Sous-groupes distingués et quotients : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « sous-groupes distingués et quotients », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les sous-groupes distingués et les groupes quotients, au premier semestre de L3. Proposez-le juste après le chapitre, avant l’étude des actions de groupes. Vous calculerez d’abord des classes à gauche et à droite dans le groupe symétrique \(S_3\). Ensuite, le groupe diédral de l’hexagone régulier fournira un quotient dont vous dresserez la table. Un troisième exercice applique le premier théorème d’isomorphisme à un groupe cyclique, puis à un groupe de matrices. Enfin, le problème relie le centre du groupe diédral, ses diagonales et un produit direct, en mêlant calculs et démonstrations.
Ce qu’évalue le contrôle : sous-groupes distingués et quotients
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Sous-groupes distingués et groupes quotients (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer les classes à gauche et à droite d’un sous-groupe et en déduire s’il est distingué
- Déterminer tous les sous-groupes distingués du groupe symétrique S3
- Calculer dans un groupe diédral grâce à ses relations et dresser la table d’un quotient
- Appliquer le premier théorème d’isomorphisme à des morphismes de groupes variés
- Construire un isomorphisme entre un groupe diédral et un produit de groupes
Avant de commencer le devoir
Commencez par fixer la convention de composition des permutations, car toutes les classes en dépendent. Pour prouver qu’un sous-groupe est distingué, cherchez d’abord un argument rapide : indice 2 ou noyau d’un morphisme. Ensuite, dans le groupe diédral, ramenez chaque produit à la forme \(r^k\) ou \(s r^k\) grâce à la relation \(s r s = r^{-1}\). Enfin, avant d’invoquer le théorème d’isomorphisme, vérifiez soigneusement que l’application est un morphisme, puis identifiez son noyau et son image.
Le sujet du contrôle : sous-groupes distingués et quotients
Exercice 1 – Classes dans le groupe S3 (3,5 points)
On note \(S_3\) le groupe des permutations de \(\{1, 2, 3\}\), vu aussi comme le groupe des isométries du triangle équilatéral de la figure. Le produit \(\sigma \tau\) désigne la composée \(\sigma \circ \tau\) : on applique d’abord \(\tau\), puis \(\sigma\). On pose enfin \(H = \{\mathrm{id}, (1\,2)\}\).
- Calculer les trois classes à gauche \(\sigma H\), puis les trois classes à droite \(H \sigma\). En déduire que \(H\) n’est pas distingué dans \(S_3\).
- Montrer que le groupe alterné \(A_3\) est distingué dans \(S_3\), puis dresser la table du quotient \(S_3 / A_3\).
- Déterminer tous les sous-groupes distingués de \(S_3\).
Exercice 2 – Les symétries de l’hexagone (4,5 points)
Soit \(A_0 A_1 A_2 A_3 A_4 A_5\) un hexagone régulier de centre \(O\), dont les sommets sont numérotés dans le sens direct. Son groupe d’isométries \(D_6\) contient la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\), qui envoie \(A_k\) sur \(A_{k+1}\), ainsi que la réflexion \(s\) d’axe \((A_0 A_3)\), qui envoie \(A_k\) sur \(A_{-k}\) (indices modulo 6). On admet que \(D_6\) est d’ordre 12 et que \(r^6 = s^2 = e\) et \(s r s = r^{-1}\).
- Montrer que \(s r^k s = r^{-k}\) et que \((s r^k)^2 = e\) pour tout entier \(k\). En déduire la liste des 12 éléments de \(D_6\).
- Prouver que le sous-groupe \(\langle r \rangle\) est distingué dans \(D_6\), alors que \(\langle s \rangle = \{e, s\}\) ne l’est pas.
- On pose \(K = \langle r^2 \rangle = \{e, r^2, r^4\}\). Justifier que \(K\) est distingué, écrire les quatre classes de \(D_6 / K\), puis dresser sa table et reconnaître ce groupe.
Exercice 3 – Deux applications du premier théorème d’isomorphisme (4 points)
Les deux questions sont indépendantes. Dans chacune, on vérifiera soigneusement les hypothèses du théorème.
- Soit \(f : \mathbb{Z}/24\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\) définie par \(f(\overline{x}) = \overline{9x}\). Montrer que \(f\) est un morphisme bien défini, déterminer son noyau et son image, puis identifier le quotient de \(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\) par \(\ker f\).
- Pour \(a\) réel non nul et \(b\) réel, on pose \(M(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), et \(G\) désigne l’ensemble de ces matrices. Montrer que \(G\) est un sous-groupe de \(GL_2(\mathbb{R})\), puis que \(N = \{M(1, b),\; b \in \mathbb{R}\}\) est distingué dans \(G\), isomorphe à \((\mathbb{R}, +)\), et que \(G / N\) est isomorphe à \((\mathbb{R}^{*}, \times)\).
Exercice 4 – Problème : diagonales, centre et produit direct (8 points)
On reprend l’hexagone et le groupe \(D_6\) de l’exercice 2. Les trois grandes diagonales sont \(d_0 = (A_0 A_3)\), \(d_1 = (A_1 A_4)\) et \(d_2 = (A_2 A_5)\). Par ailleurs, l’hexagone contient deux triangles équilatéraux, \(T_0 = A_0 A_2 A_4\) et \(T_1 = A_1 A_3 A_5\).
- Déterminer le centre \(Z(D_6)\) de \(D_6\).
- Toute isométrie \(g\) de l’hexagone envoie chaque grande diagonale sur une grande diagonale. On note \(\varphi(g)\) la permutation de \(\{d_0, d_1, d_2\}\) ainsi obtenue, identifiée à un élément de \(S_3\). Montrer que \(\varphi\) est un morphisme, puis calculer \(\varphi(r)\) et \(\varphi(s)\).
- Montrer que \(\ker \varphi = Z(D_6)\).
- En déduire que \(D_6 / Z(D_6)\) est isomorphe à \(S_3\).
- De même, toute isométrie de l’hexagone conserve ou échange les deux triangles. On pose \(\theta(g) = 1\) si \(g\) conserve \(T_0\), et \(\theta(g) = -1\) sinon. Calculer \(\theta(r^k)\) et \(\theta(s r^k)\), puis montrer que \(g \mapsto \big(\varphi(g), \theta(g)\big)\) est un isomorphisme de \(D_6\) sur \(S_3 \times \{-1, 1\}\).
Réviser sous-groupes distingués et quotients avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours sous-groupes distingués et groupes quotients ; entraînez-vous sur les exercices sous-groupes distingués et groupes quotients avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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