Fonctions affines et choix de tarifs : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « fonctions affines et choix de tarifs », question par question.
Cette correction suit l’ordre des cinq exercices. Chaque expression est d’abord mise sous la forme \(ax + b\), puis le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine sont lus. Pour les droites, la méthode s’appuie sur deux points du quadrillage, ensuite le calcul du coefficient est posé en entier.
Tu trouveras aussi les deux tableaux de signes dessinés, puis la comparaison des trois formules de la salle de sport, avec les points d’intersection marqués sur le graphique. Compare ta copie étape par étape et compte tes points avec le barème. Lis enfin les pièges signalés, car ils portent souvent sur le signe du coefficient et le sens d’une inégalité.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonctions affines et choix de tarifs : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : fonctions affines et choix de tarifs
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Affine ou pas ? | 3 points |
| 2. Trois droites dans un repère | 4 points |
| 3. Le signe de ax + b | 3 points |
| 4. La location de vélos électriques | 4 points |
| 5. Trois formules pour la salle de sport | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonctions affines et choix de tarifs
Exercice 1 – Affine ou pas ? (3 points)
- On réordonne : \(f_1(x) = -2x + 3\). \(f_1\) est affine, avec \(a = -2\) et \(b = 3\).
- L’expression contient \(x^2\), donc elle ne peut pas s’écrire \(ax + b\). \(f_2\) n’est pas affine.
- On sépare la fraction : \(f_3(x) = \frac{x}{5} + \frac{4}{5} = 0{,}2x + 0{,}8\). \(f_3\) est affine, avec \(a = 0{,}2\) et \(b = 0{,}8\).
- On développe d’abord : \(f_4(x) = 2x – 2 + x = 3x – 2\). \(f_4\) est affine, avec \(a = 3\) et \(b = -2\).
- Ici, \(x\) est au dénominateur, donc \(f_5\) est une fonction inverse multipliée par 5. \(f_5\) n’est pas affine.
- On peut écrire \(f_6(x) = 0 \times x – 7\). \(f_6\) est affine (constante), avec \(a = 0\) et \(b = -7\).
Piège classique : refuser \(f_6\) parce que \(x\) n’apparaît pas. En effet, une fonction constante est une fonction affine de coefficient directeur nul.
Exercice 2 – Trois droites dans un repère (4 points)
- L’ordonnée à l’origine se lit à l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Ainsi, \(d_1\) coupe cet axe en \(-1\), donc elle représente \(h\), car \(h(0) = -1\). Ensuite, \(d_2\) le coupe en 3, alors elle représente \(f\). Enfin, \(d_3\) le coupe en 1, donc elle représente \(g\). \(d_1\) représente \(h\), \(d_2\) représente \(f\) et \(d_3\) représente \(g\).
- Le coefficient directeur vaut :
\(a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-4 – 4}{3 – (-1)} = \frac{-8}{4} = -2\).
Donc \(k(x) = -2x + b\). Comme \(A\) est sur la droite, \(k(-1) = 4\), d’où \(2 + b = 4\), puis \(b = 2\).
On vérifie avec \(B\) : \(k(3) = -6 + 2 = -4\). Ainsi, \(k(x) = -2x + 2\). - Le sens de variation dépend du signe de \(a\). D’une part, \(g\) (\(a = 0{,}5\)) et \(h\) (\(a = 2\)) ont un coefficient positif. D’autre part, \(f\) (\(a = -1\)) et \(k\) (\(a = -2\)) ont un coefficient négatif. Donc \(g\) et \(h\) sont croissantes sur \(\mathbb{R}\), alors que \(f\) et \(k\) sont décroissantes sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 – Le signe de ax + b (3 points)
- On cherche d’abord la valeur qui annule l’expression : \(3x – 6 = 0\) équivaut à \(x = 2\). Or \(a = 3\) est positif, donc \(3x – 6\) est négatif avant 2, puis positif après. Voir le premier tableau ci-dessous.
- De même, \(-2x + 5 = 0\) équivaut à \(x = 2{,}5\). Cette fois, \(a = -2\) est négatif, alors l’expression est positive avant \(2{,}5\), puis négative après. Voir le second tableau.
- Le premier tableau montre que \(3x – 6 \leq 0\) pour \(x \leq 2\) : \(S = ]-\infty\,;\,2]\). Le second montre que \(-2x + 5 > 0\) pour \(x < 2{,}5\), la valeur \(2{,}5\) étant exclue : \(S = ]-\infty\,;\,2{,}5[\).
Piège classique : placer toujours « − » puis « + ». Pourtant, l’ordre des signes dépend du signe de \(a\) : il s’inverse quand \(a\) est négatif.
Exercice 4 – La location de vélos électriques (4 points)
- On utilise les points \((2\,;\,11)\) et \((5\,;\,20)\) :
\(a = \frac{20 – 11}{5 – 2} = \frac{9}{3} = 3\). Le coefficient directeur vaut 3. - On a \(P(t) = 3t + b\). Or \(P(2) = 11\), donc \(6 + b = 11\), puis \(b = 5\). On vérifie : \(P(5) = 15 + 5 = 20\). Ainsi, \(P(t) = 3t + 5\).
- Le nombre 3 est l’augmentation du prix pour une heure de plus, tandis que 5 est le prix payé pour une durée nulle. La location coûte donc 3 € par heure, plus 5 € de frais fixes.
- On résout \(3t + 5 \leq 32\), c’est-à-dire \(3t \leq 27\), puis \(t \leq 9\). La cousine peut louer un vélo pendant 9 heures au maximum.
Exercice 5 – Trois formules pour la salle de sport (6 points)
- Chaque séance coûte 8 € avec la formule A, donc \(A(x) = 8x\). Avec la formule B, on ajoute l’abonnement : \(B(x) = 4x + 20\). Enfin, la formule C ne dépend pas du nombre de séances. \(A(x) = 8x\), \(B(x) = 4x + 20\) et \(C(x) = 60\).
- La droite D1 est horizontale à la hauteur 60 : elle représente C, fonction constante. Ensuite, D2 passe par l’origine, car \(A(0) = 0\) : elle représente A. Enfin, D3 coupe l’axe des ordonnées en 20, comme B. D1 : formule C ; D2 : formule A ; D3 : formule B.
- Les droites D2 et D3 se coupent au point de coordonnées \((5\,;\,40)\). Pour 5 séances, les formules A et B coûtent toutes les deux 40 €.
- On résout \(4x + 20 < 60\), puis \(4x < 40\), donc \(x < 10\). La formule B est moins chère que la formule C pour moins de 10 séances dans le mois.
- D’abord, \(A(x) < B(x)\) équivaut à \(8x < 4x + 20\), soit \(4x < 20\), donc \(x < 5\). De plus, \(A(x) < C(x)\) équivaut à \(8x < 60\), soit \(x < 7{,}5\). On combine alors ces résultats avec la question d.
Pour moins de 5 séances, la formule A est la plus avantageuse ; pour 5 séances, A et B coûtent 40 € ; entre 6 et 9 séances, c’est la formule B ; pour 10 séances, B et C coûtent 60 € ; au-delà de 10 séances, c’est la formule C. - Inès fera \(3 \times 4 = 12\) séances. On calcule \(A(12) = 96\), \(B(12) = 4 \times 12 + 20 = 68\) et \(C(12) = 60\). Elle doit donc choisir la formule C, qui lui coûte 60 €.
Piège classique : comparer seulement deux formules à la question e. Pour désigner la meilleure, il faut en effet vérifier qu’elle bat les deux autres.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b ; sa courbe est une droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b.
- Le coefficient directeur de la droite passant par deux points se calcule par la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.
- Une fonction affine est croissante quand a est positif, décroissante quand a est négatif et constante quand a est nul.
- L’expression ax + b s’annule en moins b sur a et prend le signe de a à droite de cette valeur.
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Consolider fonctions affines et choix de tarifs après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon variations d’une fonction puis fonction linéaire et affine.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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