Fonction carré et fonction inverse : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « fonction carré et fonction inverse », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices en montrant deux lectures complémentaires : la lecture graphique, sur les courbes redessinées avec les solutions en couleur, puis la justification algébrique. Les tableaux de variations des deux fonctions sont aussi dessinés, car ils servent ensuite pour chaque comparaison.
Vérifie d’abord tes résultats, puis ta rédaction : un encadrement donné sans citer le sens de variation ne rapporte pas tous les points. Le barème sous chaque exercice t’aide donc à estimer ta note. Enfin, les encadrés signalent les erreurs fréquentes, comme oublier la solution négative de x² = 9 ou garder des x négatifs dans les solutions de 1/x > 2.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonction carré et fonction inverse : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : fonction carré et fonction inverse
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Images et variations | 4 points |
| 2. Lectures sur la parabole | 4 points |
| 3. Lectures sur l’hyperbole | 4 points |
| 4. Comparer sans calculer | 4 points |
| 5. Dalles carrées et banderole | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonction carré et fonction inverse
Exercice 1 – Images et variations (4 points)
- On remplace \(x\) par chaque valeur :
\(f(-3) = (-3)^2 = 9\) ; \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\) ; \(f(-0{,}4) = 0{,}16\)
\(g(4) = \frac{1}{4} = 0{,}25\) ; \(g(-0{,}5) = \frac{1}{-0{,}5} = -2\) ; \(g\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\)
Les images sont 9 ; 0,25 ; 0,16 puis 0,25 ; −2 et 1,5. - La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\), puis croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\), avec un minimum égal à 0 en 0. En revanche, la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0[\) et aussi sur \(]0 \,;\, +\infty[\). La double barre indique que 0 n’a pas d’image. Les deux tableaux sont dessinés ci-dessous.
- Un carré n’est jamais négatif, donc \(f(x) > 0\) pour \(x < 0\). Par ailleurs, l’inverse d’un nombre négatif est négatif. Pour \(x < 0\), \(f(x)\) est positif et \(g(x)\) est négatif.
Piège classique : écrire \(f(-3) = -9\). En effet, \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) ; seul \(-3^2\), sans parenthèses, vaut \(-9\).
Exercice 2 – Lectures sur la parabole (4 points)
- La droite \(y = 9\) coupe la parabole aux points d’abscisses \(-3\) et \(3\). Par le calcul, \(x^2 = 9\) équivaut à \(x = 3\) ou \(x = -3\), car \(3^2 = (-3)^2 = 9\). \(S = \{-3 \,;\, 3\}\).
- On lit deux solutions proches de \(-2{,}2\) et \(2{,}2\). Or les solutions exactes de \(x^2 = 5\) sont \(-\sqrt{5}\) et \(\sqrt{5}\). La parabole est sous la droite \(y = 5\) entre ces deux abscisses. \(S = [-\sqrt{5} \,;\, \sqrt{5}]\).
- La parabole est strictement au-dessus de la droite \(y = 9\) à gauche de \(-3\) et à droite de \(3\). \(S = ]-\infty \,;\, -3[ \cup ]3 \,;\, +\infty[\).
- Un carré est toujours positif ou nul, donc il ne peut pas valoir \(-4\). D’ailleurs, la droite \(y = -4\) ne coupe pas la parabole. L’équation n’a aucune solution.
Piège classique : répondre seulement \(x = 3\) à la question 1. Pourtant, un nombre et son opposé ont le même carré : il y a donc toujours deux solutions quand \(k > 0\).
Exercice 3 – Lectures sur l’hyperbole (4 points)
- Pour \(x \neq 0\), \(\frac{1}{x} = 2\) équivaut à \(x = \frac{1}{2}\). \(S = \left\{\frac{1}{2}\right\}\).
- Graphiquement, l’hyperbole est au-dessus de la droite \(y = 2\) seulement pour \(x\) entre 0 et 0,5. Ensuite, par le calcul : si \(x < 0\), alors \(\frac{1}{x} < 0\), donc \(\frac{1}{x}\) ne peut pas dépasser 2. Si \(x > 0\), on multiplie par \(x\) positif : \(1 > 2x\), donc \(x < \frac{1}{2}\). \(S = ]0 \,;\, \frac{1}{2}[\).
- Si \(x > 0\), \(\frac{1}{x}\) est positif, donc toujours supérieur à \(-1\). Si \(x < 0\), on multiplie par \(x\) négatif, ce qui change le sens : \(1 \leq -x\), donc \(x \leq -1\). Le graphique le confirme, car la courbe est au-dessus de \(y = -1\) à gauche de \(-1\) et sur tout \(]0 \,;\, +\infty[\). \(S = ]-\infty \,;\, -1] \cup ]0 \,;\, +\infty[\).
- Un quotient \(\frac{1}{x}\) est nul seulement si son numérateur est nul. Or le numérateur vaut 1. Donc \(\frac{1}{x}\) ne vaut jamais 0 et l’équation n’a pas de solution.
Piège classique : écrire \(S = ]-\infty \,;\, \frac{1}{2}[\) à la question 2. Or les nombres négatifs ont un inverse négatif, qui n’est donc jamais supérieur à 2.
Exercice 4 – Comparer sans calculer (4 points)
- Les nombres \(-3{,}1\) et \(-2{,}7\) sont négatifs, et \(-3{,}1 < -2{,}7\). Or la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\), donc elle inverse l’ordre. \((-3{,}1)^2 > (-2{,}7)^2\).
- On a \(0 < 0{,}37 < 0{,}41\). Comme la fonction inverse est décroissante sur \(]0 \,;\, +\infty[\), l’ordre est inversé. \(\frac{1}{0{,}37} > \frac{1}{0{,}41}\).
- L’intervalle \([-2 \,;\, 3]\) contient 0, donc on le coupe en deux. Sur \([-2 \,;\, 0]\), la fonction carré décroît, donc \(0 \leq x^2 \leq 4\). Sur \([0 \,;\, 3]\), elle croît, donc \(0 \leq x^2 \leq 9\). En regroupant les deux cas : \(0 \leq x^2 \leq 9\).
- Sur \([2 \,;\, 5]\), la fonction inverse est décroissante, donc \(\frac{1}{5} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}\). Ainsi, \(0{,}2 \leq \frac{1}{x} \leq 0{,}5\).
Piège classique : écrire \(4 \leq x^2 \leq 9\) en élevant simplement les bornes au carré. Pourtant, \(x = 0\) appartient à l’intervalle et donne \(x^2 = 0\), qui est plus petit que 4.
Exercice 5 – Dalles carrées et banderole (4 points)
- On cherche \(x > 0\) tel que \(4 \leq x^2 \leq 12{,}25\). Or \(2^2 = 4\) et \(3{,}5^2 = 12{,}25\). Comme la fonction carré est croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\), elle conserve l’ordre, donc \(2 \leq x \leq 3{,}5\). Le côté d’une dalle doit être compris entre 2 dm et 3,5 dm.
- On cherche \(x > 0\) tel que \(2 \leq \frac{1}{x} \leq 4\). Or \(\frac{1}{x} = 2\) pour \(x = 0{,}5\) et \(\frac{1}{x} = 4\) pour \(x = 0{,}25\). Puisque la fonction inverse est décroissante sur \(]0 \,;\, +\infty[\), l’ordre s’inverse : \(0{,}25 \leq x \leq 0{,}5\). La largeur doit être comprise entre 0,25 m et 0,5 m.
- La longueur vaut \(\frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\) m, ce qui est bien entre 2 et 4 m. Ensuite, le périmètre vaut \(2 \times (0{,}4 + 2{,}5) = 2 \times 2{,}9 = 5{,}8\). La banderole mesure 2,5 m de long et son périmètre vaut 5,8 m.
Piège classique : garder l’ordre à la question 2 et écrire \(0{,}5 \leq x \leq 0{,}25\), ce qui n’a aucun sens. La fonction inverse étant décroissante, la plus grande longueur correspond donc à la plus petite largeur.
À retenir de ce contrôle
- La fonction carré est décroissante sur l’intervalle des nombres négatifs et croissante sur celui des positifs, avec un minimum égal à 0 atteint en 0.
- La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[, mais on ne peut pas comparer un négatif et un positif avec ce sens.
- Pour k positif, l’équation x² = k a deux solutions opposées, −√k et √k, alors que x² = k n’a aucune solution quand k est négatif.
- Pour encadrer x² sur un intervalle qui contient 0, le minimum est 0 et le maximum est le plus grand des carrés des bornes.
- Une inéquation avec 1/x se résout en distinguant x négatif et x positif, car l’inverse d’un nombre négatif est toujours négatif.
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Consolider fonction carré et fonction inverse après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonction carrée, cube, racine carrée et inverse ; entraîne-toi sur la fiche fonction carrée et polynôme et fonction inverse.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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