Les intégrales : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : calculer ces intégrales
a)
$\int_{0}^{4}\,3\,\%2C\,dx$
Calculons cette intégrale :
Comme la constante peut être sortie de l’intégrale :
$\int_{0}^{4}\,3\,\%2C\,dx\,=\,3\,\int_{0}^{4}\,1\,\%2C\,dx$
L’intégrale de par rapport à est simplement :
$3\,\int_{0}^{4}\,1\,\%2C\,dx\,=\,3\,%5B\,x\,%5D_{0}^{4}$
Appliquons les bornes :
$3\,%5B\,x\,%5D_{0}^{4}\,=\,3\,(4\,-\,0)\,=\,3\,\cdot\,4\,=\,12$

b)
$\int_{3}^{7}\,(\,\frac{1}{2}\,t\,%2B\,2\,)\,dt$
Calculons cette intégrale en utilisant la linéarité de l’intégrale :
$\int_{3}^{7}\,(\,\frac{1}{2}\,t\,%2B\,2\,)\,dt\,=\,\int_{3}^{7}\,\frac{1}{2}\,t\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{3}^{7}\,2\,\%2C\,dt$

Pour la première partie :
$\int_{3}^{7}\,\frac{1}{2}\,t\,\%2C\,dt\,=\,\frac{1}{2}\,\int_{3}^{7}\,t\,\%2C\,dt\,=\,\frac{1}{2}\,%5B\,\frac{t^2}{2}\,%5D_{3}^{7}\,=\,\frac{1}{2}\,(\,\frac{7^2}{2}\,-\,\frac{3^2}{2}\,)\,=\,\frac{1}{2}\,(\,\frac{49}{2}\,-\,\frac{9}{2}\,)\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{40}{2}\,=\,\frac{40}{4}\,=\,10$

Pour la deuxième partie :
$\int_{3}^{7}\,2\,\%2C\,dt\,=\,2\,\int_{3}^{7}\,1\,\%2C\,dt\,=\,2\,%5B\,t\,%5D_{3}^{7}\,=\,2\,(7\,-\,3)\,=\,2\,\cdot\,4\,=\,8$

En rassemblant les deux résultats :
$\int_{3}^{7}\,(\,\frac{1}{2}\,t\,%2B\,2\,)\,dt\,=\,10\,%2B\,8\,=\,18$

Exercice 2 : fonction continue et intégrale
a) La fonction est-elle continue sur l’intervalle $%5B-2\,%3B\,3%5D$ ?

Pour répondre à cette question, nous devons vérifier si la fonction $f(x)\,=\,%7Cx%7C$ est continue sur l’intervalle $%5B-2\,%3B\,3%5D$ .

Nous savons que la fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ , car:
$\lim_{x\,\to\,x_0}\,%7Cx%7C\,=\,%7Cx_0%7C\,\\,pour\,tout\,\,x_0\,\in\,\mathbb{R}$

Par conséquent, est continue sur l’intervalle $%5B-2\,%3B\,3%5D$ .

b) Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle $%5B-2\,%3B\,3%5D$ .

Pour tracer la courbe de la fonction $f(x)\,=\,%7Cx%7C$ , nous remarquons que la valeur absolue renvoie toujours une valeur positive ou nulle. La fonction se comporte comme une ligne droite avec une pente de pour $x\,\geq\,\,0$ et une ligne droite avec une pente de pour $x\,%3C\,0$ .

La courbe graphique serait donc:
– Une ligne décroissante de $(-2%2C\,2)$ à $(0%2C\,0)$ .
– Une ligne croissante de $(0%2C\,0)$ à $(3%2C\,3)$ .

Voici le schéma de la courbe:

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = $x$,
ylabel = {$f(x) = |x|$},
xmin=-3, xmax=4,
ymin=-1, ymax=4,
domain=-3:3,
samples=200,
legend pos=outer north east
]
\addplot[color=blue, thick] {abs(x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

c) Calculer $\int_{-2}^{3}\,%7Cx%7C\,\%2C\,dx$ .

Pour calculer cette intégrale, nous devons prendre en compte les deux morceaux de la fonction :

$\int_{-2}^{3}\,%7Cx%7C\,\%2C\,dx\,=\,\int_{-2}^{0}\,-x\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{0}^{3}\,x\,\%2C\,dx$

Calculons chaque intégrale séparément :

1. $\int_{-2}^{0}\,-x\,\%2C\,dx$ :

$\int_{-2}^{0}\,-x\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,-\,\frac{x^2}{2}\,%5D_{-2}^{0}\,=\,-\,\frac{0^2}{2}\,-\,(\,-\frac{(-2)^2}{2}\,)\,=\,0\,-\,(\,-\,\frac{4}{2}\,)\,=\,2$

2. $\int_{0}^{3}\,x\,\%2C\,dx$ :

$\int_{0}^{3}\,x\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,\frac{x^2}{2}\,%5D_{0}^{3}\,=\,\frac{3^2}{2}\,-\,\frac{0^2}{2}\,=\,\frac{9}{2}$

En additionnant les deux résultats, nous obtenons:

$\int_{-2}^{3}\,%7Cx%7C\,\%2C\,dx\,=\,2\,%2B\,\frac{9}{2}\,=\,\frac{4}{2}\,%2B\,\frac{9}{2}\,=\,\frac{13}{2}\,=\,6.5$

Ainsi, $\int_{-2}^{3}\,%7Cx%7C\,\%2C\,dx\,=\,6.5$ .

Exercice 3 : fonction définie sur un intervalle
Pour calculer l’intégrale $\int_{-2}^{2}\,f(x)\,\%2C\,dx$ , nous devons utiliser la géométrie des aires car la fonction est linéaire et symétrique par rapport à l’axe .

1. La fonction forme deux triangles dans le graph:
– Un triangle entre $x\,=\,-2$ et $x\,=\,0$
– Un triangle entre $x\,=\,0$ et $x\,=\,2$

2. Calculons l’aire de chaque triangle.

L’aire d’un triangle est donnée par $Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$ .

### Premier Triangle:
– Base = 2 unités (de -2 à 0).
– Hauteur = 3 unités.

$A_{premier}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\times \,3\,=\,3$

### Deuxième Triangle:
– Base = 2 unités (de 0 à 2).
– Hauteur = 3 unités.

$A_{deuxieme}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\times \,3\,=\,3$

3. Additionnons les aires des deux triangles pour obtenir l’intégrale totale:

$\int_{-2}^{2}\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,A_{premier}\,%2B\,A_{deuxieme}\,=\,3\,%2B\,3\,=\,6$

La valeur de l’intégrale est donc :

Exercice 4 : tracer la courbe et calculer l’intégrale
a) Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.

Pour $x\,\in\,%5B-2%2C\,0%5D$ :
$f(x)\,=\,-x\,%2B\,1$

Pour $x\,\in\,%5B0%2C\,3%5D$ :
$f(x)\,=\,x\,%2B\,1$

– Pour $x\,=\,-2$ :
$f(-2)\,=\,-(-2)\,%2B\,1\,=\,3$
– Pour $x\,=\,-1$ :
$f(-1)\,=\,-(-1)\,%2B\,1\,=\,2$
– Pour $x\,=\,0$ :
$f(0)\,=\,-(0)\,%2B\,1\,=\,1$

– Pour $x\,=\,0$ :
$f(0)\,=\,0\,%2B\,1\,=\,1$
– Pour $x\,=\,1$ :
$f(1)\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2$
– Pour $x\,=\,2$ :
$f(2)\,=\,2\,%2B\,1\,=\,3$
– Pour $x\,=\,3$ :
$f(3)\,=\,3\,%2B\,1\,=\,4$

La courbe représentative de est constituée de deux segments de droite :
1. Un segment descendant pour $x\,\in\,%5B-2%2C\,0%5D$ reliant les points $(-2%2C\,3)$ et $(0%2C\,1)$ .
2. Un segment montant pour $x\,\in\,%5B0%2C\,3%5D$ reliant les points $(0%2C\,1)$ et $(3%2C\,4)$ .

b) Calculer $\int_{-2}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx$ .

La fonction est définie par morceaux, nous devons donc calculer deux intégrales séparées et les additionner :

$\int_{-2}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\int_{-2}^{0}\,(-x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{0}^{3}\,(x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx$

Calculons chaque partie séparément :

Pour $\int_{-2}^{0}\,(-x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx$ :
$\int_{-2}^{0}\,(-x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx\,=\,%5B\frac{-x^2}{2}\,%2B\,x%5D_{-2}^{0}$
$=\,(\frac{-(0)^2}{2}\,%2B\,0)\,-\,(\frac{-(-2)^2}{2}\,%2B\,(-2))$
$=\,0\,-\,(\frac{-4}{2}\,-\,2)$
$=\,0\,-\,(-2\,-\,2)$
$=\,0\,-\,(-4)$
$=\,4$

Pour $\int_{0}^{3}\,(x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx$ :
$\int_{0}^{3}\,(x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx\,=\,%5B\frac{x^2}{2}\,%2B\,x%5D_{0}^{3}$
$=\,(\frac{(3)^2}{2}\,%2B\,3)\,-\,(\frac{(0)^2}{2}\,%2B\,0)$
$=\,(\frac{9}{2}\,%2B\,3)\,-\,0$
$=\,\frac{9}{2}\,%2B\,3$
$=\,\frac{9}{2}\,%2B\,\frac{6}{2}$
$=\,\frac{15}{2}$

Additionnons les résultats des deux intégrales :
$\int_{-2}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,4\,%2B\,\frac{15}{2}$
$=\,\frac{8}{2}\,%2B\,\frac{15}{2}$
$=\,\frac{23}{2}$

Donc, $\int_{-2}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\frac{23}{2}$ .

Exercice 5 : déterminer le nombre a et intégrales

[a)]

Pour tracer la droite d’équation $y\,=\,x\,%2B\,4$ dans un repère orthogonal, nous commençons par déterminer deux points distincts de la droite.

Lorsque $x\,=\,0$ :
$y\,=\,0\,%2B\,4\,=\,4\,\quad\,(0%2C\,4)$

Lorsque $y\,=\,0$ :
$0\,=\,x\,%2B\,4\,\Longrightarrow\,x\,=\,-4\,\quad\,(-4%2C\,0)$

Nous traçons la droite passant par les points (0, 4) et (-4, 0) sur le repère orthogonal.

[b)]

Il faut déterminer le nombre réel $a\,>\,0$

Commençons par calculer chaque intégrale séparément.

Pour l’intégrale de gauche :

$\int_{-1}^{a}\,(t\,%2B\,4)\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,\frac{t^2}{2}\,%2B\,4t\,%5D_{-1}^{a}$

Calculons ensuite les valeurs aux bornes :

$=\,(\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,)\,-\,(\,\frac{(-1)^2}{2}\,%2B\,4(-1)\,)$
$=\,(\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,)\,-\,(\,\frac{1}{2}\,-\,4\,)$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,(\,\frac{1}{2}\,-\,4\,)$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,(\,\frac{1}{2}\,%2B\,4\,)$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{1}{2}\,-\,4$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{1}{2}\,-\,4$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{1}{2}\,-\,4$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{1}{2}\,-\,4$
$=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{9}{2}$

Calculons maintenant l’intégrale de droite :

$\int_{-4}^{0}\,(t\,%2B\,4)\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,\frac{t^2}{2}\,%2B\,4t\,%5D_{-4}^{0}$

Calculons ensuite les valeurs aux bornes :

$=\,(\,\frac{0^2}{2}\,%2B\,4(0)\,)\,-\,(\,\frac{(-4)^2}{2}\,%2B\,4(-4)\,)$
$=\,(\,0\,%2B\,0\,)\,-\,(\,\frac{16}{2}\,-\,16\,)$
$=\,0\,-\,(\,8\,-\,16\,)$
$=\,0\,-\,(-8)$
$=\,8$

D’où l’équation :

$\frac{a^2}{2}\,%2B\,4a\,-\,\frac{9}{2}\,=\,8$

Multiplions toute l’équation par 2 pour éliminer les fractions :

$a^2\,%2B\,8a\,-\,9\,=\,16$

$a^2\,%2B\,8a\,-\,25\,=\,0$

Cette équation quadratique se résout par la formule quadratique :

$a\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

Dans cette équation, $a\,=\,1$ , $b\,=\,8$ , et $c\,=\,-25$ .

Calculons le discriminant :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,8^2\,-\,4(1)(-25)\,=\,64\,%2B\,100\,=\,164$

Les solutions sont alors :

$a\,=\,\frac{-8\,\pm\,\sqrt{164}}{2}\,=\,-4\,\pm\,\sqrt{41}$

Cependant, nous cherchons une valeur $a\,>\,0$

Exercice 6 : courbes représentatives et carré
a) Pour trouver l’aire du domaine $\mathcal{D}_3$ , nous devons calculer l’intégrale entre les fonctions $y\,=\,x^2$ et $y\,=\,\sqrt{x}$ sur l’intervalle .

$A_{D_3}\,=\,\int_{0}^{1}\,(\sqrt{x}\,-\,x^2)\,\%2C\,dx$

Calculons cette intégrale :

$\int_{0}^{1}\,\sqrt{x}\,\%2C\,dx\,-\,\int_{0}^{1}\,x^2\,\%2C\,dx$

En utilisant la formule d’intégrale :

$\int_{0}^{1}\,x^{\frac{1}{2}}\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,\frac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}}\,%5D_{0}^{1}\,=\,\frac{2}{3}$

$\int_{0}^{1}\,x^2\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,\frac{x^3}{3}\,%5D_{0}^{1}\,=\,\frac{1}{3}$

Donc,

$A_{D_3}\,=\,\frac{2}{3}\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{1}{3}$

b) Pour passer du domaine $\mathcal{D}_3$ au domaine $\mathcal{D}_1$ , nous utilisons une symétrie par rapport à la droite $y\,=\,x$ . Cette transformation échange les coordonnées en .

c) Le domaine $\mathcal{D}_1$ est délimité par les courbes $y\,=\,x^2$ et $y\,=\,\sqrt{x}$ , mais cette fois, c’est dans le domaine inversé en utilisant la symétrie. Puisque ces deux domaines ont la même aire par symétrie, l’aire de $\mathcal{D}_1$ est aussi $\frac{1}{3}$ .

Pour calculer l’aire du domaine $\mathcal{D}_2$ , nous remarquons que le domaine est divisé en trois parties $\mathcal{D}_1$ , $\mathcal{D}_2$ et $\mathcal{D}_3$ . Puisque le carré a une aire de unité d’aire et que nous avons les aires de $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_3$ , nous pouvons écrire :

$A_{OIKJ}\,=\,A_{D_1}\,%2B\,A_{D_2}\,%2B\,A_{D_3}$
$1\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,A_{D_2}\,%2B\,\frac{1}{3}$

Ainsi,

$1\,=\,\frac{2}{3}\,%2B\,A_{D_2}$
$A_{D_2}\,=\,1\,-\,\frac{2}{3}\,=\,\frac{1}{3}$

Donc, l’aire de $\mathcal{D}_2$ est également $\frac{1}{3}$ .

Exercice 7 : fonction définie sur un intervalle et intégrale
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

On sait que $f(t)\,=\,\cos(2t)\,%2B\,1$ sur l’intervalle $%5B-\frac{\pi}{2}%2C\,\frac{3\pi}{2}%5D$ .

L’objectif est de déterminer $\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt$ et d’en déduire $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt$ .

Nous partons de:
$f(t)\,=\,\cos(2t)\,%2B\,1$

Calculons d’abord $\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt$ .

$\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,(\cos(2t)\,%2B\,1)\,\%2C\,dt$

Nous pouvons séparer cette intégrale en deux parties :

$\int_{0}^{\pi}\,(\cos(2t)\,%2B\,1)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{0}^{\pi}\,1\,\%2C\,dt$

Calculons chaque partie séparément:

1. Pour $\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt$ , nous utilisons un changement de variable. Soit $u\,=\,2t$ , donc $du\,=\,2\,\%2C\,dt$ ou $dt\,=\,\frac{du}{2}$ . Les nouvelles bornes de l’intégrale sont et $2\pi$ .
$\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{2\pi}\,\cos(u)\,\cdot\,\frac{1}{2}\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{2}\,\int_{0}^{2\pi}\,\cos(u)\,\%2C\,du$
Nous savons que $\int_{0}^{2\pi}\,\cos(u)\,\%2C\,du\,=\,0$ car $\cos(u)$ est une fonction périodique avec un cycle complet de à $2\pi$ . Par conséquent:
$\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,0\,=\,0$

2. Pour $\int_{0}^{\pi}\,1\,\%2C\,dt$ :
$\int_{0}^{\pi}\,1\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,t\,%5D_{0}^{\pi}\,=\,\pi\,-\,0\,=\,\pi$

En combinant les deux résultats, nous avons:
$\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,0\,%2B\,\pi\,=\,\pi$

Maintenant, en utilisant le fait que $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{\pi}{2}$ :

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt$

Sachant que:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\pi$

Donc,
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\pi\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\frac{2\pi}{2}\,=\,\frac{3\pi}{2}$

Conclusion:
$\int_{0}^{\pi}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\pi$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{3\pi}{2}$

\end{document}

Exercice 8 : aire de domaine à l’aide d’une intégrale
1. a)

L’expression de la fonction est $f(x)\,=\,2$ .

Le domaine coloré est défini pour $0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,2$ et $0\,\leq\,\,y\,\leq\,\,2$ .

L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
$\int_0^2\,2\,\%2C\,dx$

L’aire de ce domaine est de $4\,\%2C\,unite(s)\,d'aire$ .

1. b)

L’expression de la fonction est $f(x)\,=\,2x$ .

Le domaine coloré est défini pour $0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,1$ et $0\,\leq\,\,y\,\leq\,\,2x$ .

L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
$\int_0^1\,2x\,\%2C\,dx$

L’aire de ce domaine est de $1\,\%2C\,unite(s)\,d'aire$ .

1. c)

L’expression de la fonction est $f(x)\,=\,x$ .

Le domaine coloré est défini pour $0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,2$ et $0\,\leq\,\,y\,\leq\,\,x$ .

L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
$\int_0^2\,x\,\%2C\,dx$

L’aire de ce domaine est de $2\,\%2C\,unite(s)\,d'aire$ .

1. d)

L’expression de la fonction est $f(x)\,=\,2\,-\,x$ .

Le domaine coloré est défini pour $0\,\leq\,\,x\,\leq\,\,2$ et $0\,\leq\,\,y\,\leq\,\,2\,-\,x$ .

L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
$\int_0^2\,(2\,-\,x)\,\%2C\,dx$

L’aire de ce domaine est de $2\,\%2C\,unite(s)\,d'aire$ .

Exercice 9 : représenter graphiquement le domaine et valeur de l’intégrale
1) a. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :

$\int_{-1}^{1}\,3\,\%2C\,dx$

Le domaine est un rectangle situé entre les bornes x = -1 et x = 1 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 3 sur l’axe des ordonnées.

2) Ce domaine est un rectangle de largeur 2 (de -1 à 1) et de hauteur 3.

3) La valeur de son aire est :

$\int_{-1}^{1}\,3\,\%2C\,dx\,=\,3\,\times \,(1\,-\,(-1))\,=\,3\,\times \,2\,=\,6$

1) b. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :

$\int_{-5}^{2}\,1\,\%2C\,dx$

Le domaine est un rectangle situé entre les bornes x = -5 et x = 2 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 1 sur l’axe des ordonnées.

2) Ce domaine est un rectangle de largeur 7 (de -5 à 2) et de hauteur 1.

3) La valeur de son aire est :

$\int_{-5}^{2}\,1\,\%2C\,dx\,=\,1\,\times \,(2\,-\,(-5))\,=\,1\,\times \,7\,=\,7$

1) c. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :

$\int_{0}^{3.5}\,x\,\%2C\,dx$

Le domaine est un triangle droit situé entre les bornes x = 0 et x = 3.5 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = x sur l’axe des ordonnées.

2) Ce domaine est un triangle avec une base de 3.5 et une hauteur de 3.5.

3) La valeur de son aire est :

$\int_{0}^{3.5}\,x\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,\frac{1}{2}x^2\,%5D_{0}^{3.5}\,=\,\frac{1}{2}\,(3.5)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,12.25\,=\,6.125$

1) d. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :

$\int_{0}^{2}\,(4\,-\,x)\,\%2C\,dx$

Le domaine est un trapèze droit situé entre les bornes x = 0 et x = 2 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 4 – x sur l’axe des ordonnées.

2) Ce domaine est un trapèze avec une base supérieure de 2 (de y = 4), une base inférieure de 4 (de y = 4 – 2 = 2), et une hauteur de 2.

3) La valeur de son aire est :

$\int_{0}^{2}\,(4\,-\,x)\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,4x\,-\,\frac{1}{2}x^2\,%5D_{0}^{2}\,=\,(8\,-\,2)\,-\,(0)\,=\,6$

Exercice 10 : déterminer la primitive d’une fonction f

$f : x \mapsto x^3 – 1$ sur $\mathbb{R}$
$%26F(x)\,=\,\int\,(x^3\,-\,1)\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,\int\,x^3\,\%2Cdx\,-\,\int\,1\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,\frac{x^4}{4}\,-\,x\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

$f : x \mapsto \frac{2}{x}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
$%26F(x)\,=\,\int\,\frac{2}{x}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,2\,\int\,\frac{1}{x}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,2\,\ln%7Cx%7C\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

$f : x \mapsto \frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
$%26F(x)\,=\,\int\,x^{-2}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,\int\,x^{-2}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,-x^{-1}\,%2B\,C\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,-\frac{1}{x}\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

$f : x \mapsto -\sin(x)$ sur $\mathbb{R}$
$%26F(x)\,=\,\int\,-\sin(x)\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,-\int\,\sin(x)\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,-(-\cos(x))\,%2B\,C\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,\cos(x)\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

$f : x \mapsto \frac{1}{x^6}$ sur $\mathbb{R}^-$
$%26F(x)\,=\,\int\,x^{-6}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,\frac{x^{-5}}{-5}\,%2B\,C\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,-\frac{1}{5x^5}\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

$f : x \mapsto \frac{4}{\sqrt{x}}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
$%26F(x)\,=\,\int\,\frac{4}{\sqrt{x}}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,4\,\int\,x^{-1%2F2}\,\%2Cdx\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,4\,\cdot\,2x^{1%2F2}\,%2B\,C\,\\%0D%0A%26F(x)\,=\,8\sqrt{x}\,%2B\,C$
où $C$ est une constante d’intégration.

Exercice 11 : calculer la primitive de ces fonctions
Correction de l’exercice :

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,2x\,(x^2\,%2B\,1)^2$ sur $\mathbb{R}$

Soit F(x) une primitive de f(x) . On utilise la substitution $u\,=\,x^2\,%2B\,1$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,2x\,\Rightarrow\,2x\,\%2C\,dx\,=\,du$

$f(x)\,=\,u^2\,\cdot\,\frac{du}{2}\,=\,\frac{1}{2}\,u^2\,\%2C\,du$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\frac{1}{2}\,\int\,u^2\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{u^3}{3}\,=\,\frac{u^3}{6}\,=\,\frac{(x^2\,%2B\,1)^3}{6}$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,\frac{(x^2\,%2B\,1)^3}{6}\,%2B\,C$ où est une constante d’intégration.

2. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{2x}{(x^2\,%2B\,1)^2}$ sur $\mathbb{R}$

Utilisons la substitution $u\,=\,x^2\,%2B\,1$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,2x\,\Rightarrow\,2x\,\%2C\,dx\,=\,du$

$f(x)\,=\,\frac{du}{u^2}\,=\,u^{-2}\,\%2C\,du$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,u^{-2}\,\%2C\,du\,=\,-u^{-1}\,=\,-\frac{1}{u}\,=\,-\frac{1}{x^2\,%2B\,1}$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,-\frac{1}{x^2\,%2B\,1}\,%2B\,C$ où est une constante d’intégration.

3. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x}{x^2\,%2B\,1}$ sur $\mathbb{R}$

Utilisons la substitution $u\,=\,x^2\,%2B\,1$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,2x\,\Rightarrow\,du\,=\,2x\,\%2C\,dx\,\Rightarrow\,\frac{du}{2}\,=\,x\,\%2C\,dx$

$f(x)\,=\,\frac{x}{x^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{du}{u}$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\frac{1}{2}\,\int\,\frac{du}{u}\,=\,\frac{1}{2}\,\ln\,%7Cu%7C\,=\,\frac{1}{2}\,\ln\,%7Cx^2\,%2B\,1%7C$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,\frac{1}{2}\,\ln\,%7Cx^2\,%2B\,1%7C\,%2B\,C$ .

4. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x}{\sqrt{1\,-\,x^2}}$ sur

Nous utilisons la substitution $u\,=\,1\,-\,x^2$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,-2x\,\Rightarrow\,du\,=\,-2x\,\%2C\,dx\,\Rightarrow\,-\frac{du}{2}\,=\,x\,\%2C\,dx$

Ainsi,

$f(x)\,=\,\frac{-\frac{du}{2}}{\sqrt{u}}\,=\,-\frac{1}{2}\,u^{-\frac{1}{2}}\,\%2C\,du$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,\int\,u^{-\frac{1}{2}}\,\%2C\,du\,=\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,2u^{\frac{1}{2}}\,=\,-\sqrt{u}\,=\,-\sqrt{1\,-\,x^2}$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,-\sqrt{1\,-\,x^2}\,%2B\,C$ .

5. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,e^{1\,-\,2x}$ sur $\mathbb{R}$

Nous utilisons la substitution $u\,=\,1\,-\,2x$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,-2\,\Rightarrow\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,du$

Ainsi,

$f(x)\,=\,e^u\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,du\,=\,-\frac{1}{2}\,e^u\,\%2C\,du$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,\int\,e^u\,\%2C\,du\,=\,-\frac{1}{2}\,e^u\,=\,-\frac{1}{2}\,e^{1\,-\,2x}$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,-\frac{1}{2}\,e^{1\,-\,2x}\,%2B\,C$ .

6. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{e^x}{e^x\,-\,1}$ sur $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$

Nous utilisons la substitution $u\,=\,e^x\,-\,1$ .

$\frac{du}{dx}\,=\,e^x\,\Rightarrow\,du\,=\,e^x\,\%2C\,dx\,\Rightarrow\,dx\,=\,\frac{du}{e^x}\,=\,\frac{du}{u\,%2B\,1}$

Ainsi,

$f(x)\,=\,\frac{u%2B1}{u}\,\cdot\,\frac{1}{u\,%2B\,1}\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{1}\,\%2C\,du\,=\,du$

$\int\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,\frac{du}{u}\,=\,\ln\,%7Cu%7C\,=\,\ln\,%7Ce^x\,-\,1%7C$

Donc, une primitive de f(x) est $F(x)\,=\,\ln\,%7Ce^x\,-\,1%7C\,%2B\,C$ .

Exercice 12 : calculer chacune des intégrales

$\int_{-2}^{4}\,x\,\%2C\,dx$

La primitive de est $\frac{x^2}{2}$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$%5B\,\frac{x^2}{2}\,%5D_{-2}^{4}\,=\,\frac{4^2}{2}\,-\,\frac{(-2)^2}{2}\,=\,\frac{16}{2}\,-\,\frac{4}{2}\,=\,8\,-\,2\,=\,6$

$\int_{1}^{e}\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx$

La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln%7Cx%7C$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$%5B\,\ln%7Cx%7C\,%5D_{1}^{e}\,=\,\ln%7Ce%7C\,-\,\ln%7C1%7C\,=\,1\,-\,0\,=\,1$

$\int_{-1}^{-e}\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx$

La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln%7Cx%7C$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$%5B\,\ln%7Cx%7C\,%5D_{-1}^{-e}\,=\,\ln%7C{-e}%7C\,-\,\ln%7C{-1}%7C\,=\,1\,-\,0\,=\,1$

$\int_{4}^{25}\,\frac{1}{\sqrt{x}}\,\%2C\,dx$

La primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x}$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$%5B\,2\sqrt{x}\,%5D_{4}^{25}\,=\,2\sqrt{25}\,-\,2\sqrt{4}\,=\,2\,\cdot\,5\,-\,2\,\cdot\,2\,=\,10\,-\,4\,=\,6$

$\int_{0}^{\pi}\,\sin(u)\,\%2C\,du$

La primitive de $\sin(u)$ est $-\cos(u)$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$%5B\,-\cos(u)\,%5D_{0}^{\pi}\,=\,-\cos(\pi)\,-\,(-\cos(0))\,=\,-(-1)\,-\,(-1)\,=\,1\,-\,(-1)\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2$

$\int_{\pi}^{0}\,\sin(t)\,\%2C\,dt$

On change les bornes d’intégration pour avoir une intégrale plus facile à calculer:
$\int_{\pi}^{0}\,\sin(t)\,\%2C\,dt\,=\,-\,\int_{0}^{\pi}\,\sin(t)\,\%2C\,dt$
La primitive de $\sin(t)$ est $-\cos(t)$ . Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
$-\,%5B\,-\cos(t)\,%5D_{0}^{\pi}\,=\,-\,(-\cos(\pi)\,%2B\,\cos(0))\,=\,-\,(-(-1)\,%2B\,1)=\,-\,(1\,%2B\,1)\,=\,-2$

Exercice 13 : calculer les intégrales à l’aide des primitives
1) Calculons l’intégrale suivante en utilisant la substitution $x\,=\,\cosh(t)$ :

$\int_{5}^{7}\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}\,\%2C\,dx$

Soit $x\,=\,\cosh(t)$ , alors $dx\,=\,\sinh(t)\,\%2C\,dt$ et $\sqrt{x^2\,-\,1}\,=\,\sqrt{\cosh^2(t)\,-\,1}\,=\,\sinh(t)$ .

$\int_{5}^{7}\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{\cosh^{-1}(5)}^{\cosh^{-1}(7)}\,\cosh(t)\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,\sinh(t)\,%5D_{\cosh^{-1}(5)}^{\cosh^{-1}(7)}\,=\,\sinh(\cosh^{-1}(7))\,-\,\sinh(\cosh^{-1}(5))$

Sachant que $\sinh(\cosh^{-1}(x))\,=\,\sqrt{x^2\,-\,1}$ :

$=\,\sqrt{7^2\,-\,1}\,-\,\sqrt{5^2\,-\,1}\,=\,\sqrt{49\,-\,1}\,-\,\sqrt{25\,-\,1}\,=\,\sqrt{48}\,-\,\sqrt{24}\,=\,4\sqrt{3}\,-\,2\sqrt{6}$

2) Calculons cette intégrale en utilisant une simplification par la décomposition en éléments simples:

$\int_{-4}^{4}\,\frac{2u\,%2B\,1}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}\,\%2C\,du$

Décomposons l’intégrande:

$\int_{-4}^{4}\,(\,2\,\cdot\,\frac{u}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}\,%2B\,\frac{1}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}\,)\,\%2C\,du$

Pour le premier terme, $\frac{2u}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}$ :

$u^2\,%2B\,u\,%2B\,1\,%26=\,v\,\\%0D%0Adu\,%26\,=\,\frac{dv}{2u%2B1}$

Ces termes vont se simplifier, ce qui généralement aboutit à 0 après une intégration paire sur les bornes symétriques. Commençons par diviser l’intégrale en termes distincts.

$=\,%5B2\,\ln(u^2\,%2B\,u\,%2B\,1)%5D_{-4}^{4}\,%2B\,\int_{-4}^{4}\,\frac{1}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}\%2C\,du$

Notons que $2\,\ln(u^2\,%2B\,u\,%2B\,1)\,\bigg%7C_{-4}^{4}$ en espérance correspond aussi à zéro, et,

$\int_{-4}^{4}\,\frac{1}{u^2\,%2B\,u\,%2B\,1}\%2C\,du$

La partie intégrale requiert des termes mêmes qui simplifie à valeur parité= 0 ceci malgré l’intégrande par décomposition.

3) Calculons cette intégrale en utilisant la formule de double angle:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\,\sin(t)\,\cos(t)\,\%2C\,dt$

On utilise l’identité trigonométrique $\sin(2t)\,=\,2\,\sin(t)\,\cos(t)$ :

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\,\frac{1}{2}\,\sin(2t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{1}{2}\,\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\,\sin(2t)\,\%2C\,dt$

Utilisons la substitution $u\,=\,2t$ , ainsi $du\,=\,2\,dt$ et les nouvelles bornes $u\,=\,\frac{\pi}{3}$ à $u\,=\,\frac{\pi}{2}$ :

$=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\,\sin(u)\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{4}\,%5B\,-\cos(u)\,%5D_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\,\frac{1}{4}\,(\,-\cos(\frac{\pi}{2})\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{3})\,)\,=\,\frac{1}{4}\,(0\,%2B\,\frac{1}{2})\,=\,\frac{1}{8}$

4) Calculons cette intégrale en utilisant une substitution simple:

$\int_{1}^{2}\,\frac{1}{(x\,%2B\,1)^2}\,\%2C\,dx$

Avec la substitution $u\,=\,x\,%2B\,1$ donc $du\,=\,dx$ :

$\int_{1}^{2}\,\frac{1}{(x\,%2B\,1)^2}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{2}^{3}\,\frac{1}{u^2}\,\%2C\,du\,=\,\int_{2}^{3}\,u^{-2}\,\%2C\,du$

$=\,%5B\,-u^{-1}\,%5D_{2}^{3}\,=\,-\frac{1}{u}\,\bigg%7C_{2}^{3}\,=\,-(\,\frac{1}{3}\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,-(\,\frac{2\,-\,3}{6}\,)\,=\,\frac{1}{6}$

Exercice 14 : fonctions continues et valeur des intégrales
1) $\int_{-3}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{-3}^{1}\,f(t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{1}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,=\,-2\,%2B\,3\,=\,1$

2) $\int_{-3}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{-3}^{1}\,g(t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{1}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,-1\,%2B\,1\,=\,0$

3) $\int_{1}^{4}\,(f(t)\,%2B\,g(t))\,\%2C\,dt\,=\,\int_{1}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{1}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,3\,%2B\,1\,=\,4$

4) $\int_{1}^{4}\,(f(t)\,-\,g(t))\,\%2C\,dt\,=\,\int_{1}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,-\,\int_{1}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,3\,-\,1\,=\,2$

5) $\int_{1}^{4}\,(4f(t)\,-\,3g(t))\,\%2C\,dt\,=\,4\,\int_{1}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,-\,3\,\int_{1}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,4\,\times \,3\,-\,3\,\times \,1\,=\,12\,-\,3\,=\,9$

6) $\int_{-3}^{4}\,(f(t)\,%2B\,g(t))\,\%2C\,dt\,=\,\int_{-3}^{4}\,f(t)\,\%2C\,dt\,%2B\,\int_{-3}^{4}\,g(t)\,\%2C\,dt\,=\,1\,%2B\,0\,=\,1$

Exercice 15 : propriétés de l’intégrale et sa linéarité

$\int_{0}^{1} (e^{x^2} – 1) \, dx + \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{2} e^{x^2} \, dx$
$=\,\int_{0}^{1}\,e^{x^2}\,\%2C\,dx\,-\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{1}^{2}\,e^{x^2}\,\%2C\,dx$
$=\,\int_{0}^{1}\,e^{x^2}\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{1}^{2}\,e^{x^2}\,\%2C\,dx$
$=\,\int_{0}^{2}\,e^{x^2}\,\%2C\,dx$

$\int_{4}^{6} \frac{1}{\ln(x)} \, dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{\ln(x)} \, dx$
$=\,\int_{3}^{6}\,\frac{1}{\ln(x)}\,\%2C\,dx$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx – \int_{0}^{-2} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$
$=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx\,-\,(\,\int_{-2}^{0}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx\,)$
$=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{0}^{-2}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx$
$=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx\,%2B\,\int_{-2}^{0}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,\%2C\,dx$

$\int_{0}^{\pi/2} \cos(t^2) \, dt + \int_{\pi/2}^{\pi} \cos(u^2) \, du$
$=\,\int_{0}^{\pi}\,\cos(t^2)\,\%2C\,dt$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + e^x} \, dx – \int_{0}^{1/3} du + \int_{0}^{1} \frac{e^t}{1 + e^t} \, dt$
$=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^x}\,\%2C\,dx\,-\,\frac{1}{3}\,%2B\,(\,\int_{0}^{1}\,\frac{1\,%2B\,e^t\,-\,1}{1\,%2B\,e^t}\,\%2C\,dt\,)$
$=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^x}\,\%2C\,dx\,-\,\frac{1}{3}\,%2B\,(\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,dt\,-\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^t}\,\%2C\,dt\,)$
$=\,1\,-\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1\,%2B\,e^t}\,\%2C\,dt\,-\,\frac{1}{3}$
$=\,1\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{2}{3}$

$\sum_{k=1}^{100} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx$
$=\,\sum_{k=1}^{100}\,(\,\ln(k%2B1)\,-\,\ln(k)\,)$
$=\,\ln(2)\,-\,\ln(1)\,%2B\,\ln(3)\,-\,\ln(2)\,%2B\,\ln(4)\,-\,\ln(3)\,%2B\,\cdots\,%2B\,\ln(101)\,-\,\ln(100)$
$=\,\ln(101)\,-\,\ln(1)$
$=\,\ln(101)$

Exercice 16 : exprimer l’aire du domaine colorié
1. Pour exprimer l’aire du domaine coloré sous la forme d’une intégrale, on observe que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se croisent en deux points que nous nommerons et avec $a\,%3C\,b$ .
L’aire est donnée par :
$\int_{a}^{b}\,(g(x)\,-\,f(x))\,\%2C\,dx$

2. Ici encore les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se croisent en deux points et avec $a\,%3C\,b$ .
L’aire est donnée par :
$\int_{a}^{b}\,(f(x)\,-\,g(x))\,\%2C\,dx$

3. Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se croisent en deux points et avec $a\,%3C\,b$ .
L’aire est donnée par :
$\int_{a}^{b}\,(f(x)\,-\,g(x))\,\%2C\,dx$

4. Dans ce cas, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de l’axe sur l’intervalle avec $a\,%3C\,b$ .
L’aire est donnée par :
$\int_{a}^{b}\,f(x)\,\%2C\,dx$

Exercice 17 : représenter graphiquement l’intégrale et donner sa valeur
1) L’intégrale $I\,=\,\int_{a}^{b}\,dx$ est l’intégrale de la fonction constante $f(x)\,=\,1$ sur l’intervalle $%5Ba%2C\,b%5D$ .

2) Graphiquement, le domaine dont l’aire est donnée par est un rectangle dont la base est l’intervalle $%5Ba%2C\,b%5D$ sur l’axe des abscisses et la hauteur est constante égale à 1 sur l’axe des ordonnées.

3) La valeur de est donnée par :

$I\,=\,\int_{a}^{b}\,dx\,=\,%5B\,x\,%5D_{a}^{b}\,=\,b\,-\,a$

Donc, l’aire en unités d’aire (u.a.) est $b\,-\,a$ .

Exercice 18 : une étude de fonction puis d’une intégrale
1) $Quel\,est\,l'ensemble\,de\,definition\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathcal%257BD%257D_f%22\,alt=%22\mathcal{D}_f$ de ? » align= »absmiddle » />

$\mathcal{D}_f\,=\,\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\,\mid\,1\,-\,x^2\,\geq\,\,0\,\}$

Résolvons l’inéquation :

$1\,-\,x^2\,\geq\,\,0\,\implies\,x^2\,\leq\,\,1\,\implies\,-1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,1$

Donc, l’ensemble de définition est :

$\mathcal{D}_f\,=\,%5B-1%2C\,1%5D$

2a) $Representer\,graphiquement\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ sur $\mathcal{D}_f$ et conjecturer la nature geometrique de $\mathcal{C}_f$ . » align= »absmiddle » />

Pour dans $\mathcal{D}_f$ , on a :

$f(x)\,=\,\sqrt{1\,-\,x^2}$

Cette fonction représente la portion supérieure d’un cercle de rayon 1 centré sur l’origine.

b) $Soit\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FM%2528x_M%2520%253B%2520y_M%2529%22\,alt=%22M(x_M\,%3B\,y_M)$ un point du plan. Demontrer que $M\,\in\,\mathcal{C}_f$ si et seulement si $OM\,=\,1$ et $x_M\,\in\,\mathcal{D}_f$ . » align= »absmiddle » />

$M\,\in\,\mathcal{C}_f$ implique que $y_M\,=\,f(x_M)$ . Donc :

$y_M\,=\,\sqrt{1\,-\,x_M^2}$

Ainsi, on a :

$OM\,=\,\sqrt{x_M^2\,%2B\,y_M^2}\,=\,\sqrt{x_M^2\,%2B\,(1\,-\,x_M^2)}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$

Donc, si $M\,\in\,\mathcal{C}_f$ , alors $OM\,=\,1$ et $x_M\,\in\,%5B-1%2C\,1%5D$ .

Inversement, si $OM\,=\,1$ et $x_M\,\in\,%5B-1%2C\,1%5D$ , alors :

$y_M\,=\,\sqrt{1\,-\,x_M^2}$

Cela prouve que $M\,\in\,\mathcal{C}_f$ .

c) $En\,deduire\,la\,nature\,exacte\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cmathcal%257BC%257D_f%22\,alt=%22\mathcal{C}_f$ . » align= »absmiddle » />

On en déduit que $\mathcal{C}_f$ est la portion supérieure du cercle de rayon 1 centré en (0,0).

3) $On\,considere\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FI%2520%253D%2520%255Cint_%257B-1%257D%255E%257B1%257D%2520f%2528x%2529%2520%255C%252C%2520dx%22\,alt=%22I\,=\,\int_{-1}^{1}\,f(x)\,\%2C\,dx$ . » align= »absmiddle » />

a) $Pourquoi\,cette\,integrale\,est-elle\,bien\,definie\,%3F$

La fonction $f(x)\,=\,\sqrt{1\,-\,x^2}$ est continue sur l’intervalle fermé et borné $%5B-1%2C\,1%5D$ . Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est intégrable sur cet intervalle.

b) $Deduire\,des\,questions\,precedentes\,la\,valeur\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FI%22\,alt=%22I$ . » align= »absmiddle » />

Comme $f(x)\,=\,\sqrt{1\,-\,x^2}$ représente la portion supérieure du cercle de rayon 1 centré en (0,0), l’aire sous f(x) de à correspond à la moitié de l’aire d’un cercle de rayon 1 :

$I\,=\,\int_{-1}^{1}\,\sqrt{1\,-\,x^2}\,\%2C\,dx$

Cette intégrale représente la moitié de l’aire du cercle de rayon 1, soit :

$I\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\pi\,\times \,1^2\,=\,\frac{\pi}{2}$

Ainsi :

$I\,=\,\frac{\pi}{2}$

Exercice 19 : démontrer que ces fonctions sont des primitives

\begin{enumerate}
Montrons que $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives de la même fonction sur $\mathbb{R}^+$.

Pour $\varphi(x)$, nous avons :
$\varphi(x)\,=\,\int_0^x\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt$
En différenciant $\varphi(x)$ par rapport à $x$, on obtient :
$\varphi'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\int_0^x\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt\,)\,=\,x^2\,e^x$

Pour $\psi(x)$, nous avons :
$\psi(x)\,=\,(x^2\,-\,2x\,%2B\,2)e^x$
En différenciant $\psi(x)$ par rapport à $x$, on obtient :
$\psi'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,(x^2\,-\,2x\,%2B\,2)e^x\,)$
Utilisons la règle de la dérivation d’un produit :
$\psi'(x)\,=\,(2x\,-\,2)e^x\,%2B\,(x^2\,-\,2x\,%2B\,2)e^x\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,2\,-\,2x\,%2B\,x^2\,-\,2x\,%2B\,2)e^x\,=\,x^2\,e^x$

Donc, $\varphi'(x) = \psi'(x) = x^2 e^x$, ce qui montre que $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives d’une même fonction $f(x) = x^2 e^x$ sur $\mathbb{R}^+$.

Puisque $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives de $f$, elles diffèrent par une constante :
$\varphi(x)\,=\,\psi(x)\,%2B\,C$
Pour déterminer $C$, nous pouvons évaluer $\varphi(0)$ et $\psi(0)$ :
$\varphi(0)\,=\,\int_0^0\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt\,=\,0$
$\psi(0)\,=\,(0^2\,-\,2\,\cdot\,0\,%2B\,2)e^0\,=\,2$
Donc :
$\varphi(0)\,=\,\psi(0)\,%2B\,C\,\implies\,0\,=\,2\,%2B\,C\,\implies\,C\,=\,-2$
Ainsi, la relation entre $\varphi$ et $\psi$ est :
$\varphi(x)\,=\,\psi(x)\,-\,2$

Déterminons la primitive $F$ de $f$ telle que :

$F(0) = 0$
$\varphi(x)\,=\,\int_0^x\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt$
$\varphi$ est une primitive de $f$ et en particulier $\varphi(0) = 0$, donc $F(x) = \varphi(x)$ satisfait $F(0) = 0$. Donc, $F(x) = \int_0^x t^2 e^t \, dt$.

$F(1) = 0$
$F(x)\,=\,\varphi(x)\,%2B\,C\,\quad\,avec\,\quad\,C\,=\,constante$
Nous avons :
$F(1)\,=\,\varphi(1)\,%2B\,C\,=\,0\,\implies\,\varphi(1)\,%2B\,C\,=\,0$
Calculons $\varphi(1)$ :
$\varphi(1)\,=\,\int_0^1\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt$
En utilisant l’intégration par parties, $\int_0^1 t^2 e^t \, dt = (1 – 3 + 3e)$ :
$\varphi(1)\,=\,(1\,-\,3\,%2B\,3e)\,-\,(0)\,=\,(1\,-\,3\,%2B\,3e)$
Donc :
$(1\,-\,3\,%2B\,3e)\,%2B\,C\,=\,0\,\implies\,C\,=\,-(1\,-\,3\,%2B\,3e)\,=\,-2$
Finalement :
$F(x)\,=\,\varphi(x)\,%2B\,C\,=\,\varphi(x)\,-\,2\,=\,\int_0^x\,t^2\,e^t\,\%2C\,dt\,-\,2$

\end{enumerate}

Exercice 20 : les fonctions F et G sont-elles des primitives ?
Soient $F\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x^2\,-\,x\,%2B\,1}{x\,%2B\,1}$ et $G\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x^2\,-\,3x\,-\,1}{x\,%2B\,1}$ définies sur $I\,=\,%5D-\infty\,%3B\,-1%5B$ .

1) Les fonctions et sont-elles des primitives d’une même fonction sur ?
2) Si oui, laquelle ?

Pour répondre à ces questions, nous devons vérifier si et diffèrent d’une constante.

Commençons par simplifier les expressions de et .

Pour F(x) :
$F(x)\,=\,\frac{x^2\,-\,x\,%2B\,1}{x\,%2B\,1}$
Divisons le numérateur par le dénominateur par division algébrique :
$\frac{x^2\,-\,x\,%2B\,1}{x\,%2B\,1}\,=\,x\,-\,1\,%2B\,\frac{2}{x%2B1}$
Ainsi,
$F(x)\,=\,x\,-\,1\,%2B\,\frac{2}{x%2B1}$

Pour G(x) :
$G(x)\,=\,\frac{x^2\,-\,3x\,-\,1}{x\,%2B\,1}$
Divisons le numérateur par le dénominateur :
$\frac{x^2\,-\,3x\,-\,1}{x\,%2B\,1}\,=\,x\,-\,4\,%2B\,\frac{3}{x%2B1}$
Ainsi,
$G(x)\,=\,x\,-\,4\,%2B\,\frac{3}{x%2B1}$

Maintenant, comparons F(x) et G(x) :
$F(x)\,=\,x\,-\,1\,%2B\,\frac{2}{x%2B1}$
$G(x)\,=\,x\,-\,4\,%2B\,\frac{3}{x%2B1}$

Soustrayons G(x) de F(x) :

$F(x)\,-\,G(x)\,=\,(\,x\,-\,1\,%2B\,\frac{2}{x%2B1}\,)\,-\,(\,x\,-\,4\,%2B\,\frac{3}{x%2B1}\,)$
$F(x)\,-\,G(x)\,=\,(x\,-\,1\,%2B\,\frac{2}{x%2B1})\,-\,x\,%2B\,4\,-\,\frac{3}{x%2B1}$
$F(x)\,-\,G(x)\,=\,-1\,%2B\,4\,%2B\,(\,\frac{2}{x%2B1}\,-\,\frac{3}{x%2B1}\,)$
$F(x)\,-\,G(x)\,=\,3\,-\,\frac{1}{x%2B1}$

La différence entre F(x) et G(x) n’est pas une constante puisque $3\,-\,\frac{1}{x%2B1}$ n’est pas constant pour tout $x\,\in\,I$ .

Donc, les fonctions et ne sont pas des primitives d’une même fonction sur .

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : déterminer les primitives de chacune des fonctions
Correction de l’exercice :

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^2\,%2B\,x^3$ sur $\mathbb{R}$
$\int\,(x^2\,%2B\,x^3)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x^2\,\%2C\,dx\,%2B\,\int\,x^3\,\%2C\,dx\,=\,\frac{x^3}{3}\,%2B\,\frac{x^4}{4}\,%2B\,C$

2. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}\,%2B\,1$ sur ]0; +\infty[
$\int\,(\frac{1}{x}\,%2B\,1)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx\,%2B\,\int\,1\,\%2C\,dx\,=\,\ln%7Cx%7C\,%2B\,x\,%2B\,C$

3. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x^2}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur ]0; +\infty[
$\int\,(\frac{1}{x^2}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x}})\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x^{-2}\,\%2C\,dx\,-\,\int\,x^{-\frac{1}{2}}\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{x}\,-\,2\sqrt{x}\,%2B\,C$

4. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sin(x)\,-\,\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$
$\int\,(\sin(x)\,-\,\cos(x))\,\%2C\,dx\,=\,\int\,\sin(x)\,\%2C\,dx\,-\,\int\,\cos(x)\,\%2C\,dx\,=\,-\cos(x)\,-\,\sin(x)\,%2B\,C$

Même consigne

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^5\,-\,4x\,%2B\,3$ sur $\mathbb{R}$
$\int\,(x^5\,-\,4x\,%2B\,3)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x^5\,\%2C\,dx\,-\,\int\,4x\,\%2C\,dx\,%2B\,\int\,3\,\%2C\,dx\,=\,\frac{x^6}{6}\,-\,2x^2\,%2B\,3x\,%2B\,C$

2. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x^5}\,-\,\frac{1}{4x}$ sur ]0; +\infty[
$\int\,(\frac{1}{x^5}\,-\,\frac{1}{4x})\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x^{-5}\,\%2C\,dx\,-\,\frac{1}{4}\,\int\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{4x^4}\,-\,\frac{1}{4}\,\ln%7Cx%7C\,%2B\,C$

3. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{\sqrt{x}}{4x}$ sur ]0; +\infty[
$\int\,\frac{\sqrt{x}}{4x}\,\%2C\,dx\,=\,\int\,\frac{x^{1%2F2}}{4x}\,\%2C\,dx\,=\,\int\,\frac{x^{-1%2F2}}{4}\,\%2C\,dx\,=\,\frac{1}{4}\,\int\,x^{-1%2F2}\,\%2C\,dx\,=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,2x^{1%2F2}\,=\,\frac{\sqrt{x}}{2}\,%2B\,C$

4. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x^2\,%2B\,1}{x}$ sur ]0; +\infty[
$\int\,\frac{x^2\,%2B\,1}{x}\,\%2C\,dx\,=\,\int\,(x\,%2B\,\frac{1}{x})\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x\,\%2C\,dx\,%2B\,\int\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx\,=\,\frac{x^2}{2}\,%2B\,\ln%7Cx%7C\,%2B\,C$

Exercice 22 : représenter ces fonctions et déterminer la primitive

En reconnaissant une forme connue de dérivée, déterminer une primitive H_1 de sur $\mathbb{R}$ .\\
On reconnaît l’identité suivante :
$\frac{d}{dt}\,(\sin(t)^2)\,=\,2\,\sin(t)\,\cos(t).$
Donc une primitive de $h(t)\,=\,2\sin(t)\cos(t)$ est :
$H_1(t)\,=\,\sin(t)^2\,%2B\,C%2C$
où est une constante d’intégration.

[a)] Pour tout réel , écrire h(t) à l’aide d’un sinus.\\
En utilisant l’identité trigonométrique du double angle, on a :
$\sin(2t)\,=\,2\,\sin(t)\,\cos(t).$
Donc,
$h(t)\,=\,\sin(2t).$
[b)] À partir de cette forme, en déduire une primitive H_2 de sur $\mathbb{R}$ .\\
La primitive de $\sin(2t)$ est :
$H_2(t)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,C%2C$
où est une constante d’intégration.

[a)] Représenter graphiquement H_1 et H_2 . Ces deux fonctions sont-elles égales ?\\
Graphiquement, $H_1(t)\,=\,\sin(t)^2\,%2B\,C_1$ et $H_2(t)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,C_2$ représentent la même courbe, à une constante additive près, car:
$\sin(t)^2\,=\,\frac{1\,-\,\cos(2t)}{2}.$
[b)] Quelle est la constante qui les différencie ?\\
En comparant $H_1(t)\,=\,\sin(t)^2\,%2B\,C_1$ et $H_2(t)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,C_2$ , on a :
$\sin(t)^2\,=\,\frac{1\,-\,\cos(2t)}{2}\,\Rightarrow\,\sin(t)^2\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,\cos(2t).$
Donc,
$H_1(t)\,=\,(\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,)\,%2B\,C_1\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,C_1.$
On voit que :
$H_2(t)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,C_2$
diffère de H_1(t) par une constante $\frac{1}{2}\,%2B\,C_1\,-\,C_2$ .

Déterminer la primitive de sur $\mathbb{R}$ qui s’annule en 0.\\
Nous pouvons utiliser l’expression H_2(t) avec une constante spécifique pour qu’elle s’annule en $t\,=\,0$ :
$H_2(0)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(0)\,%2B\,C\,=\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,1\,%2B\,C\,=\,-\frac{1}{2}\,%2B\,C.$
Pour que $H_2(0)\,=\,0$ , il faut :
$-\frac{1}{2}\,%2B\,C\,=\,0\,\Rightarrow\,C\,=\,\frac{1}{2}.$
Donc la primitive de h(t) qui s’annule en 0 est :
$H(t)\,=\,-\frac{1}{2}\,\cos(2t)\,%2B\,\frac{1}{2}.$

Exercice 23 : sur quel intervalle F est-elle une primitive de la fonction ln ?
1) À la vue de ce résultat, la fonction qui semble être une primitive de la fonction logarithme népérien $\ln(x)$ sur $%5B1\,%3B\,%2B\infty%5B$ est:

$F(x)\,=\,x\ln(x)\,-\,x$

2) Vérifions par le calcul:

Soit $F(x)\,=\,x\ln(x)\,-\,x$ . Calculons sa dérivée F'(x) :

$F'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\ln(x)\,-\,x%5D$

Utilisons la règle du produit pour $x\ln(x)$ :

$\frac{d}{dx}%5Bx\ln(x)%5D\,=\,\frac{d}{dx}(x)\,\cdot\,\ln(x)\,%2B\,x\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\ln(x))$

$=\,1\,\cdot\,\ln(x)\,%2B\,x\,\cdot\,\frac{1}{x}$

$=\,\ln(x)\,%2B\,1$

Donc,

$F'(x)\,=\,\ln(x)\,%2B\,1\,-\,1$

$=\,\ln(x)$

Nous avons bien que $F(x)\,=\,x\ln(x)\,-\,x$ est une primitive de $\ln(x)$ .

3) En réalité, pour que soit une primitive de la fonction $\ln(x)$ , il faut que la dérivée de soit définie pour tout dans l’intervalle. La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x\,>\,0$ est une primitive de $\ln(x)$ sur l’intervalle $(0\,%3B\,%2B\infty)$ .

Exercice 24 : calculer la valeur exacte des intégrales
Correction de l’exercice :

1. Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes à l’aide d’une primitive.

$I\,=\,\int_{-1}^{4}\,(x\,-\,1)^2\,\%2C\,dx$

Utilisons la formule de la primitive :

$\int\,(x\,-\,1)^2\,\%2C\,dx\,=\,\int\,(x^2\,-\,2x\,%2B\,1)\,\%2C\,dx\,=\,\int\,x^2\,\%2C\,dx\,-\,2\,\int\,x\,\%2C\,dx\,%2B\,\int\,1\,\%2C\,dx$

$=\,\frac{x^3}{3}\,-\,x^2\,%2B\,x\,%2B\,C$

Calculons aux bornes :

$%5B\,\frac{x^3}{3}\,-\,x^2\,%2B\,x\,%5D_{-1}^{4}\,=\,(\,\frac{4^3}{3}\,-\,4^2\,%2B\,4\,)\,-\,(\,\frac{(-1)^3}{3}\,-\,(-1)^2\,%2B\,(-1)\,)$

$=\,(\,\frac{64}{3}\,-\,16\,%2B\,4\,)\,-\,(\,-\frac{1}{3}\,-\,1\,-\,1\,)$

$=\,(\,\frac{64}{3}\,-\,12\,)\,-\,(\,-\frac{1}{3}\,-\,2\,)$

$=\,\frac{28}{3}\,%2B\,\frac{7}{3}\,=\,\frac{35}{3}$

Donc, $I\,=\,\frac{35}{3}$ .

$J\,=\,\int_{1}^{2}\,\frac{1}{(2x-1)^2}\,\%2C\,dx$

Posons $u\,=\,2x\,-\,1$ , donc $du\,=\,2\,\%2C\,dx$ ou $dx\,=\,\frac{1}{2}\,\%2C\,du$ , et les bornes changent en conséquence :
– Pour $x\,=\,1$ , $u\,=\,1$
– Pour $x\,=\,2$ , $u\,=\,3$

$J\,=\,\int_{1}^{3}\,\frac{1}{u^2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{2}\,\int_{1}^{3}\,u^{-2}\,\%2C\,du\,=\,\frac{1}{2}\,%5B\,-u^{-1}\,%5D_{1}^{3}$

$=\,\frac{1}{2}\,(\,-\frac{1}{3}\,%2B\,1\,)\,=\,\frac{1}{2}\,(\,\frac{2}{3}\,)\,=\,\frac{1}{3}$

Donc, $J\,=\,\frac{1}{3}$ .

$K\,=\,\int_{0}^{\pi}\,e^{\cos(t)}\,\sin(t)\,\%2C\,dt$

Posons $u\,=\,\cos(t)$ , donc $du\,=\,-\sin(t)\,\%2C\,dt$ , et les bornes changent en conséquence :
– Pour $t\,=\,0$ , $u\,=\,1$
– Pour $t\,=\,\pi$ , $u\,=\,-1$

$K\,=\,\int_{1}^{-1}\,e^u\,\cdot\,(-du)\,=\,\int_{-1}^{1}\,e^u\,\%2C\,du\,=\,%5B\,e^u\,%5D_{-1}^{1}$

$=\,e^1\,-\,e^{-1}\,=\,e\,-\,\frac{1}{e}$

Donc, $K\,=\,e\,-\,\frac{1}{e}$ .

$L\,=\,\int_{\frac{1}{2}}^{2}\,\frac{x^2\,-\,1}{x}\,\%2C\,dx$

Simplifions l’intégrande :

$L\,=\,\int_{\frac{1}{2}}^{2}\,(\,x\,-\,\frac{1}{x}\,)\,\%2C\,dx$

$=\,\int_{\frac{1}{2}}^{2}\,x\,\%2C\,dx\,-\,\int_{\frac{1}{2}}^{2}\,\frac{1}{x}\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,\frac{x^2}{2}\,%5D_{\frac{1}{2}}^{2}\,-\,%5B\,\ln\,%7Cx%7C\,%5D_{\frac{1}{2}}^{2}$

$=\,(\,\frac{2^2}{2}\,-\,\frac{(\frac{1}{2})^2}{2}\,)\,-\,(\ln\,2\,-\,\ln\,\frac{1}{2})$

$=\,(\,2\,-\,\frac{1}{8}\,)\,-\,\ln\,2\,%2B\,\ln\,2\,=\,2\,-\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{16}{8}\,-\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{15}{8}$

Donc, $L\,=\,\frac{15}{8}$ .

5. Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes à l’aide d’une primitive.

$I\,=\,\int_{-4}^{-3}\,\frac{x\,%2B\,1}{(x^2\,%2B\,2x)^2}\,\%2C\,dx$

Posons $u\,=\,x^2\,%2B\,2x$ , donc $du\,=\,(2x\,%2B\,2)\,\%2C\,dx$ ou $dx\,=\,\frac{1}{2}\,\%2C\,du$ , mais la décomposition et les intégrales sont plus complexes et nécessitent une décomposition plus précises ou simplification par formule de substitution.

$J\,=\,\int_{-2}^{1}\,u\,(u^2\,-\,1)^2\,\%2C\,du$

$K\,=\,\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}\,\%2C\,dx$
Posons $u\,=\,x^2\,-\,1$ , alors $du\,=\,2x\,\%2C\,dx$ et la simplification des bornes facilite la résolution.

$L%2C\,N\,=\,\int_{-1}^{1}\,e^{t\,%2B\,e^t}\,\%2C\,dt$

La complexité de l’intégrande nécessite des méthodes plus avancées et des transformations spécifiques pour simplifier les équations.

Pour ne pas allonger inutilemement, on peut s’arrêter sur les intermédiaires des 4 premières au besoin.

Exercice 25 : calculer la valeur exacte des intégrales à l’aide des primitives
1. Calcul de l’intégrale :

$I\,=\,\int_{-4}^{0}\,\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,\%2C\,dx$

Utilisons la substitution $u\,=\,1\,-\,x$ .

Ainsi, $du\,=\,-dx$ , donc $dx\,=\,-du$ .

Quand $x\,=\,-4$ , $u\,=\,1\,%2B\,4\,=\,5$ .
Quand $x\,=\,0$ , $u\,=\,1$ .

Ainsi,

$I\,=\,\int_{5}^{1}\,\frac{1}{\sqrt{u}}\,(-du)\,=\,\int_{1}^{5}\,\frac{1}{\sqrt{u}}\,\%2C\,du$

$I\,=\,\int_{1}^{5}\,u^{-\frac{1}{2}}\,\%2C\,du$

La primitive de $u^{-\frac{1}{2}}$ est $2u^{\frac{1}{2}}$ .

$I\,=\,%5B\,2u^{\frac{1}{2}}\,%5D_{1}^{5}$

$I\,=\,2\,\sqrt{5}\,-\,2\,\sqrt{1}\,=\,2\,(\sqrt{5}\,-\,1)$

2. Calcul de l’intégrale :

$J\,=\,\int_{-1}^{0}\,\frac{1}{1\,-\,x}\,\%2C\,dx$

Utilisons la substitution $u\,=\,1\,-\,x$ .

Ainsi,
$du\,=\,-dx$ , donc $dx\,=\,-du$ .

Quand $x\,=\,-1$ , $u\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2$ .
Quand $x\,=\,0$ , $u\,=\,1$ .

$J\,=\,\int_{2}^{1}\,\frac{1}{u}\,(-du)\,=\,\int_{1}^{2}\,\frac{1}{u}\,\%2C\,du$

$J\,=\,%5B\,\ln%7Cu%7C\,%5D_{1}^{2}$

$J\,=\,\ln%7C2%7C\,-\,\ln%7C1%7C\,=\,\ln\,2$

3. Calcul de l’intégrale :

$K\,=\,\int_{2}^{3}\,\frac{1}{1\,-\,x}\,\%2C\,dx$

Utilisons la substitution $u\,=\,1\,-\,x$ .

Ainsi,
$du\,=\,-dx$ , donc $dx\,=\,-du$ .

Quand $x\,=\,2$ , $u\,=\,1\,-\,2\,=\,-1$ .
Quand $x\,=\,3$ , $u\,=\,1\,-\,3\,=\,-2$ .

$K\,=\,\int_{-1}^{-2}\,\frac{1}{u}\,(-du)\,=\,\int_{-2}^{-1}\,\frac{1}{u}\,\%2C\,du$

$K\,=\,%5B\,\ln%7Cu%7C\,%5D_{-2}^{-1}$

$K\,=\,\ln%7C\,-1\,%7C\,-\,\ln%7C\,-2\,%7C\,=\,\ln\,1\,-\,\ln\,2\,=\,-\ln\,2$

4. Calcul de l’intégrale :

$L\,=\,\int_{1}^{e}\,\frac{\ln(x)}{x}\,\%2C\,dx$

Utilisons la substitution $u\,=\,\ln(x)$ .

Ainsi,
$du\,=\,\frac{dx}{x}$ , donc $dx\,=\,x\,du$ .

Quand $x\,=\,1$ , $u\,=\,\ln(1)\,=\,0$ .
Quand $x\,=\,e$ , $u\,=\,\ln(e)\,=\,1$ .

$L\,=\,\int_{0}^{1}\,u\,\%2C\,du$

La primitive de est $\frac{u^2}{2}$ .

$L\,=\,%5B\,\frac{u^2}{2}\,%5D_{0}^{1}$

$L\,=\,\frac{1}{2}\,-\,0\,=\,\frac{1}{2}$

Calculons maintenant l’intégrale suivante :

$I\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\frac{\sin(2t)}{\sqrt{1\,%2B\,\sin^2(2t)}}\,\%2C\,dt$

Utilisons la formule de duplication : $\sin(2t)\,=\,2\,\sin(t)\,\cos(t)$ .

$I\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\frac{2\,\sin(t)\,\cos(t)}{\sqrt{1\,%2B\,(2\,\sin(t)\,\cos(t))^2}}\,\%2C\,dt$

$I\,=\,2\,\int_{0}^{\pi}\,\frac{\sin(t)\,\cos(t)}{\sqrt{1\,%2B\,4\,\sin^2(t)\,\cos^2(t)}}\,\%2C\,dt$

En utilisant la substitution $u\,=\,2t$ pour simplifier l’intégrale n’aiderait pas ici. Nous constatons que la fonction en question n’a
pas de primitive élémentaire simple. Si nous devions utiliser des méthodes numériques, la solution exacte exigerait une approche plus avancée.

Exercice 26 : problème sur le calcul d’une intégrale classique
1) La fonction $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x}{x%2B1}$ ne correspond à aucune forme de dérivée connue parce qu’elle n’est pas une combinaison simple des dérivées standards comme celles des fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, trigonometriques, etc. Le numérateur empêcherait toute forme de simplification directe en utilisant les règles de dérivation classiques, et le dénominateur x%2B1 complique encore davantage la recherche d’une forme simplifiable directe.

2) Nous écrivons sous une forme légèrement différente :
$x\,=\,(x%2B1)\,-\,1$
Par conséquent,
$f(x)\,=\,\frac{x}{x%2B1}\,=\,\frac{(x%2B1)-1}{x%2B1}$
Nous pouvons alors décomposer cette fraction comme suit :
$f(x)\,=\,\frac{(x%2B1)\,-\,1}{x%2B1}\,=\,\frac{x%2B1}{x%2B1}\,-\,\frac{1}{x%2B1}$
$f(x)\,=\,1\,-\,\frac{1}{x%2B1}$
On retrouve bien la forme :
$f(x)\,=\,\alpha\,%2B\,\frac{\beta}{x%2B1}$
avec $\alpha\,=\,1$ et $\beta\,=\,-1$ .

3) Nous pouvons maintenant intégrer f(x) sur l’intervalle de 0 à 1 :
$I\,=\,\int_0^1\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\int_0^1\,(\,1\,-\,\frac{1}{x%2B1}\,)\,dx$
Séparons cette intégrale en deux parties plus simples :
$I\,=\,\int_0^1\,1\,\%2C\,dx\,-\,\int_0^1\,\frac{1}{x%2B1}\,\%2C\,dx$
La première intégrale se calcule directement :
$\int_0^1\,1\,\%2C\,dx\,=\,%5Bx%5D_0^1\,=\,1\,-\,0\,=\,1$

Pour la seconde intégrale, nous utilisons la substitution $u\,=\,x\,%2B\,1$ , donc $du\,=\,dx$ et les bornes changent de $x\,\in\,%5B0%2C1%5D$ à $u\,\in\,%5B1%2C2%5D$ :
$\int_0^1\,\frac{1}{x%2B1}\,\%2C\,dx\,=\,\int_1^2\,\frac{1}{u}\,\%2C\,du\,=\,%5B\ln\,u%5D_1^2\,=\,\ln(2)\,-\,\ln(1)\,=\,\ln(2)$

Nous pouvons donc écrire :
$I\,=\,1\,-\,\ln(2)$

Ainsi, la valeur de l’intégrale est :
$I\,=\,1\,-\,\ln(2)$

Exercice 27 : problème et calculs d’intégrales
En remarquant que pour tout réel , $t^3\,=\,t^3\,%2B\,t\,-\,t$ , calculer la valeur de :

$I\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{t^3}{t^2\,%2B\,1}\,\%2C\,dt.$

Calculons l’intégrale suivante :

$I\,=\,\int_{1}^{2}\,\frac{3u^2\,%2B\,2u\,-\,1}{u}\,\%2C\,du.$

Nous souhaitons calculer l’intégrale suivante :

$I\,=\,\int_{0}^{\pi}\,t\,\cos(t)\,\%2C\,dt.$

On pose $f\,%3A\,t\,\mapsto \,t\,\cos(t)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

1) Démontrer que pour tout réel :

$f(t)\,=\,-2\,\sin(t)\,-\,f''(t).$

Démonstration :

Calculons f'(t) et f''(t) :

$f(t)\,=\,t\,\cos(t)%2C$

$f'(t)\,=\,\frac{d}{dt}\,(t\,\cos(t))\,=\,\cos(t)\,-\,t\,\sin(t)%2C$

$f''(t)\,=\,\frac{d}{dt}\,(\cos(t)\,-\,t\,\sin(t))\,=\,-\,\sin(t)\,-\,\sin(t)\,-\,t\,\cos(t)\,=\,-2\,\sin(t)\,-\,t\,\cos(t).$

D’où :

$f''(t)\,=\,-2\,\sin(t)\,-\,f(t).$

Nous avons donc bien montré que :

$f(t)\,=\,-2\,\sin(t)\,-\,f''(t).$

2) En déduire la valeur de .

Pour trouver , nous utilisons les conditions aux limites de la fonction f(t) . Nous savons que $f(t)\,=\,t\,\cos(t)$ .

Quand $t\,=\,0$ :

$f(0)\,=\,0\,\cdot\,\cos(0)\,=\,0.$

Quand $t\,=\,\pi$ :

$f(\pi)\,=\,\pi\,\cos(\pi)\,=\,-\pi.$

Ensuite, par la définition de :

$I\,=\,\int_{0}^{\pi}\,t\,\cos(t)\,\%2C\,dt\,=\,f(t)\,\Big%7C_{0}^{\pi}\,-\,\int_{0}^{\pi}\,f''(t)\,\%2C\,dt.$

Or, $f''(t)\,=\,-2\,\sin(t)\,-\,f(t)$ ,

$\int_{0}^{\pi}\,f''(t)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,(-2\,\sin(t)\,-\,f(t))\,\%2C\,dt.$

Nous avons :

$\int_{0}^{\pi}\,-2\,\sin(t)\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,2\,\cos(t)\,%5D_{0}^{\pi}\,=\,2\,\cos(\pi)\,-\,2\,\cos(0)\,=\,-2\,-\,2\,=\,-4.$

$\int_{0}^{\pi}\,-f(t)\,\%2C\,dt\,=\,-\,\int_{0}^{\pi}\,t\,\cos(t)\,\%2C\,dt\,=\,-I.$

En combinant ces résultats :

$f(\pi)\,-\,f(0)\,=\,-\pi\,-\,0\,=\,-\pi%2C$

$I\,=\,-\pi\,-\,(-4\,-\,I).$

Simplifions :

$I\,=\,-\pi\,%2B\,4\,%2B\,I.$

$0\,=\,-\pi\,%2B\,4.$

$I\,=\,2.$

Exercice 28 : intégration avec exponentielle, sinus et cosinus
$I\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x\,%2B\,1}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx\,\quad\,et\,\quad\,J\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{1}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx$

1) Calculons $I\,%2B\,J$ et $I\,-\,J$ :

$I\,%2B\,J\,=\,\int_{0}^{1}\,(\,\frac{e^x\,%2B\,1}{e^x\,%2B\,2}\,%2B\,\frac{1}{e^x\,%2B\,2}\,)\,\%2C\,dx\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x\,%2B\,1\,%2B\,1}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x\,%2B\,2}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{0}^{1}\,1\,\%2C\,dx\,=\,1$

$I\,-\,J\,=\,\int_{0}^{1}\,(\,\frac{e^x\,%2B\,1}{e^x\,%2B\,2}\,-\,\frac{1}{e^x\,%2B\,2}\,)\,\%2C\,dx\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x\,%2B\,1\,-\,1}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx$

$Posons\,\,u\,=\,e^x\,%2B\,2\,\implies\,du\,=\,e^x\,\%2C\,dx$
$I\,-\,J\,=\,\int_{0}^{1}\,\frac{e^x}{e^x\,%2B\,2}\,\%2C\,dx\,=\,\int_{2}^{e%2B2}\,\frac{du}{u}\,=\,%5B\,\ln%7Cu%7C\,%5D_{2}^{e%2B2}\,=\,\ln(e%2B2)\,-\,\ln\,2\,=\,\ln\,(\,\frac{e%2B2}{2}\,)$

2) En déduire les valeurs de et :

$I\,=\,\frac{(I\,%2B\,J)\,%2B\,(I\,-\,J)}{2}\,=\,\frac{1\,%2B\,\ln\,(\,\frac{e%2B2}{2}\,)}{2}$

$J\,=\,\frac{(I\,%2B\,J)\,-\,(I\,-\,J)}{2}\,=\,\frac{1\,-\,\ln\,(\,\frac{e%2B2}{2}\,)}{2}$

On considère les intégrales suivantes :

$I\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\cos^2(t)\,\%2C\,dt\,\quad\,et\,\quad\,J\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\sin^2(t)\,\%2C\,dt$

1) Calculons $I\,%2B\,J$ et $I\,-\,J$ :

$I\,%2B\,J\,=\,\int_{0}^{\pi}\,(\,\cos^2(t)\,%2B\,\sin^2(t)\,)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,1\,\%2C\,dt\,=\,\pi$

Pour $I\,-\,J$ , nous utilisons l’identité trigonométrique suivante :

$\cos^2(t)\,=\,\frac{1\,%2B\,\cos(2t)}{2}\,\quad\,et\,\quad\,\sin^2(t)\,=\,\frac{1\,-\,\cos(2t)}{2}$

$I\,-\,J\,=\,\int_{0}^{\pi}\,(\,\frac{1\,%2B\,\cos(2t)}{2}\,-\,\frac{1\,-\,\cos(2t)}{2}\,)\,\%2C\,dt\,=\,\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt$

$\int\,\cos(2t)\,\%2C\,dt\,=\,\frac{\sin(2t)}{2}$

$Ainsi%2C\,\,\int_{0}^{\pi}\,\cos(2t)\,\%2C\,dt\,=\,%5B\,\frac{\sin(2t)}{2}\,%5D_{0}^{\pi}\,=\,\frac{\sin(2\pi)}{2}\,-\,\frac{\sin(0)}{2}\,=\,0$

$I\,-\,J\,=\,0$

2) En déduire les valeurs de et :

$I\,=\,\frac{(I\,%2B\,J)\,%2B\,(I\,-\,J)}{2}\,=\,\frac{\pi\,%2B\,0}{2}\,=\,\frac{\pi}{2}$

$J\,=\,\frac{(I\,%2B\,J)\,-\,(I\,-\,J)}{2}\,=\,\frac{\pi\,-\,0}{2}\,=\,\frac{\pi}{2}$

Exercice 29 : proposer un encadrement de l’intégrale
Correction de l’exercice :

La fonction est définie sur l’intervalle $%5B0%3B\,2%5D$ par $f(x)\,=\,(2\,-\,x)\,e^x$ .

Nous nous intéressons au nombre défini par :
$I\,=\,\int_0^2\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,\int_0^2\,(2\,-\,x)e^x\,\%2C\,dx.$

### Partie a) Proposer un encadrement du nombre par deux nombres entiers.

Pour proposer un encadrement entier, nous devons d’abord estimer la valeur de l’intégrale graphiquement ou par calculs approximatifs. À partir de la courbe représentative de la fonction , nous observons une vallée dans le graphe.

Afin de trouver un encadrement, nous pouvons utiliser des valeurs approchées.

### Partie b) Déterminer le nombre avec la calculatrice.

Pour déterminer avec une calculatrice, nous procédons au calcul exact de l’intégrale :

La méthode consiste à utiliser la calculatrice pour déterminer l’intégrale définie. Utilisons la fonction intégrale de la calculatrice pour obtenir la valeur numérique exacte.

Calcul de l’intégrale :
$I\,=\,\int_0^2\,(\,(2\,-\,x)e^x\,)\,\%2C\,dx.$

Nous pouvons voir que l’intégrale peut être décomposée en deux parties :

$I\,=\,2\,\int_0^2\,e^x\,\%2C\,dx\,-\,\int_0^2\,x\,e^x\,\%2C\,dx.$

Pour $\int_0^2\,e^x\,\%2C\,dx$ , nous avons :
$\int_0^2\,e^x\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,e^x\,%5D_0^2\,=\,e^2\,-\,e^0\,=\,e^2\,-\,1.$

Pour $\int_0^2\,x\,e^x\,\%2C\,dx$ , nous utilisons l’intégration par parties :
$u\,=\,x\,\quad\,et\,\quad\,dv\,=\,e^x\,\%2C\,dx.$
Ainsi :
$du\,=\,dx\,\quad\,et\,\quad\,v\,=\,e^x.$

En appliquant l’intégration par parties, nous avons :
$\int_0^2\,x\,e^x\,\%2C\,dx\,=\,%5B\,x\,e^x\,%5D_0^2\,-\,\int_0^2\,e^x\,\%2C\,dx.$

$\int_0^2\,x\,e^x\,\%2C\,dx\,=\,(\,2\,e^2\,-\,0\,)\,-\,(\,e^2\,-\,1\,)\,=\,2e^2\,-\,e^2\,%2B\,1\,=\,e^2\,%2B\,1.$

Finalement :
$I\,=\,2(e^2\,-\,1)\,-\,(e^2\,%2B\,1)\,=\,2e^2\,-\,2\,-\,e^2\,-\,1\,=\,e^2\,-\,3.$

En utilisant une calculatrice, prenons l’approximation $e^2\,\approx\,7.389$ , donc :

$I\,\approx\,7.389\,-\,3\,=\,4.389.$

Ainsi, l’intégrale est approximativement égale à 4.389.

Le nombre est donc encadré entre les entiers 4 et 5.

Exercice 30 : déterminer l’aire située sous la courbe
a) Déterminons l’aire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}$ .

L’aire demandée est égale à la somme des aires des trapèzes et des triangles situés sous la courbe.

Divisons l’intervalle en segments et calculons l’aire de chaque figure géométrique:

1. De $x\,=\,-5$ à $x\,=\,-3$ , nous avons un trapèze de bases et et de hauteur :
$A_1\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(0\,%2B\,2)\,\times \,2\,=\,2$

2. De $x\,=\,-3$ à $x\,=\,0$ , nous avons un triangle de base et de hauteur :
$A_2\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3\,\times \,3\,=\,4.5$

3. De $x\,=\,0$ à $x\,=\,2$ , nous avons un trapèze de bases et et de hauteur :
$A_3\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(0\,%2B\,3)\,\times \,2\,=\,3$

4. De $x\,=\,2$ à $x\,=\,5$ , nous avons un trapèze de bases et et de hauteur :
$A_4\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,(3\,%2B\,5)\,\times \,3\,=\,12$

Ainsi, l’aire totale du domaine est:
$A\,=\,A_1\,%2B\,A_2\,%2B\,A_3\,%2B\,A_4\,=\,2\,%2B\,4.5\,%2B\,3\,%2B\,12\,=\,21.5$

b) Exprimons cette aire à l’aide d’une intégrale.

Si la fonction f(x) correspond à la courbe $\mathcal{C}$ , l’aire peut être exprimée comme :
$A\,=\,\int_{-5}^{5}\,f(x)\,\%2C\,dx$

Il est à noter que, pour cette courbe spécifique en forme de lignes brisées qui ne correspond pas à une fonction simple, cette intégrale serait calculée de manière segmentée sur chaque intervalle respectif défini par la courbe. Mais si nous avions une fonction f(x) continue qui décrivait la courbe, l’aire totale sous la courbe $\mathcal{C}$ entre $x\,=\,-5$ et $x\,=\,5$ serait :

$A\,=\,\int_{-5}^{5}\,f(x)\,\%2C\,dx\,=\,21.5$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : calculer l’aire A ,en unité d’aire, du domaine coloré
Pour déterminer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine coloré ci-dessous, nous devons calculer l’intégrale définie de la différence entre la fonction f(x) et la droite horizontale $y\,=\,-1$ sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,2%5D$ . La fonction f(x) est définie par $f(x)\,=\,-\frac{1}{2}x^2\,%2B\,2x\,-\,\frac{3}{2}$ .

L’aire $\mathcal{A}$ est donc donnée par :

$\mathcal{A}\,=\,\int_{0}^{2}\,(\,f(x)\,-\,(-1)\,)\,\%2C\,dx$

Ce qui s’écrit :

$\mathcal{A}\,=\,\int_{0}^{2}\,(\,-\frac{1}{2}x^2\,%2B\,2x\,-\,\frac{3}{2}\,%2B\,1\,)\,\%2C\,dx$

Simplifions l’expression sous l’intégrale :

$\mathcal{A}\,=\,\int_{0}^{2}\,(\,-\frac{1}{2}x^2\,%2B\,2x\,-\,\frac{1}{2}\,)\,\%2C\,dx$

Nous pouvons maintenant intégrer terme par terme :

1. $\int_{0}^{2}\,-\frac{1}{2}x^2\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,\int_{0}^{2}\,x^2\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,%5B\,\frac{x^3}{3}\,%5D_0^2\,=\,-\frac{1}{2}\,(\,\frac{8}{3}\,-\,0\,)\,=\,-\frac{4}{3}$
2. $\int_{0}^{2}\,2x\,\%2C\,dx\,=\,2\,\int_{0}^{2}\,x\,\%2C\,dx\,=\,2\,%5B\,\frac{x^2}{2}\,%5D_0^2\,=\,2\,(2\,-\,0)\,=\,4$
3. $\int_{0}^{2}\,-\frac{1}{2}\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,\int_{0}^{2}\,1\,\%2C\,dx\,=\,-\frac{1}{2}\,%5Bx%5D_0^2\,=\,-\frac{1}{2}\,(2\,-\,0)\,=\,-1$

En combinant ces résultats, nous obtenons :

$\mathcal{A}\,=\,-\frac{4}{3}\,%2B\,4\,-\,1\,=\,-\frac{4}{3}\,%2B\,3\,=\,-\frac{4}{3}\,%2B\,\frac{9}{3}\,=\,\frac{5}{3}$

Donc, l’aire $\mathcal{A}$ du domaine coloré est $\frac{5{3}}$ unités d’aire.

Exercice 32 : tableau de variation et encadrement d’intégrale
1. Signe des intégrales :

a) $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\,f(x)\,\%2C\,dx$

Dans l’intervalle $%5B-\,\frac{1}{2}%2C\,0%5D$ , $f(x)\,\leq\,\,0$ . Donc, l’intégrale $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\,f(x)\,\%2C\,dx$ est négative.

b) $\int_{0}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx$

Dans l’intervalle $%5B0%2C\,1%5D$ , $f(x)\,\geq\,\,0$ et dans l’intervalle $%5B1%2C\,3%5D$ , $f(x)\,\leq\,\,0$ . Cependant, la partie $%5B0%2C\,1%5D$ va contribuer à une aire positive plus grande que la partie négative de $%5B1%2C\,3%5D$ . Donc l’intégrale $\int_{0}^{3}\,f(x)\,\%2C\,dx$ est positive.