Exercice 1 : douze pentaminos avec un coq et un kangourou
Pour calculer et comparer les périmètres des deux figures (coq et kangourou) formées par les pentaminos, on suivra les étapes suivantes :
1. \[\]Décompte des carrés sur le bord de chaque figure\[\] : Chaque petite case de la grille représente un carré unité.
### Calcul du périmètre du coq
Observons la figure du coq à gauche.
Chaque segment du périmètre de la figure est tracé en parcourant les contours. On compte chaque segment (horizontaux et verticaux) recouvert par un carré unité.
\[
P_{\text{coq}} = 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 37
\]
### Calcul du périmètre du kangourou
Observons la figure du kangourou à droite.
On répète la procédure précédente de traçage et décompte des segments autour de la figure.
\[
P_{\text{kangourou}} = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 1 + 2 = 38
\]
### Conclusion
En comparant les deux périmètres calculés :
\[
P_{\text{coq}} = 37 \quad \text{et} \quad P_{\text{kangourou}} = 38
\]
Ainsi, le périmètre du kangourou est d’une unité plus grand que celui du coq.
Exercice 2 : exprimer l’aire de chaque figure
1. L’aire de la figure 1 :
Pour calculer l’aire de cette figure, on compte simplement le nombre de cases oranges.
\[
1 \text{ (en violet)} \times 11 = 11
\]
L’aire de la figure 1 est donc de 11 unités d’aire.
2. L’aire de la figure 2 :
En comptant les cases oranges, nous obtenons le même nombre que dans la figure 1.
\[
1 \text{ (en violet)} \times 11 = 11
\]
L’aire de la figure 2 est de 11 unités d’aire.
3. L’aire de la figure 3 :
Une fois de plus, en comptant les cases orange, nous notons que la disposition autour de la case centrale est maintenue.
\[
1 \text{ (en violet)} \times 11 = 11
\]
L’aire de la figure 3 est de 11 unités d’aire.
4. L’aire de la figure 4 :
Enfin, pour la dernière figure :
\[
1 \text{ (en violet)} \times 11 = 11
\]
L’aire de la figure 4 est de 11 unités d’aire.
Exercice 3 : donner l’aire en unités d(aire
1. Figure 1 :
Count the number of violet triangles in this figure. There are 8 triangles.
\[
\text{Aire de la Figure 1} = 8U
\]
2. Figure 2 :
Count the number of violet triangles in this figure. There are 13 triangles.
\[
\text{Aire de la Figure 2} = 13U
\]
3. Figure 3 :
Count the number of violet triangles in this figure. There are 10 triangles.
\[
\text{Aire de la Figure 3} = 10U
\]
4. Figure 4 :
Count the number of violet triangles in this figure. There are 11 triangles.
\[
\text{Aire de la Figure 4} = 11U
\]
Exercice 4 : calculer l’aire de figures
a. Exprime l’aire de chaque figure.
1. Pour la première figure, l’aire est \(6u\).
\[ A_1 = 6u \]
2. Pour la deuxième figure, l’aire est \(12u\).
\[ A_2 = 12u \]
3. Pour la troisième figure, l’aire est \(18u\).
\[ A_3 = 18u \]
4. Pour la quatrième figure, l’aire est \(24u\).
\[ A_4 = 24u \]
b. Dessin des figures 5 et 6 en suivant la même logique.
– Pour la cinquième figure, en suivant la logique, nous ajoutons un autre hexagone entouré de 6 hexagones, puis 18 hexagones autour du tout pour un total de \(6+12+18 = 36\) hexagones.
\[ A_5 = 30u \]
– Pour la sixième figure, de même manière, en ajoutant un autre hexagone entouré de 6 hexagones, puis 24 hexagones autour du tout pour un total de \(6+12+18+24 = 60\) hexagones.
\[ A_6 = 36u \]
Ainsi, l’aire de la figure 5 est \(30u\) et l’aire de la figure 6 est \(36u\).
Exercice 5 : quelle figure a l’aire la plus grande ?
[(a) \& (b)]
{Figure a :} Comptons les carrés unitaires : \(6 \times 5 = 30 \text{ unités carrées}\).
{Figure b :} Comptons les carrés unitaires : \(5 \times 5 = 25 \text{ unités carrées}\).
{Réponse :} La figure a a la plus grande aire.
[(e) \& (f)]
{Figure e :} Comptons les carrés unitaires. Aire : \(8 \times 7 = 56 \text{ unités carrées}\).
{Figure f :} Comptons les carrés unitaires. Aire : \(7 \times 7 = 49 \text{ unités carrées}\).
{Réponse :} La figure e a la plus grande aire.
[(c) \& (d)]
{Figure c :} Comptons les carrés unitaires :
\begin{align*}
\text{L} & : 12 unités, \\
\text{& section horizontale : 1 \times 10 = 10 unités,} \\
\text{& section verticale : 2 segments 1 \times 1}[2].
\end{align*}
Aire = \(10 + 2 = 12 \text{ unités carrées}\).
{Figure d :} Comptons les carrés unitaires :
\begin{align*}
\text{Angular configuration} : Aire = 20 \text{ unités} (4×5 chaque option).
(Effective addition modulo – ve)
\end{align*}
{Réponse :} La figure d a la plus grande aire.
[(g) \& (h)]
{Figure g :} Comptons les carrés unitaires.
Surface area estimation detects : 2250 + units1 (35×65)139 2(3-d complex) rect.
{Figure h :} Comptons les carrés unitaires
Estimation applies(40 intact) 23500+ un1
(struct incomplete) 5x7x7d char in +rect
{Réponse :} Déterminé.
Exercice 6 : quelle aire est la plus petite ?
Pour déterminer laquelle des figures a la plus petite aire, on peut compter le nombre de triangles équilatéraux dans chaque figure, puisque toutes les figures sont composées de triangles équilatéraux de même taille.
Pour les figures a et b :
– La figure a est composée de \( 12 \) triangles équilatéraux.
– La figure b est composée de \( 16 \) triangles équilatéraux.
On en conclut que la figure ayant la plus petite aire entre a et b est la figure a.
Pour les figures c et d :
– La figure c est composée de \( 13 \) triangles équilatéraux.
– La figure d est composée de \( 18 \) triangles équilatéraux.
On en conclut que la figure ayant la plus petite aire entre c et d est la figure c.
Donc, la correction de l’exercice est la suivante :
1. Entre les figures a et b, la figure ayant la plus petite aire est la figure a.
2. Entre les figures c et d, la figure ayant la plus petite aire est la figure c.
Exercice 7 : colorier les surfaces de même aires
Pour résoudre cet exercice, nous devons colorier les surfaces ayant la même aire avec la même couleur. Analysons chaque surface marquée :
a. Cette surface est composée de 5 hexagones.
b. Cette surface est composée de 6 hexagones.
c. Cette surface est composée de 7 hexagones.
d. Cette surface est composée de 6 hexagones.
e. Cette surface est composée de 5 hexagones.
f. Cette surface est composée de 7 hexagones.
En résumé :
– Les surfaces (a) et (e) contiennent chacune 5 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.
– Les surfaces (b) et (d) contiennent chacune 6 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.
– Les surfaces (c) et (f) contiennent chacune 7 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.
Ainsi, nous avons :
– Les surfaces (a) et (e) coloriées par exemple en rouge.
– Les surfaces (b) et (d) coloriées par exemple en bleu.
– Les surfaces (c) et (f) coloriées par exemple en vert.
Nous obtiendrons ainsi une répartition de couleurs telle que les surfaces de mêmes aires soient de même couleur.
Exercice 8 : on considère un mot
a. Exprime l’aire de chaque lettre en prenant \( u \) pour unité d’aire.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre} & C & H & I & O & T \\
\hline
\text{Aire (en u)} & 17u & 17u & 9u & 21u & 17u \\
\hline
\end{array}
\]
b. Range ces lettres dans l’ordre croissant de leur aire.
\[
\text{I} < \text{C} = \text{H} = \text{T} < \text{O}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre} & I & C & H & T & O \\
\hline
\text{Aire (en u)} & 9u & 17u & 17u & 17u & 21u \\
\hline
\end{array}
\]
c. Exprime l’aire de chaque lettre en prenant \( v \) pour unité d’aire.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre} & C & H & I & O & T \\
\hline
\text{Aire (en v)} & 17v & 17v & 9v & 21v & 17v \\
\hline
\end{array}
\]
d. Que remarques-tu ?
Toutes les lettres, sauf le I, ont la même aire, qu’on utilise \( u \) ou \( v \) comme unité d’aire. Seule la lettre O a une aire différente des autres lettres, avec une aire plus grande que les autres lettres.
Exercice 9 : ranger ces animaux
Pour déterminer l’ordre décroissant des aires des animaux représentés, nous comptons le nombre de triangles équilatéraux qui les composent chacun.
1. Premier animal : Baleine (en bleu) – \[\]16 triangles\[\]
2. Deuxième animal : Chien (en marron) – \[\]14 triangles\[\]
3. Troisième animal : Éléphant (en gris) – \[\]18 triangles\[\]
4. Quatrième animal : Cygne (en noir et blanc) – \[\]10 triangles\[\]
5. Cinquième animal : Pieuvre (en orange) – \[\]19 triangles\[\]
6. Sixième animal : Serpent (en vert) – \[\]13 triangles\[\]
L’ordre décroissant de leurs aires est donc :
1. Pieuvre
2. Éléphant
3. Baleine
4. Chien
5. Serpent
6. Cygne
Exercice 10 : exprimer l’aire de chaque figure
\[\]Correction:\[\]
Pour trouver l’aire de chaque figure, nous allons compter les carrés complets et les fractions de carrés dans chaque figure.
Pour les figures en orange:
1. Aire de la figure 1 :
Le grand trapèze peut être décomposé en deux trapézoïdes et un rectangle pour simplifier le calcul :
– La plus grande partie a environ 10 carreaux (2×5).
– La plus petite partie contient environ 4 carreaux.
– Les deux petits morceaux restants ajoutent environ 1 carreau.
Donc, l’aire totale est :
\[
A_1 = 10 + 4 + 1 = 15 \, \text{cm}^2
\]
2. Aire de la figure 2 :
Cette figure peut être divisée en trois rectangles :
– Le premier rectangle, 2×1 = 2 carrés.
– Le morceau supérieur contient environ 2 carrés.
– Les deux morceaux restants au centre ajoutent environ 2 carrés.
Donc, l’aire totale est :
\[
A_2 = 2 + 2 + 2 = 6 \, \text{cm}^2
\]
3. Aire de la figure 3 :
Cette figure peut être décomposée en deux rectangles et deux triangles complets et un demi-triangle :
– Le grand rectangle (celle de gauche) a environ 2×3 = 6 carrés.
– Le petit rectangle (celle du haut) a 2×2 = 4 carrés.
– Le triangle du bas gauche et le triangle à droite contiennent environ 1 carreau chacun.
Donc, l’aire totale est :
\[
A_3 = 6 + 4 + 1 + 1 = 12 \, \text{cm}^2
\]
4. Aire de la figure 4 :
Cette figure est composée de plusieurs morceaux que nous devons ajouter :
– La plus grande partie contient environ 12 carrés.
– Les deux morceaux restants ajoutent environ 2 carrés.
Donc, l’aire totale est :
\[
A_4 = 12 + 2 = 14 \, \text{cm}^2
\]
Pour les figures en vert :
1. Aire de la figure 1 :
\[
A_1 = 2 \times 5 = 10 \, \text{cm}^2
\]
2. Aire de la figure 2 :
\[
A_2 = 5 \times 4 = 20 \, \text{cm}^2
\]
3. Aire de la figure 3 :
\[
A_3 = 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}^2
\]
4. Aire de la figure 4 :
\[
A_4 = 2 \times 4 = 8 \, \text{cm}^2
\]
Exercice 11 : faire les tracés nécessaires
Figure \(1\):
Pour déterminer l’aire de la figure \(1\), on peut la diviser en un rectangle de 8 cm de long et 4 cm de large avec deux petites sections rectangulaires découpées, chacune mesurant 2 cm de large sur 2 cm de long.
\[
Aire_{1} = (8 \times 4) – 2 \times (2 \times 2) = 32 – 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
Figure \(2\):
On peut diviser la figure en trois rectangles de 4 cm de long et 6 cm de large.
\[
Aire_{2} = 3 \times (4 \times 6) = 3 \times 24 = 72 \, \text{cm}^2
\]
Figure \(3\):
La figure peut être divisée en trois rectangles :
– \(3 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm}\),
– \(1 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}\),
– \(3 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}\).
\[
Aire_{3} = (3 \times 6) + (1 \times 4) + (3 \times 4) = 18 + 4 + 12 = 34 \, \text{cm}^2
\]
Figure \(4\):
On peut diviser la figure en deux rectangles :
– \(4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}\),
– \(8 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}\),
\[
Aire_{4} = (4 \times 4) + (8 \times 2) = 16 + 16 = 32 \, \text{cm}^2
\]
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