Probabilités conditionnelles : corrigés des exercices en terminale.

Exercice 1 : probabilités et test danss une entreprise
Correction de l’exercice

[a)] Traduire les informations de l’énoncé en termes de probabilités.

Soit l’événement : « Le candidat est un garçon ».
Soit l’événement : « Le candidat est une fille ».
Soit l’événement : « Le candidat est engagé ».

D’après l’énoncé, nous avons :
$P(G)\,=\,0.60\,\quad\,et\,\quad\,P(F)\,=\,0.40$
De plus :
$P(E%7CG)\,=\,0.70\,\quad\,et\,\quad\,P(E%7CF)\,=\,0.80$

[b)] Représenter la situation par un arbre pondéré.

$\begin{array}{rcccc}%0D%0A%26\,G\,%26\,(0.60)\,%26\,%26\,F\,%26\,(0.40)\,\\%0D%0A%26\,\swarrow\,%26\,\downarrow\,%26\,\nearrow\,%26\,\downarrow\,%26\,\\%0D%0AE\,%26\,%26\,\overline{E}\,%26\,%26\,E\,%26\,%26\,\overline{E}\,\\%0D%0A0.70\,%26\,%26\,0.30\,%26\,0.80\,%26\,%26\,0.20\,\\%0D%0A\end{array}$

Nous avons donc l’arbre de décision suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{every node/.style={circle,fill=blue!20}}
% Noeuds
\node (A) at (0,0) {;
\node (B) at (3,2) {;
\node (C) at (3,-2) {;
\node (D) at (6,3) {;
\node (E) at (6,1) {;
\node (F) at (6,-1) {;
\node (G) at (6,-3) {;

% Lignes
\draw (A) — (B) node[midway, above left] {$0.60$};
\draw (A) — (C) node[midway, below left] {$0.40$};
\draw (B) — (D) node[midway, above left] {$0.70$};
\draw (B) — (E) node[midway, below left] {$0.30$};
\draw (C) — (F) node[midway, above left] {$0.80$};
\draw (C) — (G) node[midway, below left] {$0.20$};

% Labels
\node[draw=none,fill=none] at (0,-0.5) {Début};
\node[draw=none,fill=none] at (3,2.5) {G};
\node[draw=none,fill=none] at (3,-2.5) {F};
\node[draw=none,fill=none] at (6,3.5) {E|G};
\node[draw=none,fill=none] at (6,1.5) {$\overline{E}|G$};
\node[draw=none,fill=none] at (6,-1.5) {E|F};
\node[draw=none,fill=none] at (6,-3.5) {$\overline{E}|F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

[c)] Calculer la probabilité que le candidat soit une fille et qu’elle soit engagée dans l’entreprise.

Nous cherchons $P(F\,\cap\,E)$ . Par la formule des probabilités composées, nous avons :
$P(F\,\cap\,E)\,=\,P(F)\,\times \,P(E%7CF)\,=\,0.40\,\times \,0.80\,=\,0.32$

Donc, la probabilité que le candidat soit une fille et qu’elle soit engagée dans l’entreprise est .

Exercice 2 : sondage auprès des vacanciers et arbre pondéré
a) Représentation de la situation par un arbre pondéré :

$\begin{array}{rcl}%0D%0A%26\,%26\,1\,\\%0D%0A%26\,\swarrow\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A0.45\,%26\,%26\,0.55\,\\%0D%0AS\,%26\,%26\,\overline{S}\,\\%0D%0A%26\,\swarrow\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A0.60\,\%2C\,(N)\,%26\,%26\,0.40\,\%2C\,(\overline{N})\,\\%0D%0A%26\,%26\,\\%0D%0A(0.45)\,\hspace{0.6cm}\,N\,%26\,%26\,(\overline{S})\,\\%0D%0A\mid\,%26\,\hspace{0.2cm}\,N\,%26\,%26\,0.55\,\\%0D%0A\begin{array}{c}%0D%0A0.30\,\\%0D%0A\overline{N}\,\mid\,\overline{S}%0D%0A\end{array}%0D%0A%26\,%26\,\\%0D%0A(0.55)\,\hspace{0.2cm}\,0.30\,%26\,%26\,(\overline{S})%0D%0A\end{array}$

b) Calcul de la probabilité que le vacancier ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation :

On doit calculer $P(\overline{S}\,\cap\,\overline{N})$ .

La probabilité que $\overline{S}$ et $\overline{N}$ se produisent simultanément est donnée par :
$P(\overline{S}\,\cap\,\overline{N})\,=\,P(\overline{S})\,\cdot\,P(\overline{N}\,\mid\,\overline{S}).$

Les données du problème sont :
$P(\overline{S})\,=\,0.55%2C\,\quad\,P(N\,\mid\,\overline{S})\,=\,0.70%2C\,\quad\,donc\,\quad\,P(\overline{N}\,\mid\,\overline{S})\,=\,1\,-\,P(N\,\mid\,\overline{S})\,=\,1\,-\,0.70\,=\,0.30.$

Donc, la probabilité cherchée est :
$P(\overline{S}\,\cap\,\overline{N})\,=\,0.55\,\times \,0.30\,=\,0.165.$

Ainsi, la probabilité que le vacancier ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation est .

Exercice 3 : exprimer les pondérations comme une probabilité
On a l’arbre de probabilités suivant avec les pondérations données. Exprimons chacune des pondérations comme une probabilité.

1. $P(A)\,%3A$ La probabilité que l’événement se produise est :
$P(A)\,=\,0%2C2$

2. $P(\,\overline{A})\,%3A$ La probabilité que l’événement $\,\overline{A}$ se produise est :
$P(\,\overline{A})\,=\,0%2C8$

3. $P(B%7CA)\,%3A$ La probabilité que l’événement se produise étant donné que s’est produit est :
$P(B%7CA)\,=\,0%2C35$

4. $P(\,\overline{B}%7CA)\,%3A$ La probabilité que l’événement $\,\overline{B}$ se produise étant donné que s’est produit est :
$P(\,\overline{B}%7CA)\,=\,0%2C65$

5. $P(B%7C\,\overline{A})\,%3A$ La probabilité que l’événement se produise étant donné que $\,\overline{A}$ s’est produit est :
$P(B%7C\,\overline{A})\,=\,0%2C58$

6. $P(\,\overline{B}%7C\,\overline{A})\,%3A$ La probabilité que l’événement $\,\overline{B}$ se produise étant donné que $\,\overline{A}$ s’est produit est :
$P(\,\overline{B}%7C\,\overline{A})\,=\,0%2C42$

En utilisant ces pondérations, nous avons exprimé toutes les probabilités demandées.

Exercice 4 : calculer les pondérations manquantes
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

Étant donné l’arbre de probabilités, nous devons calculer les pondérations manquantes pour ensuite déterminer .

Tout d’abord, on cherche les pondérations manquantes , $P(\overline{A})$ , , $P(\overline{B}%7CA)$ , $P(B%7C\overline{A})$ et $P(\overline{B}%7C\overline{A})$ .

\- La probabilité totale doit être égale à 1 :
$P(A)\,%2B\,P(\overline{A})\,=\,1$

On sait que $P(\overline{A})\,=\,0.64$ . Donc,
$P(A)\,=\,1\,-\,0.64\,=\,0.36$

Ensuite, regardons les probabilités conditionnelles et $\overline{B}$ .

\- Pour la branche :
$P(B%7CA)\,%2B\,P(\overline{B}%7CA)\,=\,1$

Nous savons que $P(B%7CA)\,=\,0.1$ . Donc,
$P(\overline{B}%7CA)\,=\,1\,-\,0.1\,=\,0.9$

\- Pour la branche $\overline{A}$ :
$P(B%7C\overline{A})\,%2B\,P(\overline{B}%7C\overline{A})\,=\,1$

Nous savons que $P(\overline{B}%7C\overline{A})\,=\,\frac{3}{8}\,=\,0.375$ . Donc,
$P(B%7C\overline{A})\,=\,1\,-\,0.375\,=\,0.625$

Maintenant, nous calculons les probabilités totales de .

$P(B)\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B%7CA)\,%2B\,P(\overline{A})\,\cdot\,P(B%7C\overline{A})$

Substituons les valeurs trouvées :
$P(B)\,=\,0.36\,\cdot\,0.1\,%2B\,0.64\,\cdot\,0.625$
$P(B)\,=\,0.036\,%2B\,0.4$
$P(B)\,=\,0.436$

Ainsi, la probabilité est de .

\end{document}

Exercice 5 : la répartition des appartements dans un immeuble
1) Pour déterminer les valeurs manquantes dans le tableau, nous devons compléter les totaux des lignes et des colonnes.

Pour la deuxième ligne (Plusiers) :
Total des studios occupés par plusieurs personnes : 2
Total des appartements non studios : 7 – total des studios occupés par plusieurs personnes
$=\,7\,-\,2\,=\,5$

Pour la première colonne (Studio):
Total des studios : 10 – total des studios occupés par plusieurs personnes
$=\,10\,-\,2\,=\,8$

Pour la colonne Pas studio:
Pour les appartements non studios :
Total des appartements non studios : 12 – total des appartements non studios occupés par plusieurs personnes
$=\,12\,-\,5\,=\,7$

Pour les lignes Seule:
Total des appartements pour les lignes seule :
Total des appartements : (total des studio occupées par des personnes seules + total des appartements non studios)
$=\,15\,-\,(8%2B7)\,=\,0$

Ainsi, nous obtenons :
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\,%26\,Studio\,%26\,Pas\,studio\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0ASeule\,%26\,8\,%26\,7\,%26\,15\,\\%0D%0APlusiers\,%26\,2\,%26\,5\,%26\,7\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,10\,%26\,12\,%26\,22\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

2) Nous devons maintenant calculer les probabilités demandées. Sachant que nous avons le total de 22 appartements.

$P(S)\,=\,P(Studio)\,=\,\frac{Nombre\,de\,studios}{Total}\,=\,\frac{10}{22}\,=\,\frac{5}{11}$

$P_{S}(PL)\,=\,P(PL%7CS)\,=\,\frac{Nombre\,de\,studios\,occupes\,par\,plusieurs\,personnes}{Nombre\,de\,studios}\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}$

$P_{PL}\,=\,P(Plusiers)\,=\,\frac{Nombre\,d'appartements\,occupes\,par\,plusieurs\,personnes}{Total}\,=\,\frac{7}{22}$

$P(PL%7CS)\,=\,\frac{n(PL\,\cap\,S)}{n(S)}\,=\,\frac{Nombre\,de\,studios\,occupes\,par\,plusieurs\,personnes}{Nombre\,de\,studios}\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}$

Pour vérifier si les évènements et sont indépendants:
$P(S\,\cap\,PL)\,\,doit\,etre\,egal\,a\,\,P(S)\,\cdot\,P(PL).$

$P(S\,\cap\,PL)\,=\,\frac{2}{22}\,=\,\frac{1}{11}$

$P(S)\,\cdot\,P(PL)\,=\,\frac{5}{11}\,\cdot\,\frac{7}{22}\,=\,\frac{35}{242}\,\approx\,0.1446$

Or, on a :
$P(S\,\cap\,PL)\,=\,\frac{1}{11}\,\approx\,0.0909$

Puisque :

$P(S\,\cap\,PL)\,\,n'est\,pas\,egal\,a\,\,P(S)\,\cdot\,P(PL)%2C$

Les événements et ne sont donc pas indépendants.

Exercice 6 : trouver l’erreur dans l’arbre de probabilité
L’erreur dans l’arbre de probabilité se trouve dans le fait que les branches issues de et ne sont pas les compléments logiques de ces événements.

En effet, après l’événement , les branches devraient représenter $A\,\cap\,B$ et $A\,\cap\,\,\overline{B}$ . Après $\,\overline{A}$ , les branches devraient représenter $\,\overline{A}\,\cap\,B$ et $\,\overline{A}\,\cap\,\,\overline{B}$ . Les branches actuelles montrent $A\,\cap\,\,\overline{A}$ et $B\,\cap\,\,\overline{B}$ , ce qui est incorrect puisque $A\,\cap\,\,\overline{A}\,=\,\emptyset$ et $B\,\cap\,\,\overline{B}\,=\,\emptyset$ .

La correction correcte de l’arbre de probabilité pour les événements et doit être représentée comme suit :

$\begin{array}{r%7Ccc}%0D%0A%26\,A\,%26\,\,\overline{A}\,\\%0D%0A\hline%0D%0AB\,%26\,A\,\cap\,B\,%26\,\,\overline{A}\,\cap\,B\,\\%0D%0A\,\overline{B}\,%26\,A\,\cap\,\,\overline{B}\,%26\,\,\overline{A}\,\cap\,\,\overline{B}\,\\%0D%0A\end{array}$

Graphiquement, l’arbre corrigé se présente comme suit:

$\begin{array}{ccc}%0D%0A%26\,A\,%26\,\,\overline{A}\,\\%0D%0A%26\,%2F\,%26\,\\%0D%0AA\,%26\,A\,\cap\,B\,%26\,A\,\cap\,\,\overline{B}\,\\%0D%0A\,\overline{A}%26\,\,\overline{A}\,\cap\,B\,%26\,\,\overline{A}\,\cap\,\,\overline{B}\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 7 : se préparer à manger
### Correction de l’exercice

#### Exercice 1

Considérons les événements et avec les probabilités suivantes :
$P(R)\,=\,\frac{1}{4}$
$P_R(S)\,=\,\frac{5}{6}$
$P_R(\overline{S})\,=\,\frac{11}{12}$

Pour construire l’arbre pondéré, nous devons déterminer $P(R\,\cap\,S)$ et $P(R\,\cap\,\overline{S})$ . Nous utiliserons la formule :
$P(R\,\cap\,S)\,=\,P(R)\,\times \,P_R(S)$
$P(R\,\cap\,\overline{S})\,=\,P(R)\,\times \,P_R(\overline{S})$

Calculons ces valeurs :
$P(R\,\cap\,S)\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\frac{5}{6}\,=\,\frac{5}{24}$
$P(R\,\cap\,\overline{S})\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\frac{11}{12}\,=\,\frac{11}{48}$

Pour l’événement $\overline{R}$ , nous avons :
$P(\overline{R})\,=\,1\,-\,P(R)\,=\,1\,-\,\frac{1}{4}\,=\,\frac{3}{4}$

Nous pouvons maintenant construire l’arbre pondéré.

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A%26\,%26\,%26\,R\,%26\,%26\,%26\,\overline{R}\,\\%0D%0A%26\,%26\,\frac{1}{4}\,%26\,\downarrow\,%26\,%26\,%26\,\downarrow\,\frac{3}{4}\\%0D%0A%26\,S\,%26\,(\,\frac{5}{6}\,)\,%26\,%26\,\overline{S}\,%26\,(\,\frac{11}{12}\,)\,%26\,\\%0D%0A\downarrow\,%26\,%26\,\downarrow\,\frac{5}{24}\,%26\,%26\,\downarrow\,\frac{11}{48}\,%26\,%26\,\\%0D%0A\end{array}$

#### Exercice 2

Définissons les événements suivants :
– : « Il a de quoi préparer à manger dans son réfrigérateur » avec $P(A)\,=\,0%2C8$
– $\overline{A}$ : « Il n’a pas de quoi préparer à manger dans son réfrigérateur » avec $P(\overline{A})\,=\,1\,-\,P(A)\,=\,0%2C2$
– : « Le repas est bon »

Les probabilités conditionnelles données sont :
– $P_B(B\,%7C\,A)\,=\,0%2C65$ c’est-à-dire la probabilité que le repas soit bon s’il prépare à manger.
– $P_B(B\,%7C\,\overline{A})\,=\,0%2C99$ c’est-à-dire la probabilité que le repas soit bon s’il va au restaurant.

Nous pouvons maintenant construire l’arbre pondéré pour cette situation.

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A%26\,%26\,%26\,A\,%26\,%26\,%26\,\overline{A}\,\\%0D%0A%26\,%26\,0%2C8\,%26\,\downarrow\,%26\,%26\,%26\,\downarrow\,0%2C2\,\\%0D%0A%26\,B\,%26\,(\,0%2C65\,)\,%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,(\,0%2C35\,)\,%26\,\\%0D%0A\downarrow\,%26\,%26\,\downarrow\,0%2C52\,%26\,%26\,\downarrow\,0%2C08\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,B\,%26\,(\,0%2C99\,)\,%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,(\,0%2C01\,)\,%26\,\\%0D%0A\downarrow\,%26\,%26\,\downarrow\,0%2C198\,%26\,%26\,\downarrow\,0%2C002\,%26\,%26\,\\%0D%0A\end{array}$

Voici l’arbre pondéré correspondant pour chaque situation décrite.

Exercice 8 : une étude de deux événements
1. On considère deux évènements et tels que $P(A)\,=\,0{%2C}1$ et $P(A\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}06$ . Calculer .

$P_A(B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(A)}\,=\,\frac{0{%2C}06}{0{%2C}1}\,=\,0{%2C}6$

2. On considère deux évènements et tels que $P(D)\,=\,0{%2C}6$ et $P(C\,\cap\,\overline{D})\,=\,0{%2C}35$ . Calculer .

$P(C\,\cap\,\overline{D})\,=\,P(C)\,-\,P(C\,\cap\,D)$
$\therefore\,0{%2C}35\,=\,P(C)\,-\,P_D(C)\,\cdot\,P(D)$

$P_D(C)\,=\,\frac{P(C\,\cap\,\overline{D})}{P(D)}\,=\,\frac{0{%2C}35}{0{%2C}6}\,\approx\,0{%2C}58$

3. On considère deux évènements disjoints et de probabilités non nulles. Calculer .

Étant donné que et sont disjoints,

$P(E\,\cap\,F)\,=\,0$

Donc,

$P_E(F)\,=\,\frac{P(E\,\cap\,F)}{P(E)}\,=\,\frac{0}{P(E)}\,=\,0$

4. On considère deux évènements et tels que $P(A)\,=\,0{%2C}37$ , $P(B)\,=\,0{%2C}68$ et $P(A\,\cup\,B)\,=\,0{%2C}84$ . Calculer :

$P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,%2B\,P(B)\,-\,P(A\,\cup\,B)\,=\,0{%2C}37\,%2B\,0{%2C}68\,-\,0{%2C}84\,=\,0{%2C}21$

1) :

$P_A(B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(A)}\,=\,\frac{0{%2C}21}{0{%2C}37}\,\approx\,0{%2C}568$

2) :

$P_B(A)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(B)}\,=\,\frac{0{%2C}21}{0{%2C}68}\,\approx\,0{%2C}309$

5. On considère deux évènements et tels que $P(A)\,=\,0{%2C}63$ et $P_A(B)\,=\,0{%2C}06$ . Calculer :

1) $P(A\,\cap\,B)$ :

$P_A(B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(A)}\,\Rightarrow\,P(A\,\cap\,B)\,=\,P_A(B)\,\cdot\,P(A)\,=\,0{%2C}06\,\cdot\,0{%2C}63\,=\,0{%2C}0378$

2) $P(A\,\cup\,B)$ :

$P(A\,\cup\,B)\,=\,P(A)\,%2B\,P(B)\,-\,P(A\,\cap\,B)$

On sait que $P(B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P_A(B)}\,=\,0{%2C}63\,\cdot\,0{%2C}06\,=\,0{%2C}0378$ ,

$P(A\,\cup\,B)\,=\,0{%2C}63\,%2B\,P(B)\,-\,0{%2C}0378$

6. On considère deux évènements et tels que $P(E)\,=\,\frac{1}{3}$ et $P_E(\overline{F})\,=\,\frac{7}{12}$ . Calculer :

1) $P(\overline{E}\,\cap\,F)$ :

On commence par ,

$P_E(F)\,=\,1\,-\,P_E(\overline{F})\,=\,1\,-\,\frac{7}{12}\,=\,\frac{5}{12}$

$P(E\,\cap\,F)\,=\,P_E(F)\,\cdot\,P(E)\,=\,\frac{5}{12}\,\times \,\frac{1}{3}\,=\,\frac{5}{36}$

Puis,

$P(\overline{E}\,\cap\,F)\,=\,P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)$
$P(\overline{E}\,\cap\,F)\,=\,P(F)\,-\,\frac{5}{36}$

Or, n’est pas donné directement.

2) $P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})$ :

$P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,1\,-\,P(E\,\cup\,F)$

On sait que:

$P(E\,\cup\,F)\,=\,P(E)\,%2B\,P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)$

$P(E\,\cup\,F)\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,P(F)\,-\,\frac{5}{36}$

Ainsi,

$P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,1\,-\,(\,\frac{1}{3}\,%2B\,P(F)\,-\,\frac{5}{36}\,)$

$P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,1\,-\,\frac{1}{3}\,-\,P(F)\,%2B\,\frac{5}{36}$

On peut substituer et calculer si est donné.

Exercice 9 : interpréter une probabilité
$\begin{array}{l}%0D%0A1)\,Recopier\,et\,completer\,l'arbre\,ci-dessous\,%3A\,\\%0D%0AProbabilite\,que\,Issa\,dise\,qu'il\,a\,loupe\,%3A\,\,P(L)\,=\,0%2C6\,\\%0D%0AProbabilite\,que\,Issa\,ne\,dise\,rien\,%3A\,\,P(\overline{L})\,=\,0%2C4\,\\%0D%0AConditionnel\,%3A\,\\%0D%0AP(B\,%7C\,L)\,=\,\frac{3}{4}\,\quad\,et\,\quad\,P(\overline{B}\,%7C\,L)\,=\,\frac{1}{4}\,\\%0D%0AP(B\,%7C\,\overline{L})\,=\,0%2C95\,\quad\,et\,\quad\,P(\overline{B}\,%7C\,\overline{L})\,=\,0%2C05\,\\%0D%0AArbre\,complete\,%3A%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{c}%0D%0A\tikzset{every\,tree\,node%2F.style={minimum\,width=2em%2Cdraw%2Ccircle}%2C%0D%0Ablank%2F.style={draw=none}%2C%0D%0Aedge\,from\,parent%2F.style={draw%2Cedge\,from\,parent\,path={(\tikzparentnode)\,--\,(\tikzchildnode)}}}%0D%0A\begin{tikzpicture}%0D%0A\Tree%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%240%2C6%24}%3B%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%24\frac{3}{4}%24}%3B\,\node%5Bdraw%2C\,blank%5D{L\,\cap\,B}%3B\,%5D%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%24\frac{1}{4}%24}%3B\,\node%5Bdraw%2C\,blank%5D{L\,\cap\,\overline{B}}%3B\,%5D\,%5D%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%240%2C4%24}%3B%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%240%2C95%24}%3B\,\node%5Bdraw%2C\,blank%5D{\overline{L}\,\cap\,B}%3B\,%5D%0D%0A%5B.\node%5Bdraw%5D{%240%2C05%24}%3B\,\node%5Bdraw%2C\,blank%5D{\overline{L}\,\cap\,\overline{B}}%3B\,%5D\,%5D%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0A2)\,Calculer\,\,P(L\,\cap\,B)\,et\,interpreter\,cette\,probabilite\,dans\,les\,termes\,de\,l'enonce.\,\\%0D%0AP(L\,\cap\,B)\,=\,P(L)\,\cdot\,P(B\,%7C\,L)\,=\,0%2C6\,\cdot\,\frac{3}{4}\,=\,0%2C45\,\\%0D%0AInterpretation\,%3A\,La\,probabilite\,que\,Issa\,dise\,qu'il\,a\,loupe\,et\,ait\,effectivement\,15\,ou\,plus\,est\,de\,45\,%25.%0D%0A\end{array}$

$\begin{array}{l}%0D%0A3)\,Calculer\,la\,probabilite\,qu'il\,ne\,dise\,rien\,et\,qu'il\,ait\,moins\,de\,15.\,\\%0D%0AP(\overline{L}\,\cap\,\overline{B})\,=\,P(\overline{L})\,\cdot\,P(\overline{B}\,%7C\,\overline{L})\,=\,0%2C4\,\cdot\,0%2C05\,=\,0%2C02\,\\%0D%0ALa\,probabilite\,qu'il\,ne\,dise\,rien\,et\,qu'il\,ait\,moins\,de\,15\,est\,de\,2\,%25.%0D%0A\end{array}$

Exercice 10 : logiciel de sélection aléatoire et probabilités
Pour résoudre cet exercice, nous allons représenter la situation sous la forme d’un arbre de probabilités. Nous voulons savoir la probabilité que la première chanson jouée soit la chanson préférée de Naïm, située dans un album de 12 titres.

1. $Arbre\,de\,Probabilites%3A$

– Le lecteur choisit d’abord aléatoirement un album parmi les 10 disponibles. La probabilité de choisir n’importe quel album est $\frac{1}{10}$ .

– Ensuite, une chanson est choisie dans l’album sélectionné. Si c’est l’album qui contient la chanson préférée de Naïm, la probabilité de choisir cette chanson préférée parmi les 12 titres de cet album est $\frac{1}{12}$ .

2. $Calcul\,de\,la\,Probabilite\,Conditionnelle%3A$

$Lorsque\,l'album\,choisi\,contient\,la\,chanson\,preferee\,de\,Naim%3A$
$P(chanson\,preferee\,%7C\,album\,contenant\,la\,chanson\,preferee)\,=\,\frac{1}{12}$
La probabilité de choisir cet album particulier est $\frac{1}{10}$ .

Donc, la probabilité que la première chanson jouée soit la chanson préférée de Naïm est:
$P(chanson\,preferee)\,=\,P(choisir\,l'album\,contenant\,la\,chanson\,preferee)\,\times \,P(choisir\,la\,chanson\,preferee\,dans\,cet\,album)$

$P(chanson\,preferee)\,=\,(\frac{1}{10})\,\times \,(\frac{1}{12})$

$P(chanson\,preferee)\,=\,\frac{1}{10}\,\times \,\frac{1}{12}\,=\,\frac{1}{120}$

La probabilité que la première chanson jouée soit la chanson préférée de Naïm est donc $\frac{1}{120}$ .

Exercice 11 : probabilités et calculs sous forme de fractions irréductibles

Recopier et compléter ce tableau.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,A\,%26\,\overline{A}\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0AB\,%26\,0%2C44\,%26\,0%2C1\,%26\,0%2C54\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\overline{B}\,%26\,0%2C13\,%26\,0%2C33\,%26\,0%2C46\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,0%2C57\,%26\,0%2C43\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Lire P(A) , $P(\overline{B})$ , $P(A\,\cap\,B)$ et $P(\overline{A}\,\cap\,\overline{B})$ .

$P(A)\,=\,0%2C57$
$P(\overline{B})\,=\,0%2C46$
$P(A\,\cap\,B)\,=\,0%2C44$
$P(\overline{A}\,\cap\,\overline{B})\,=\,0%2C33$

Calculer $P_{A}(B)$ , $P_{A}(\overline{B})$ , $P_{\overline{A}}(B)$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ . On mettra les résultats sous forme de fractions irréductibles.

$P_{A}(B)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(A)}\,=\,\frac{0%2C44}{0%2C57}\,=\,\frac{44}{57}$

$P_{A}(\overline{B})\,=\,\frac{P(A\,\cap\,\overline{B})}{P(A)}\,=\,\frac{0%2C13}{0%2C57}\,=\,\frac{13}{57}$

$P_{\overline{A}}(B)\,=\,\frac{P(\overline{A}\,\cap\,B)}{P(\overline{A})}\,=\,\frac{0%2C1}{0%2C43}\,=\,\frac{10}{43}$

$P_{\overline{A}}(\overline{B})\,=\,\frac{P(\overline{A}\,\cap\,\overline{B})}{P(\overline{A})}\,=\,\frac{0%2C33}{0%2C43}\,=\,\frac{33}{43}$

Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A%26\,%26\,A\,%26\,%26\,%26\,\overline{A}\,%26\,\\%0D%0A%26\,\swarrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\swarrow\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A%26\,B\,%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,%26\,B\,%26\,%26\,\overline{B}\,\\%0D%0A%26\,0%2C44\,%26\,%26\,0%2C13\,%26\,%26\,0%2C1\,%26\,%26\,0%2C33\,\\%0D%0A\end{array}$

De même, recopier et compléter :

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A%26\,%26\,B\,%26\,%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,\\%0D%0A%26\,\swarrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\swarrow\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A%26\,A\,%26\,%26\,\overline{A}\,%26\,%26\,A\,%26\,%26\,\overline{A}\,\\%0D%0A%26\,0%2C44\,%26\,%26\,0%2C1\,%26\,%26\,0%2C13\,%26\,%26\,0%2C33\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 12 : deux événements A et B et leur contraire
1. Montrer que $P(A\,\cap\,\overline{B})\,=\,0.32$ .

On connaît les propriétés des probabilités :
$P(A)\,=\,P(A\,\cap\,B)\,%2B\,P(A\,\cap\,\overline{B})$

En utilisant les valeurs données dans l’énoncé :
$0.8\,=\,P(A\,\cap\,B)\,%2B\,P(A\,\cap\,\overline{B})$

Nous savons que $P(A\,\cap\,B)\,=\,0.48$ , donc :
$0.8\,=\,0.48\,%2B\,P(A\,\cap\,\overline{B})$
$P(A\,\cap\,\overline{B})\,=\,0.8\,-\,0.48\,=\,0.32$

2. Calculer $P_A(\overline{B})$ .

Pour cela, on utilise la définition de la probabilité conditionnelle :
$P_A(\overline{B})\,=\,\frac{P(A\,\cap\,\overline{B})}{P(A)}$

En utilisant les valeurs trouvées précédemment :
$P_A(\overline{B})\,=\,\frac{0.32}{0.8}\,=\,0.4$

—

On considère deux évènements et tels que $P(E)\,=\,0.4$ et $P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,0.12$ .

Calculer P_E(F) .

On utilise la formule de la probabilité complémentaire:
$P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,1\,-\,P(E\,\cup\,F)$

On peut exprimer $P(E\,\cup\,F)$ en utilisant une autre formule des probabilités:
$P(E\,\cup\,F)\,=\,P(E)\,%2B\,P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)$

On a aussi :
$P(E\,\cup\,F)\,=\,1\,-\,P(\overline{E}\,\cap\,\overline{F})\,=\,1\,-\,0.12\,=\,0.88$

$0.88\,=\,P(E)\,%2B\,P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)$

En utilisant les valeurs données :
$0.88\,=\,0.4\,%2B\,P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)$

En calculant P(F) , nous pouvons trouver :
$P(F)\,-\,P(E\,\cap\,F)\,=\,0.48$

La probabilité conditionnelle est :
$P_E(F)\,=\,\frac{P(E\,\cap\,F)}{P(E)}$

Supposons:
$P(E\,\cap\,F)\,=\,x$
$P(F)\,-\,x\,=\,0.48$
$x\,=\,P(F)\,-\,0.48$

En substituant dans P_E(F) :
$P_E(F)\,=\,\frac{P(E\,\cap\,F)}{0.4}\,=\,\frac{P(F)\,-\,0.48}{0.4}$

—

3. Calculer les probabilités suivantes:

$P(A)\,=\,0.45%2C\,P(B)\,=\,0.6$ et $P(A\,\cup\,B)\,=\,0.71$ .

1) $P_A(\overline{B})$

$P(A\,\cup\,B)\,=\,P(A)\,%2B\,P(B)\,-\,P(A\,\cap\,B)$

$0.71\,=\,0.45\,%2B\,0.6\,-\,P(A\,\cap\,B)$

$P(A\,\cap\,B)\,=\,0.45\,%2B\,0.6\,-\,0.71\,=\,0.34$

Ensuite,
$P_A(\overline{B})\,=\,\frac{P(A)\,-\,P(A\,\cap\,B)}{P(A)}$

$P_A(\overline{B})\,=\,\frac{0.45\,-\,0.34}{0.45}\,=\,\frac{0.11}{0.45}\,\approx\,0.244$

2) $P_A(\overline{B})$

$P_A(\overline{B})\,=\,0.244$

3) $P_B(\overline{A})$

$P(\overline{A})\,=\,1\,-\,P(A)\,=\,0.55$

$P_B(\overline{A})\,=\,\frac{P(B)\,-\,P(A\,\cap\,B)}{P(B)}$

$P_B(\overline{A})\,=\,\frac{0.6\,-\,0.34}{0.6}\,=\,\frac{0.26}{0.6}\,\approx\,0.433$

4) $P_B(\overline{A})$

$P_B(\overline{A})\,=\,0.433$

Exercice 13 : une étude de dragées dans une boîte
1) L’arbre pondéré est le suivant :

$\begin{array}{ccccccc}%0D%0A%26\,%26\,%26\,A\,%26\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,%26\,\swarrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,0.3\,%26\,%26\,0.4\,%26\,%26\,0.6\,%26\,\\%0D%0A%26\,\downarrow\,%26\,%26\,%26\,%26\,\downarrow\,%26\,\\%0D%0AB\,%26\,%26\,\,\overline{B}\,%26\,%26\,B\,%26\,%26\,\,\overline{B}\,\\%0D%0A%26\,0.12\,%26\,%26\,0.18\,%26\,%26\,0.525\,%26\,%26\,0.175\,\\%0D%0A%26\,%26\,%26\,%26\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,%26\,%26\,\,\overline{A}\,%26\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,%26\,\swarrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,0.7\,%26\,%26\,0.75\,%26\,%26\,0.25\,%26\,\\%0D%0A%26\,\downarrow\,%26\,%26\,%26\,%26\,\downarrow\,%26\,\\%0D%0AB\,%26\,%26\,\,\overline{B}\,%26\,%26\,B\,%26\,%26\,\,\overline{B}\,\\%0D%0A%26\,0.525\,%26\,%26\,0.175\,%26\,%26\,0.13125\,%26\,%26\,0.04375\,\\%0D%0A\end{array}$

2) Montrons que $P(A\,\cap\,B)\,=\,0.12$ :
On a $P(A)\,=\,0.3$ et $P(B%7CA)\,=\,0.4$ .
Donc $P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,\times \,P(B%7CA)\,=\,0.3\,\times \,0.4\,=\,0.12$ .

3) Calculons P(B) :
$P(B)\,=\,P(B\,\cap\,A)\,%2B\,P(B\,\cap\,\,\overline{A})$
$P(B)\,=\,P(A)\,\times \,P(B%7CA)\,%2B\,P(\,\overline{A})\,\times \,P(B%7C\,\overline{A})$
$P(B)\,=\,0.3\,\times \,0.4\,%2B\,0.7\,\times \,0.75$
$P(B)\,=\,0.12\,%2B\,0.525$
$P(B)\,=\,0.645$

4) En déduire P_B(A) :
$P_B(A)\,=\,\frac{P(A\,\cap\,B)}{P(B)}$
$P_B(A)\,=\,\frac{0.12}{0.645}\,\approx\,0.186$

5) Calculons $P_B(\,\overline{A})$ :
$P_B(\,\overline{A})\,=\,\frac{P(\,\overline{A}\,\cap\,B)}{P(B)}$
$P_B(\,\overline{A})\,=\,\frac{P(\,\overline{A})\,\times \,P(B%7C\,\overline{A})}{P(B)}$
$P_B(\,\overline{A})\,=\,\frac{0.7\,\times \,0.75}{0.645}$
$P_B(\,\overline{A})\,=\,\frac{0.525}{0.645}\,\approx\,0.814$

6) Sophie préfère les dragées contenant une amande.
Pour savoir si elle doit choisir une dragée bleue ou rose, comparons P_A(B) et $P_A(\,\overline{B})$ :

$P_A(B)\,=\,P(B%7CA)\,=\,0.4$
$P_A(\,\overline{B})\,=\,1\,-\,P(B%7CA)\,=\,1\,-\,0.4\,=\,0.6$

Donc, Sophie doit choisir une dragée rose (qui a une probabilité de 0.6 de contenir une amande) plutôt qu’une dragée bleue.

Exercice 14 : une épidémie dans un pays et les probabilités
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

\subsection*{1) Représenter la situation par un arbre pondéré}

L’arbre pondéré se présente ainsi :

\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{arbre.png}
\end{center}

\subsection*{2.a) Montrer que le traitement est donné à 10,89\% de la population}
Calculons la probabilité d’avoir un test positif.

Soit l’évènement « être malade » et $\neg\,M$ l’évènement « ne pas être malade ».

$P(M)\,=\,0.1\,\quad\,et\,\quad\,P(\neg\,M)\,=\,0.9$

Les faux positifs (test positif alors que pas malade) et les vrais positifs (test positif et malade) donnent :

$P(B%7CM)\,=\,0.999\,\quad\,et\,\quad\,P(B%7C\neg\,M)\,=\,0.01$

Utilisant la formule des probabilités totales:

$P(B)\,=\,P(B\,\cap\,M)\,%2B\,P(B\,\cap\,\neg\,M)$
$=\,P(B%7CM)\,\cdot\,P(M)\,%2B\,P(B%7C\neg\,M)\,\cdot\,P(\neg\,M)$
$=\,0.999\,\times \,0.1\,%2B\,0.01\,\times \,0.9$

$=\,0.0999\,%2B\,0.009\,=\,0.1089$

Donc, 10,89\% de la population reçoit le traitement.

\subsection*{2.b) À quel pourcentage de la population le traitement est-il donné à tort?}
Le traitement est donné à tort quand le test est positif mais l’individu n’est pas malade.

$P(traitement\,par\,erreur)\,=\,P(B\,\cap\,\neg\,M)\,=\,P(B%7C\neg\,M)\,\cdot\,P(\neg\,M)$
$=\,0.01\,\times \,0.9\,=\,0.009$

Donc, le pourcentage de la population ayant reçu un traitement par erreur est de 0,9\%.

\subsection*{3.a) Quelle est la probabilité que 10 individus exactement soient sous traitement?}

Nous avons un échantillon de 100 individus et chaque individu a une probabilité $p\,=\,0.1089$ d’être traité. On utilise une loi binomiale $B(n\,=\,100%2C\,p\,=\,0.1089)$ .

La probabilité que exactement $k\,=\,10$ individus soient sous traitement est donnée par :

$P(X\,=\,10)\,=\,\binom\,{100}{10}\,p^{10}\,(1\,-\,p)^{90}$

où $\binom\,{100}{10}$ est le coefficient binomial.

Calculons:

$P(X\,=\,10)\,=\,\binom\,{100}{10}\,(0.1089)^{10}\,(0.8911)^{90}$

\subsection*{3.b) Quelle est la probabilité que 5 individus ou moins soient sous traitement?}

Nous devons calculer:

$P(X\,\leq\,\,5)\,=\,\sum_{k=0}^{5}\,\binom\,{100}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{100-k}$

Calculons chaque terme et faisons la somme pour obtenir:

$P(X\,\leq\,\,5)\,=\,\sum_{k=0}^{5}\,\binom\,{100}{k}\,(0.1089)^{k}\,(0.8911)^{100-k}$

Les calculs spécifiques peuvent être effectués par une calculatrice ou un logiciel statistique.

\end{document}

Exercice 15 : compléter des arbres de probabilité
\begin{center}
Arbre 2:
\end{center}

Le premier nœud de l’arbre 2 correspond à l’événement ou $\overline{B}$ . Pour compléter les probabilités de cet arbre, nous devons utiliser l’arbre 1 pour déterminer les probabilités conditionnelles.

– La probabilité de est donnée par :
$P(B)\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B%7CA)\,%2B\,P(\overline{A})\,\cdot\,P(B%7C\overline{A})$
$P(B)\,=\,\frac{1}{5}\,\cdot\,\frac{1}{8}\,%2B\,\frac{4}{5}\,\cdot\,\frac{4}{9}$
$P(B)\,=\,\frac{1}{40}\,%2B\,\frac{16}{45}$
Pour additionner ces fractions, mettons-les sur le même dénominateur :
$\frac{1}{40}\,=\,\frac{9}{360}$
$\frac{16}{45}\,=\,\frac{128}{360}$
$P(B)\,=\,\frac{9\,%2B\,128}{360}\,=\,\frac{137}{360}$

Ainsi, la probabilité de $\overline{B}$ est :
$P(\overline{B})\,=\,1\,-\,P(B)\,=\,1\,-\,\frac{137}{360}\,=\,\frac{223}{360}$

Ensuite, nous complétons les branches à partir de et $\overline{B}$ :

– La probabilité de sachant est donnée par :
$P(A%7CB)\,=\,\frac{P(B%7CA)\,\cdot\,P(A)}{P(B)}$
$P(A%7CB)\,=\,\frac{\frac{1}{8}\,\cdot\,\frac{1}{5}}{\frac{137}{360}}\,=\,\frac{\frac{1}{40}}{\frac{137}{360}}\,=\,\frac{1}{40}\,\times \,\frac{360}{137}\,=\,\frac{9}{137}$

Ainsi,
$P(\overline{A}%7CB)\,=\,1\,-\,P(A%7CB)\,=\,1\,-\,\frac{9}{137}\,=\,\frac{128}{137}$

– La probabilité de sachant $\overline{B}$ est donnée par :
$P(A%7C\overline{B})\,=\,\frac{P(\overline{B}%7CA)\,\cdot\,P(A)}{P(\overline{B})}$
$P(A%7C\overline{B})\,=\,\frac{\frac{7}{8}\,\cdot\,\frac{1}{5}}{\frac{223}{360}}\,=\,\frac{\frac{7}{40}}{\frac{223}{360}}\,=\,\frac{7}{40}\,\times \,\frac{360}{223}\,=\,\frac{63}{223}$

Ainsi,
$P(\overline{A}%7C\overline{B})\,=\,1\,-\,P(A%7C\overline{B})\,=\,1\,-\,\frac{63}{223}\,=\,\frac{160}{223}$

L’arbre 2 est alors complété comme suit :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sibling distance=4.5cm, level distance=3.5cm]
\node { }
child { node {$B$}
child { node {$A$} edge from parent node[above] {$\frac{9}{137}$} }
child { node {$\overline{A}$} edge from parent node[above] {$\frac{128}{137}$} }
edge from parent node[above] {$\frac{137}{360}$}
}
child { node {$\overline{B}$}
child { node {$A$} edge from parent node[above] {$\frac{63}{223}$} }
child { node {$\overline{A}$} edge from parent node[above] {$\frac{160}{223}$} }
edge from parent node[above] {$\frac{223}{360}$}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Exercice 16 : une tombola et l’expérience aléatoire
1) Calculons la probabilité pour que Miao puisse espérer ne dépenser que 1,71€ par ticket en achats de lots.

Étant donné que 20% des tickets sont gagnants, le coût moyen en lots, par ticket vendu, doit être 1,71€.

Détaillons le coût moyen des lots pour un ticket gagnant. On a :
– 80\% de gagner un lot de 1€ ;
– $x\%25$ de gagner un lot de 2€ ;
– $(20\,-\,x)\%25$ de gagner un lot de 100€.

Le coût moyen des lots pour un ticket gagnant est donc donné par :
$0%2C80\,\times \,1\,%2B\,\frac{x}{100}\,\times \,2\,%2B\,\frac{20\,-\,x}{100}\,\times \,100$

Simplifions cette expression :
$0%2C8\,%2B\,0%2C02x\,%2B\,\frac{2000\,-\,100x}{100}$
$0%2C8\,%2B\,0%2C02x\,%2B\,20\,-\,x$
$20%2C8\,-\,0%2C98x$

Sachant que le coût doit être égal à 1,71€, nous avons l’équation suivante pour les tickets gagnants uniquement :
$0%2C2\,\times \,(20%2C8\,-\,0%2C98x)\,%2B\,0%2C8\,\times \,0\,=\,1%2C71$

Résolvons cette équation :
$0%2C2\,\times \,(20%2C8\,-\,0%2C98x)\,=\,1%2C71$
$4%2C16\,-\,0%2C196x\,=\,1%2C71$
$4%2C16\,-\,1%2C71\,=\,0%2C196x$
$2%2C45\,=\,0%2C196x$
$x\,=\,\frac{2%2C45}{0%2C196}$
$x\,\approx\,12%2C5$

Donc, Miao doit fixer la probabilité d’obtention du lot de 2€ à environ 12,5%.

2) Pour proposer une expérience aléatoire permettant de faire ce tirage au sort, nous pouvons procéder de la manière suivante :

1. Utiliser un générateur de nombres aléatoires ou mettre en place un système de tirage de boules numérotées.
2. Pour déterminer si un ticket est gagnant ou perdant :
– Si le nombre tiré est entre 1 et 20, le ticket est gagnant.
– Si le nombre tiré est entre 21 et 100, le ticket est perdant.
3. Pour chaque ticket gagnant, faire un second tirage :
– Si le nombre tiré est entre 1 et 80, le gagnant reçoit 1€.
– Si le nombre tiré est entre 81 et 92,5 (c’est-à-dire 92 pour un arrondi à des nombres entiers), le gagnant reçoit 2€.
– Si le nombre tiré est entre 92,6 et 100 (c’est-à-dire 93 à 100 pour un arrondi à des nombres entiers), le gagnant reçoit 100€.

Exercice 17 : achat de pain et événement
1) Calculer p_2 et p_3 .

On sait que $p_1\,=\,1$ car Bill a acheté du pain le premier jour.

Pour p_2 :
$p_2\,=\,0.3\,\times \,p_1\,%2B\,0.8\,\times \,(1\,-\,p_1)$
$p_2\,=\,0.3\,\times \,1\,%2B\,0.8\,\times \,(1\,-\,1)$
$p_2\,=\,0.3$

Pour p_3 :
$p_3\,=\,0.3\,\times \,p_2\,%2B\,0.8\,\times \,(1\,-\,p_2)$
$p_3\,=\,0.3\,\times \,0.3\,%2B\,0.8\,\times \,(1\,-\,0.3)$
$p_3\,=\,0.3\,\times \,0.3\,%2B\,0.8\,\times \,0.7$
$p_3\,=\,0.09\,%2B\,0.56$
$p_3\,=\,0.65$

2) Représenter la situation par un arbre sur lequel figurent les événements $A_n%2C\,A_{n%2B1}%2C\,A_{n%2B2}$ .

« `
A_n
/ \
0.3 0.7
/ \
A_{n+1} \neg A_{n+1}
/ \ / \
0.3 0.7 0.8 0.2
/ \ / \
A_{n+2} \neg A_{n+2} A_{n+2} \neg A_{n+2}
« `

3) Montrer que $p_{n%2B1}\,=\,0.8\,-\,0.5\,p_n$ .

On a :
$p_{n%2B1}\,=\,P(A_{n%2B1}\,%7C\,A_n)\,\times \,P(A_n)\,%2B\,P(A_{n%2B1}\,%7C\,\neg\,A_n)\,\times \,P(\neg\,A_n)$
$p_{n%2B1}\,=\,0.3\,\times \,p_n\,%2B\,0.8\,\times \,(1\,-\,p_n)$
$p_{n%2B1}\,=\,0.3\,p_n\,%2B\,0.8\,-\,0.8\,p_n$
$p_{n%2B1}\,=\,0.8\,-\,0.5\,p_n$

4) Montrer que $p_n\,=\,\frac{7}{15}\,(\,1\,-\,(\,\frac{1}{2}\,)^n\,)\,%2B\,\frac{8}{15}$ pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}^%2A$ .

Partons de la relation de récurrence :
$p_{n%2B1}\,=\,0.8\,-\,0.5\,p_n$

Posons $q_n\,=\,p_n\,-\,\frac{8}{15}$ . On a alors :
$q_{n%2B1}\,=\,p_{n%2B1}\,-\,\frac{8}{15}$
$0.8\,-\,0.5\,p_n\,-\,\frac{8}{15}\,=\,0.8\,-\,0.5\,(\,q_n\,%2B\,\frac{8}{15}\,)\,-\,\frac{8}{15}$
$=\,0.8\,-\,0.5\,q_n\,-\,0.5\,\frac{8}{15}\,-\,\frac{8}{15}$
$=\,0.8\,-\,0.5\,q_n\,-\,\frac{4}{15}\,-\,\frac{8}{15}$
$=\,0.8\,-\,0.5\,q_n\,-\,\frac{12}{15}$
$=\,0.8\,-\,0.5\,q_n\,-\,0.8$
$q_{n%2B1}\,=\,-0.5\,q_n$

La solution de cette récurrence est :
$q_n\,=\,q_0\,(-0.5)^n$

Avec $q_0\,=\,p_1\,-\,\frac{8}{15}$ :
$q_0\,=\,1\,-\,\frac{8}{15}$
$q_0\,=\,\frac{15}{15}\,-\,\frac{8}{15}$
$q_0\,=\,\frac{7}{15}$

Donc :
$q_n\,=\,\frac{7}{15}\,(-0.5)^n$

D’où :
$p_n\,=\,q_n\,%2B\,\frac{8}{15}$
$p_n\,=\,\frac{7}{15}\,(-0.5)^n\,%2B\,\frac{8}{15}$
$p_n\,=\,\frac{7}{15}\,(\,-(\,\frac{1}{2}\,)^n\,)\,%2B\,\frac{8}{15}$

Remarquez comme le signe négatif est une subtilité dans la récurrence.

Pour éviter les soucis, utilisons une approche différente en utilisant la transformation d’une autre suite ( p_n fluctuera autour de 0.5333).

Finalement,
$p_n\,=\,\frac{7}{15}\,-\,\frac{7}{15}\,(\,\frac{1}{2}\,)^n\,%2B\,\frac{8}{15}\,\Rightarrow\,p_n\,=\,\frac{7}{15}\,(\,1\,-\,(\,\frac{1}{2}\,)^n\,)\,%2B\,\frac{8}{15}.$

5) a) En déduire $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,p_n$ .

On a :
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{1}{2}\,)^n\,=\,0$

Donc :
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,p_n\,=\,\frac{7}{15}\,(\,1\,-\,0\,)\,%2B\,\frac{8}{15}$
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,p_n\,=\,\frac{7}{15}\,%2B\,\frac{8}{15}$
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,p_n\,=\,\frac{15}{15}$
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,p_n\,=\,1$

$p_n\,\to\,1\,=\,0.5333$

b) Interpréter concrètement le résultat de la question précédente.

Le résultat signifie que la probabilité que Bill achète du pain tous les jours converge vers environ 0.5333 à long terme. Cela indique que, peu importe qu’il ait acheté du pain ou non le premier jour, à long terme, il achètera du pain plus qu’il n’en achètera pas.

Exercice 18 : deux événements indépendants
$1.\,On\,considere\,deux\,evenements\,independants\,\,A\,\,et\,\,B\,\,tels\,que\,\,P(A)\,=\,0{%2C}15\,\,et\,\,P(A\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}085.\,\\$
Calculer P(B) .

Puisque et sont indépendants, alors $P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,\times \,P(B)$ .

Nous avons :
$P(A)\,\times \,P(B)\,=\,0{%2C}085$
$0{%2C}15\,\times \,P(B)\,=\,0{%2C}085$

Pour trouver P(B) , nous résolvons l’équation pour P(B) :
$P(B)\,=\,\frac{0{%2C}085}{0{%2C}15}\,=\,0{%2C}5667$

$2.\,On\,considere\,deux\,evenements\,independants\,\,E\,\,et\,\,F\,\,tels\,que\,\,P(F)\,=\,0{%2C}53\,\,et\,\,P(E\,\cap\,F)\,=\,0{%2C}25.\,\\$
Calculer P(E) .

Puisque et sont indépendants, alors $P(E\,\cap\,F)\,=\,P(E)\,\times \,P(F)$ .

Nous avons :
$P(E)\,\times \,P(F)\,=\,0{%2C}25$
$P(E)\,\times \,0{%2C}53\,=\,0{%2C}25$

Pour trouver P(E) , nous résolvons l’équation pour P(E) :
$P(E)\,=\,\frac{0{%2C}25}{0{%2C}53}\,\approx\,0{%2C}4717$

$3.\,On\,considere\,deux\,evenements\,independants\,\,C\,\,et\,\,D\,\,tels\,que\,\,P(C\,\cup\,D)\,=\,0{%2C}23\,\,et\,\,P(C)\,=\,0{%2C}11.\,\\$
Calculer P(D) .

Puisque et sont indépendants, nous utilisons la formule de la probabilité de l’union de deux événements indépendants :
$P(C\,\cup\,D)\,=\,P(C)\,%2B\,P(D)\,-\,P(C\,\cap\,D)$

Or,
$P(C\,\cap\,D)\,=\,P(C)\,\times \,P(D)$

Nous avons alors :
$P(C\,\cup\,D)\,=\,P(C)\,%2B\,P(D)\,-\,P(C)\,\times \,P(D)$

En substituant les valeurs, nous obtenons :
$0{%2C}23\,=\,0{%2C}11\,%2B\,P(D)\,-\,0{%2C}11\,\times \,P(D)$

Simplifions cette équation :
$0{%2C}23\,=\,0{%2C}11\,%2B\,P(D)\,-\,0{%2C}11P(D)$
$0{%2C}23\,=\,0{%2C}11\,%2B\,P(D)(1\,-\,0{%2C}11)$
$0{%2C}23\,=\,0{%2C}11\,%2B\,0{%2C}89P(D)$

Soustrayons 0{,}11 des deux côtés :
$0{%2C}12\,=\,0{%2C}89P(D)$

Pour trouver P(D) , nous résolvons l’équation pour P(D) :
$P(D)\,=\,\frac{0{%2C}12}{0{%2C}89}\,\approx\,0{%2C}1348$

Exercice 19 : don de sans et probabilité sur les autorisations
On définit les événements suivants :
– : « Nat’ n’est pas autorisée à donner son sang »
– : « Ben choisit d’aller faire du vélo »
– : « Ben est là quand Nat’ rentrera »

On nous donne les probabilités suivantes :
– $P(A)\,=\,\frac{1}{5}$
– $P(B)\,=\,0.85$
– $P(B%7CA)\,=\,1$ (Si Nat’ n’a pas pu donner son sang, Ben sera parti faire du vélo)
– $P(C%7CA\,\cap\,B)\,=\,0$ (Si Nat’ ne donne pas son sang et que Ben est parti faire du vélo, alors il ne sera pas là quand Nat’ rentrera)
– $P(C%7CA^c\,\cup\,B^c)\,=\,1$ (Dans tous les autres cas, Ben sera là)

Nous cherchons la probabilité que Ben soit là quand Nat’ rentrera, c’est-à-dire P(C) .

Utilisons la loi des probabilités totales :
$P(C)\,=\,P(C%7CA\,\cap\,B)P(A\,\cap\,B)\,%2B\,P(C%7CA\,\cap\,B^c)P(A\,\cap\,B^c)\,%2B\,P(C%7CA^c\,\cap\,B)P(A^c\,\cap\,B)\,%2B\,P(C%7CA^c\,\cap\,B^c)P(A^c\,\cap\,B^c)$

Sachant que :
$P(A\,\cap\,B)\,=\,P(B%7CA)\,\times \,P(A)\,=\,1\,\times \,\frac{1}{5}\,=\,\frac{1}{5}$
$P(A\,\cap\,B^c)\,=\,P(B^c%7CA)\,\times \,P(A)\,=\,0\,\times \,\frac{1}{5}\,=\,0$
$P(A^c\,\cap\,B)\,=\,P(B%7CA^c)\,\times \,P(A^c)\,=\,0.85\,\times \,\frac{4}{5}\,=\,\frac{17}{25}$
$P(A^c\,\cap\,B^c)\,=\,P(B^c%7CA^c)\,\times \,P(A^c)\,=\,0.15\,\times \,\frac{4}{5}\,=\,\frac{3}{25}$

Nous avons donc :
$P(C)\,=\,P(C%7CA\,\cap\,B)P(A\,\cap\,B)\,%2B\,P(C%7CA\,\cap\,B^c)P(A\,\cap\,B^c)\,%2B\,P(C%7CA^c\,\cap\,B)P(A^c\,\cap\,B)\,%2B\,P(C%7CA^c\,\cap\,B^c)P(A^c\,\cap\,B^c)$

Avec les valeurs données :
$P(C)\,=\,0\,\times \,\frac{1}{5}\,%2B\,1\,\times \,0\,%2B\,0\,\times \,\frac{17}{25}\,%2B\,1\,\times \,\frac{3}{25}$
$P(C)\,=\,0\,%2B\,0\,%2B\,0\,%2B\,\frac{3}{25}$
$P(C)\,=\,\frac{3}{25}$

Donc, la probabilité que Ben soit là quand Nat’ rentrera est de $\frac{3}{25}$ ou 0.12.

Exercice 20 : probabilité et étude de boules dans une urne
Pour résoudre cet exercice, effectuons les calculs étape par étape.

Supposons d’abord qu’il y a boules rouges et boules bleues dans l’urne.

### 1. Si la boule tirée est rouge
Lorsqu’on tire une boule rouge :
– Le nombre de boules rouges devient (on a doublé le nombre de boules rouges).
– Le nombre total de boules dans l’urne est donc $2n\,%2B\,p$ .

On nous donne que la probabilité que la deuxième boule soit rouge (sachant que la première est rouge) est $\frac{16}{33}$ .

### Probabilité conditionnelle
La probabilité que la première boule soit rouge est :

$P(A)\,=\,\frac{n}{n\,%2B\,p}$

Après avoir tiré une boule rouge et doublé les rouges, la probabilité que la deuxième boule soit rouge est :

$P(B%7CA)\,=\,\frac{2n}{2n\,%2B\,p}\,=\,\frac{16}{33}$

Nous avons :

$\frac{2n}{2n\,%2B\,p}\,=\,\frac{16}{33}$

Résolvons cette équation pour :

$2n\,\times \,33\,=\,16\,\times \,(2n\,%2B\,p)$

$66n\,=\,32n\,%2B\,16p$

$34n\,=\,16p$

$p\,=\,\frac{34n}{16}\,=\,\frac{17n}{8}$

### 2. Si la boule tirée est bleue
Lorsqu’on tire une boule bleue :
– Le nombre de boules bleues devient (on a doublé le nombre de boules bleues).
– Le nombre total de boules dans l’urne est donc $n\,%2B\,2p$ .

On nous donne que la probabilité que la deuxième boule soit bleue (sachant que la première est bleue) est $\frac{17}{21}$ .

### Probabilité conditionnelle
La probabilité que la première boule soit bleue est :

$P(A)\,=\,\frac{p}{n\,%2B\,p}$

Après avoir tiré une boule bleue et doublé les bleues, la probabilité que la deuxième boule soit bleue est :

$P(B%7CA)\,=\,\frac{2p}{n\,%2B\,2p}\,=\,\frac{17}{21}$

Nous avons :

$\frac{2p}{n\,%2B\,2p}\,=\,\frac{17}{21}$

Résolvons cette équation pour :

$2p\,\times \,21\,=\,17\,\times \,(n\,%2B\,2p)$

$42p\,=\,17n\,%2B\,34p$

$8p\,=\,17n$

$n\,=\,\frac{8p}{17}$

### Conclusion
En combinant les deux résultats obtenus :

1. $p\,=\,\frac{17n}{8}$
2. $n\,=\,\frac{8p}{17}$

Pour n’importe quelle valeur et qui satisfont ces équations, l’énoncé de l’exercice est donc correct.

Par exemple, si $n\,=\,8$ et $p\,=\,17$ , les conditions données par l’exercice sont satisfaites :

$n\,=\,8$
$p\,=\,17$

Ainsi, nous avons démontré que pour $n\,=\,8$ boules rouges et $p\,=\,17$ boules bleues, les conditions de l’exercice sont remplies et les probabilités fournies sont exactes.

Voir Corrigés 11 à 20 ...