Exercice 1 : droites perpendiculaires ?
a. Non
b. Oui
c. Oui
d. Oui
e. Non
f. Non
g. Oui
h. Non
Exercice 2 : repasser les droites perpendiculaires
Les droites perpendiculaires dans le dessin sont les suivantes :
1. \( \overline{AB} \) et \( \overline{BD} \)
2. \( \overline{CE} \) et \( \overline{ED} \)
Ces droites se coupent à angle droit, ce qui signifie qu’elles sont perpendiculaires entre elles.
Exercice 3 : les droites sont-elles perpendiculaires ?
a. \((AB) \text{ et } (IJ)\) : {non}
b. \((HG) \text{ et } (GJ)\) : {oui}
c. \((BE) \text{ et } (IJ)\) : {oui}
d. \((DF) \text{ et } (BG)\) : {non}
e. \((JE) \text{ et } (AG)\) : {non}
f. \((AB) \text{ et } (HE)\) : {oui}
Exercice 4 : tracer des droites perpendiculaires
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{minipage}{0.24\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (6,6);
\draw[thick,black] (0,1) — (6,1);
\node at (3,-0.5) {d};
\node at (5,4) {A};
\draw[blue,thick] (4,-1) — (4,7);
\end{tikzpicture}\\
a. Correction
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.24\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (6,6);
\draw[thick,black] (3,0) — (3,6);
\node at (4,3) {A};
\node at (1,3.5) {d};
\draw[blue,thick] (-1,3) — (7,3);
\end{tikzpicture}\\
b. Correction
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.24\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (6,6);
\draw[thick,black] (0,6) — (6,0);
\node at (0.5,5.5) {d};
\node at (4,4) {A};
\draw[blue,thick] (0,4) — (4,0);
\end{tikzpicture}\\
c. Correction
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.24\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (6,6);
\draw[thick,black] (0,3) — (6,6);
\node at (0.5,4) {d};
\node at (4,4.5) {A};
\draw[blue,thick] (6,0) — (0,4);
\end{tikzpicture}\\
d. Correction
\end{minipage}
\end{figure}
Exercice 5 : construire des droites
Pour construire chaque droite \((d_i)\) perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par un point \(P_i\), il faut utiliser la règle et l’équerre.
1. \[\]Droite\[\] \((d_1)\) \[\]passant par\[\] \(A\) :
Utilisez l’équerre pour aligner une de ses faces le long de la droite \((d)\) et faire passer l’autre face par le point \(A\). Tracez la droite \((d_1)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(A\).
2. \[\]Droite\[\] \((d_2)\) \[\]passant par\[\] \(B\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(B\). Tracez la droite \((d_2)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(B\).
3. \[\]Droite\[\] \((d_3)\) \[\]passant par\[\] \(C\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(C\). Tracez la droite \((d_3)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(C\).
4. \[\]Droite\[\] \((d_4)\) \[\]passant par\[\] \(D\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(D\). Tracez la droite \((d_4)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(D\).
5. \[\]Droite\[\] \((d_5)\) \[\]passant par\[\] \(E\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(E\). Tracez la droite \((d_5)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(E\).
6. \[\]Droite\[\] \((d_6)\) \[\]passant par\[\] \(F\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(F\). Tracez la droite \((d_6)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(F\).
7. \[\]Droite\[\] \((d_7)\) \[\]passant par\[\] \(G\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(G\). Tracez la droite \((d_7)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(G\).
8. \[\]Droite\[\] \((d_8)\) \[\]passant par\[\] \(H\) :
Alignez l’une des faces de l’équerre le long de la droite \((d)\) et faites passer l’autre face par le point \(H\). Tracez la droite \((d_8)\) qui est perpendiculaire à \((d)\) et qui passe par \(H\).
Donc, les droites \((d_1), (d_2), (d_3), (d_4), (d_5), (d_6), (d_7)\) et \((d_8)\) sont toutes perpendiculaires à \((d)\) et passent par les points \(A, B, C, D, E, F, G\) et \(H\) respectivement.
Exercice 6 : compléter le tableau
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Droites perpendiculaires} \text{Droites parallèles} \\
\hline
(d_3) \perp (d_6) (d_1) \parallel (d_4) \\
(d_4) \perp (d_5) (d_2) \parallel (d_3) \\
(d_5) \perp (d_6) \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 7 : tracer en couleur des droites
\[
{Correction de l’exercice}
\]
\[
\begin{array}{cc}
\text{a.} \text{b.} \text{c.} \\
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{correction_a.png} \includegraphics[width=0.3\textwidth]{correction_b.png} \includegraphics[width=0.3\textwidth]{correction_c.png}
\end{array}
\]
{Détail des tracés:}
1. {Pour chaque cas}:
– En \textcolor{green}{vert}, la droite \((d_1)\) perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par le point \( B \).
– En \textcolor{red}{rouge}, la droite \((d_2)\) parallèle à la droite \((d)\) passant par le point \( A \).
\[
\text{Détail des points à vérifier: }
\]
a.
Droite \((d_1)\) : Perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par \( B \).
Droite \((d_2)\) : Parallèle à la droite \((d)\) passant par \( A \).
b.
Droite \((d_1)\) : Perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par \( B \).
Droite \((d_2)\) : Parallèle à la droite \((d)\) passant par \( A \).
c.
Droite \((d_1)\) : Perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par \( B \).
Droite \((d_2)\) : Parallèle à la droite \((d)\) passant par \( A \).
(Note: Pour les tracés, des outils de dessin ont été utilisés pour obtenir les droites demandées et assurer leur précision.)
Exercice 8 : tracer la parallèle
Pour corriger cet exercice, voici les étapes nécessaires :
1. Tracer la droite \([RO]\).
2. Tracer la parallèle à \([RO]\) passant par \(C\). Appelons-la \(d\).
3. Tracer la perpendiculaire à \([RO]\) passant par \(R\). Appelons-la \(d’\).
4. Identifier le point \(K\) qui est l’intersection de \(d\) et \(d’\).
### Correction détaillée :
1. \[\]Tracer la droite \([RO]\) :\[\]
\[
\overline{RO}
\]
2. \[\]Tracer la parallèle à \([RO]\) passant par \(C\) :\[\]
On appelle \(d\) la droite parallèle à \([RO]\) passant par \(C\). Cette droite est notée \(d \parallel \overline{RO}\).
3. \[\]Tracer la perpendiculaire à \([RO]\) passant par \(R\) :\[\]
On appelle \(d’\) la droite perpendiculaire à \([RO]\) passant par \(R\). Cette droite est notée \(d’ \perp \overline{RO}\).
4. \[\]Déterminer le point \(K\) en tant que l’intersection de \(d\) et \(d’\) :\[\]
Le point \(K\) est la solution du système formé par les équations de \(d\) et de \(d’\).
Si on considère les équations cartésiennes des droites :
– pour \([RO]\) : \(y = mx + b_1\)
– pour \(d\), la parallèle : \(y = mx + b_2\)
– pour \(d’\), la perpendiculaire : \(y = -\frac{1}{m}x + b_3\)
\(K\) est le point \( (x_K, y_K) \) vérifiant :
\[
mx_K + b_2 = -\frac{1}{m}x_K + b_3
\]
En résolvant cette équation, on trouve les coordonnées de \(K\).
Finalement, on place le point \(K\) à l’intersection des droites \(d\) et \(d’\) sur la figure.
\[
K = d \cap d’
\]
Exercice 9 : tracer des droites parallèles
\usepackage{tikz}
% Correction de l’exercice de mathématiques
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
% Dessin des points de la figure initiale
\coordinate (N) at (0,0);
\coordinate (U) at (0,5);
\coordinate (F) at (4,5);
% Dessin de la droite [NU]
\draw[thick] (N) — (U);
% Annoter les points N, U, F
\node[below left] at (N) {N};
\node[above left] at (U) {U};
\node[above right] at (F) {F};
% Tracer la parallèle à la droite [NU] passant par le point F
\draw[thick] (F) — ++(0,-5);
% Tracer la perpendiculaire à la droite [NU] passant par le point N
\draw[thick] (N) — ++(4,0);
% Définir le point K qui est l’intersection des deux droites tracées
\coordinate (K) at (4,0);
% Annoter le point K
\node[below right] at (K) {K};
% Dessiner les droites perpendiculaires
\draw[thick, dotted] (N) — (K);
\draw[thick, dotted] (F) — (K);
\end{tikzpicture}
\caption{Correction de l’exercice de géométrie}
\end{figure}
Exercice 10 : utiliser le matériel de géométrie
Correction :
a. La droite parallèle à \(AD\) passant par \(C\) est la droite \(CG\).
b. La droite parallèle à \(AE\) passant par \(D\) est la droite \(DF\).
c. La droite perpendiculaire à \(CE\) passant par \(D\) est la droite \(DG\).
d. La droite perpendiculaire à \(AB\) passant par \(E\) est la droite \(EF\).
Exercice 11 : reproduire cette figure
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Dimensions du rectangle agrandi
\draw[thick] (0,0) rectangle (12,8);
% Tracé des lignes diagonales du rectangle
\draw[thick] (0,0) — (12,8);
\draw[thick] (0,8) — (12,0);
% Tracé des lignes horizontales et verticales au milieu du rectangle
\draw[thick] (0,4) — (12,4);
\draw[thick] (6,0) — (6,8);
% Tracé des triangles adjacents internes
\draw[thick] (0,4) — (6,0);
\draw[thick] (0,4) — (6,8);
\draw[thick] (12,4) — (6,0);
\draw[thick] (12,4) — (6,8);
% Colorier les zones en vert
\fill[green!50] (0,4) — (6,4) — (6,8) — cycle;
\fill[green!50] (6,4) — (12,4) — (6,0) — cycle;
\fill[green!50] (0,4) — (6,4) — (6,0) — cycle;
\fill[green!50] (6,4) — (12,4) — (6,8) — cycle;
\end{tikzpicture}
Exercice 12 : utiliser des instruments de géométrie
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
\[\]Partie a : Observations\[\]
En utilisant les instruments de géométrie, on peut faire les observations suivantes :
1. Le polygone est composé de deux figures géométriques :
– Un pentagone (les points \[C\], \[E\], \[F\], \[D\], et \[A\])
– Un quadrilatère (les points \[B\], \[A\], \[D\], et \[C\])
2. En mesurant les côtés et les angles, on peut noter les longueurs respectives des côtés, les angles entre chaque côté, ainsi que toute particularité telle que le parallélisme des côtés opposés ou la perpendicularité entre certains côtés.
\[\]Partie b : Construction de l’agrandissement\[\]
Pour construire un agrandissement de la figure en prenant \[AB = 8\] cm, on doit d’abord déterminer la proportion de l’agrandissement par rapport à la taille originale du segment \[AB\]. Supposons que la longueur initiale de \[AB\] soit \[x\] cm. L’échelle de l’agrandissement sera donc \[k = \frac{8}{x}\].
\[\]Étapes de construction :\[\]
1. Mesurer la longueur originale de \[AB\].
2. Calculer le facteur d’agrandissement \[k = \frac{8}{x}\].
3. Utiliser ce facteur pour agrandir chaque côté de la figure :
– Si la longueur d’un segment original est \[y\], alors la nouvelle longueur sera \[k \times y\].
4. Reproduire la figure en respectant les angles originaux mais en utilisant les nouvelles longueurs trouvées en multipliant les longueurs originales par \[k\].
\[\]Illustration :\[\]
Par exemple, si la longueur originale de \[AB\] est de 4 cm, alors le facteur d’agrandissement est \[k = \frac{8}{4} = 2\]. Chaque côté de la figure doit être multiplié par 2.
Pour simplifier, si les longueurs originales des côtés sont \[AB = 4\] cm, \[BC = 3\] cm, \[CD = 5\] cm, etc., les nouvelles longueurs seront :
\[
\begin{align*}
AB = 8 \, \text{cm},\\
BC = 6 \, \text{cm},\\
CD = 10 \, \text{cm}, \text{etc.}
\end{align*}
\]
Puis, utiliser ces nouvelles longueurs pour dessiner la figure avec les mêmes angles que ceux mesurés initialement.
En résumé, la méthode consiste à mesurer les longueurs et angles de la figure originale, à déterminer le facteur d’agrandissement, puis à utiliser ce facteur pour redimensionner chaque élément de la figure et enfin à redessiner la figure avec les nouvelles dimensions.
Exercice 13 : programme de construction
a. On construit le triangle \( MNP \).
b. On trace une droite \((d_1)\) passant par le point \( P \) et parallèle à \((MN)\).
c. On trace une droite \((d_2)\) passant par le point \( M \) et parallèle à \((NP)\).
d. On trace une droite \((d_3)\) passant par le point \( N \) et parallèle à \((PM)\).
e. On obtient un second triangle \( M’N’P’ \). En utilisant le théorème de Thalès, on observe que les deux triangles \(MNP\) et \(M’N’P’\) sont semblables puisque leurs côtés sont parallèles deux à deux. Par conséquent, les triangles ont des angles égaux et les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Le triangle \( M’N’P’ \) est donc de même forme que le triangle \( MNP \), mais sa taille peut être différente en fonction des longueurs choisies.
Si les droites \( (d_1) \), \( (d_2) \) et \( (d_3) \) coupent les côtés du triangle \( MNP \) en des points distincts, alors le second triangle \( M’N’P’ \) sera de taille différente par simple homothétie.
\[
\frac{M’N’}{MN} = \frac{N’P’}{NP} = \frac{P’M’}{PM}
\]
Exercice 14 : reproduire chaque figure
Figure 1 :
Reproduire le grand carré avec les sommets marqués par les points (A, B, C, D).
Tracer le triangle rectangle \( \triangle ABC \) avec le sommet droit en A.
Reproduire le triangle équilatéral à l’intérieur du triangle rectangle \( \triangle ABC \) de manière à ce que tous les côtés soient égaux.
Dessiner un carré interne ayant pour côté AB.
Colorier en vert le triangle équilatéral.
Colorier en vert le carré interne \( ABCD \).
Figure 2 :
Reproduire le quadrilatère avec les points (A, B, C, D).
Tracer le triangle rectangle \( \triangle AEG \) avec le sommet droit en E.
Tracer la relation linéaire entre le point (XYZ) du triangle rectangle.
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{fig1.pdf} \\
\text{Figure 1}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{fig2.pdf} \\
\text{Figure 2}
\end{array}
\]
% Les figures doivent être dessinées à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou manuellement pour vérification par un correcteur.
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