Interversions et produits de convolution : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « interversions et produits de convolution », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 5, juste après le chapitre sur la mesure produit. D’abord, vous énoncerez les théorèmes de Tonelli et de Fubini, puis vous calculerez l’aire d’un parallélogramme grâce au déterminant. Ensuite, deux intégrales positives se calculent en intervertissant l’ordre d’intégration sur un domaine dessiné. L’exercice 3 propose une fonction dont les deux intégrales itérées existent mais diffèrent : vous devrez expliquer ce qui manque. Le passage en coordonnées polaires donne ensuite une intégrale sur un secteur d’anneau et un volume. Enfin, le problème étudie le produit de convolution de deux fonctions intégrables, puis celui de deux indicatrices d’intervalles.
Ce qu’évalue le contrôle : interversions et produits de convolution
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Tonelli, Fubini et changement de variables (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Énoncer avec précision les théorèmes de Tonelli et de Fubini et l’effet d’une application linéaire sur la mesure de Lebesgue
- Justifier une interversion d’intégrales en vérifiant la positivité ou l’intégrabilité sur l’espace produit
- Construire une fonction dont les deux intégrales itérées existent mais diffèrent, puis expliquer pourquoi Fubini ne s’applique pas
- Passer en coordonnées polaires pour calculer une intégrale double, un volume et étudier une intégrabilité sur le plan
- Calculer la convolution de deux indicatrices et démontrer les propriétés générales du produit de convolution
Avant de commencer le devoir
Avant chaque interversion, écrivez explicitement l’hypothèse utilisée : positivité pour Tonelli, intégrabilité de la valeur absolue pour Fubini. De plus, décrivez toujours le domaine dans les deux ordres à l’aide de la figure, car une borne mal placée fausse tout le calcul. Dans l’exercice 3, cherchez une primitive évidente en dérivant un produit simple. Pour le problème, traitez la question générale avant le cas des indicatrices, puis contrôlez votre graphe en comparant son aire au produit des intégrales.
Le sujet du contrôle : interversions et produits de convolution
Exercice 1 – Questions de cours sur la mesure produit (3 points)
Dans tout l’exercice, \((X, \mathcal{A}, \mu)\) et \((Y, \mathcal{B}, \nu)\) sont deux espaces mesurés sigma-finis, et \(\lambda_2\) désigne la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^2\).
- Énoncer le théorème de Tonelli pour une fonction \(F : X \times Y \to [0, +\infty]\) mesurable pour la tribu produit \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\).
- Énoncer ensuite le théorème de Fubini pour une fonction \(F \in L^1(\mu \otimes \nu)\) à valeurs réelles, en précisant les ensembles négligeables qui interviennent.
- Soit \(T\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) dans la base canonique. Rappeler la formule qui donne \(\lambda_2\left(T(E)\right)\) pour un borélien \(E\), puis calculer l’aire du parallélogramme \(T\left([0, 1]^2\right)\) et celle de l’image par \(T\) du disque fermé de centre 0 et de rayon 2.
Exercice 2 – Deux interversions sur des intégrandes positives (4 points)
On considère d’abord l’intégrale itérée
\[J = \int_0^4 \left( \int_{\sqrt{y}}^{2} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^3} \right) \mathrm{d}y.\]
L’intégrale intérieure ne se calcule pas simplement. Pourtant, le domaine d’intégration \(D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq y \leq 4,\ \sqrt{y} \leq x \leq 2\right\}\) est représenté ci-dessous, avec en vert une tranche horizontale.
- Décrire \(D\) sous la forme \(\left\{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi(x) \leq y \leq \psi(x)\right\}\) en lisant la figure.
- Justifier l’interversion des intégrations par un théorème que vous nommerez, puis montrer que \(J = \frac{2}{3} \ln 3\).
- Pour \(x > 0\), vérifier que \(\frac{\mathrm{e}^{-2x} – \mathrm{e}^{-5x}}{x} = \int_2^5 \mathrm{e}^{-tx}\,\mathrm{d}t\).
- En déduire la valeur de \(L = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2x} – \mathrm{e}^{-5x}}{x}\,\mathrm{d}x\), en justifiant soigneusement l’interversion.
Exercice 3 – Deux intégrales itérées qui ne coïncident pas (4 points)
On note \(\Omega = \left]0, +\infty\right[ \times \left]0, 1\right]\), muni de la mesure de Lebesgue, et l’on pose, pour \((x, y) \in \Omega\),
\[g(x, y) = (1 – xy)\,\mathrm{e}^{-xy}.\]
La fonction \(g\) est continue. Elle change de signe le long de l’hyperbole d’équation \(xy = 1\), comme le montre la figure.
- Soit \(y \in \left]0, 1\right]\) fixé. Calculer la dérivée de \(x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-xy}\), puis montrer que \(\int_0^{+\infty} g(x, y)\,\mathrm{d}x = 0\). En déduire la valeur de \(I_1 = \int_0^1 \left( \int_0^{+\infty} g(x, y)\,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y\).
- Soit maintenant \(x > 0\) fixé. Calculer \(\int_0^1 g(x, y)\,\mathrm{d}y\) à l’aide d’une primitive en \(y\), puis la valeur de \(I_2 = \int_0^{+\infty} \left( \int_0^1 g(x, y)\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x\).
- Montrer que \(\iint_{\Omega} \left|g(x, y)\right|\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = +\infty\). On pourra poser \(u = xy\) dans l’intégrale en \(x\) et calculer \(C = \int_0^{+\infty} \left|1 – u\right| \mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d}u\).
- Expliquer alors pourquoi le résultat des questions 1 et 2 ne contredit pas le théorème de Fubini.
Exercice 4 – Coordonnées polaires, secteur et volume (4 points)
On note \(\Phi(r, \theta) = (r \cos\theta, r \sin\theta)\) et \(A = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4,\ 0 \leq y \leq x\right\}\). Ce secteur d’anneau est représenté ci-dessous.
- Préciser un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^2\) tel que \(\Phi\) soit un \(C^1\)-difféomorphisme de \(U\) sur le plan privé d’une demi-droite, calculer son jacobien, puis expliquer pourquoi cette demi-droite ne gêne pas les calculs d’intégrales.
- Calculer \(I = \iint_A \frac{xy}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\).
- Soit \(V = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \leq z \leq \frac{1}{\left(1 + x^2 + y^2\right)^2}\right\}\). Exprimer \(\lambda_3(V)\) comme une intégrale double à l’aide de Tonelli, puis montrer que \(\lambda_3(V) = \pi\).
- Plus généralement, pour \(\alpha > 0\), déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \((x, y) \mapsto \left(1 + x^2 + y^2\right)^{-\alpha}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^2\).
Exercice 5 – Problème : convolution de deux indicatrices (5 points)
Pour \(f, g\) mesurables sur \(\mathbb{R}\), on définit, lorsque l’intégrale a un sens, le produit de convolution
\[(f * g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x – t)\, g(t)\,\mathrm{d}t.\]
Dans les questions 2, 3 et 5, on prend \(f = \mathbf{1}_{[-1, 1]}\) et \(g = \mathbf{1}_{[0, 3]}\), dont les graphes sont tracés ci-dessous.
- On suppose ici \(f, g \in L^1(\mathbb{R})\). Montrer que \((x, t) \mapsto f(x – t)\, g(t)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^2\). En déduire que \(f * g\) est définie presque partout, qu’elle est intégrable, que \(\|f * g\|_1 \leq \|f\|_1 \|g\|_1\) et que \(\int_{\mathbb{R}} f * g = \int_{\mathbb{R}} f \times \int_{\mathbb{R}} g\).
- Pour les indicatrices de la figure, montrer que \(h(x) = (f * g)(x)\) est la longueur de \([0, 3] \cap [x – 1, x + 1]\). Calculer ensuite \(h(x)\) pour tout réel \(x\) et tracer son graphe.
- Vérifier sur cet exemple la formule \(\int_{\mathbb{R}} h = \int_{\mathbb{R}} f \times \int_{\mathbb{R}} g\), puis comparer le support de \(h\) à la somme des supports de \(f\) et de \(g\).
- On suppose maintenant \(f \in L^1(\mathbb{R})\) et \(g\) mesurable et bornée. On admet que, pour \(\tau_a f : s \mapsto f(s – a)\), la quantité \(\|\tau_a f – f\|_1\) tend vers 0 quand \(a\) tend vers 0. Montrer que \(f * g\) est définie en tout point et uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
- Que peut-on en conclure pour la fonction \(h\) de la question 2 ? Comparer cette conclusion avec la régularité de \(f\) et de \(g\).
Réviser interversions et produits de convolution avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours tonelli, fubini et changement de variables ; entraînez-vous sur les exercices tonelli, fubini et changement de variables avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «interversions et produits de convolution : contrôle de maths en L3» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
