Exercice 1 : différents polygones
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Polygone} \text{Quadrilatère} \text{Pentagone} \text{Hexagone} \text{Heptagone} \text{Octogone} \text{Nonagone} \text{Décagone} \\
\hline
\text{Nombre de côtés} 4 5 6 7 8 9 10 \\
\hline
\text{Figure} \text{Fig. D, Fig. I} \text{Fig. B, Fig. F} \text{Fig. J} \text{Fig. E} \text{Fig. A} \text{Fig. H} \text{Fig. G, Fig. C, Fig. K} \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 2 : indiquer la nature du polygone
a. Le polygone est un pentagone auto-croisé (ou un pentagramme).
b. Le polygone est un hexagone auto-croisé.
c. Le polygone est un quadrilatère (ou un trapèze).
d. Le polygone est un octogone.
Exercice 3 : nombre de diagonales d’un polygone
a.
Pour un quadrilatère (4 côtés), on peut tracer exactement 2 diagonales.
Pour un pentagone (5 côtés), on peut tracer exactement 5 diagonales.
Pour un hexagone (6 côtés), on peut tracer exactement 9 diagonales.
Pour un heptagone (7 côtés), on peut tracer exactement 14 diagonales.
La formule générale pour trouver le nombre de diagonales \(D\) d’un polygone à \(n\) côtés est :
\[ D = \frac{n(n-3)}{2} \]
Calculs :
Quadrilatère (\(n=4\))
\[ D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 \]
Pentagone (\(n=5\))
\[ D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \]
Hexagone (\(n=6\))
\[ D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \]
Heptagone (\(n=7\))
\[ D = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14 \]
b.
Le tableau complété est :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Polygone} \text{Quadrilatère} \text{Pentagone} \text{Hexagone} \text{Heptagone} \\
\hline
\text{Nombre de diagonales} 2 5 9 14 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 4 : reproduire l’heptagone
\begin{tikzpicture}
% Définir les coordonnées des points
\coordinate (M) at (0, 0);
\coordinate (U) at (4.5, 0);
\coordinate (T) at (8.1, 0);
\coordinate (S) at (9.2, -3.6);
\coordinate (R) at (11, -8.0);
\coordinate (P) at (5.2, 1.6);
\coordinate (N) at (2.1, 4.2);
% Tracer les segments de l’heptagone
\draw (M) — (U) — (T) — (S) — (R) — (P) — (N) — (M);
% Tracer les segments intérieurs
\draw [dashed] (M) — (S);
\draw [dashed] (U) — (R);
\draw [dashed] (T) — (P);
% Placer les étiquettes et les longueurs des segments
\draw (M) node[left] {M};
\draw (U) node[below] {U};
\draw (T) node[below] {T};
\draw (S) node[below right] {S};
\draw (R) node[right] {R};
\draw (P) node[above] {P};
\draw (N) node[above left] {N};
\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}] (0.5, 0) — (4.5, 0) node[midway, yshift=0.5cm] {4.5 cm};
\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}] (5.25, 0) — (8.1, 0) node[midway, yshift=0.5cm] {3.6 cm};
\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}] (8.8, 0) — (9.2, -3.6) node[midway, xshift=0.5cm] {4.3 cm};
\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}] (9.8, -4) — (11, -8.0) node[midway, xshift=0.5cm] {5.2 cm};
\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}] (5.4, 0.8) — (0.8, 2.4) node[midway, xshift=-0.5cm] {3.3 cm};
\end{tikzpicture}
Exercice 5 : classer chaque quadrilatère
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Quadrilatère} \text{Carré} \text{Rectangle} \text{Losange} \text{Parallélogramme} \text{Quadrilatère quelconque} \\
\hline
\text{Fig. 1} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 2} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 3} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 4} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 5} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 6} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 7} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 8} \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 9} \checkmark \\
\hline
\end{array}
Exercice 6 : carré, losange, rectangle et parallélogramme
a. Les carrés en bleu :
– Le carré est une figure avec quatre côtés égaux et quatre angles droits. Dans cette image, il y a 4 carrés.
Colorie les carrés suivants en bleu :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Carré 1} \text{Carré 2} \\
\hline
\text{Carré 3} \text{Carré 4} \\
\hline
\end{array}
\]
b. Les rectangles en rouge :
– Un rectangle est une figure avec quatre angles droits et des côtés opposés égaux. Dans cette image, il y a 3 rectangles.
Colorie les rectangles suivants en rouge :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Rectangle 1} \text{Rectangle 2} \text{Rectangle 3} \\
\hline
\end{array}
\]
c. Les losanges en vert :
– Un losange est une figure avec quatre côtés égaux mais sans angles droits généralement. Dans cette image, il y a 2 losanges.
Colorie les losanges suivants en vert :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Losange 1} \text{Losange 2} \\
\hline
\end{array}
\]
d. Les parallélogrammes en jaune :
– Un parallélogramme est une figure avec des côtés opposés égaux et parallèles. Dans cette image, il y a 2 parallélogrammes.
Colorie les parallélogrammes suivants en jaune :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Parallélogramme 1} \text{Parallélogramme 2} \\
\hline
\end{array}
\]
e. Les quadrilatères quelconques en orange :
– Un quadrilatère est une figure avec quatre côtés. Dans cette image, il y a 3 quadrilatères quelconques.
Colorie les quadrilatères quelconques suivants en orange :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Quadrilatère 1} \text{Quadrilatère 2} \text{Quadrilatère 3} \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 7 : programme de construction
\[\]a.\[\]
Pour tracer le quadrilatère \(HVWX\), suivez les étapes suivantes :
1. Tracez le segment \([HV]\) de 6 cm.
2. À partir du point \(H\), tracez un cercle de rayon 9,5 cm.
3. À partir du point \(V\), tracez un autre cercle de rayon 9,5 cm. Les cercles se croisent en deux points : un seul de ces points doit être utilisé comme point \(X\) pour garantir que le segment intérieur forme un quadrilatère.
4. Reliez \(H\) à \(X\), \(V\) à \(X\), puis complétez le quadrilatère en traçant les segments \([HX]\) et \([XV]\) afin d’obtenir \(HVWX\).
\[\]b.\[\]
Pour tracer le carré \(RAPT\), suivez les étapes suivantes :
1. Tracez le segment \([RP]\) de 3,4 cm.
2. À partir du point \(R\), tracez un angle droit de manière à obtenir deux segments perpendiculaires \([RA]\) et \([RP]\) de 3,4 cm.
3. En utilisant un compas, tracez un cercle avec un rayon de 3,4 cm et un autre cercle au point \(P\) de 3,4 cm.
4. Les deux cercles se croiseront et ces points d’intersection formeront le carré.
5. Reliez ces points pour obtenir \(RPAT\) afin d’obtenir un carré.
\[\]c.\[\]
Pour tracer le rectangle \(NSCF\), suivez les étapes suivantes :
1. Tracez le segment \([NF]\) de 5,8 cm.
2. Tracez un angle droit à partir de chaque extrémité du segment \([NF]\).
3. À partir du point \(N\), tracez un segment perpendiculaire de 4,3 cm, qui sera \(NS\).
4. À partir du point \(F\), tracez également un segment perpendiculaire de 4,3 cm, qui sera \(CF\).
5. Reliez les points \(S\) et \(F\) pour obtenir le rectangle \(NSCF\).
Exercice 8 : droites parallèles et carré
a. Traçons d’abord les diagonales du carré \( WXYZ \), à savoir \( WX \) et \( YZ \).
Ensuite, traçons les droites parallèles demandées :
– La droite parallèle à \( WY \) passant par \( X \) : appelons-la \( d_1 \).
– La droite parallèle à \( WY \) passant par \( Z \) : appelons-la \( d_2 \).
– La droite parallèle à \( XZ \) passant par \( W \) : appelons-la \( d_3 \).
– La droite parallèle à \( XZ \) passant par \( Y \) : appelons-la \( d_4 \).
b. Ces quatre droites se coupent en formant un quadrilatère au centre du carré.
Déterminons la nature de ce quadrilatère.
Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont parallèles entre elles (parallèles à \( WY \)).
Les droites \( d_3 \) et \( d_4 \) sont parallèles entre elles (parallèles à \( XZ \)).
Puisque \( d_1 \) et \( d_2 \) sont parallèles et \( d_3 \) et \( d_4 \) sont parallèles, le quadrilatère formé est un rectangle.
### Représentation avec LaTeX :
\[
\begin{array}{cccc}
W X \\
\diagup \diagdown \\
Z Y \\
\end{array}
\]
Pour les droites parallèles :
\[
d_1: \text{ passant par X, parallèle à } WY
\]
\[
d_2: \text{ passant par Z, parallèle à } WY
\]
\[
d_3: \text{ passant par W, parallèle à } XZ
\]
\[
d_4: \text{ passant par Y, parallèle à } XZ
\]
Conclusion: Les droites \( d_1, d_2, d_3, \) et \( d_4 \) forment un rectangle au centre du carré.
Exercice 9 : donner un programme de contruction
[Étape 1 :] Tracer un rectangle \(ABCD\) de longueur \(12 \, \text{cm}\) et de largeur \(5 \, \text{cm}\).
[Étape 2 :] Tracer un cercle de centre \(B\) et de rayon \(3 \, \text{cm}\).
[Étape 3 :] Tracer la diagonale \(\overline{AC}\) du rectangle \(ABCD\).
[Étape 4 :] Tracer la perpendiculaire à la diagonale \(\overline{AC}\) passant par le point \(B\). Cette perpendiculaire coupe le côté \(\overline{AD}\) en \(E\) et le côté \(\overline{CD}\) en \(F\).
Exercice 10 : reproduire cette figure
Pour reproduire et continuer cette construction sur une feuille quadrillée, nous devons observer le motif initial et l’étendre en suivant la logique de répétition. Voici les étapes détaillées :
1. \[\]Dessiner les motifs de base\[\] :
– Chaque motif est composé de deux segments perpendiculaires formant un « L » et reliés par un carré central.
– Reproduire le motif en commençant par un des motifs « L » puis en répétant alternativement.
2. \[\]Étendre la construction\[\] :
– Suivre le même schéma de répétition alternée pour étendre le motif vers la droite et vers le bas.
Voici une représentation LaTeX de la grille avec une extension possible du motif. \(\LaTeX\) pour les tableaux peut être utilisé pour dessiner des grilles :
« `latex
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (10,10);
\fill[green] (0,9) rectangle (1,10);
\fill[green] (1,8) rectangle (2,9);
\fill[green] (0,7) rectangle (1,8);
\fill[green] (0,8) rectangle (1,9);
\fill[green] (0,6) rectangle (1,7);
\fill[green] (1,7) rectangle (2,8);
\fill[green] (2,9) rectangle (3,10);
\fill[green] (2,8) rectangle (3,9);
\fill[green] (3,7) rectangle (4,8);
\fill[green] (3,8) rectangle (4,9);
\fill[green] (2,7) rectangle (3,8);
\fill[green] (1,9) rectangle (2,10);
\fill[green] (2,6) rectangle (3,7);
\fill[green] (3,6) rectangle (4,7);s
\fill[green] (1,5) rectangle (2,6);
\fill[green] (2,5) rectangle (3,6);
\fill[green] (1,6) rectangle (2,7);
% Extending the pattern below
\fill[green] (1,7) rectangle (2,8);
\fill[green] (2,6) rectangle (3,7);
\fill[green] (0,5) rectangle (1,6);
\fill[green] (0,6) rectangle (1,7);
\fill[green] (1,5) rectangle (2,6);
\fill[green] (2,5) rectangle (3,6);
\fill[green] (3,4) rectangle (4,5);
\fill[green] (3,5) rectangle (4,6);
\fill[green] (2,4) rectangle (3,5);
% Extending towards the right
\fill[green] (4,7) rectangle (5,8);
\fill[green] (4,6) rectangle (5,7);
\fill[green] (5,5) rectangle (6,6);
\fill[green] (5,6) rectangle (6,7);
\fill[green] (4,5) rectangle (5,6);
\fill[green] (3,7) rectangle (4,8);
\fill[green] (4,9) rectangle (5,10);
\fill[green] (5,8) rectangle (6,9);
\fill[green] (4,7) rectangle (5,8);
\fill[green] (4,8) rectangle (5,9);
\fill[green] (4,6) rectangle (5,7);
\fill[green] (5,7) rectangle (6,8);
\end{tikzpicture}
« `
Ce code représente la figure initiale et montre comment on peut l’étendre pour couvrir plus de cases sur la grille.
Note : Assurez-vous que vous avez installé la distribution LaTeX sur votre ordinateur avant de compiler le code. Utilisez des outils comme TeXShop, TeXworks ou Overleaf pour compiler et visualiser cette construction.
Exercice 11 : instruments de géométrie et construction
Pour reproduire et continuer la frise géométrique, suivez les étapes suivantes :
1. \[\]Reproduction de la première partie :\[\]
– Commencez par tracer deux cercles de même rayon \( R \) :
– Choisissez un point \( O_1 \).
– Tracez un cercle de centre \( O_1 \) et de rayon \( R \).
– Choisissez un point \( O_2 \) sur la circonférence du premier cercle.
– Tracez un cercle de centre \( O_2 \) et de rayon \( R \).
– Les deux cercles se coupent en deux points. Appelez ces points \( A \) et \( B \).
2. \[\]Construction des diagonales :\[\]
– Tracez les segments \( O_1A \), \( O_1B \), \( O_2A \) et \( O_2B \).
3. \[\]Création des losanges :\[\]
– Connectez les points d’intersection par des segments pour former deux losanges :
– Tracez les segments \( AB \).
– Tracez les segments diagonaux passant par le centre commun des cercles.
4. \[\]Continuation de la frise :\[\]
– Pour continuer la frise, répétez le motif :
– Choisissez un nouveau centre \( O_3 \) qui est situé sur la droite passant par \( O_1 \) et \( O_2 \) et qui est à la même distance \( R \) de \( O_2 \).
– Tracez le cercle de centre \( O_3 \) et de rayon \( R \).
– Effectuez les mêmes constructions de segments et de losanges avec ce nouveau cercle, en répétant les étapes précédentes.
% LaTeX code pour la représentation géométrique.
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Radii and centers
\def\R{2}
\coordinate (O1) at (0,0);
\coordinate (O2) at (4,0);
\coordinate (O3) at (8,0); % Next center for continuation
% Draw circles
\draw (O1) circle (\R);
\draw (O2) circle (\R);
\draw[dashed] (O3) circle (\R); % Continuation circle (dashed for illustration)
% Intersecting points
\path[name path=circle1] (O1) circle (\R);
\path[name path=circle2] (O2) circle (\R);
\path[name intersections={of=circle1 and circle2, by={A,B}}];
% Draw lines and segments
\draw (O1) — (A);
\draw (O1) — (B);
\draw (O2) — (A);
\draw (O2) — (B);
\draw (A) — (B); % Intersection segment
% Nodes for next intersections (Estimations)
\path[name path=circle3] (O3) circle (\R);
\path[name intersections={of=circle3 and circle2, by={C,D}}];
\draw[dashed] (O3) — (C);
\draw[dashed] (O3) — (D);
\draw[dashed] (O2) — (C);
\draw[dashed] (O2) — (D);
\draw[dashed] (C) — (D); % Intersection segment for continuation
\end{tikzpicture}
Exercice 12 : construire cette figure à la règle et au compas
Pour agrandir cette figure en doublant les longueurs sur une feuille quadrillée:
1. Identifiez les points extrêmes de la figure.
2. Mesurez les distances entre ces points sur la figure originale.
3. Doublez ces distances pour trouver les nouvelles positions des points sur le quadrillage.
### Étapes de l’agrandissement :
1. \[\]Point de départ :\[\]
– Choisissez un point de départ sur la figure originale. Par exemple, le centre où les diagonales se croisent.
2. \[\]Mesures du quadrillage :\[\]
– Admettons que chaque petite carré de la grille initiale mesure une unité.
– Si un côté de la figure mesure 2 unités dans la grille originale, il mesurera 4 unités dans la nouvelle figure.
3. \[\]Reproduction des formes :\[\]
– Pour chaque segment ou côté, comptez le nombre de carrés dans la figure originale et doublez ce nombre dans la nouvelle figure.
– Reproduisez chaque segment et chaque angle en suivant la même configuration mais en doublant les distances mesurées précédemment.
### Exemple détaillé de l’application des mesures :
– Si la longueur d’une diagonale verte dans la figure originale mesure 4 unités, alors dans la nouvelle figure elle devra mesurer \( 4 \times 2 = 8 \) unités.
– Reproduisez toutes les formes en respectant cette règle de dilatation. Vous pouvez également regarder les angles et la symétrie de la figure pour vérifier que vous construisez correctement la nouvelle figure.
4. \[\]Vérification :\[\]
– Assurez-vous que toutes les formes et les motifs se correspondent proportionnellement et correctement dans la nouvelle figure agrandie.
Voici une représentation mathématique de ce processus :
Soit \( P(x, y) \) un point de la figure originale.
Le correspondant agrandi est \( P'(2x, 2y) \).
Ainsi, si le point d’origine est \( (0,0) \) et un autre point de la figure est \( (2,3) \), le point correspondant dans la nouvelle figure serait \( (4,6) \).
Finalement, en suivant cette méthode, vous devriez pouvoir reconstruire la figure agrandie avec précision sur le quadrillage.
Exercice 13 : tracer cette figure à partir d’un rectangle
Pour reproduire la figure à partir d’un grand rectangle de longueur 16 cm, nous devons observer la structure géométrique et suivre les étapes suivantes :
1. Le rectangle initial a une longueur de 16 cm et une hauteur de 8 cm (car il semble être divisé en deux parties égales par une diagonale).
2. Les triangles verts à l’intérieur du rectangle sont formés en reliant les mi-points des côtés du rectangle.
3. Chaque sous-rectangle résultant des diagonales a des dimensions réduites proportionnellement par la répétition de la figure initiale.
4. Continuons avec les divisions et relations proportionnelles pour chaque segment divisé :
– Le premier rectangle central a une longueur de 8 cm (c’est exactement la moitié de la longueur initiale de 16 cm) et une hauteur de 4 cm.
– Les frontières de ce rectangle central (de longueur 8 cm) divisent encore les mi-points, formant des triangles verts qui sont une réduction proportionnelle de la figure plus grande enclavée.
5. Chaque central rectangle réduite par facteur 2 continue itérativement à former des figures projetées (de manière fractale).
Écrivons les dimensions pour chaque étape significative:
– Rectangle principal: \(16 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \)
– Rectangle central : \(8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} \)
– Suivant rectangle central : \(4 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \)
– Dernier rectangle central : \(2 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} \)
En général:
Si nous indiquons la séries des longueurs et hauteurs par \( L_n = 16/2^n\) et \( H_n = 8/2^n \).
Reproduire la figure suivre une réduction symétrique et des relations proportionnelles afin de conserver l’intégrité géométrique.
Note: Les réductions se fait uniformément.
Ainsi, en conclusion, la successions permet la générative fractale strictement symétrique respectivement drivée par moités itérativement.
Exercice 14 : construire cette figure pas à pas
Voici la correction de l’exercice :
1. Construis quatre cercles concentriques \( (\mathcal{C}_1) \), \( (\mathcal{C}_2) \), \( (\mathcal{C}_3) \) et \( (\mathcal{C}_4) \) de centre \( O \) et de rayon respectif : \( 6 \) cm, \( 4.5 \) cm, \( 3 \) cm et \( 1.5 \) cm.
2. Dans le cercle \( (\mathcal{C}_1) \), trace deux diamètres perpendiculaires \( [A_1 C_1] \) et \( [B_1 D_1] \).
3. Trace le carré \( A_1 B_1 C_1 D_1 \) et ses diagonales. Ces dernières coupent le cercle \( (\mathcal{C}_2) \) en \( A_2, B_2, C_2 \) et \( D_2 \), le cercle \( (\mathcal{C}_3) \) en \( A_3, B_3, C_3 \) et \( D_3 \) et le cercle \( (\mathcal{C}_4) \) en \( A_4, B_4, C_4 \) et \( D_4 \).
4. Trace les segments:
– \( [A_1 B_2] \)
– \( [B_1 C_3] \)
– \( [C_1 D_4] \)
– \( [D_1 A_0] \)
– \( [B_1 C_2] \)
– \( [C_1 D_3] \)
– \( [D_1 A_4] \)
– \( [A_1 B_0] \)
– \( [D_4 A_2] \)
– \( [A_1 B_4] \)
– \( [B_1 C_0] \)
– \( [C_3 D_2] \)
5. Colorie comme indiqué dans le schéma pour obtenir la forme finale.
Pour vérifier la correcte construction, voici les relations géométriques importantes :
– Les points \( A_i, B_i, C_i \) et \( D_i \) pour \( i=1,2,3,4 \) sont régulièrement répartis sur chaque cercle.
– Chaque cercle \( (\mathcal{C}_i) \) est divisé en quatre parties égales par les diagonales du carré \( A_1B_1C_1D_1 \).
Le résultat final doit respecter la symétrie et les proportions indiquées dans le schéma.
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