Exercice 1 : les droites sont-elles parallèles ?
{a.} Les droites se coupent, donc elles ne sont pas parallèles. Réponse: Non.
{b.} Les droites sont parallèles car elles ne se rencontrent jamais. Réponse: Oui.
{c.} Les droites se croisent, donc elles ne sont pas parallèles. Réponse: Non.
{d.} Bien que les segments semblent presque parallèles, ils se rencontrent si les droites sont prolongées. Réponse: Non.
Exercice 2 : droites parallèles
Les droites rouges te semblent-elles parallèles ? Entoure la réponse.
Image de gauche: Oui
Image de droite: Non
Correction:
Pour l’image de gauche, les droites rouges semblent parallèles car elles ne se croisent pas et restent à égale distance l’une de l’autre.
Pour l’image de droite, les droites rouges ne semblent pas parallèles car elles se rapprochent à certains points et s’éloignent à d’autres.
Exercice 3 : plan du jardin des plantes à Paris
a. Entoure la bonne réponse.
– La rue Cuvier et l’allée Cuvier sont parallèles.
– Faux
– Les allées Jussieu et Becquerel sont parallèles.
– Vrai
– Les allées Mangin et Haüy sont parallèles.
– Faux
– Le quai St-Bernard et la rue Linné sont parallèles.
– Vrai
b. Quelle est l’allée parallèle à l’allée Lacroix-Edmond Perrier la plus proche de la Ménagerie ?
L’allée parallèle à l’allée Lacroix-Edmond Perrier la plus proche de la Ménagerie est l’allée Geoffroy Saint-Hilaire.
c. Quelles sont les allées parallèles à l’allée Mangin qui jouxtent le Jardin de l’École de Botanique ?
Les allées parallèles à l’allée Mangin qui jouxtent le Jardin de l’École de Botanique sont l’allée Jussieu et l’allée Lacroix-Edmond Perrier.
Exercice 4 : tracer des droites parallèles
Correction de l’exercice :
a.
La droite rouge verticale dans la première image a plusieurs droites parallèles. Voici les droites parallèles repassées en rouge.
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[gray, dashed] (0,0) grid (4,4);
\draw[red, very thick] (2,0) — (2,4);
\draw[red, very thick] (0,1) — (0,4);
\draw[red, very thick] (4,1) — (4,4);
\end{tikzpicture}
\]
b.
La droite rouge oblique dans la deuxième image a plusieurs droites parallèles. Voici les droites parallèles repassées en rouge.
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[gray, dashed] (0,0) grid (4,4);
\draw[red, very thick] (0,1) — (4,3);
\draw[red, very thick] (1,0) — (5,2);
\draw[red, very thick] (2,0) — (6,2);
\end{tikzpicture}
\]
Exercice 5 : droites parallèles à tracer
Correction de l’exercice :
a. Dans le premier cas, on doit tracer trois droites horizontales, parallèles à la droite rouge donnée.
b. Dans le second cas, on doit tracer trois droites avec la même inclinaison que la droite rouge, c’est-à-dire trois droites parallèles à la droite rouge donnée.
Exercice 6 : construire une frise
\usepackage{tikz}
\usepackage{geometry}
\geometry{hmargin=1cm, vmargin=1cm}
\begin{tikzpicture}
% Set up the grid
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,-2) grid (20,2);
% Original pattern
\draw[line width=0.5mm] (0,0)–(1,1);
\draw[line width=0.5mm] (0,0)–(1,-1);
\draw[line width=0.5mm] (1,1)–(2,1);
\draw[line width=0.5mm] (1,-1)–(2,-1);
\draw[line width=0.5mm] (2,1)–(3,0);
\draw[line width=0.5mm] (2,-1)–(3,0);
% Continue the pattern
\foreach \i in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i},0)–({3*\i+1},1);
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i},0)–({3*\i+1},-1);
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i+1},1)–({3*\i+2},1);
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i+1},-1)–({3*\i+2},-1);
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i+2},1)–({3*\i+3},0);
\draw[line width=0.5mm] ({3*\i+2},-1)–({3*\i+3},0);
}
\end{tikzpicture}
Exercice 7 : les droites sont-elles perpendiculaires ?
Correction de l’exercice :
\[\]a.\[\] Les droites ne sont pas perpendiculaires.
\[
\boxed{\text{Non}}
\]
\[\]b.\[\] Les droites sont perpendiculaires.
\[
\boxed{\text{Oui}}
\]
\[\]c.\[\] Les droites ne sont pas perpendiculaires.
\[
\boxed{\text{Non}}
\]
\[\]d.\[\] Les droites ne sont pas perpendiculaires.
\[
\boxed{\text{Non}}
\]
Exercice 8 : le trésor du pirate
Commence en allant vers le haut de deux cases. Ensuite, tourne à gauche et avance d’une case. Puis, monte encore d’une case. À partir de là, tourne à droite et avance de deux cases jusqu’à atteindre le trésor.
Voici le chemin précis :
– Vers le haut de deux cases.
– Tourner à gauche.
– Avancer d’une case.
– Monter d’une case.
– Tourner à droite.
– Avancer de deux cases pour atteindre le trésor.
Exercice 9 : un plan de Francisco
a. Les rues perpendiculaires à Bay Street sont :
– Larkin Street
– Hyde Street
– Leavenworth Street
– Jones Street
– Taylor Street
– Mason Street
– Powell Street
b. La rue perpendiculaire à Bay Street et qui passe devant Ripley’s Believe it or Not est Taylor Street.
Exercice 10 : repasser les droites perpendiculaires
### Correction de l’exercice
#### Partie a.
La droite rouge est horizontale. Les droites perpendiculaires à une droite horizontale sont nécessairement verticales. Il y a deux droites verticales dans la figure. On les repasse ci-dessous :
\[ \text{Réponse :} \]
\[
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[dashed, gray] (-2,2) — (2,-2);
\draw[dashed, gray] (2,2) — (-2,-2);
\draw[dashed, gray] (0,2) — (0,-2);
% Red line
\draw[red, thick] (-2,0) — (2,0);
% Perpendicular lines
\draw[blue, thick] (0,-2) — (0,2);
\draw[blue, thick] (-2,-2) — (2,2);
\end{tikzpicture}
\]
#### Partie b.
La droite rouge est oblique. Les droites perpendiculaires à une droite oblique forment un angle de 90° avec celle-ci. Il y a une droite dans la figure qui est perpendiculaire à la droite rouge. On la repasse ci-dessous :
\[ \text{Réponse :} \]
\[
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[dashed, gray] (2,-2) — (-2,2);
\draw[dashed, gray] (-2,-2) — (2,2);
\draw[dashed, gray] (1,-2) — (-1,1);
% Red line
\draw[red, thick] (-2,1) — (1,-2);
% Perpendicular line
\draw[blue, thick] (2,-2) — (-2,2);
\end{tikzpicture}
\]
Exercice 11 : tracer des droites perpendiculaires
Pour tracer les droites perpendiculaires à celles données dans les deux cas, voici les résultats si nous considérons que ces droites sont tracées sur un plan cartésien.
### Cas a
La droite rouge est une droite verticale. Toute droite horizontale est perpendiculaire à une droite verticale. Ainsi, trois droites perpendiculaires à la droite rouge peuvent être représentées par les équations de droites horizontales:
1. \( y = 1 \)
2. \( y = 3 \)
3. \( y = 5 \)
Cela signifie que nous devons tracer trois droites horizontales dans le graphique passant par \( y = 1 \), \( y = 3 \) et \( y = 5 \).
### Cas b
La droite rouge est une droite incliné qui semble passer par les points \((1,1)\) et \((5,5)\). En supposant ces points, la pente de cette droite est \( m = 1 \). Pour tracer des droites perpendiculaires, il nous faut des droites dont la pente est \( -1 \) (l’inverse négatif de la pente actuelle).
Quelques exemples de ces droites peuvent être définies par les équations ci-dessous:
1. \( y = -x + 1 \)
2. \( y = -x + 3 \)
3. \( y = -x + 5 \)
Cela signifie que nous devons tracer trois droites de forme \( y = -x + c \), avec \( c = 1, 3, \) et \( 5 \).
Voici les équations résultantes des droites perpendiculaires pour chaque cas présenté.
« « latex
\usepackage{tikz}
{Correction de l’exercice}
\subsection*{Cas a}
La droite rouge est verticale.
Les trois droites perpendiculaires à cette droite sont des droites horizontales, données par les équations suivantes:
\begin{equation}
y = 1
\end{equation}
\begin{equation}
y = 3
\end{equation}
\begin{equation}
y = 5
\end{equation}
\subsection*{Cas b}
La droite rouge a une pente de \( m = 1 \). La pente des droites perpendiculaires est donc \( -1 \).
Les équations des trois droites perpendiculaires peuvent être:
\begin{equation}
y = -x + 1
\end{equation}
\begin{equation}
y = -x + 3
\end{equation}
\begin{equation}
y = -x + 5
\end{equation}
« «
Exercice 12 : chemin du lapin à la carotte
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[line width=2.pt,color=blue] (-1.,1.) — (0.,1.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (0.,1.) — (0.,2.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (0.,2.) — (1.,2.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (1.,2.) — (1.,1.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (1.,1.) — (2.,1.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (2.,1.) — (2.,2.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (2.,2.) — (3.,2.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (3.,2.) — (3.,1.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (3.,1.) — (4.,1.);
\draw[line width=2.pt,color=blue] (4.,1.) — (5.,1.);
\end{tikzpicture}
Le chemin du lapin à la carotte, en suivant les angles droits, est le suivant :
1. Aller vers la droite jusqu’au premier virage.
2. Monter d’un segment.
3. Continuer vers la droite au prochain angle droit.
4. Descendre au virage suivant.
5. Revenir vers la droite.
6. Remonter pour suivre le prochain angle droit.
7. Continuer vers la droite à nouveau.
8. Descendre encore une fois.
9. Se diriger vers la droite jusqu’à la carotte.
Exercice 13 : droites parallèles passant par un point
a. La droite rouge est horizontale, donc les droites parallèles doivent également être horizontales. Nous devons tracer des droites passant par les points A et C et parallèles à cette droite rouge.
– Droite passant par le point A : Cette droite est parallèle à la droite rouge et passe par le point A, elle est donc située à la même hauteur que le point A.
– Droite passant par le point C : Cette droite est parallèle à la droite rouge et passe par le point C, elle est donc située à la même hauteur que le point C.
b. La droite rouge est oblique, donc les droites parallèles doivent également être obliques. Nous devons tracer des droites passant par les points A, B et C et parallèles à cette droite rouge.
– Droite passant par le point C : Cette droite est parallèle à la droite rouge et passe par le point C. Elle a la même inclinaison que la droite rouge.
– Droite passant par le point B : Cette droite est parallèle à la droite rouge et passe par le point B. Elle a la même inclinaison que la droite rouge.
Pour ces droites parallèles à la droite rouge, chacune conserve la même direction/inclinaison et passe par les points spécifiés.
Exercice 14 : droites perpendiculaires passant par un point
a. Tracé des droites perpendiculaires à la droite rouge verticale passant par les points \(D\), \(E\) et \(F\):
1. Identifier les points \(D\), \(E\) et \(F\) sur la droite rouge.
2. Tracer une droite horizontale passant par chaque point \(D\), \(E\) et \(F\) respectivement car elles seront perpendiculaires à la droite rouge verticale.
\[
\begin{array}{l}
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } D \text{ est horizontale.} \\
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } E \text{ est horizontale.} \\
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } F \text{ est horizontale.}
\end{array}
\]
b. Tracé des droites perpendiculaires à la droite rouge oblique passant par les points \(D\), \(E\) et \(F\):
1. Identifier les points \(D\), \(E\) et \(F\) sur la droite rouge oblique.
2. Utiliser une équerre pour tracer une droite perpendiculaire à la droite rouge passant par chaque point \(D\), \(E\) et \(F\) respectivement.
\[
\begin{array}{l}
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } D \text{ forme un angle droit avec la droite oblique.} \\
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } E \text{ forme un angle droit avec la droite oblique.} \\
\text{La droite perpendiculaire à la droite rouge passant par } F \text{ forme un angle droit avec la droite oblique.}
\end{array}
\]
Les droites perpendiculaires devront être tracées perpendiculairement à l’aide d’une équerre pour une précision maximale.
Exercice 15 : le rectangle de Piet Mondrian
L’exercice consiste à colorier le rectangle de droite à la façon de la peinture de Piet Mondrian montrée sur la gauche. Voici les indications pour colorier les différentes sections du rectangle de droite :
– Utilise la couleur rouge pour la grande section en haut à gauche.
– Utilise la couleur jaune pour la plus grande section en haut à droite.
– Utilise la couleur bleu pour la section en bas à droite.
– Utilise la couleur noire pour les sections suivantes : la petite section en bas à gauche et les deux petites sections verticales (centrales et inférieures).
Les autres sections resteront blanches.
En résumé, le rectangle doit être colorié avec des sections majeures en rouge, jaune, bleu et noir, en suivant la composition et le style de la peinture de Piet Mondrian.
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