Holomorphie et formule de Cauchy en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois tests de Cauchy-Riemann

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{C}\) avec \(z=x+iy\), déterminer l’ensemble des points où elle est C-dérivable, puis dire si elle est holomorphe sur un ouvert non vide.

1. \(f(x+iy)=e^{-y}\cos x+i\,e^{-y}\sin x\). Calculer \(f^{\prime}\) et reconnaître \(f\).
2. \(g(x+iy)=x^2+iy^2\).
3. \(h(x+iy)=x^2-y^2-2ixy\).

Exercice 2 – Reconstruction à partir de la partie réelle

On pose \(u(x,y)=x^3-3xy^2+2x\) pour \((x,y)\in\mathbb{R}^2\).

1. Vérifier que \(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\).
2. Déterminer toutes les fonctions \(v\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que \(f=u+iv\) soit entière.
3. Exprimer la fonction \(f\) obtenue avec \(f(0)=0\) à l’aide de la seule variable \(z\).

Exercice 3 – Équations exponentielles et logarithme principal

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^z=-2+2i\sqrt3\).
2. Calculer \(\operatorname{Log}(-3i)\), \(\operatorname{Log}(1+i)\) et \(\operatorname{Log}(-1+i)\).
3. Calculer \(\operatorname{Log}\big((-1+i)^2\big)\) et le comparer à \(2\operatorname{Log}(-1+i)\). Commenter.

Exercice 4 – Deux chemins de 1 à i

On note \(\sigma\) le segment de 1 à \(i\), et \(\alpha\) le quart de cercle \(t\mapsto e^{it}\), \(t\in[0,\pi/2]\), représentés ci-dessous.

1. Calculer \(\int_\sigma z^2\,\mathrm{d}z\) et \(\int_\alpha z^2\,\mathrm{d}z\) par paramétrage, puis retrouver le résultat avec une primitive.
2. De même, calculer \(\int_\sigma\operatorname{Re}(z)\,\mathrm{d}z\) et \(\int_\alpha\operatorname{Re}(z)\,\mathrm{d}z\).
3. Par conséquent, que peut-on dire de la fonction \(z\mapsto\operatorname{Re}z\) ?

Exercice 5 – Puissances de z sur un cercle

1. Pour \(n\in\mathbb{Z}\) et \(r>0\), calculer \(\int_{C(0,r)}z^n\,\mathrm{d}z\).
2. Ainsi, en déduire \(\displaystyle\int_{C(0,2)}\Big(3z^2-\frac{5}{z}+\frac{2}{z^3}\Big)\,\mathrm{d}z\).
3. Enfin, calculer \(\int_{C(0,1)}\bar z^{\,2}\,\mathrm{d}z\) et \(\int_{C(0,1)}\bar z\,\mathrm{d}z\), en utilisant \(\bar z=1/z\) sur le cercle unité.

Exercice 6 – Formule de Cauchy : trois calculs directs

Les trois intégrales ci-dessous portent sur le cercle de rayon 2 centré en 0. Calculer chacune d’elles et préciser pourquoi la formule de Cauchy s’applique.

1. Avec le sinus : \(\displaystyle\int_{C(0,2)}\frac{\sin z}{z-\pi/2}\,\mathrm{d}z\).
2. Avec un carré au dénominateur : \(\displaystyle\int_{C(0,2)}\frac{z\,e^{z}}{(z+1)^2}\,\mathrm{d}z\).
3. Enfin, avec un cube : \(\displaystyle\int_{C(0,2)}\frac{e^{z}}{z^3}\,\mathrm{d}z\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Où une fonction est-elle C-dérivable ?

1. On pose \(f(z)=z\operatorname{Re}z\). Montrer que \(f\) est C-dérivable en 0 et en aucun autre point.
2. On pose \(g(x+iy)=x^2+2ixy\). Déterminer les points où \(g\) est C-dérivable et calculer \(g^{\prime}\) en ces points.
3. Finalement, l’une de ces fonctions est-elle holomorphe sur un ouvert non vide ?

Exercice 8 – Module constant et partie réelle constante

Soit \(U\) un ouvert connexe et \(f=P+iQ\) holomorphe sur \(U\). On admet que \(P\) et \(Q\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\).

1. On suppose \(P\) constante. Montrer que \(f\) est constante.
2. On suppose maintenant \(|f|\) constant. Montrer que \(f\) est encore constante. Pour cela, on pourra dériver \(P^2+Q^2\).
3. Par conséquent, montrer que si \(f\) et \(\bar f\) sont toutes deux holomorphes sur \(U\), alors \(f\) est constante.

Exercice 9 – Racine carrée principale et absence de logarithme sur C*

On note \(\Omega=\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_-\).

1. On pose \(s(z)=\exp\big(\tfrac12\operatorname{Log}z\big)\) pour \(z\in\Omega\). Montrer que \(s\) est holomorphe, que \(s(z)^2=z\) et que \(s^{\prime}(z)=\dfrac{1}{2s(z)}\).
2. Ensuite, calculer \(s(2i)\) et \(s(-3+4i)\).
3. Prouver par l’absurde que l’équation \(e^{L(z)}=z\), imposée sur \(\mathbb{C}^*\) entier, n’a pas de solution \(L\) holomorphe sur \(\mathbb{C}^*\).

Exercice 10 – Majoration sur un demi-cercle

Pour \(R>3\), on note \(\Gamma_R\) le demi-cercle \(t\mapsto Re^{it}\), \(t\in[0,\pi]\). La figure montre ce demi-cercle, le segment \([-R,R]\) et les points \(\pm3i\).

1. Montrer que \(|e^{iz}|\leqslant1\) pour \(z\in\Gamma_R\), et que \(|z^2+9|\geqslant R^2-9\).
2. Ainsi, montrer que \(\displaystyle\int_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+9}\,\mathrm{d}z\) tend vers 0 quand \(R\to+\infty\).
3. Décomposer \(\dfrac{1}{z^2+9}\) en éléments simples et calculer exactement \(\int_{C(0,R)}\dfrac{\mathrm{d}z}{z^2+9}\) pour \(R>3\). Enfin, vérifier la cohérence avec la majoration par la longueur.

Exercice 11 – Une fraction rationnelle sur quatre cercles

On pose \(F(z)=\dfrac{1}{z^2-1}\). Calculer \(\int_\gamma F(z)\,\mathrm{d}z\) lorsque \(\gamma\) est successivement :

1. le grand cercle \(C(0,2)\) ;
2. un cercle centré au pôle 1, \(C(1,1)\) ;
3. un petit cercle centré en \(-1\), \(C(-1,1/2)\) ;
4. enfin, le cercle \(C(3,1)\), loin des pôles.

Exercice 12 – Dérivées successives et formule de Cauchy

1. D’abord, calculer \(\displaystyle\int_{C(0,1)}\frac{e^{2z}}{z^4}\,\mathrm{d}z\).
2. Ensuite, déterminer \(\displaystyle\int_{C(0,2)}\frac{\sin(\pi z)}{(z-1)^2}\,\mathrm{d}z\).
3. Enfin, évaluer \(\displaystyle\int_{C(0,3)}\frac{z^3+1}{(z-2)^3}\,\mathrm{d}z\).

Exercice 13 – Une intégrale réelle obtenue par la formule de Cauchy

Cet exercice montre comment une intégrale complexe sur le cercle unité fournit une intégrale réelle peu commode.

1. Calculer \(\displaystyle\int_{C(0,1)}\frac{e^{2z}}{z^2}\,\mathrm{d}z\) par la formule de Cauchy.
2. Ensuite, écrire la même intégrale à l’aide du paramétrage \(z=e^{it}\), \(t\in[0,2\pi]\).
3. En déduire les valeurs de \(\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{2\cos t}\cos(2\sin t-t)\,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{2\cos t}\sin(2\sin t-t)\,\mathrm{d}t\).

Exercice 14 – Rayon d’un développement de Taylor

On pose \(f(z)=\dfrac{1}{z^2-3z+2}\) sur \(U=\mathbb{C}\setminus\{1,2\}\).

1. Sans calculer de coefficient, minorer le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) en 0, puis en \(-1\).
2. Ensuite, décomposer \(f\) en éléments simples et calculer les coefficients \(a_n\) de sa série de Taylor en 0.
3. Enfin, déterminer exactement les deux rayons de la question 1.

Exercice 15 – Valeurs imposées sur une suite

On note \(\mathbb{D}=D(0,1)\) le disque unité ouvert.

1. Montrer qu’il existe une unique fonction \(f\) holomorphe sur \(\mathbb{D}\) telle que \(f\big(\tfrac{1}{n+1}\big)=\tfrac{1}{n+2}\) pour tout \(n\geqslant1\), et la déterminer.
2. Prouver qu’aucune \(g\) holomorphe sur \(\mathbb{D}\) ne vérifie \(g\big(\tfrac1n\big)=\tfrac{(-1)^n}{n}\) à la fois pour tous les entiers \(n\geqslant2\).
3. Montrer que \(\cos^2z+\sin^2z=1\) et \(e^{iz}=\cos z+i\sin z\) pour tout \(z\in\mathbb{C}\), en partant des identités réelles.

Exercice 16 – Deux variantes du théorème de Liouville

1. Soit \(f\) entière telle que \(\operatorname{Im}f(z)\leqslant1\) pour tout \(z\). Montrer que \(f\) est constante, en étudiant \(e^{-if}\).
2. De plus, soit \(f\) entière telle que \(|f(z)|\leqslant2|z|^2+5\) pour tout \(z\). Montrer que \(f\) est un polynôme de degré au plus 2.
3. Finalement, déterminer les fonctions entières \(f\) telles que \(|f(z)|\leqslant2|z|^2+5\) pour tout \(z\), \(f(0)=1\) et \(f\) paire.

Exercice 17 – Maximum et minimum du module sur le disque

On note \(\overline{\mathbb{D}}\) le disque unité fermé.

1. Déterminer le maximum de \(|z^3-2i|\) sur \(\overline{\mathbb{D}}\) et un point où il est atteint.
2. Montrer que \(z^3-2i\) ne s’annule pas sur \(\overline{D}(0,1{,}2)\). En appliquant le principe du maximum à son inverse, déterminer le minimum de \(|z^3-2i|\) sur \(\overline{\mathbb{D}}\).
3. Avec \(q(z)=z^2-\tfrac14\), montrer que le minimum de \(|q|\) sur \(\overline{\mathbb{D}}\) n’est pas atteint sur le cercle. Quelle hypothèse manque ?

Exercice 18 – Inégalités de Cauchy et coefficients

1. Soit \(f\) holomorphe sur \(D(0,2)\), avec \(|f|\leqslant5\). On écrit \(f(z)=\sum a_nz^n\). Montrer que \(|a_n|\leqslant5/2^n\) pour tout \(n\).
2. Ensuite, soit \(f\) entière telle que \(|f(z)|\leqslant e^{|z|}\) pour tout \(z\). Montrer que \(|f^{(n)}(0)|\leqslant n!\,\dfrac{e^r}{r^n}\) pour tout \(r>0\), puis que \(|f^{(n)}(0)|\leqslant n!\Big(\dfrac{e}{n}\Big)^n\) pour \(n\geqslant1\).
3. Enfin, vérifier cette borne pour \(f=\exp\) et \(n=1,2,3\).

Pour approfondir

Exercice 19 – D’Alembert-Gauss par Liouville

Soit \(P(z)=a_nz^n+\dots+a_1z+a_0\) un polynôme complexe de degré \(n\geqslant1\).

1. On pose \(A=\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\). Montrer que, pour \(|z|\geqslant\max\big(1,2A/|a_n|\big)\), on a \(|P(z)|\geqslant\tfrac12|a_n||z|^n\).
2. En raisonnant par l’absurde et avec le théorème de Liouville, montrer que \(P\) possède une racine.
3. En déduire que \(P\) est scindé sur \(\mathbb{C}\).
4. Pour \(P(z)=z^5-4z+2\), montrer que \(|P(z)|\geqslant\tfrac12|z|^5\) dès que \(|z|\geqslant2\). En déduire que toutes les racines de \(P\) sont dans le disque \(D(0,2)\).

Exercice 20 – Fonctions entières doublement périodiques

1. Soit \(f\) entière telle que \(f(z+1)=f(z)\) et \(f(z+i)=f(z)\) pour tout \(z\). Montrer que \(f\) est bornée, puis constante.
2. Vérifier que \(z\mapsto e^{2i\pi z}\) est entière et 1-périodique, mais non constante. Pourquoi ne contredit-elle pas la question 1 ?
3. De même, soit \(f\) entière, 1-périodique et bornée sur la bande \(\{0\leqslant\operatorname{Re}z\leqslant1\}\). Montrer que \(f\) est constante.
4. Enfin, soit \(f\) entière telle que \(f(z+1)=f(z)\) et \(f(z+i)=2f(z)\). Montrer que \(f\) est nulle. On pourra étudier le module de \(g(z)=f(z)\,e^{iz\ln2}\).

Exercice 21 – Problème – Formule de la moyenne, maximum et lemme de Schwarz

Dans tout le problème, \(U\) est un ouvert connexe et \(\mathbb{D}=D(0,1)\).

Partie A : formule de la moyenne. Soit \(f\) holomorphe sur \(U\) et \(\overline{D}(a,\rho)\subset U\).

1. Montrer que \(f(a)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}f(a+\rho e^{it})\,\mathrm{d}t\).
2. Vérifier cette formule pour \(f(z)=z^2+z\), \(a=1\), \(\rho=2\).

Partie B : principe du maximum. On suppose que \(|f|\) admet en \(a\in U\) un maximum local.

1. Montrer qu’il existe \(r>0\) tel que, pour tout \(\rho\in\left]0,r\right[\), \(|f(a+\rho e^{it})|=|f(a)|\) pour tout \(t\).
2. Par conséquent, montrer que \(f\) est constante sur \(D(a,r)\), puis sur \(U\).

Partie C : lemme de Schwarz. Soit \(f\) holomorphe sur \(\mathbb{D}\), à valeurs dans \(\mathbb{D}\), avec \(f(0)=0\).

1. Montrer que \(g(z)=f(z)/z\), prolongée par \(g(0)=f^{\prime}(0)\), est holomorphe sur \(\mathbb{D}\).
2. Pour \(0<r<1\), montrer que \(|g(z)|\leqslant1/r\) si \(|z|\leqslant r\).
3. En déduire que \(|f(z)|\leqslant|z|\) pour tout \(z\in\mathbb{D}\) et que \(|f^{\prime}(0)|\leqslant1\).

Partie D : un exemple. On pose \(f(z)=\dfrac{z(2z+1)}{z+2}\).

1. Montrer que \(|2z+1|<|z+2|\) pour \(|z|<1\), puis que \(f\) envoie \(\mathbb{D}\) dans \(\mathbb{D}\).
2. Enfin, calculer \(f^{\prime}(0)\) et \(f(1/2)\), puis vérifier les inégalités de la partie C.

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