Examen de calcul différentiel : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « examen de calcul différentiel », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cet examen de trois heures clôt le chapitre de calcul différentiel du second semestre de L3. Vous commencerez par calculer la différentielle de Fréchet d’une application définie sur un espace de matrices, puis vous verrez qu’une fonction peut posséder toutes ses dérivées directionnelles sans être différentiable. Ensuite, le théorème d’inversion locale permettra d’étudier les racines carrées de matrices proches de l’identité. Le quatrième exercice utilise le théorème des fonctions implicites pour décrire une courbe plane. Enfin, le problème cherche les valeurs extrêmes d’une forme quadratique sur la sphère unité grâce aux multiplicateurs de Lagrange. Gardez ce contrôle pour la fin de vos révisions.
Ce qu’évalue le contrôle : examen de calcul différentiel
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Différentielle de Fréchet et formules de Taylor et Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites et Optimisation : extrema liés, Lagrange et convexité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer la différentielle d’une application polynomiale entre espaces de matrices en contrôlant le reste
- Distinguer dérivées directionnelles et différentiabilité au sens de Fréchet
- Appliquer le théorème d’inversion locale à l’application carré et repérer les points où il échoue
- Obtenir le développement limité d’une fonction implicite, puis situer la courbe au-dessus ou au-dessous de sa tangente
- Résoudre un extremum lié d’une forme quadratique sur la sphère par les multiplicateurs de Lagrange
Avant de commencer le devoir
Avant d’appliquer un théorème, recopiez ses hypothèses, puis vérifiez-les une à une : classe C1, différentielle inversible, gradient de la contrainte non nul. Pour une différentielle sur les matrices, développez d’abord l’expression, ensuite isolez la partie linéaire en H et majorez le reste avec une norme sous-multiplicative. Enfin, contrôlez chaque valeur propre en multipliant la matrice par le vecteur trouvé, car une erreur de signe fausse tout le problème.
Le sujet du contrôle : examen de calcul différentiel
Exercice 1 – Un polynôme de matrices (3,5 points)
Soit \(n \geq 2\). L’espace \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) est muni d’une norme sous-multiplicative, notée \(\|\cdot\|\), c’est-à-dire telle que \(\|AB\| \leq \|A\|\,\|B\|\). On définit \(F : \mathrm{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) par \(F(M) = M^3 – 2M\), puis \(g(M) = \mathrm{tr}\left(F(M)\right)\).
- Montrer que \(F\) est différentiable en tout point \(M\), avec \(\mathrm{d}F(M)(H) = M^2 H + MHM + HM^2 – 2H\). On majorera soigneusement le reste.
- En déduire que \(\mathrm{d}g(M)(H) = \mathrm{tr}\left((3M^2 – 2I_n)H\right)\) pour toutes matrices \(M\) et \(H\).
- Calculer \(\mathrm{d}F(I_n)\), puis justifier que \(F\) réalise une bijection de classe \(C^1\), à réciproque \(C^1\), entre un ouvert contenant \(I_n\) et un ouvert contenant \(-I_n\). Pour quels réels \(\lambda\) la différentielle \(\mathrm{d}F(\lambda I_n)\) n’est-elle pas inversible ?
Exercice 2 – Des dérivées directionnelles trompeuses (3,5 points)
On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0, 0) = 0\) et, pour \((x, y) \neq (0, 0)\), par \(f(x, y) = \dfrac{x^3 y}{x^4 + y^2}\). La figure montre quelques lignes de niveau de \(f\) ainsi que la parabole d’équation \(y = x^2\).
- Établir que \(|f(x, y)| \leq \frac{|x|}{2}\) pour tout \((x, y)\), puis que \(f\) est continue en \((0, 0)\).
- Soit \(v = (h, k)\) un vecteur non nul. Montrer que la dérivée de \(f\) en \((0, 0)\) suivant \(v\) existe et vaut 0.
- Si \(f\) était différentiable en \((0, 0)\), que vaudrait sa différentielle ? En étudiant \(f(x, x^2)\), établir ensuite que \(f\) ne possède pas de différentielle à l’origine.
Exercice 3 – Racines carrées de matrices (4 points)
On considère l’application \(S : \mathrm{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) définie par \(S(A) = A^2\).
- Justifier que \(S\) est de classe \(C^1\) et donner \(\mathrm{d}S(A)(H)\).
- Montrer qu’il existe un voisinage \(V\) de \(I_n\) tel que toute matrice \(B \in V\) possède une unique racine carrée proche de \(I_n\), qui dépend de \(B\) de façon \(C^1\). Préciser le sens exact de « proche ».
- Dans cette question, \(n = 2\) et \(A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Déterminer le noyau de \(\mathrm{d}S(A_0)\). Pour \(a, b\) réels, on pose ensuite \(R(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}\), matrices représentées sur la figure. Calculer \(R(a, b)^2\), puis montrer que \(S\) n’est injective sur aucun voisinage de \(A_0\).
- Soit \(\Delta\) la matrice diagonale de coefficients diagonaux \(\mu_1, \ldots, \mu_n\). Calculer les coefficients de \(\mathrm{d}S(\Delta)(H)\), puis donner une condition nécessaire et suffisante sur les \(\mu_i\) pour que \(\mathrm{d}S(\Delta)\) soit inversible.
Exercice 4 – Une courbe définie implicitement (3,5 points)
On note \(\Phi(x, y) = \mathrm{e}^{xy} + x + y^2 – 2\) pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), et \(\Gamma\) la courbe d’équation \(\Phi(x, y) = 0\). On remarque d’abord que le point \((1, 0)\) appartient à \(\Gamma\).
- Montrer qu’il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant 1, un intervalle ouvert \(J\) contenant 0 et une fonction \(\psi : I \to J\) de classe \(C^\infty\) tels que, pour \((x, y) \in I \times J\), \(\Phi(x, y) = 0\) équivaille à \(y = \psi(x)\).
- Calculer \(\psi^{\prime}(1)\), puis donner une équation de la tangente à \(\Gamma\) au point \((1, 0)\).
- En dérivant deux fois la relation \(\Phi(x, \psi(x)) = 0\), calculer \(\psi^{\prime\prime}(1)\). Situer alors \(\Gamma\), près du point \((1, 0)\), au-dessus ou au-dessous de cette tangente.
Exercice 5 – Problème : une forme quadratique sur la sphère (5,5 points)
L’espace \(\mathbb{R}^3\) est muni de son produit scalaire usuel. Soit \(q(x, y, z) = 3x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 4xy + 4xz + 2yz\). On note ensuite \(\Sigma = \{u \in \mathbb{R}^3 : \|u\|^2 = 1\}\) et \(g(u) = \|u\|^2 – 1\). Le but est de trouver les valeurs extrêmes de \(q\) sur \(\Sigma\).
Partie A – Existence et cadre
- Pourquoi la restriction de \(q\) à \(\Sigma\) possède-t-elle une plus grande et une plus petite valeur ?
- Montrer que \(\Sigma\) est une sous-variété de \(\mathbb{R}^3\) de dimension 2, puis déterminer son espace tangent en un point \(a \in \Sigma\).
Partie B – Multiplicateurs de Lagrange
- Écrire la matrice symétrique \(Q\) telle que \(q(u) = \langle Qu, u \rangle\), puis calculer \(\nabla q(u)\). En appliquant le théorème des extremums liés, dont on vérifiera les hypothèses, montrer qu’en un point de \(\Sigma\) où \(q|_{\Sigma}\) atteint un extremum, le vecteur \(a\) est un vecteur propre de \(Q\).
- Calculer \(Q\,(1, 1, 1)\), \(Q\,(0, 1, -1)\) et \(Q\,(2, -1, -1)\). Conclure en donnant les valeurs extrêmes de \(q\) sur \(\Sigma\) et les vecteurs unitaires qui les réalisent.
- Soit \(b = \frac{\sqrt{2}}{2}(0, 1, -1)\). Montrer que \(b\) est un point critique de \(q|_{\Sigma}\), puis, en construisant deux chemins tracés sur \(\Sigma\) et passant par \(b\), prouver que \(q|_{\Sigma}\) n’admet pas d’extremum local en \(b\).
Réviser examen de calcul différentiel avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours différentielle de fréchet et formules de taylor puis théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites puis optimisation ; entraînez-vous sur les exercices différentielle de fréchet et formules de taylor et théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites et optimisation avant de retenter le sujet.
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