du triangle de sommets \((0, 0)\), \((4, 1)\) et \((1, 3)\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Volume de la boule unité en dimension n

On note \(B_n\) la boule unité fermée euclidienne de \(\mathbb{R}^n\) et \(V_n = \lambda_n(B_n)\).

1. Montrer que la boule de rayon \(R\) a pour volume \(R^n V_n\).
2. Pour \(n \geq 3\), on écrit un point de \(\mathbb{R}^n\) sous la forme \((u, w)\) avec \(u \in \mathbb{R}^2\) et \(w \in \mathbb{R}^{n – 2}\). Montrer que \(V_n = V_{n – 2} \iint_{\|u\| \leq 1} (1 – \|u\|^2)^{(n – 2)/2} \, \mathrm{d}u\).
3. En déduire que \(V_n = \frac{2\pi}{n} V_{n – 2}\).
4. Calculer \(V_3\), \(V_4\), \(V_5\) et \(V_6\), sachant que \(V_1 = 2\) et \(V_2 = \pi\).
5. Montrer que \(V_n\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 18 – Problème des fonctions Gamma et Bêta

Pour \(a, b > 0\), on pose \(\Gamma(a) = \int_0^{+\infty} t^{a – 1} e^{-t} \, \mathrm{d}t\) et \(\mathrm{B}(a, b) = \int_0^1 t^{a – 1} (1 – t)^{b – 1} \, \mathrm{d}t\). On admet que ces intégrales convergent.

1. Montrer que \(\Gamma(a) \Gamma(b) = \iint_{]0, +\infty[^2} x^{a – 1} y^{b – 1} e^{-(x + y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\).
2. On définit \(\varphi(s, t) = (st, s(1 – t))\) pour \(s > 0\) et \(0 < t < 1\). Établir que \(\varphi\) réalise une bijection de classe \(C^1\), de réciproque \(C^1\), sur le quart de plan ouvert \(]0, +\infty[^2\). Donner \(J_{\varphi}\).
3. En déduire que \(\Gamma(a) \Gamma(b) = \Gamma(a + b) \, \mathrm{B}(a, b)\).
4. Calculer \(\mathrm{B}(1/2, 1/2)\) à l’aide du changement \(t = \sin^2 u\), puis en déduire \(\Gamma(1/2)\).
5. Contrôler la formule de la question 3 avec \(a = 3\) et \(b = 2\), en calculant \(\mathrm{B}(3, 2)\) directement.

Exercice 19 – Problème de l’effet d’une transvection sur les aires

Ce problème démontre la formule \(\lambda_2(T(A)) = |\det T| \, \lambda_2(A)\) pour \(T\) linéaire inversible du plan.

1. Soit \(t\) réel et \(\tau(x, y) = (x + ty, y)\). Pour \(A\) borélien, décrire la section horizontale \(\tau(A)^y\) à l’aide de \(A^y\). En déduire, par Tonelli, que \(\lambda_2(\tau(A)) = \lambda_2(A)\).
2. Montrer de même que \(\sigma(x, y) = (x, y + sx)\) conserve l’aire. Montrer ensuite que les dilatations \(\delta(x, y) = (\alpha x, y)\) et \(\delta^{\prime}(x, y) = (x, \alpha y)\), avec \(\alpha \neq 0\), multiplient l’aire par \(|\alpha|\).
3. On admet que toute matrice inversible de taille 2 est un produit de matrices de ces quatre types. Établir la formule annoncée.
4. Application : écrire \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) comme produit d’une transvection de type \(\sigma\), de deux dilatations et d’une transvection de type \(\tau\). En déduire l’aire de \(M([0, 1]^2)\), puis la contrôler avec le déterminant.

Pour aller plus loin

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