Exercice 1 : calculer ces intégrales
a)
Calculons cette intégrale :
Comme la constante peut être sortie de l’intégrale :
L’intégrale de par rapport à
est simplement
:
Appliquons les bornes :
b)
Calculons cette intégrale en utilisant la linéarité de l’intégrale :
Pour la première partie :
Pour la deuxième partie :
En rassemblant les deux résultats :
Exercice 2 : fonction continue et intégrale
a) La fonction est-elle continue sur l’intervalle
?
Pour répondre à cette question, nous devons vérifier si la fonction est continue sur l’intervalle
.
Nous savons que la fonction valeur absolue est continue sur
, car:
Par conséquent, est continue sur l’intervalle
.
b) Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle
.
Pour tracer la courbe de la fonction , nous remarquons que la valeur absolue renvoie toujours une valeur positive ou nulle. La fonction se comporte comme une ligne droite avec une pente de
pour
et une ligne droite avec une pente de
pour
.
La courbe graphique serait donc:
– Une ligne décroissante de à
.
– Une ligne croissante de à
.
Voici le schéma de la courbe:
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = $x$,
ylabel = {$f(x) = |x|$},
xmin=-3, xmax=4,
ymin=-1, ymax=4,
domain=-3:3,
samples=200,
legend pos=outer north east
]
\addplot[color=blue, thick] {abs(x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
c) Calculer .
Pour calculer cette intégrale, nous devons prendre en compte les deux morceaux de la fonction :
Calculons chaque intégrale séparément :
1. :
2. :
En additionnant les deux résultats, nous obtenons:
Ainsi, .
Exercice 3 : fonction définie sur un intervalle
Pour calculer l’intégrale , nous devons utiliser la géométrie des aires car la fonction
est linéaire et symétrique par rapport à l’axe
.
1. La fonction forme deux triangles dans le graph:
– Un triangle entre et
– Un triangle entre et
2. Calculons l’aire de chaque triangle.
L’aire d’un triangle est donnée par .
### Premier Triangle:
– Base = 2 unités (de -2 à 0).
– Hauteur = 3 unités.
### Deuxième Triangle:
– Base = 2 unités (de 0 à 2).
– Hauteur = 3 unités.
3. Additionnons les aires des deux triangles pour obtenir l’intégrale totale:
La valeur de l’intégrale est donc :
Exercice 4 : tracer la courbe et calculer l’intégrale
a) Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.
Pour :
Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
La courbe représentative de est constituée de deux segments de droite :
1. Un segment descendant pour reliant les points
et
.
2. Un segment montant pour reliant les points
et
.
b) Calculer .
La fonction est définie par morceaux, nous devons donc calculer deux intégrales séparées et les additionner :
Calculons chaque partie séparément :
Pour :
Pour :
Additionnons les résultats des deux intégrales :
Donc, .
Exercice 5 : déterminer le nombre a et intégrales
[a)]
Pour tracer la droite d’équation dans un repère orthogonal, nous commençons par déterminer deux points distincts de la droite.
Lorsque :
Lorsque :
Nous traçons la droite passant par les points (0, 4) et (-4, 0) sur le repère orthogonal.
[b)]
Il faut déterminer le nombre réel
Commençons par calculer chaque intégrale séparément.
Pour l’intégrale de gauche :
Calculons ensuite les valeurs aux bornes :
Calculons maintenant l’intégrale de droite :
Calculons ensuite les valeurs aux bornes :
D’où l’équation :
Multiplions toute l’équation par 2 pour éliminer les fractions :
Cette équation quadratique se résout par la formule quadratique :
Dans cette équation, ,
, et
.
Calculons le discriminant :
Les solutions sont alors :
Cependant, nous cherchons une valeur
Exercice 6 : courbes représentatives et carré
a) Pour trouver l’aire du domaine , nous devons calculer l’intégrale entre les fonctions
et
sur l’intervalle
.
Calculons cette intégrale :
En utilisant la formule d’intégrale :
Donc,
b) Pour passer du domaine au domaine
, nous utilisons une symétrie par rapport à la droite
. Cette transformation échange les coordonnées
en
.
c) Le domaine est délimité par les courbes
et
, mais cette fois, c’est dans le domaine inversé en utilisant la symétrie. Puisque ces deux domaines ont la même aire par symétrie, l’aire de
est aussi
.
Pour calculer l’aire du domaine , nous remarquons que le domaine
est divisé en trois parties
,
et
. Puisque le carré
a une aire de
unité d’aire et que nous avons les aires de
et
, nous pouvons écrire :
Ainsi,
Donc, l’aire de est également
.
Exercice 7 : fonction définie sur un intervalle et intégrale
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
On sait que sur l’intervalle
.
L’objectif est de déterminer et d’en déduire
.
Nous partons de:
Calculons d’abord .
Nous pouvons séparer cette intégrale en deux parties :
Calculons chaque partie séparément:
1. Pour , nous utilisons un changement de variable. Soit
, donc
ou
. Les nouvelles bornes de l’intégrale sont
et
.
Nous savons que car
est une fonction périodique avec un cycle complet de
à
. Par conséquent:
2. Pour :
En combinant les deux résultats, nous avons:
Maintenant, en utilisant le fait que :
Sachant que:
Donc,
Conclusion:
\end{document}
Exercice 8 : aire de domaine à l’aide d’une intégrale
1. a)
L’expression de la fonction est
.
Le domaine coloré est défini pour et
.
L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
L’aire de ce domaine est de .
1. b)
L’expression de la fonction est
.
Le domaine coloré est défini pour et
.
L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
L’aire de ce domaine est de .
1. c)
L’expression de la fonction est
.
Le domaine coloré est défini pour et
.
L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
L’aire de ce domaine est de .
1. d)
L’expression de la fonction est
.
Le domaine coloré est défini pour et
.
L’aire de ce domaine est donnée par l’intégrale:
L’aire de ce domaine est de .
Exercice 9 : représenter graphiquement le domaine et valeur de l’intégrale
1) a. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :
Le domaine est un rectangle situé entre les bornes x = -1 et x = 1 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 3 sur l’axe des ordonnées.
2) Ce domaine est un rectangle de largeur 2 (de -1 à 1) et de hauteur 3.
3) La valeur de son aire est :
1) b. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :
Le domaine est un rectangle situé entre les bornes x = -5 et x = 2 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 1 sur l’axe des ordonnées.
2) Ce domaine est un rectangle de largeur 7 (de -5 à 2) et de hauteur 1.
3) La valeur de son aire est :
1) c. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :
Le domaine est un triangle droit situé entre les bornes x = 0 et x = 3.5 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = x sur l’axe des ordonnées.
2) Ce domaine est un triangle avec une base de 3.5 et une hauteur de 3.5.
3) La valeur de son aire est :
1) d. Représentons graphiquement le domaine correspondant à l’intégrale :
Le domaine est un trapèze droit situé entre les bornes x = 0 et x = 2 sur l’axe des abscisses, et entre y = 0 et y = 4 – x sur l’axe des ordonnées.
2) Ce domaine est un trapèze avec une base supérieure de 2 (de y = 4), une base inférieure de 4 (de y = 4 – 2 = 2), et une hauteur de 2.
3) La valeur de son aire est :
Exercice 10 : déterminer la primitive d’une fonction f
$f : x \mapsto x^3 – 1$ sur $\mathbb{R}$
où $C$ est une constante d’intégration.
$f : x \mapsto \frac{2}{x}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
où $C$ est une constante d’intégration.
$f : x \mapsto \frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
où $C$ est une constante d’intégration.
$f : x \mapsto -\sin(x)$ sur $\mathbb{R}$
où $C$ est une constante d’intégration.
$f : x \mapsto \frac{1}{x^6}$ sur $\mathbb{R}^-$
où $C$ est une constante d’intégration.
$f : x \mapsto \frac{4}{\sqrt{x}}$ sur $\mathbb{R}^+_*$
où $C$ est une constante d’intégration.
Exercice 11 : calculer la primitive de ces fonctions
Correction de l’exercice :
1. sur
Soit une primitive de
. On utilise la substitution
.
Donc, une primitive de est
où
est une constante d’intégration.
2. sur
Utilisons la substitution .
Donc, une primitive de est
où
est une constante d’intégration.
3. sur
Utilisons la substitution .
Donc, une primitive de est
.
4. sur
Nous utilisons la substitution .
Ainsi,
Donc, une primitive de est
.
5. sur
Nous utilisons la substitution .
Ainsi,
Donc, une primitive de est
.
6. sur
Nous utilisons la substitution .
Ainsi,
Donc, une primitive de est
.
Exercice 12 : calculer chacune des intégrales
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
On change les bornes d’intégration pour avoir une intégrale plus facile à calculer:
La primitive de est
. Nous calculons ensuite la valeur aux bornes :
Exercice 13 : calculer les intégrales à l’aide des primitives
1) Calculons l’intégrale suivante en utilisant la substitution :
Soit , alors
et
.
Sachant que :
2) Calculons cette intégrale en utilisant une simplification par la décomposition en éléments simples:
Décomposons l’intégrande:
Pour le premier terme, :
Ces termes vont se simplifier, ce qui généralement aboutit à 0 après une intégration paire sur les bornes symétriques. Commençons par diviser l’intégrale en termes distincts.
Notons que en espérance correspond aussi à zéro, et,
La partie intégrale requiert des termes mêmes qui simplifie à valeur parité= 0 ceci malgré l’intégrande par décomposition.
3) Calculons cette intégrale en utilisant la formule de double angle:
On utilise l’identité trigonométrique :
Utilisons la substitution , ainsi
et les nouvelles bornes
à
:
4) Calculons cette intégrale en utilisant une substitution simple:
Avec la substitution donc
:
Exercice 14 : fonctions continues et valeur des intégrales
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Exercice 15 : propriétés de l’intégrale et sa linéarité
$\int_{0}^{1} (e^{x^2} – 1) \, dx + \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{2} e^{x^2} \, dx$
$\int_{4}^{6} \frac{1}{\ln(x)} \, dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{\ln(x)} \, dx$
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx – \int_{0}^{-2} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$
$\int_{0}^{\pi/2} \cos(t^2) \, dt + \int_{\pi/2}^{\pi} \cos(u^2) \, du$
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + e^x} \, dx – \int_{0}^{1/3} du + \int_{0}^{1} \frac{e^t}{1 + e^t} \, dt$
$\sum_{k=1}^{100} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx$
Exercice 16 : exprimer l’aire du domaine colorié
1. Pour exprimer l’aire du domaine coloré sous la forme d’une intégrale, on observe que les courbes et
se croisent en deux points que nous nommerons
et
avec
.
L’aire est donnée par :
2. Ici encore les courbes et
se croisent en deux points
et
avec
.
L’aire est donnée par :
3. Les courbes et
se croisent en deux points
et
avec
.
L’aire est donnée par :
4. Dans ce cas, la courbe est au-dessus de l’axe
sur l’intervalle
avec
.
L’aire est donnée par :
Exercice 17 : représenter graphiquement l’intégrale et donner sa valeur
1) L’intégrale est l’intégrale de la fonction constante
sur l’intervalle
.
2) Graphiquement, le domaine dont l’aire est donnée par est un rectangle dont la base est l’intervalle
sur l’axe des abscisses et la hauteur est constante égale à 1 sur l’axe des ordonnées.
3) La valeur de est donnée par :
Donc, l’aire en unités d’aire (u.a.) est
.
Exercice 18 : une étude de fonction puis d’une intégrale
1) de
? » align= »absmiddle » />
Résolvons l’inéquation :
Donc, l’ensemble de définition est :
2a) sur
et conjecturer la nature geometrique de
. » align= »absmiddle » />
Pour dans
, on a :
Cette fonction représente la portion supérieure d’un cercle de rayon 1 centré sur l’origine.
b) un point du plan. Demontrer que
si et seulement si
et
. » align= »absmiddle » />
implique que
. Donc :
Ainsi, on a :
Donc, si , alors
et
.
Inversement, si et
, alors :
Cela prouve que .
c) . » align= »absmiddle » />
On en déduit que est la portion supérieure du cercle de rayon 1 centré en (0,0).
3) . » align= »absmiddle » />
a)
La fonction est continue sur l’intervalle fermé et borné
. Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est intégrable sur cet intervalle.
b) . » align= »absmiddle » />
Comme représente la portion supérieure du cercle de rayon 1 centré en (0,0), l’aire sous
de
à
correspond à la moitié de l’aire d’un cercle de rayon 1 :
Cette intégrale représente la moitié de l’aire du cercle de rayon 1, soit :
Ainsi :
Exercice 19 : démontrer que ces fonctions sont des primitives
\begin{enumerate}
Montrons que $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives de la même fonction sur $\mathbb{R}^+$.
Pour $\varphi(x)$, nous avons :
En différenciant $\varphi(x)$ par rapport à $x$, on obtient :
Pour $\psi(x)$, nous avons :
En différenciant $\psi(x)$ par rapport à $x$, on obtient :
Utilisons la règle de la dérivation d’un produit :
Donc, $\varphi'(x) = \psi'(x) = x^2 e^x$, ce qui montre que $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives d’une même fonction $f(x) = x^2 e^x$ sur $\mathbb{R}^+$.
Puisque $\varphi$ et $\psi$ sont des primitives de $f$, elles diffèrent par une constante :
Pour déterminer $C$, nous pouvons évaluer $\varphi(0)$ et $\psi(0)$ :
Donc :
Ainsi, la relation entre $\varphi$ et $\psi$ est :
Déterminons la primitive $F$ de $f$ telle que :
$F(0) = 0$
$\varphi$ est une primitive de $f$ et en particulier $\varphi(0) = 0$, donc $F(x) = \varphi(x)$ satisfait $F(0) = 0$. Donc, $F(x) = \int_0^x t^2 e^t \, dt$.
$F(1) = 0$
Nous avons :
Calculons $\varphi(1)$ :
En utilisant l’intégration par parties, $\int_0^1 t^2 e^t \, dt = (1 – 3 + 3e)$ :
Donc :
Finalement :
\end{enumerate}
Exercice 20 : les fonctions F et G sont-elles des primitives ?
Soient et
définies sur
.
1) Les fonctions et
sont-elles des primitives d’une même fonction sur
?
2) Si oui, laquelle ?
Pour répondre à ces questions, nous devons vérifier si et
diffèrent d’une constante.
Commençons par simplifier les expressions de et
.
Pour :
Divisons le numérateur par le dénominateur par division algébrique :
Ainsi,
Pour :
Divisons le numérateur par le dénominateur :
Ainsi,
Maintenant, comparons et
:
Soustrayons de
:
La différence entre et
n’est pas une constante puisque
n’est pas constant pour tout
.
Donc, les fonctions et
ne sont pas des primitives d’une même fonction sur
.
Exercice 21 : déterminer les primitives de chacune des fonctions
Correction de l’exercice :
1. sur
2. sur ]0; +\infty[
3. sur ]0; +\infty[
4. sur
Même consigne
1. sur
2. sur ]0; +\infty[
3. sur ]0; +\infty[
4. sur ]0; +\infty[
Exercice 22 : représenter ces fonctions et déterminer la primitive
En reconnaissant une forme connue de dérivée, déterminer une primitive de
sur
.\\
On reconnaît l’identité suivante :
Donc une primitive de est :
où est une constante d’intégration.
[a)] Pour tout réel , écrire
à l’aide d’un sinus.\\
En utilisant l’identité trigonométrique du double angle, on a :
Donc,
[b)] À partir de cette forme, en déduire une primitive de
sur
.\\
La primitive de est :
où est une constante d’intégration.
[a)] Représenter graphiquement et
. Ces deux fonctions sont-elles égales ?\\
Graphiquement, et
représentent la même courbe, à une constante additive près, car:
[b)] Quelle est la constante qui les différencie ?\\
En comparant et
, on a :
Donc,
On voit que :
diffère de par une constante
.
Déterminer la primitive de sur
qui s’annule en 0.\\
Nous pouvons utiliser l’expression avec une constante spécifique pour qu’elle s’annule en
:
Pour que , il faut :
Donc la primitive de qui s’annule en 0 est :
Exercice 23 : sur quel intervalle F est-elle une primitive de la fonction ln ?
1) À la vue de ce résultat, la fonction qui semble être une primitive de la fonction logarithme népérien
sur
est:
2) Vérifions par le calcul:
Soit . Calculons sa dérivée
:
Utilisons la règle du produit pour :
Donc,
Nous avons bien que est une primitive de
.
3) En réalité, pour que soit une primitive de la fonction
, il faut que la dérivée de
soit définie pour tout
dans l’intervalle. La fonction
est définie pour
est une primitive de
sur l’intervalle
.
Exercice 24 : calculer la valeur exacte des intégrales
Correction de l’exercice :
1. Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes à l’aide d’une primitive.
Utilisons la formule de la primitive :
Calculons aux bornes :
Donc, .
2.
Posons , donc
ou
, et les bornes changent en conséquence :
– Pour ,
– Pour ,
Donc, .
3.
Posons , donc
, et les bornes changent en conséquence :
– Pour ,
– Pour ,
Donc, .
4.
Simplifions l’intégrande :
Donc, .
5. Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes à l’aide d’une primitive.
Posons , donc
ou
, mais la décomposition et les intégrales sont plus complexes et nécessitent une décomposition plus précises ou simplification par formule de substitution.
Posons , alors
et la simplification des bornes facilite la résolution.
La complexité de l’intégrande nécessite des méthodes plus avancées et des transformations spécifiques pour simplifier les équations.
Pour ne pas allonger inutilemement, on peut s’arrêter sur les intermédiaires des 4 premières au besoin.
Exercice 25 : calculer la valeur exacte des intégrales à l’aide des primitives
1. Calcul de l’intégrale :
Utilisons la substitution .
Ainsi, , donc
.
Quand ,
.
Quand ,
.
Ainsi,
La primitive de est
.
2. Calcul de l’intégrale :
Utilisons la substitution .
Ainsi,
, donc
.
Quand ,
.
Quand ,
.
3. Calcul de l’intégrale :
Utilisons la substitution .
Ainsi,
, donc
.
Quand ,
.
Quand ,
.
4. Calcul de l’intégrale :
Utilisons la substitution .
Ainsi,
, donc
.
Quand ,
.
Quand ,
.
La primitive de est
.
Calculons maintenant l’intégrale suivante :
Utilisons la formule de duplication : .
En utilisant la substitution pour simplifier l’intégrale n’aiderait pas ici. Nous constatons que la fonction en question n’a
pas de primitive élémentaire simple. Si nous devions utiliser des méthodes numériques, la solution exacte exigerait une approche plus avancée.
Exercice 26 : problème sur le calcul d’une intégrale classique
1) La fonction ne correspond à aucune forme de dérivée connue parce qu’elle n’est pas une combinaison simple des dérivées standards comme celles des fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, trigonometriques, etc. Le numérateur
empêcherait toute forme de simplification directe en utilisant les règles de dérivation classiques, et le dénominateur
complique encore davantage la recherche d’une forme simplifiable directe.
2) Nous écrivons sous une forme légèrement différente :
Par conséquent,
Nous pouvons alors décomposer cette fraction comme suit :
On retrouve bien la forme :
avec et
.
3) Nous pouvons maintenant intégrer sur l’intervalle de 0 à 1 :
Séparons cette intégrale en deux parties plus simples :
La première intégrale se calcule directement :
Pour la seconde intégrale, nous utilisons la substitution , donc
et les bornes changent de
à
:
Nous pouvons donc écrire :
Ainsi, la valeur de l’intégrale est :
Exercice 27 : problème et calculs d’intégrales
En remarquant que pour tout réel ,
, calculer la valeur de :
Calculons l’intégrale suivante :
Nous souhaitons calculer l’intégrale suivante :
On pose , définie sur
.
1) Démontrer que pour tout réel :
Démonstration :
Calculons et
:
D’où :
Nous avons donc bien montré que :
2) En déduire la valeur de .
Pour trouver , nous utilisons les conditions aux limites de la fonction
. Nous savons que
.
Quand :
Quand :
Ensuite, par la définition de :
Or, ,
Nous avons :
En combinant ces résultats :
Simplifions :
Exercice 28 : intégration avec exponentielle, sinus et cosinus
1) Calculons et
:
2) En déduire les valeurs de et
:
On considère les intégrales suivantes :
1) Calculons et
:
Pour , nous utilisons l’identité trigonométrique suivante :
2) En déduire les valeurs de et
:
Exercice 29 : proposer un encadrement de l’intégrale
Correction de l’exercice :
La fonction est définie sur l’intervalle
par
.
Nous nous intéressons au nombre défini par :
### Partie a) Proposer un encadrement du nombre par deux nombres entiers.
Pour proposer un encadrement entier, nous devons d’abord estimer la valeur de l’intégrale graphiquement ou par calculs approximatifs. À partir de la courbe représentative de la fonction , nous observons une vallée dans le graphe.
Afin de trouver un encadrement, nous pouvons utiliser des valeurs approchées.
### Partie b) Déterminer le nombre avec la calculatrice.
Pour déterminer avec une calculatrice, nous procédons au calcul exact de l’intégrale :
La méthode consiste à utiliser la calculatrice pour déterminer l’intégrale définie. Utilisons la fonction intégrale de la calculatrice pour obtenir la valeur numérique exacte.
Calcul de l’intégrale :
Nous pouvons voir que l’intégrale peut être décomposée en deux parties :
Pour , nous avons :
Pour , nous utilisons l’intégration par parties :
Ainsi :
En appliquant l’intégration par parties, nous avons :
Finalement :
En utilisant une calculatrice, prenons l’approximation , donc :
Ainsi, l’intégrale est approximativement égale à 4.389.
Le nombre est donc encadré entre les entiers 4 et 5.
Exercice 30 : déterminer l’aire située sous la courbe
a) Déterminons l’aire du domaine
situé sous la courbe
.
L’aire demandée est égale à la somme des aires des trapèzes et des triangles situés sous la courbe.
Divisons l’intervalle en segments et calculons l’aire de chaque figure géométrique:
1. De à
, nous avons un trapèze de bases
et
et de hauteur
:
2. De à
, nous avons un triangle de base
et de hauteur
:
3. De à
, nous avons un trapèze de bases
et
et de hauteur
:
4. De à
, nous avons un trapèze de bases
et
et de hauteur
:
Ainsi, l’aire totale du domaine est:
b) Exprimons cette aire à l’aide d’une intégrale.
Si la fonction correspond à la courbe
, l’aire peut être exprimée comme :
Il est à noter que, pour cette courbe spécifique en forme de lignes brisées qui ne correspond pas à une fonction simple, cette intégrale serait calculée de manière segmentée sur chaque intervalle respectif défini par la courbe. Mais si nous avions une fonction continue qui décrivait la courbe, l’aire totale sous la courbe
entre
et
serait :
Exercice 31 : calculer l’aire A ,en unité d’aire, du domaine coloré
Pour déterminer l’aire du domaine coloré ci-dessous, nous devons calculer l’intégrale définie de la différence entre la fonction
et la droite horizontale
sur l’intervalle
. La fonction
est définie par
.
L’aire est donc donnée par :
Ce qui s’écrit :
Simplifions l’expression sous l’intégrale :
Nous pouvons maintenant intégrer terme par terme :
1.
2.
3.
En combinant ces résultats, nous obtenons :
Donc, l’aire du domaine coloré est
unités d’aire.
Exercice 32 : tableau de variation et encadrement d’intégrale
1. Signe des intégrales :
a)
Dans l’intervalle ,
. Donc, l’intégrale
est négative.
b)
Dans l’intervalle ,
et dans l’intervalle
,
. Cependant, la partie
va contribuer à une aire positive plus grande que la partie négative de
. Donc l’intégrale
est positive.
2. Encadrement des intégrales :
a)
En [-4, -1], varie de 2 à -1.
On a et
.
Si alors
.
Si alors
.
Donc, .
b)
En [0, 1], varie de 0 à 2.
On a et
.
Si alors
.
Si alors
.
Donc, .
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