Coordonnées géographiques : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : nom de villes françaises
1. Rennes est à l’ouest de Paris.

2. Lyon est au Nord de Marseille.

3. Strasbourg est à l’est de Paris.

4. Bordeaux est au sud de Paris.

Exercice 2 : coordonnées de villes sur le globe terrestre
1. Quelles sont les villes situées dans l’hémisphère Nord, c’est-à-dire au nord de l’équateur? Justifier votre réponse.

Les villes situées dans l’hémisphère Nord ont une latitude positive. Les villes en question sont :
– Abu Dhabi (25° ; 55°)
– Pékin (39° ; 116°)
– Atlanta (33° ; -84°)

2. Quelles sont les villes situées dans l’hémisphère ouest, c’est-à-dire à l’ouest du méridien de Greenwich?

Les villes situées dans l’hémisphère ouest ont une longitude négative. Les villes en question sont :
– Atlanta (33° ; -84°)
– Ushuaia (-54° ; -19°)

3. Pour chacun des pays suivants, préciser le signe de sa latitude et de sa longitude : USA, Australie, Russie, Argentine.

– USA: La majorité du territoire des États-Unis est situé dans l’hémisphère Nord (latitude positive) et dans l’hémisphère Ouest (longitude négative).
$Latitude%3A\,positive%2C\,Longitude%3A\,negative$

– Australie: L’Australie est située dans l’hémisphère Sud (latitude négative) et dans l’hémisphère Est (longitude positive).
$Latitude%3A\,negative%2C\,Longitude%3A\,positive$

– Russie: La Russie est principalement située dans l’hémisphère Nord (latitude positive) et en grande partie dans l’hémisphère Est (longitude positive).
$Latitude%3A\,positive%2C\,Longitude%3A\,positive\,(sauf\,la\,partie\,europeenne)$

– Argentine: L’Argentine est située dans l’hémisphère Sud (latitude négative) et dans l’hémisphère Ouest (longitude négative).
$Latitude%3A\,negative%2C\,Longitude%3A\,negative$

Exercice 3 : coordonnées géographiques sur le planisphère
$Correction\,de\,l'exercice$

1. Voici le planisphère avec les lignes tracées :
– Le parallèle de latitude $-30^\circ$ est tracé en vert.
– Le méridien de longitude $150^\circ$ est tracé en rouge.

2. Les coordonnées géographiques des villes indiquées sur ce planisphère sont :
– Los Angeles : $(34^\circ\,N%2C\,118^\circ\,O)$
– Londres : $(51^\circ\,N%2C\,0^\circ)$
– Moscou : $(55^\circ\,N%2C\,37^\circ\,E)$
– Tokyo : $(35^\circ\,N%2C\,139^\circ\,E)$
– Calcutta : $(22^\circ\,N%2C\,88^\circ\,E)$
– Kinshasa : $(4^\circ\,S%2C\,15^\circ\,E)$
– São Paulo : $(24^\circ\,S%2C\,46^\circ\,O)$
– Quito : $(0^\circ%2C\,78^\circ\,O)$
– Nouvelle-Orléans : $(30^\circ\,N%2C\,90^\circ\,O)$

3. Placement des villes suivantes :
– $(40^\circ\,N%2C\,30^\circ\,E)$
– $(10^\circ\,N%2C\,10^\circ\,O)$
– $(20^\circ\,N%2C\,80^\circ\,O)$
– $(40^\circ\,N%2C\,120^\circ\,E)$
– $(15^\circ\,S%2C\,50^\circ\,O)$
– $(40^\circ\,N%2C\,80^\circ\,O)$

Ces villes sont ajoutées au planisphère aux coordonnées correspondantes.

Exercice 4 : coordonnées géographgiques de points
1.

Répasser en rouge l’équateur :
$Tracer\,une\,ligne\,rouge\,le\,long\,de\,la\,ligne\,de\,latitude\,0%C2%B0\,(equateur).$

Répasser en vert le méridien de Greenwich :
$Tracer\,une\,ligne\,verte\,le\,long\,de\,la\,ligne\,de\,longitude\,0%C2%B0\,(meridien\,de\,Greenwich).$

2. Les coordonnées géographiques des points K, L, M et N sont :

– $K\,%3A\,(60%C2%B0N%2C\,30%C2%B0E)$
– $L\,%3A\,(20%C2%B0N%2C\,45%C2%B0E)$
– $M\,%3A\,(60%C2%B0S%2C\,120%C2%B0W)$
– $N\,%3A\,(40%C2%B0S%2C\,0%C2%B0)$

– $A(20%C2%B0S%2C\,10%C2%B0O)$ :
$Placer\,le\,point\,A\,a\,20%C2%B0\,au\,sud\,de\,l'equateur\,et\,10%C2%B0\,a\,l'ouest\,du\,meridien\,de\,Greenwich.$

– $B(40%C2%B0N%2C\,30%C2%B0O)$ :
$Placer\,le\,point\,B\,a\,40%C2%B0\,au\,nord\,de\,l'equateur\,et\,30%C2%B0\,a\,l'ouest\,du\,meridien\,de\,Greenwich.$

– $C(20%C2%B0S%2C\,10%C2%B0E)$ :
$Placer\,le\,point\,C\,a\,20%C2%B0\,au\,sud\,de\,l'equateur\,et\,10%C2%B0\,a\,l'est\,du\,meridien\,de\,Greenwich.$

– $D(10%C2%B0S%2C\,30%C2%B0O)$ :
$Placer\,le\,point\,D\,a\,10%C2%B0\,au\,sud\,de\,l'equateur\,et\,30%C2%B0\,a\,l'ouest\,du\,meridien\,de\,Greenwich.$

– Points A et C :
$Les\,points\,A\,et\,C\,ont\,la\,meme\,latitude\,(20%C2%B0S)\,mais\,des\,longitudes\,differentes\,de\,20%C2%B0\,(est\,et\,ouest).\,Ils\,ne\,sont\,donc\,pas\,sur\,le\,meme\,meridien.$

– Points B et D :
$Les\,points\,B\,et\,D\,ont\,des\,latitudes\,differentes\,(40%C2%B0N\,pour\,B\,et\,10%C2%B0S\,pour\,D)\,mais\,la\,meme\,longitude\,(30%C2%B0O).\,Ils\,sont\,donc\,sur\,le\,meme\,meridien.$

Exercice 5 : temps écoulé entre deux couchers de soleil
La terre effectue une rotation complète de $360^\circ$ en 24 heures, soit $15^\circ$ par heure. Les heures de coucher de soleil dépendent de la longitude du lieu.

1. $Pourquoi\,le\,coucher\,de\,soleil\,a\,Saint-Claude\,intervient-il\,plus\,tot\,qu'a\,La\,Rochelle\,%3F$

Saint-Claude est plus à l’est que La Rochelle, de 5,5° – (-1,2°) = 6,7° de différence en longitude. Puisque la Terre tourne d’ouest en est, les lieux situés plus à l’est voient le coucher du soleil plus tôt que ceux situés à l’ouest.

2. $Combien\,de\,temps\,s'est\,ecoule\,entre\,les\,couchers\,de\,soleil\,a\,Saint-Claude\,et\,La\,Rochelle\,%3F$

Pour déterminer le décalage horaire causé par cette différence de longitude, nous utilisons le fait que la Terre tourne de $15^\circ$ par heure. Ainsi, chaque degré de longitude correspond à :
$\frac{60\,\,minutes}{15^\circ}\,=\,4\,\,minutes\,par\,degre$

La différence de longitude entre Saint-Claude et La Rochelle est :
$5%2C5^\circ\,-\,(-1%2C2^\circ)\,=\,6%2C7^\circ$

Le temps de décalage est donc :
$6%2C7^\circ\,\times \,4\,\,minutes\,par\,degre\,=\,26%2C8\,\,minutes$

Ainsi, le coucher de soleil à Saint-Claude se produit minutes plus tôt qu’à La Rochelle.

En résumé :
* Le coucher de soleil à Saint-Claude intervient plus tôt qu’à La Rochelle à cause de sa position plus à l’est.
* Le temps qui s’est écoulé entre les couchers de soleil à Saint-Claude et à La Rochelle est de minutes.

Exercice 6 : le globe de cristal et coupe du monde de ski
La ville de Pyeongchang est située en Corée du Sud. En observant la carte, nous remarquons que cette ville se trouve à une latitude et une longitude spécifiques. Pour déterminer ces coordonnées géographiques avec approximation:

– La latitude de Pyeongchang est d’environ $37^\circ$ Nord.
– La longitude de Pyeongchang est d’environ $128^\circ$ Est.

En notation LaTeX, cela peut être écrit de la manière suivante:

$Latitude\,\approx\,37^\circ\,N$

$Longitude\,\approx\,128^\circ\,E$

Exercice 7 : coordonnées géographiques de certaines villes
Pour déterminer les coordonnées des différentes formes sur la carte, nous utiliserons le système de latitude (Nord ou Sud de l’équateur) et de longitude (Est ou Ouest du méridien de Greenwich). Les coordonnées sont données en degrés (°).

1. $Rectangle\,bleu$ – situé en Amérique du Nord
– Latitude: 60°N
– Longitude: 100°O
– Coordonnées: (60°N, 100°O)

2. $Cercle\,rouge$ – situé en Europe
– Latitude: 60°N
– Longitude: 20°E
– Coordonnées: (60°N, 20°E)

3. $Etoile\,jaune$ – située dans l’océan Pacifique
– Latitude: 40°S
– Longitude: 120°O
– Coordonnées: (40°S, 120°O)

4. $Triangle\,vert$ – situé en Amérique du Sud
– Latitude: 20°S
– Longitude: 40°O
– Coordonnées: (20°S, 40°O)

5. $Etoile\,violette$ – située en Afrique
– Latitude: 20°N
– Longitude: 20°E
– Coordonnées: (20°N, 20°E)

6. $Carre\,noir$ – situé dans l’océan Atlantique Sud
– Latitude: 40°S
– Longitude: 20°O
– Coordonnées: (40°S, 20°O)

7. $Ellipse\,bleue$ – située en Asie
– Latitude: 60°N
– Longitude: 100°E
– Coordonnées: (60°N, 100°E)

8. $Remplissage\,gris$ – situé en Asie
– Latitude: 40°N
– Longitude: 80°E
– Coordonnées: (40°N, 80°E)

9. $Croissant\,rouge$ – situé en Océanie
– Latitude: 20°S
– Longitude: 140°E
– Coordonnées: (20°S, 140°E)

10. $Coeur\,rouge$ – situé en Antarctique
– Latitude: 80°S
– Longitude: 140°E
– Coordonnées: (80°S, 140°E)

11. $Fleche\,jaune$ – située dans l’océan Indien
– Latitude: 20°S
– Longitude: 80°E
– Coordonnées: (20°S, 80°E)

Exercice 8 : latitude et longitude de villes
1. Les latitudes sont :
– Istanbul : $40^\circ$ N
– Puerto Montt : $40^\circ$ S
– Belem : $0^\circ$ (Équateur)

2. Les longitudes sont :
– Dacca : $90^\circ$ E
– Londres : $0^\circ$
– Istanbul : $30^\circ$ E

3. Pour placer Saint-Pétersbourg (30° E ; 60° N), il faut :
– Placer un point sur le méridien de $30^\circ$ Est
– Placer ce point à $60^\circ$ Nord, qui est le parallèle à 60° au nord de l’Équateur.

Le point de coordonnées (30° E ; 60° N) se trouve à l’intersection du méridien de 30° Est et du parallèle de 60° Nord.

Exercice 9 : calculer la longueur du tropique du Capricorne
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques\,%3A$

1. $Calcul\,de\,la\,longueur\,d'un\,tropique$

La longueur d’un tropique est la circonférence du cercle parallèle situé à une distance du centre de la Terre.

$OH\,=\,2543\,\%2C\,km$

Rayon de la Terre $R\,=\,6378\,\%2C\,km$

Rayon du tropique :

$r_t\,=\,\sqrt{R^2\,-\,OH^2}$
$r_t\,=\,\sqrt{6378^2\,-\,2543^2}$
$r_t\,\approx\,\sqrt{40688084\,-\,6464049}$
$r_t\,\approx\,\sqrt{34224035}$
$r_t\,\approx\,5848\,\%2C\,km$

Longueur du tropique :

$L_t\,=\,2\,\pi\,r_t$
$L_t\,\approx\,2\,\pi\,\times \,5848$
$L_t\,\approx\,36745\,\%2C\,km$

2. $Demonstration\,et\,calcul\,des\,longueurs$

a) Montrer que $\angle\,OAH$ et $\angle\,EOA$ ont la même mesure.

Étant donné que $\angle\,EOA\,=\,23%2C5^\circ$ est la latitude du point A, et que cette latitude est mesurée à partir de l’équateur, on a également $\angle\,OAH\,=\,23%2C5^\circ$ .

b) Calculer la longueur du tropique du Capricorne :

Rayon de la Terre $R\,=\,6378\,\%2C\,km$

Latitude de 23,5° :
$r_C\,=\,R\,\cos(23%2C5^\circ)$
$r_C\,=\,6378\,\times \,\cos(23%2C5^\circ)$
$r_C\,\approx\,6378\,\times \,0.9171$
$r_C\,\approx\,5849\,\%2C\,km$

Longueur du tropique du Capricorne :

$L_C\,=\,2\,\pi\,r_C$
$L_C\,\approx\,2\,\pi\,\times \,5849$
$L_C\,\approx\,36745\,\%2C\,km$

3. $Calcul\,de\,la\,longueur\,d'un\,cercle\,polaire$

a) Longueur du cercle polaire de latitude 66,5°:

Rayon du cercle polaire :

$r_p\,=\,R\,\cos(66%2C5^\circ)$
$r_p\,=\,6378\,\times \,\cos(66%2C5^\circ)$
$r_p\,\approx\,6378\,\times \,0.4067$
$r_p\,\approx\,2594\,\%2C\,km$

Longueur du cercle polaire :

$L_p\,=\,2\,\pi\,r_p$
$L_p\,\approx\,2\,\pi\,\times \,2594$
$L_p\,\approx\,16306\,\%2C\,km$

b) Vérification que :

$(longueur\,de\,l'equateur)^2\,=\,(longueur\,du\,cercle\,polaire)^2\,%2B\,(longueur\,d'un\,tropique)^2$

Longueur de l’équateur :

$L_E\,=\,2\,\pi\,R$
$L_E\,\approx\,2\,\pi\,\times \,6378$
$L_E\,\approx\,40030\,\%2C\,km$

Calcul :

$L_E^2\,=\,40030^2\,\approx\,1602409000$
$L_p^2\,=\,16306^2\,\approx\,265921636$
$L_t^2\,=\,36745^2\,\approx\,1356485025$

Vérification :

$1602409000\,\approx\,265921636\,%2B\,1356485025\,\approx\,1622406661$

Il y a une petite différence due aux approximations effectuées durant les calculs.

Exercice 10 : calculer la longueur d’un arc de l’équateur
1. La longitude de l’équateur peut être calculée comme la circonférence d’un cercle de rayon $R_{Terre}$ , c’est-à-dire $6\%2C370\%2Ckm$ .

La formule de la circonférence d’un cercle est :
$C\,=\,2\pi\,R$
En substituant la valeur du rayon :
$C\,=\,2\pi\,\times \,6\%2C370\%2Ckm\,\approx\,40\%2C030\%2Ckm$

2. On sait que $\angle\,GOA\,=\,42^\circ$ et $\angle\,GOB\,=\,9^\circ$ . La somme totale est donc :
$\angle\,AOB\,=\,\angle\,GOA\,-\,\angle\,GOB\,=\,42^\circ\,-\,9^\circ\,=\,33^\circ$

Pour trouver la longueur de l’arc $\overset{\frown}{AB}$ , on utilise la fraction de l’angle par rapport à un cercle entier (360°) :

$Longueur\,de\,l'arc\,=\,\frac{\angle\,AOB}{360^\circ}\,\times \,2\pi\,R$

En substituant les valeurs :
$Longueur\,de\,l'arc\,=\,\frac{33^\circ}{360^\circ}\,\times \,2\pi\,\times \,6\%2C370\%2Ckm$

Calculons :
$Longueur\,de\,l'arc\,=\,\frac{33}{360}\,\times \,2\pi\,\times \,6\%2C370\%2Ckm\,\approx\,3\%2C662\%2Ckm$

Donc, la longueur de l’arc $\overset{\frown}{AB}$ est d’environ $3\%2C662\%2Ckm$ .

Exercice 11 : coordonnées de Rome et Boston
1. La longueur d’un méridien, qui est un demi-cercle traversant le pôle nord et le pôle sud, est:

$L_m\,=\,2\,\pi\,R$

avec $R\,=\,6370\,\%2C\,km$ ,

$L_m\,=\,2\,\pi\,\times \,6370$
$L_m\,\approx\,40\%2C030\,\%2C\,km$

2. La longueur de l’arc de méridien $\overset{\frown}{NR}$ peut être calculée en utilisant la différence de latitude entre N et R, qui est de $42^\circ$ :

$L_{\overset{\frown}{NR}}\,=\,\frac{42}{360}\,\times \,40\%2C030$
$L_{\overset{\frown}{NR}}\,\approx\,4\%2C670\,\%2C\,km$

3. La longueur du parallèle de Rome est:

$L_p\,=\,2\,\pi\,R\,\cos(latitude)$

avec $latitude\,=\,42^\circ$ ,

$L_p\,=\,2\,\pi\,\times \,6370\,\times \,\cos(42^\circ)$
$L_p\,\approx\,2\,\pi\,\times \,6370\,\times \,0.743$
$L_p\,\approx\,29\%2C230\,\%2C\,km$

4. La distance qui sépare Rome de Boston en suivant ce parallèle est la différence de longitude entre les deux villes, soit $12^\circ\,E$ et $71^\circ\,O$ , ce qui donne:

$\Delta\,\lambda\,=\,12^\circ\,%2B\,71^\circ\,=\,83^\circ$

On utilise ensuite cette différence de longitude pour trouver la longueur de l’arc de parallèle:

$D\,=\,\frac{83}{360}\,\times \,29\%2C230$
$D\,\approx\,6\%2C730\,\%2C\,km$

Ainsi, la distance entre Rome et Boston le long du parallèle est environ 6\,730 km.

Exercice 12 : globe terrestre et coordonnées
Sur le globe terrestre ci-dessous, les coordonnées géographiques des points A, B, C, D, E, F, G, H et I peuvent être lues comme suit :

– Point A : $(0^\circ\,N%2C\,90^\circ\,O)$
– Point B : $(90^\circ\,N%2C\,0^\circ\,E)$
– Point C : $(60^\circ\,N%2C\,0^\circ\,E)$
– Point D : $(0^\circ\,N%2C\,30^\circ\,O)$
– Point E : $(0^\circ\,N%2C\,40^\circ\,O)$
– Point F : $(0^\circ\,N%2C\,90^\circ\,E)$
– Point G : $(30^\circ\,S%2C\,0^\circ\,E)$
– Point H : $(45^\circ\,N%2C\,90^\circ\,E)$
– Point I : $(60^\circ\,S%2C\,90^\circ\,E)$

Ces points se situent à des latitudes (N/S) et longitudes (E/O) spécifiques comme illustré sur le globe terrestre.

Exercice 13 : placer des points sur le globe et lire des coordonnées
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

*a. Placer les points sur le dessin :*

Pour cette partie, il n’est pas possible de montrer sur ce texte écrit où placer les points précisément sur le dessin. Par contre, il faut noter les positions suivantes :

– M pour Montréal (45°N ; 65°O) se trouve à 45° au nord et 65° à l’ouest.
– R pour Rio de Janeiro (25°S ; 45°O) se trouve à 25° au sud et 45° à l’ouest.
– V pour La Voulte (45°N ; 0°) se trouve à 45° au nord du point de référence 0.
– Placer chaque point respectivement sur le globe en utilisant les positions indiquées.

*b. Donner les coordonnées géographiques des points suivants :*

pour Oslo : $(60^\circ N, 10^\circ E)$

pour Miami : $(25^\circ N, 80^\circ O)$

pour Saint-Denis de La Réunion : $(21^\circ S, 55^\circ E)$

Exercice 14 : calculer une longueur sur le globe terrestre
### Correction de l’exercice

$a.\,Calcul\,de\,la\,longueur\,%24LU$ $

On sait que $OU \approx 2509$ km et que $\widehat{MOL} \approx 23{,}44^\circ$.

Le triangle $OLU$ est rectangle en $L$, donc on peut utiliser le cosinus pour déterminer la longueur $LU$:

$\cos(\widehat{MOL})\,=\,\frac{LU}{OU}$

D’où:

$LU\,=\,OU\,\cdot\,\cos(\widehat{MOL})$

Substituons les valeurs connues:

$LU\,=\,2509\,\times \,\cos(23{%2C}44^\circ)$

Calculons $\cos(23{,}44^\circ)$:

$\cos(23{%2C}44^\circ)\,\approx\,0{%2C}917$

Donc:

$LU\,\approx\,2509\,\times \,0{%2C}917\,\approx\,2299\,\,km$

Ainsi, la longueur $LU$ arrondie à l’unité est:

$LU\,\approx\,2299\,\,km$

$b.\,Longueur\,approchee\,du\,Tropique\,du\,Cancer$

La longueur du Tropique du Cancer est la circonférence d’un parallèle de rayon $LU$. La formule de la circonférence est:

$C\,=\,2\,\pi\,r$

Où $r = LU$. Nous avons trouvé que $LU \approx 2299$ km.

Donc:

$C\,\approx\,2\,\pi\,\times \,2299$

En calculant:

$C\,\approx\,2\,\times \,3{%2C}1416\,\times \,2299$

$C\,\approx\,14448\,\,km$

La longueur du Tropique du Cancer, arrondie à l’unité, est:

$C\,\approx\,14448\,\,km$

Exercice 15 : calculer la longueur de l’équateur
a. Calcul de la longueur de l’équateur :

L’équateur est un cercle de rayon égal au rayon de la Terre, soit 6370 km. La longueur de l’équateur est donc donnée par la formule de la circonférence d’un cercle :

$C\,=\,2\,\pi\,R$

En remplaçant par 6370 km, on obtient :

$C\,=\,2\,\pi\,\times \,6370\,\approx\,2\,\times \,3.14\,\times \,6370\,\approx\,40030\,\,km$

Donc la longueur de l’équateur est d’environ 40030 km.

b. Calcul du rayon JF :

En observant le schéma, le triangle OJF est un triangle rectangle en J, où :

$\angle\,JOF\,=\,49^\circ$
$OJ\,=\,R\,\cdot\,\cos(49^\circ)$

Sachant que le rayon de la Terre est 6370 km, on calcule OJ :

$OJ\,=\,6370\,\cdot\,\cos(49^\circ)$
$OJ\,\approx\,6370\,\cdot\,0.6561\,\approx\,4177\,\,km$

c. Longueur du 49ème parallèle :

La longueur du parallèle 49° est une circonférence d’un cercle de rayon OJ :

$L\,=\,2\,\pi\,\times \,OJ$

En remplaçant par la valeur calculée précédemment, on obtient :

$L\,=\,2\,\pi\,\times \,4177\,\approx\,2\,\times \,3.14\,\times \,4177\,\approx\,26245\,\,km$

Donc, la longueur du 49ème parallèle est d’environ 26245 km.

Exercice 16 : décalage horaire entre la France et les Etats-unis
Pour déterminer le décalage horaire entre deux lieux sur le globe en utilisant leur longitude, nous pouvons utiliser la relation suivante :

$Decalage\,horaire\,=\,\frac{\Delta\,Longitude}{15^\circ}$

Sachant que la longitude de la France est $1.888334^\circ$ et celle des États-Unis $-100.445882^\circ$ , nous avons :

$\Delta\,Longitude\,=\,100.445882\,-\,1.888334\,=\,98.557548^\circ$

En divisant cette différence par $15^\circ$ (puisqu’il y a 15 degrés de longitude par heure) nous obtenons :

$Decalage\,horaire\,=\,\frac{98.557548}{15}\,\approx\,6.57$

Ainsi, le décalage horaire approximatif entre la France et l’endroit indiqué aux États-Unis est de 6.57 heures ou environ 6 heures et 34 minutes.

Exercice 17 : scetions de sphère et longueur du parallèle
Correction de l’exercice :

[1a)] Calculer la longueur d’un grand cercle de la sphère.

La longueur d’un grand cercle de la sphère est égale à la circonférence de la sphère. La formule pour la circonférence d’un cercle est donnée par :
$C\,=\,2\pi\,r$
Comme la longueur NS représente le diamètre de la sphère (car NS est une ligne passant par le centre O et reliant deux points opposés), le rayon de la sphère est :
$r\,=\,\frac{NS}{2}\,=\,\frac{10\,\,cm}{2}\,=\,5\,\,cm$
Par conséquent, la longueur du grand cercle est :
$C\,=\,2\pi\,\times \,5\,=\,10\pi\,\,cm$

[1b)] Calculer la longueur du petit arc $\overarc{AB}$ puis celle du petit arc $\overarc{CD}$ situé sur le grand cercle $\mathcal{P}$ .

L’angle $\angle\,AOB$ est donné par $\angle\,AOB\,=\,60^\circ$ . La longueur de l’arc $\overarc{AB}$ sur le grand cercle $\mathcal{P}$ est proportionnelle à l’angle en degrés de cet arc. La formule est :
$Longueur\,de\,l'arc\,=\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,2\pi\,r$
où $\theta$ est l’angle et est le rayon de la sphère.
$Longueur\,de\,l'arc\,\,AB\,=\,\frac{60^\circ}{360^\circ}\,\times \,10\pi\,=\,\frac{1}{6}\,\times \,10\pi\,=\,\frac{10\pi}{6}\,=\,\frac{5\pi}{3}\,\,cm$
L’angle $\angle\,COD$ est donné par $\angle\,COD\,=\,38%2C69^\circ$ . La longueur de l’arc $\overarc{CD}$ sur le grand cercle $\mathcal{P}$ est donc :
$Longueur\,de\,l'arc\,\,CD\,=\,\frac{38%2C69^\circ}{360^\circ}\,\times \,10\pi\,\approx\,\frac{38%2C69}{360}\,\times \,10\pi\,\approx\,1%2C08\pi\,\,cm$

[2a)] Calculer la longueur .

Étant donné que est une section perpendiculaire au diamètre de la sphère passant par un point situé à une certaine distance de , et que cette distance peut être déduite en utilisant les formules relatives aux triangles sphériques, nous devons tenir compte de la géométrie sphérique. Cependant, sans angles ou côtés supplémentaires du triangle DOI ou CIO , le calcul précis de n’est pas possible avec les informations fournies.

[2b)] Calculer la longueur du parallèle $\mathcal{P}$ .

La longueur d’un parallèle (cercle de latitude) en fonction de sa distance zénithale est inférieure à celle du grand cercle. Notons que divise le diamètre vertical de la sphère. La distance pourrait être définie soit par trigonométrie sphérique ou en tenant compte du rapport des axes orthogonaux. Encore une fois, des informations additionnelles sont nécessaires pour conclure avec précision.

[2c)] Quelle est la mesure de l’angle $\angle\,DIC$ ? En déduire la longueur du petit arc $\overarc{CD}$ situé sur le parallèle $\mathcal{P}$ .

Vu l’absence de details suffisants de et sans mesures des angles associés ou des distances de segments relatifs, il est impossible de calculer cet angle sans information supplémentaire.

[3)] Un avion part d’une ville vers une ville , quelle ligne a-t-il intérêt à suivre ?

Un avion partant d’une ville vers une ville a intérêt à suivre un grand cercle (orthodromie), car c’est le chemin le plus court à la surface d’une sphère.

Voir Corrigés 11 à 17 ...