Exercice 1 : nom de villes françaises
1. {Rennes} est à l’ouest de Paris.
2. {Lyon} est au Nord de Marseille.
3. {Strasbourg} est à l’est de Paris.
4. {Bordeaux} est au sud de Paris.
Exercice 2 : coordonnées de villes sur le globe terrestre
1. Quelles sont les villes situées dans l’hémisphère Nord, c’est-à-dire au nord de l’équateur? Justifier votre réponse.
Les villes situées dans l’hémisphère Nord ont une latitude positive. Les villes en question sont :
– Abu Dhabi (25° ; 55°)
– Pékin (39° ; 116°)
– Atlanta (33° ; -84°)
2. Quelles sont les villes situées dans l’hémisphère ouest, c’est-à-dire à l’ouest du méridien de Greenwich?
Les villes situées dans l’hémisphère ouest ont une longitude négative. Les villes en question sont :
– Atlanta (33° ; -84°)
– Ushuaia (-54° ; -19°)
3. Pour chacun des pays suivants, préciser le signe de sa latitude et de sa longitude : USA, Australie, Russie, Argentine.
– USA: La majorité du territoire des États-Unis est situé dans l’hémisphère Nord (latitude positive) et dans l’hémisphère Ouest (longitude négative).
\[
\text{Latitude: positive, Longitude: négative}
\]
– Australie: L’Australie est située dans l’hémisphère Sud (latitude négative) et dans l’hémisphère Est (longitude positive).
\[
\text{Latitude: négative, Longitude: positive}
\]
– Russie: La Russie est principalement située dans l’hémisphère Nord (latitude positive) et en grande partie dans l’hémisphère Est (longitude positive).
\[
\text{Latitude: positive, Longitude: positive (sauf la partie européenne)}
\]
– Argentine: L’Argentine est située dans l’hémisphère Sud (latitude négative) et dans l’hémisphère Ouest (longitude négative).
\[
\text{Latitude: négative, Longitude: négative}
\]
Exercice 3 : coordonnées géographiques sur le planisphère
\[\]Correction de l’exercice\[\]
1. Voici le planisphère avec les lignes tracées :
– Le parallèle de latitude \(-30^\circ\) est tracé en vert.
– Le méridien de longitude \(150^\circ\) est tracé en rouge.
2. Les coordonnées géographiques des villes indiquées sur ce planisphère sont :
– Los Angeles : \((34^\circ \text{N}, 118^\circ \text{O})\)
– Londres : \((51^\circ \text{N}, 0^\circ)\)
– Moscou : \((55^\circ \text{N}, 37^\circ \text{E})\)
– Tokyo : \((35^\circ \text{N}, 139^\circ \text{E})\)
– Calcutta : \((22^\circ \text{N}, 88^\circ \text{E})\)
– Kinshasa : \((4^\circ \text{S}, 15^\circ \text{E})\)
– São Paulo : \((24^\circ \text{S}, 46^\circ \text{O})\)
– Quito : \((0^\circ, 78^\circ \text{O})\)
– Nouvelle-Orléans : \((30^\circ \text{N}, 90^\circ \text{O})\)
3. Placement des villes suivantes :
– \[\]Ankara\[\] \( (40^\circ \text{N}, 30^\circ \text{E}) \)
– \[\]Bamako\[\] \( (10^\circ \text{N}, 10^\circ \text{O}) \)
– \[\]Kingston\[\] \( (20^\circ \text{N}, 80^\circ \text{O}) \)
– \[\]Pékin\[\] \( (40^\circ \text{N}, 120^\circ \text{E}) \)
– \[\]Brasilia\[\] \( (15^\circ \text{S}, 50^\circ \text{O}) \)
– \[\]Washington\[\] \( (40^\circ \text{N}, 80^\circ \text{O}) \)
Ces villes sont ajoutées au planisphère aux coordonnées correspondantes.
Exercice 4 : coordonnées géographgiques de points
1.
Répasser en rouge l’équateur :
\[
\text{Tracer une ligne rouge le long de la ligne de latitude 0° (équateur).}
\]
Répasser en vert le méridien de Greenwich :
\[
\text{Tracer une ligne verte le long de la ligne de longitude 0° (méridien de Greenwich).}
\]
2. Les coordonnées géographiques des points K, L, M et N sont :
– \( K : (60°N, 30°E) \)
– \( L : (20°N, 45°E) \)
– \( M : (60°S, 120°W) \)
– \( N : (40°S, 0°) \)
3.
– \( A(20°S, 10°O) \) :
\[
\text{Placer le point A à 20° au sud de l’équateur et 10° à l’ouest du méridien de Greenwich.}
\]
– \( B(40°N, 30°O) \) :
\[
\text{Placer le point B à 40° au nord de l’équateur et 30° à l’ouest du méridien de Greenwich.}
\]
– \( C(20°S, 10°E) \) :
\[
\text{Placer le point C à 20° au sud de l’équateur et 10° à l’est du méridien de Greenwich.}
\]
– \( D(10°S, 30°O) \) :
\[
\text{Placer le point D à 10° au sud de l’équateur et 30° à l’ouest du méridien de Greenwich.}
\]
4.
– Points A et C :
\[
\text{Les points A et C ont la même latitude (20°S) mais des longitudes différentes de 20° (est et ouest). Ils ne sont donc pas sur le même méridien.}
\]
– Points B et D :
\[
\text{Les points B et D ont des latitudes différentes (40°N pour B et 10°S pour D) mais la même longitude (30°O). Ils sont donc sur le même méridien.}
\]
Exercice 5 : temps écoulé entre deux couchers de soleil
La terre effectue une rotation complète de \( 360^\circ \) en 24 heures, soit \( 15^\circ \) par heure. Les heures de coucher de soleil dépendent de la longitude du lieu.
1. \[\]Pourquoi le coucher de soleil à Saint-Claude intervient-il plus tôt qu’à La Rochelle ?\[\]
Saint-Claude est plus à l’est que La Rochelle, de 5,5° – (-1,2°) = 6,7° de différence en longitude. Puisque la Terre tourne d’ouest en est, les lieux situés plus à l’est voient le coucher du soleil plus tôt que ceux situés à l’ouest.
2. \[\]Combien de temps s’est écoulé entre les couchers de soleil à Saint-Claude et La Rochelle ?\[\]
Pour déterminer le décalage horaire causé par cette différence de longitude, nous utilisons le fait que la Terre tourne de \( 15^\circ \) par heure. Ainsi, chaque degré de longitude correspond à :
\[
\frac{60 \text{ minutes}}{15^\circ} = 4 \text{ minutes par degré}
\]
La différence de longitude entre Saint-Claude et La Rochelle est :
\[
5,5^\circ – (-1,2^\circ) = 6,7^\circ
\]
Le temps de décalage est donc :
\[
6,7^\circ \times 4 \text{ minutes par degré} = 26,8 \text{ minutes}
\]
Ainsi, le coucher de soleil à Saint-Claude se produit \( 26,8 \) minutes plus tôt qu’à La Rochelle.
En résumé :
* Le coucher de soleil à Saint-Claude intervient plus tôt qu’à La Rochelle à cause de sa position plus à l’est.
* Le temps qui s’est écoulé entre les couchers de soleil à Saint-Claude et à La Rochelle est de \( 26,8 \) minutes.
Exercice 6 : le globe de cristal et coupe du monde de ski
La ville de Pyeongchang est située en Corée du Sud. En observant la carte, nous remarquons que cette ville se trouve à une latitude et une longitude spécifiques. Pour déterminer ces coordonnées géographiques avec approximation:
– La latitude de Pyeongchang est d’environ \(37^\circ\) Nord.
– La longitude de Pyeongchang est d’environ \(128^\circ\) Est.
En notation LaTeX, cela peut être écrit de la manière suivante:
\[
\text{Latitude} \approx 37^\circ \text{N}
\]
\[
\text{Longitude} \approx 128^\circ \text{E}
\]
Exercice 7 : coordonnées géographiques de certaines villes
Pour déterminer les coordonnées des différentes formes sur la carte, nous utiliserons le système de latitude (Nord ou Sud de l’équateur) et de longitude (Est ou Ouest du méridien de Greenwich). Les coordonnées sont données en degrés (°).
1. \[\]Rectangle bleu\[\] – situé en Amérique du Nord
– Latitude: 60°N
– Longitude: 100°O
– Coordonnées: (60°N, 100°O)
2. \[\]Cercle rouge\[\] – situé en Europe
– Latitude: 60°N
– Longitude: 20°E
– Coordonnées: (60°N, 20°E)
3. \[\]Étoile jaune\[\] – située dans l’océan Pacifique
– Latitude: 40°S
– Longitude: 120°O
– Coordonnées: (40°S, 120°O)
4. \[\]Triangle vert\[\] – situé en Amérique du Sud
– Latitude: 20°S
– Longitude: 40°O
– Coordonnées: (20°S, 40°O)
5. \[\]Étoile violette\[\] – située en Afrique
– Latitude: 20°N
– Longitude: 20°E
– Coordonnées: (20°N, 20°E)
6. \[\]Carré noir\[\] – situé dans l’océan Atlantique Sud
– Latitude: 40°S
– Longitude: 20°O
– Coordonnées: (40°S, 20°O)
7. \[\]Ellipse bleue\[\] – située en Asie
– Latitude: 60°N
– Longitude: 100°E
– Coordonnées: (60°N, 100°E)
8. \[\]Remplissage gris\[\] – situé en Asie
– Latitude: 40°N
– Longitude: 80°E
– Coordonnées: (40°N, 80°E)
9. \[\]Croissant rouge\[\] – situé en Océanie
– Latitude: 20°S
– Longitude: 140°E
– Coordonnées: (20°S, 140°E)
10. \[\]Coeur rouge\[\] – situé en Antarctique
– Latitude: 80°S
– Longitude: 140°E
– Coordonnées: (80°S, 140°E)
11. \[\]Flèche jaune\[\] – située dans l’océan Indien
– Latitude: 20°S
– Longitude: 80°E
– Coordonnées: (20°S, 80°E)
Exercice 8 : latitude et longitude de villes
1. Les latitudes sont :
– Istanbul : \( 40^\circ \) N
– Puerto Montt : \( 40^\circ \) S
– Belem : \( 0^\circ \) (Équateur)
2. Les longitudes sont :
– Dacca : \( 90^\circ \) E
– Londres : \( 0^\circ \)
– Istanbul : \( 30^\circ \) E
3. Pour placer Saint-Pétersbourg (30° E ; 60° N), il faut :
– Placer un point sur le méridien de \( 30^\circ \) Est
– Placer ce point à \( 60^\circ \) Nord, qui est le parallèle à 60° au nord de l’Équateur.
Le point de coordonnées (30° E ; 60° N) se trouve à l’intersection du méridien de 30° Est et du parallèle de 60° Nord.
Exercice 9 : calculer la longueur du tropique du Capricorne
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]
1. \[\]Calcul de la longueur d’un tropique\[\]
La longueur d’un tropique est la circonférence du cercle parallèle situé à une distance \( OH \) du centre de la Terre.
\[ OH = 2543 \, \text{km} \]
Rayon de la Terre \( R = 6378 \, \text{km} \)
Rayon du tropique \( r_t \) :
\[ r_t = \sqrt{R^2 – OH^2} \]
\[ r_t = \sqrt{6378^2 – 2543^2} \]
\[ r_t \approx \sqrt{40688084 – 6464049} \]
\[ r_t \approx \sqrt{34224035} \]
\[ r_t \approx 5848 \, \text{km} \]
Longueur du tropique \( L_t \) :
\[ L_t = 2 \pi r_t \]
\[ L_t \approx 2 \pi \times 5848 \]
\[ L_t \approx 36745 \, \text{km} \]
2. \[\]Démonstration et calcul des longueurs\[\]
a) Montrer que \( \angle OAH \) et \( \angle EOA \) ont la même mesure.
Étant donné que \( \angle EOA = 23,5^\circ \) est la latitude du point A, et que cette latitude est mesurée à partir de l’équateur, on a également \( \angle OAH = 23,5^\circ \).
b) Calculer la longueur du tropique du Capricorne \( L_C \):
Rayon de la Terre \( R = 6378 \, \text{km} \)
Latitude de 23,5° :
\[ r_C = R \cos(23,5^\circ) \]
\[ r_C = 6378 \times \cos(23,5^\circ) \]
\[ r_C \approx 6378 \times 0.9171 \]
\[ r_C \approx 5849 \, \text{km} \]
Longueur du tropique du Capricorne \( L_C \):
\[ L_C = 2 \pi r_C \]
\[ L_C \approx 2 \pi \times 5849 \]
\[ L_C \approx 36745 \, \text{km} \]
3. \[\]Calcul de la longueur d’un cercle polaire\[\]
a) Longueur du cercle polaire de latitude 66,5°:
Rayon du cercle polaire \( r_p \):
\[ r_p = R \cos(66,5^\circ) \]
\[ r_p = 6378 \times \cos(66,5^\circ) \]
\[ r_p \approx 6378 \times 0.4067 \]
\[ r_p \approx 2594 \, \text{km} \]
Longueur du cercle polaire \( L_p \):
\[ L_p = 2 \pi r_p \]
\[ L_p \approx 2 \pi \times 2594 \]
\[ L_p \approx 16306 \, \text{km} \]
b) Vérification que :
\[ (\text{longueur de l’équateur})^2 = (\text{longueur du cercle polaire})^2 + (\text{longueur d’un tropique})^2 \]
Longueur de l’équateur \( L_E \):
\[ L_E = 2 \pi R \]
\[ L_E \approx 2 \pi \times 6378 \]
\[ L_E \approx 40030 \, \text{km} \]
Calcul :
\[ L_E^2 = 40030^2 \approx 1602409000 \]
\[ L_p^2 = 16306^2 \approx 265921636 \]
\[ L_t^2 = 36745^2 \approx 1356485025 \]
Vérification :
\[ 1602409000 \approx 265921636 + 1356485025 \approx 1622406661 \]
Il y a une petite différence due aux approximations effectuées durant les calculs.
Exercice 10 : calculer la longueur d’un arc de l’équateur
1. La longitude de l’équateur peut être calculée comme la circonférence d’un cercle de rayon \( R_{\text{Terre}} \), c’est-à-dire \( 6\,370\,\text{km} \).
La formule de la circonférence d’un cercle est :
\[
C = 2\pi R
\]
En substituant la valeur du rayon :
\[
C = 2\pi \times 6\,370\,\text{km} \approx 40\,030\,\text{km}
\]
2. On sait que \(\angle GOA = 42^\circ\) et \(\angle GOB = 9^\circ\). La somme totale est donc :
\[
\angle AOB = \angle GOA – \angle GOB = 42^\circ – 9^\circ = 33^\circ
\]
Pour trouver la longueur de l’arc \( \overset{\frown}{AB} \), on utilise la fraction de l’angle par rapport à un cercle entier (360°) :
\[
\text{Longueur de l’arc} = \frac{\angle AOB}{360^\circ} \times 2\pi R
\]
En substituant les valeurs :
\[
\text{Longueur de l’arc} = \frac{33^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 6\,370\,\text{km}
\]
Calculons :
\[
\text{Longueur de l’arc} = \frac{33}{360} \times 2\pi \times 6\,370\,\text{km} \approx 3\,662\,\text{km}
\]
Donc, la longueur de l’arc \( \overset{\frown}{AB} \) est d’environ \( 3\,662\,\text{km} \).
Exercice 11 : coordonnées de Rome et Boston
1. La longueur d’un méridien, qui est un demi-cercle traversant le pôle nord et le pôle sud, est:
\[ L_m = 2 \pi R \]
avec \( R = 6370 \, \text{km} \),
\[ L_m = 2 \pi \times 6370 \]
\[ L_m \approx 40\,030 \, \text{km} \]
2. La longueur de l’arc de méridien \( \overset{\frown}{NR} \) peut être calculée en utilisant la différence de latitude entre N et R, qui est de \( 42^\circ \):
\[ L_{\overset{\frown}{NR}} = \frac{42}{360} \times 40\,030 \]
\[ L_{\overset{\frown}{NR}} \approx 4\,670 \, \text{km} \]
3. La longueur du parallèle de Rome est:
\[ L_p = 2 \pi R \cos(\text{latitude}) \]
avec \( \text{latitude} = 42^\circ \),
\[ L_p = 2 \pi \times 6370 \times \cos(42^\circ) \]
\[ L_p \approx 2 \pi \times 6370 \times 0.743 \]
\[ L_p \approx 29\,230 \, \text{km} \]
4. La distance qui sépare Rome de Boston en suivant ce parallèle est la différence de longitude entre les deux villes, soit \( 12^\circ \text{E} \) et \( 71^\circ \text{O} \), ce qui donne:
\[ \Delta \lambda = 12^\circ + 71^\circ = 83^\circ \]
On utilise ensuite cette différence de longitude pour trouver la longueur de l’arc de parallèle:
\[ D = \frac{83}{360} \times 29\,230 \]
\[ D \approx 6\,730 \, \text{km} \]
Ainsi, la distance entre Rome et Boston le long du parallèle est environ 6\,730 km.
Exercice 12 : globe terrestre et coordonnées
Sur le globe terrestre ci-dessous, les coordonnées géographiques des points A, B, C, D, E, F, G, H et I peuvent être lues comme suit :
– {Point A} : \((0^\circ \text{N}, 90^\circ \text{O})\)
– {Point B} : \((90^\circ \text{N}, 0^\circ \text{E})\)
– {Point C} : \((60^\circ \text{N}, 0^\circ \text{E})\)
– {Point D} : \((0^\circ \text{N}, 30^\circ \text{O})\)
– {Point E} : \((0^\circ \text{N}, 40^\circ \text{O})\)
– {Point F} : \((0^\circ \text{N}, 90^\circ \text{E})\)
– {Point G} : \((30^\circ \text{S}, 0^\circ \text{E})\)
– {Point H} : \((45^\circ \text{N}, 90^\circ \text{E})\)
– {Point I} : \((60^\circ \text{S}, 90^\circ \text{E})\)
Ces points se situent à des latitudes (N/S) et longitudes (E/O) spécifiques comme illustré sur le globe terrestre.
Exercice 13 : placer des points sur le globe et lire des coordonnées
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
*a. Placer les points sur le dessin :*
Pour cette partie, il n’est pas possible de montrer sur ce texte écrit où placer les points précisément sur le dessin. Par contre, il faut noter les positions suivantes :
– M pour Montréal (45°N ; 65°O) se trouve à 45° au nord et 65° à l’ouest.
– R pour Rio de Janeiro (25°S ; 45°O) se trouve à 25° au sud et 45° à l’ouest.
– V pour La Voulte (45°N ; 0°) se trouve à 45° au nord du point de référence 0.
– Placer chaque point respectivement sur le globe en utilisant les positions indiquées.
*b. Donner les coordonnées géographiques des points suivants :*
\( O \) pour Oslo : \[(60^\circ N, 10^\circ E)\]
\( I \) pour Miami : \[(25^\circ N, 80^\circ O)\]
\( D \) pour Saint-Denis de La Réunion : \[(21^\circ S, 55^\circ E)\]
Exercice 14 : calculer une longueur sur le globe terrestre
### Correction de l’exercice
\[\]a. Calcul de la longueur \[LU\]\[\]
On sait que \[OU \approx 2509\] km et que \[\widehat{MOL} \approx 23{,}44^\circ\].
Le triangle \[OLU\] est rectangle en \[L\], donc on peut utiliser le cosinus pour déterminer la longueur \[LU\]:
\[\]
\cos(\widehat{MOL}) = \frac{LU}{OU}
\[\]
D’où:
\[\]
LU = OU \cdot \cos(\widehat{MOL})
\[\]
Substituons les valeurs connues:
\[\]
LU = 2509 \times \cos(23{,}44^\circ)
\[\]
Calculons \[\cos(23{,}44^\circ)\]:
\[\]
\cos(23{,}44^\circ) \approx 0{,}917
\[\]
Donc:
\[\]
LU \approx 2509 \times 0{,}917 \approx 2299 \text{ km}
\[\]
Ainsi, la longueur \[LU\] arrondie à l’unité est:
\[\]
LU \approx 2299 \text{ km}
\[\]
\[\]b. Longueur approchée du Tropique du Cancer\[\]
La longueur du Tropique du Cancer est la circonférence d’un parallèle de rayon \[LU\]. La formule de la circonférence est:
\[\]
C = 2 \pi r
\[\]
Où \[r = LU\]. Nous avons trouvé que \[LU \approx 2299\] km.
Donc:
\[\]
C \approx 2 \pi \times 2299
\[\]
En calculant:
\[\]
C \approx 2 \times 3{,}1416 \times 2299
\[\]
\[\]
C \approx 14448 \text{ km}
\[\]
La longueur du Tropique du Cancer, arrondie à l’unité, est:
\[\]
C \approx 14448 \text{ km}
\[\]
Exercice 15 : calculer la longueur de l’équateur
a. Calcul de la longueur de l’équateur :
L’équateur est un cercle de rayon égal au rayon de la Terre, soit 6370 km. La longueur de l’équateur est donc donnée par la formule de la circonférence d’un cercle :
\[
C = 2 \pi R
\]
En remplaçant \( R \) par 6370 km, on obtient :
\[
C = 2 \pi \times 6370 \approx 2 \times 3.14 \times 6370 \approx 40030 \text{ km}
\]
Donc la longueur de l’équateur est d’environ 40030 km.
b. Calcul du rayon JF :
En observant le schéma, le triangle OJF est un triangle rectangle en J, où :
\[
\angle JOF = 49^\circ
\]
\[
OJ = R \cdot \cos(49^\circ)
\]
Sachant que le rayon \( R \) de la Terre est 6370 km, on calcule OJ :
\[
OJ = 6370 \cdot \cos(49^\circ)
\]
\[
OJ \approx 6370 \cdot 0.6561 \approx 4177 \text{ km}
\]
c. Longueur du 49ème parallèle :
La longueur du parallèle 49° est une circonférence d’un cercle de rayon OJ :
\[
L = 2 \pi \times OJ
\]
En remplaçant \( OJ \) par la valeur calculée précédemment, on obtient :
\[
L = 2 \pi \times 4177 \approx 2 \times 3.14 \times 4177 \approx 26245 \text{ km}
\]
Donc, la longueur du 49ème parallèle est d’environ 26245 km.
Exercice 16 : décalage horaire entre la France et les Etats-unis
Pour déterminer le décalage horaire entre deux lieux sur le globe en utilisant leur longitude, nous pouvons utiliser la relation suivante :
\[ \text{Décalage horaire} = \frac{\Delta \text{Longitude}}{15^\circ} \]
Sachant que la longitude de la France est \(1.888334^\circ\) et celle des États-Unis \( -100.445882^\circ \), nous avons :
\[ \Delta \text{Longitude} = 100.445882 – 1.888334 = 98.557548^\circ \]
En divisant cette différence par \(15^\circ\) (puisqu’il y a 15 degrés de longitude par heure) nous obtenons :
\[ \text{Décalage horaire} = \frac{98.557548}{15} \approx 6.57 \]
Ainsi, le décalage horaire approximatif entre la France et l’endroit indiqué aux États-Unis est de \(6.57\) heures ou environ 6 heures et 34 minutes.
Exercice 17 : scetions de sphère et longueur du parallèle
{Correction de l’exercice :}
[1a)] Calculer la longueur d’un grand cercle de la sphère.
La longueur d’un grand cercle de la sphère est égale à la circonférence de la sphère. La formule pour la circonférence d’un cercle est donnée par :
\[
C = 2\pi r
\]
Comme la longueur NS représente le diamètre de la sphère (car NS est une ligne passant par le centre O et reliant deux points opposés), le rayon \( r \) de la sphère est :
\[
r = \frac{NS}{2} = \frac{10 \text{ cm}}{2} = 5 \text{ cm}
\]
Par conséquent, la longueur du grand cercle est :
\[
C = 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ cm}
\]
[1b)] Calculer la longueur du petit arc \(\overarc{AB}\) puis celle du petit arc \(\overarc{CD}\) situé sur le grand cercle \(\mathcal{P}\).
L’angle \(\angle AOB\) est donné par \( \angle AOB = 60^\circ \). La longueur de l’arc \(\overarc{AB}\) sur le grand cercle \(\mathcal{P}\) est proportionnelle à l’angle en degrés de cet arc. La formule est :
\[
\text{Longueur de l’arc} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
où \(\theta\) est l’angle et \( r \) est le rayon de la sphère.
\[
\text{Longueur de l’arc } AB = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{6} \times 10\pi = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \text{ cm}
\]
L’angle \(\angle COD\) est donné par \( \angle COD = 38,69^\circ \). La longueur de l’arc \(\overarc{CD}\) sur le grand cercle \(\mathcal{P}\) est donc :
\[
\text{Longueur de l’arc } CD = \frac{38,69^\circ}{360^\circ} \times 10\pi \approx \frac{38,69}{360} \times 10\pi \approx 1,08\pi \text{ cm}
\]
[2a)] Calculer la longueur \( DI \).
Étant donné que \( DI \) est une section perpendiculaire au diamètre de la sphère \(NS\) passant par un point \( I \) situé à une certaine distance de \(O\), et que cette distance peut être déduite en utilisant les formules relatives aux triangles sphériques, nous devons tenir compte de la géométrie sphérique. Cependant, sans angles ou côtés supplémentaires du triangle \(DOI\) ou \(CIO\), le calcul précis de \(DI\) n’est pas possible avec les informations fournies.
[2b)] Calculer la longueur du parallèle \(\mathcal{P}\).
La longueur d’un parallèle (cercle de latitude) en fonction de sa distance zénithale est inférieure à celle du grand cercle. Notons que \(I\) divise le diamètre vertical de la sphère. La distance \(OI\) pourrait être définie soit par trigonométrie sphérique ou en tenant compte du rapport des axes orthogonaux. Encore une fois, des informations additionnelles sont nécessaires pour conclure avec précision.
[2c)] Quelle est la mesure de l’angle \( \angle DIC \)? En déduire la longueur du petit arc \(\overarc{CD}\) situé sur le parallèle \(\mathcal{P}\).
Vu l’absence de details suffisants de \(DI\) et sans mesures des angles associés ou des distances de segments relatifs, il est impossible de calculer cet angle sans information supplémentaire.
[3)] Un avion part d’une ville \( C \) vers une ville \( D \), quelle ligne a-t-il intérêt à suivre ?
Un avion partant d’une ville \(C\) vers une ville \(D\) a intérêt à suivre un grand cercle (orthodromie), car c’est le chemin le plus court à la surface d’une sphère.
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