Fonctions et sens de variation : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « fonctions et sens de variation », question par question.
Cette correction montre comment rédiger chaque réponse d’un devoir bilan sur les fonctions. Pour les lectures graphiques, elle précise la phrase attendue, car une valeur seule ne suffit pas. Le tableau de variations est dessiné en entier, avec ses extremums placés au bout des flèches.
Ensuite, les calculs d’antécédents sont menés jusqu’à l’ensemble des solutions, puis l’inéquation affine du tarif est résolue et interprétée en nombre de séances. Pour l’enclos, la courbe complétée montre le maximum et la plage de largeurs cherchée, tandis que la forme factorisée prouve le résultat. Compare ta copie question par question, puis compte tes points avec le barème. Enfin, lis les pièges signalés pour ne plus perdre de points sur les lectures.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonctions et sens de variation : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : fonctions et sens de variation
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Lectures sur la courbe | 4 points |
| 2. Variations et extremums | 4 points |
| 3. Images et antécédents par le calcul | 3 points |
| 4. Deux formules d’escalade | 4 points |
| 5. L’enclos contre le mur | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonctions et sens de variation
Exercice 1 – Lectures sur la courbe (4 points)
- Le point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse 0 est l’origine, donc \(f(0) = 0\). De même, le point d’abscisse 4 a pour ordonnée 1. Ainsi \(f(0) = 0\) et \(f(4) = 1\).
- On trace la droite horizontale d’équation \(y = 3\). Elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses 1 et 3. Les antécédents de 3 par \(f\) sont 1 et 3.
- La droite d’équation \(y = 1\) coupe \(\mathcal{C}_f\) en trois points : un entre \(-3\) et \(-2\), un entre 0 et 1, puis le point d’abscisse 4. Le nombre 1 a donc trois antécédents par \(f\).
- On cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de la droite \(y = 3\). Ce sont les points dont l’abscisse va de 1 à 3. \(S = [1 \,;\, 3]\).
Piège classique : à la question 2, répondre 3 ou \(f(3)\). En effet, un antécédent se lit sur l’axe des abscisses : on part de 3 sur l’axe des ordonnées, puis on redescend vers l’axe horizontal.
Exercice 2 – Variations et extremums (4 points)
- La courbe descend de \(-3\) à \(-1\), puis monte jusqu’à 2, et enfin redescend jusqu’à 5. On place les valeurs \(f(-3) = 2\), \(f(-1) = -2\), \(f(2) = 4\) et \(f(5) = -1\) au bout des flèches.
- D’après le tableau, la plus grande valeur est 4 et la plus petite est \(-2\). Le maximum de \(f\) sur \([-3 \,;\, 5]\) vaut 4, atteint en \(x = 2\) ; le minimum vaut \(-2\), atteint en \(x = -1\).
- Les nombres \(2{,}5\) et \(3{,}5\) appartiennent à \([2 \,;\, 5]\), où \(f\) est décroissante. Or \(2{,}5 < 3{,}5\), donc leurs images sont rangées dans l’ordre contraire. Par conséquent, \(f(2{,}5) > f(3{,}5)\).
- Sur \([-3 \,;\, 0]\), \(f\) descend de 2 à \(-2\), puis remonte jusqu’à \(f(0) = 0\). La plus grande valeur est donc \(f(-3)\). Le maximum de \(f\) sur \([-3 \,;\, 0]\) vaut 2, atteint en \(x = -3\).
Piège classique : écrire dans la première ligne du tableau les valeurs 2, \(-2\), 4 et \(-1\). Cependant, cette ligne contient seulement des abscisses, alors que les images vont dans la seconde ligne.
Exercice 3 – Images et antécédents par le calcul (3 points)
- On remplace \(x\) par chaque valeur :
\(k(-1) = (-1 – 3)^2 – 4 = (-4)^2 – 4 = 16 – 4 = 12\).
\(k(1) = (1 – 3)^2 – 4 = (-2)^2 – 4 = 4 – 4 = 0\).
Donc \(k(-1) = 12\) et \(k(1) = 0\). - On résout \(k(x) = -4\) :
\((x – 3)^2 – 4 = -4\), donc \((x – 3)^2 = 0\).
Un carré est nul seulement quand le nombre est nul, alors \(x – 3 = 0\).
Le nombre \(-4\) a un seul antécédent : 3. - On résout \(k(x) = 5\) :
\((x – 3)^2 – 4 = 5\), donc \((x – 3)^2 = 9\).
Ainsi \(x – 3 = 3\) ou \(x – 3 = -3\).
On obtient \(x = 6\) ou \(x = 0\).
Les antécédents de 5 par \(k\) sont 0 et 6. Vérification : \(k(0) = 9 – 4 = 5\) et \(k(6) = 9 – 4 = 5\).
Piège classique : à la question 3, oublier la solution négative de \(X^2 = 9\). Or \((-3)^2 = 9\) aussi, c’est pourquoi on trouve deux antécédents.
Exercice 4 – Deux formules d’escalade (4 points)
- Avec la formule A, on paie 12 € par séance, donc \(g(x) = 12x\). Avec la formule B, on ajoute l’abonnement, donc \(h(x) = 7x + 60\).
Pour 8 séances : \(g(8) = 12 \times 8 = 96\) et \(h(8) = 7 \times 8 + 60 = 56 + 60 = 116\).
Huit séances coûtent 96 € avec la formule A et 116 € avec la formule B. - La fonction \(h\) est de la forme \(x \mapsto mx + p\) avec \(m = 7\) et \(p = 60\) : c’est une fonction affine. Son coefficient directeur 7 est positif. Donc \(h\) est croissante.
- On résout \(7x + 60 < 12x\).
Alors \(60 < 12x – 7x\), soit \(60 < 5x\).
On divise par 5, qui est positif : \(x > 12\).
Pour 12 séances, les deux prix sont égaux à 144 €. La formule B devient donc la moins chère à partir de 13 séances. - On résout \(7x + 60 \leq 200\).
Ainsi \(7x \leq 140\), donc \(x \leq 20\).
Juliette peut faire au maximum 20 séances avec la formule B.
Piège classique : à la question 3, répondre « à partir de 12 séances ». Pourtant, à 12 séances les deux formules coûtent autant, et la formule B n’est strictement moins chère qu’ensuite.
Exercice 5 – L’enclos contre le mur (5 points)
- Le grillage forme les deux largeurs et le côté parallèle au mur, car le mur ferme le quatrième côté. Les deux largeurs utilisent \(2x\) mètres, donc il reste \(24 – 2x\) mètres. De plus, une longueur est positive : \(x \geq 0\) et \(24 – 2x \geq 0\), soit \(x \leq 12\). Ainsi, le côté parallèle au mur mesure \(24 – 2x\) mètres et \(x \in [0 \,;\, 12]\).
- L’aire d’un rectangle est le produit de ses dimensions, donc \(A(x) = x(24 – 2x)\).
\(A(3) = 3 \times (24 – 6) = 3 \times 18 = 54\).
\(A(10) = 10 \times (24 – 20) = 10 \times 4 = 40\).
L’aire vaut 54 m² pour une largeur de 3 m, puis 40 m² pour une largeur de 10 m. - Le sommet de la courbe a pour coordonnées \((6 \,;\, 72)\). L’aire maximale est donc de 72 m², obtenue pour une largeur de 6 m.
- On trace la droite horizontale d’ordonnée 64. Elle coupe la courbe aux points d’abscisses 4 et 8, et la courbe est au-dessus entre ces deux points. Les largeurs possibles sont celles de l’intervalle \([4 \,;\, 8]\), en mètres.
- On développe :
\(72 – 2(x – 6)^2 = 72 – 2(x^2 – 12x + 36)\).
Puis \(72 – 2(x – 6)^2 = 72 – 2x^2 + 24x – 72 = 24x – 2x^2\).
Or \(A(x) = x(24 – 2x) = 24x – 2x^2\), donc \(A(x) = 72 – 2(x – 6)^2\).
Un carré est toujours positif ou nul, alors \(2(x – 6)^2 \geq 0\) et \(A(x) \leq 72\). L’égalité a lieu quand \(x = 6\). Par conséquent, l’aire ne dépasse jamais 72 m², et elle atteint cette valeur pour une largeur de 6 m.
Piège classique : à la question 1, compter quatre côtés de grillage et écrire \(24 – 4x\) ou un périmètre complet. Le mur remplace un côté, donc seul le côté parallèle au mur complète les deux largeurs.
À retenir de ce contrôle
- Une image se lit sur l’axe des ordonnées, alors qu’un antécédent se lit sur l’axe des abscisses : on part toujours de l’axe de la donnée.
- Un tableau de variations indique en première ligne les bornes et les abscisses des extremums, puis en seconde ligne les valeurs prises par la fonction.
- Sur un intervalle où une fonction est décroissante, deux nombres et leurs images sont rangés dans l’ordre contraire.
- Une fonction affine x ↦ mx + p est croissante quand m est positif et décroissante quand m est négatif.
- Pour prouver un maximum, on écrit la fonction sous la forme M – (quantité positive), puis on précise pour quelle valeur cette quantité s’annule.
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Consolider fonctions et sens de variation après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon l’étude graphique et algébrique des fonctions puis variations d’une fonction puis fonction linéaire et affine ; entraîne-toi sur la fiche l’étude de fonction et résolution graphique d’équations et inéquations.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en seconde.
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