Les aires : corrigés desexercices de maths en CM1.

Exercice 1 : douze pentaminos avec un coq et un kangourou
Pour calculer et comparer les périmètres des deux figures (coq et kangourou) formées par les pentaminos, on suivra les étapes suivantes :

1. $Decompte\,des\,carres\,sur\,le\,bord\,de\,chaque\,figure$ : Chaque petite case de la grille représente un carré unité.

### Calcul du périmètre du coq

Observons la figure du coq à gauche.

Chaque segment du périmètre de la figure est tracé en parcourant les contours. On compte chaque segment (horizontaux et verticaux) recouvert par un carré unité.

$%0D%0AP_{coq}\,=\,1\,%2B\,4\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,3\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,2\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,3\,%2B\,1\,%2B\,1\,=\,37$

### Calcul du périmètre du kangourou

Observons la figure du kangourou à droite.

On répète la procédure précédente de traçage et décompte des segments autour de la figure.

$%0D%0AP_{kangourou}\,=\,2\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,3\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,1\,%2B\,5\,%2B\,1\,%2B\,2\,=\,38$

### Conclusion
En comparant les deux périmètres calculés :

$%0D%0AP_{coq}\,=\,37\,\quad\,et\,\quad\,P_{kangourou}\,=\,38$

Ainsi, le périmètre du kangourou est d’une unité plus grand que celui du coq.

Exercice 2 : exprimer l’aire de chaque figure
1. L’aire de la figure 1 :

Pour calculer l’aire de cette figure, on compte simplement le nombre de cases oranges.

$%0D%0A1\,\,(en\,violet)\,\times \,11\,=\,11$

L’aire de la figure 1 est donc de 11 unités d’aire.

2. L’aire de la figure 2 :

En comptant les cases oranges, nous obtenons le même nombre que dans la figure 1.

$%0D%0A1\,\,(en\,violet)\,\times \,11\,=\,11\,$

L’aire de la figure 2 est de 11 unités d’aire.

3. L’aire de la figure 3 :

Une fois de plus, en comptant les cases orange, nous notons que la disposition autour de la case centrale est maintenue.

$%0D%0A1\,\,(en\,violet)\,\times \,11\,=\,11$

L’aire de la figure 3 est de 11 unités d’aire.

4. L’aire de la figure 4 :

Enfin, pour la dernière figure :

$%0D%0A1\,\,(en\,violet)\,\times \,11\,=\,11$

L’aire de la figure 4 est de 11 unités d’aire.

Exercice 3 : donner l’aire en unités d(aire
1. Figure 1 :

Count the number of violet triangles in this figure. There are 8 triangles.

$%0D%0AAire\,de\,la\,Figure\,1\,=\,8U$

2. Figure 2 :

Count the number of violet triangles in this figure. There are 13 triangles.

$%0D%0AAire\,de\,la\,Figure\,2\,=\,13U$

3. Figure 3 :

Count the number of violet triangles in this figure. There are 10 triangles.

$%0D%0AAire\,de\,la\,Figure\,3\,=\,10U$

4. Figure 4 :

Count the number of violet triangles in this figure. There are 11 triangles.

$%0D%0AAire\,de\,la\,Figure\,4\,=\,11U$

Exercice 4 : calculer l’aire de figures
a. Exprime l’aire de chaque figure.

1. Pour la première figure, l’aire est .
$A_1\,=\,6u$

2. Pour la deuxième figure, l’aire est .
$A_2\,=\,12u$

3. Pour la troisième figure, l’aire est .
$A_3\,=\,18u$

4. Pour la quatrième figure, l’aire est .
$A_4\,=\,24u$

b. Dessin des figures 5 et 6 en suivant la même logique.

– Pour la cinquième figure, en suivant la logique, nous ajoutons un autre hexagone entouré de 6 hexagones, puis 18 hexagones autour du tout pour un total de $6%2B12%2B18\,=\,36$ hexagones.
$A_5\,=\,30u$

– Pour la sixième figure, de même manière, en ajoutant un autre hexagone entouré de 6 hexagones, puis 24 hexagones autour du tout pour un total de $6%2B12%2B18%2B24\,=\,60$ hexagones.
$A_6\,=\,36u$

Ainsi, l’aire de la figure 5 est et l’aire de la figure 6 est .

Exercice 5 : quelle figure a l’aire la plus grande ?

[(a) \& (b)]
\begin{itemize}
Figure a : Comptons les carrés unitaires : $6\,\times \,5\,=\,30\,\,unites\,carrees$ .
Figure b : Comptons les carrés unitaires : $5\,\times \,5\,=\,25\,\,unites\,carrees$ .
Réponse : La figure a a la plus grande aire.

[(e) \& (f)]

Figure e : Comptons les carrés unitaires. Aire : $8\,\times \,7\,=\,56\,\,unites\,carrees$ .
Figure f : Comptons les carrés unitaires. Aire : $7\,\times \,7\,=\,49\,\,unites\,carrees$ .
Réponse : La figure e a la plus grande aire.

[(c) \& (d)]

Figure c : Comptons les carrés unitaires :
\begin{align*}
\text{L} & : 12 unités, \\
\text{& section horizontale : 1 \times 10 = 10 unités,} \\
\text{& section verticale : 2 segments 1 \times 1}[2].
\end{align*}
Aire = $10\,%2B\,2\,=\,12\,\,unites\,carrees$ .

Figure d : Comptons les carrés unitaires :
\begin{align*}
\text{Angular configuration} : Aire = 20 \text{ unités} (4×5 chaque option).
(Effective addition modulo – ve)
\end{align*}

Réponse : La figure d a la plus grande aire.

[(g) \& (h)]

Figure g : Comptons les carrés unitaires.
Surface area estimation detects : 2250 + units1 (35×65)139 2(3-d complex) rect.
Figure h : Comptons les carrés unitaires
Estimation applies(40 intact) 23500+ un1
(struct incomplete) 5x7x7d char in +rect

Réponse : Déterminé.

\end{itemize}

Exercice 6 : quelle aire est la plus petite ?
Pour déterminer laquelle des figures a la plus petite aire, on peut compter le nombre de triangles équilatéraux dans chaque figure, puisque toutes les figures sont composées de triangles équilatéraux de même taille.

Pour les figures a et b :
– La figure a est composée de triangles équilatéraux.
– La figure b est composée de triangles équilatéraux.

On en conclut que la figure ayant la plus petite aire entre a et b est la figure a.

Pour les figures c et d :
– La figure c est composée de triangles équilatéraux.
– La figure d est composée de triangles équilatéraux.

On en conclut que la figure ayant la plus petite aire entre c et d est la figure c.

Donc, la correction de l’exercice est la suivante :
1. Entre les figures a et b, la figure ayant la plus petite aire est la figure a.
2. Entre les figures c et d, la figure ayant la plus petite aire est la figure c.

Exercice 7 : colorier les surfaces de même aires
Pour résoudre cet exercice, nous devons colorier les surfaces ayant la même aire avec la même couleur. Analysons chaque surface marquée :

a. Cette surface est composée de 5 hexagones.

b. Cette surface est composée de 6 hexagones.

c. Cette surface est composée de 7 hexagones.

d. Cette surface est composée de 6 hexagones.

e. Cette surface est composée de 5 hexagones.

f. Cette surface est composée de 7 hexagones.

En résumé :
– Les surfaces (a) et (e) contiennent chacune 5 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.
– Les surfaces (b) et (d) contiennent chacune 6 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.
– Les surfaces (c) et (f) contiennent chacune 7 hexagones, elles seront donc coloriées de la même couleur.

Ainsi, nous avons :
– Les surfaces (a) et (e) coloriées par exemple en rouge.
– Les surfaces (b) et (d) coloriées par exemple en bleu.
– Les surfaces (c) et (f) coloriées par exemple en vert.

Nous obtiendrons ainsi une répartition de couleurs telle que les surfaces de mêmes aires soient de même couleur.

Exercice 8 : on considère un mot
a. Exprime l’aire de chaque lettre en prenant pour unité d’aire.

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ALettre\,%26\,C\,%26\,H\,%26\,I\,%26\,O\,%26\,T\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAire\,(en\,u)\,%26\,17u\,%26\,17u\,%26\,9u\,%26\,21u\,%26\,17u\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Range ces lettres dans l’ordre croissant de leur aire.

$%0D%0AI\,%3C\,C\,=\,H\,=\,T\,%3C\,O$

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ALettre\,%26\,I\,%26\,C\,%26\,H\,%26\,T\,%26\,O\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAire\,(en\,u)\,%26\,9u\,%26\,17u\,%26\,17u\,%26\,17u\,%26\,21u\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

c. Exprime l’aire de chaque lettre en prenant pour unité d’aire.

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ALettre\,%26\,C\,%26\,H\,%26\,I\,%26\,O\,%26\,T\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAire\,(en\,v)\,%26\,17v\,%26\,17v\,%26\,9v\,%26\,21v\,%26\,17v\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

d. Que remarques-tu ?

Toutes les lettres, sauf le I, ont la même aire, qu’on utilise ou comme unité d’aire. Seule la lettre O a une aire différente des autres lettres, avec une aire plus grande que les autres lettres.

Exercice 9 : ranger ces animaux
Pour déterminer l’ordre décroissant des aires des animaux représentés, nous comptons le nombre de triangles équilatéraux qui les composent chacun.

1. Premier animal : Baleine (en bleu) – $16\,triangles$
2. Deuxième animal : Chien (en marron) – $14\,triangles$
3. Troisième animal : Éléphant (en gris) – $18\,triangles$
4. Quatrième animal : Cygne (en noir et blanc) – $10\,triangles$
5. Cinquième animal : Pieuvre (en orange) – $19\,triangles$
6. Sixième animal : Serpent (en vert) – $13\,triangles$

L’ordre décroissant de leurs aires est donc :

1. Pieuvre
2. Éléphant
3. Baleine
4. Chien
5. Serpent
6. Cygne

Exercice 10 : exprimer l’aire de chaque figure

Pour trouver l’aire de chaque figure, nous allons compter les carrés complets et les fractions de carrés dans chaque figure.

Pour les figures en orange:

1. Aire de la figure 1 :
Le grand trapèze peut être décomposé en deux trapézoïdes et un rectangle pour simplifier le calcul :
– La plus grande partie a environ 10 carreaux (2×5).
– La plus petite partie contient environ 4 carreaux.
– Les deux petits morceaux restants ajoutent environ 1 carreau.

Donc, l’aire totale est :
$%0D%0A\,\,\,A_1\,=\,10\,%2B\,4\,%2B\,1\,=\,15\,\%2C\,cm^2$

2. Aire de la figure 2 :
Cette figure peut être divisée en trois rectangles :
– Le premier rectangle, 2×1 = 2 carrés.
– Le morceau supérieur contient environ 2 carrés.
– Les deux morceaux restants au centre ajoutent environ 2 carrés.

Donc, l’aire totale est :
$%0D%0A\,\,\,A_2\,=\,2\,%2B\,2\,%2B\,2\,=\,6\,\%2C\,cm^2$

3. Aire de la figure 3 :
Cette figure peut être décomposée en deux rectangles et deux triangles complets et un demi-triangle :
– Le grand rectangle (celle de gauche) a environ 2×3 = 6 carrés.
– Le petit rectangle (celle du haut) a 2×2 = 4 carrés.
– Le triangle du bas gauche et le triangle à droite contiennent environ 1 carreau chacun.

Donc, l’aire totale est :
$%0D%0A\,\,\,A_3\,=\,6\,%2B\,4\,%2B\,1\,%2B\,1\,=\,12\,\%2C\,cm^2$

4. Aire de la figure 4 :
Cette figure est composée de plusieurs morceaux que nous devons ajouter :
– La plus grande partie contient environ 12 carrés.
– Les deux morceaux restants ajoutent environ 2 carrés.

Donc, l’aire totale est :
$%0D%0A\,\,\,A_4\,=\,12\,%2B\,2\,=\,14\,\%2C\,cm^2$

Pour les figures en vert :

1. Aire de la figure 1 :
$%0D%0A\,\,\,A_1\,=\,2\,\times \,5\,=\,10\,\%2C\,cm^2$

2. Aire de la figure 2 :
$%0D%0A\,\,\,A_2\,=\,5\,\times \,4\,=\,20\,\%2C\,cm^2$

3. Aire de la figure 3 :
$%0D%0A\,\,\,A_3\,=\,4\,\times \,4\,=\,16\,\%2C\,cm^2$

4. Aire de la figure 4 :
$%0D%0A\,\,\,A_4\,=\,2\,\times \,4\,=\,8\,\%2C\,cm^2$

Exercice 11 : faire les tracés nécessaires
Figure :

Pour déterminer l’aire de la figure , on peut la diviser en un rectangle de 8 cm de long et 4 cm de large avec deux petites sections rectangulaires découpées, chacune mesurant 2 cm de large sur 2 cm de long.

$%0D%0AAire_{1}\,=\,(8\,\times \,4)\,-\,2\,\times \,(2\,\times \,2)\,=\,32\,-\,8\,=\,24\,\%2C\,cm^2$

Figure :

On peut diviser la figure en trois rectangles de 4 cm de long et 6 cm de large.

$%0D%0AAire_{2}\,=\,3\,\times \,(4\,\times \,6)\,=\,3\,\times \,24\,=\,72\,\%2C\,cm^2$

Figure :

La figure peut être divisée en trois rectangles :
– $3\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm$ ,
– $1\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$ ,
– $3\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$ .