Fonctions sinus et cosinus : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : périmètre du rectangle et calcul formel
a)
Le périmètre p(x) du rectangle OPMQ est donné par :
p(x)\,=\,2\,%5B\,OM\,%2B\,OP\,%5D\,=\,2\,%5B\,x\,%2B\,\cos(x)\,%2B\,\sin(x)\,%5D
Ainsi, on a :
p(x)\,=\,2x\,%2B\,2\,\cos(x)\,%2B\,2\,\sin(x)

b)
Pour trouver les extrema de p(x) sur l’intervalle %5B0\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D, il faut dériver p(x) et résoudre p'(x)\,=\,0.

La dérivée de p(x) est :
p'(x)\,=\,2\,-\,2\,\sin(x)\,%2B\,2\,\cos(x)
p'(x)\,=\,2\,%5B\,1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,%5D

On pose p'(x)\,=\,0 et on résout pour x:
2\,%5B\,1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,%5D\,=\,0
1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,=\,0
\cos(x)\,-\,\sin(x)\,=\,-1

En utilisant l’écran de calcul formel, on obtient la solution :
x\,=\,\frac{\pi}{4}

On vérifie ensuite la valeur de p aux bornes de l’intervalle et à x\,=\,\frac{\pi}{4} :
p(0)\,=\,2\,%5B\,0\,%2B\,\cos(0)\,%2B\,\sin(0)\,%5D\,=\,2
p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,2\,%5B\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\cos(\,\frac{\pi}{2}\,)\,%2B\,\sin(\,\frac{\pi}{2}\,)\,%5D\,=\,\pi\,%2B\,2
p(\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,2\,%5B\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,\cos(\,\frac{\pi}{4}\,)\,%2B\,\sin(\,\frac{\pi}{4}\,)\,%5D\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,2\,\times  \,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\sqrt{2}

Comparer les valeurs :
p(0)\,=\,2
p(\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\sqrt{2}\,\approx\,3.57
p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\pi\,%2B\,2\,\approx\,5.14

Donc, l’extremum de la fonction p sur l’intervalle %5B0\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D est un minimum local à x\,=\,0 avec p(0)\,=\,2, et un maximum local à x\,=\,\frac{\pi}{2} avec p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\pi\,%2B\,2.

Exercice 2 : dresser le tableau de variation
La fonction f est définie par f(x)\,=\,\cos(\frac{1}{2}x) sur l’intervalle %5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D.

1. Calcul\,de\,la\,derivee\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f : » align= »absmiddle » />

f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\,\cos(\frac{1}{2}x)\,%5D
Utilisons la règle de la chaîne :

f'(x)\,=\,-\sin(\frac{1}{2}x)\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}\,\sin(\frac{1}{2}x)

2. Etude\,du\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x) : » align= »absmiddle » />

Analysons le signe de f'(x) sur l’intervalle %5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D.

– Lorsque \sin(\frac{1}{2}x)\,>\,0
– Lorsque \sin(\frac{1}{2}x)\,=\,0, f'(x)\,=\,0
– Lorsque \sin(\frac{1}{2}x)\,%3C\,0, f'(x)\,>\,0 est nulle pour \frac{1}{2}x\,=\,k\pik\,\in\,\mathbb{Z}.
Sur l’intervalle %5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D, cela se produit pour x\,=\,-2\pi%2C\,0%2C\,2\pi.

Cependant, étant donné que nous travaillons sur l’intervalle %5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D, nous ne considérons seulement les valeurs x\,=\,-\pi%2C\,0%2C\,\pi.

Ainsi, les points critiques sont x\,=\,-\pi%2C\,0%2C\,\pi.

3. Tableau\,de\,signes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x) : » align= »absmiddle » />

\begin{array}{%7Cc%7Ccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\pi\,%26\,0\,%26\,\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

4. Tableau\,de\,variation\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f : » align= »absmiddle » />

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\pi\,%26\,0\,%26\,\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,\cos(-\frac{\pi}{2})\,=\,0\,%26\,\cos(0)\,=\,1\,%26\,\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%26\,\nearrow\,%26\,\searrow\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

En résumé, la fonction f(x)\,=\,\cos\,(\,\frac{1}{2}\,x\,) est croissante sur %5B-\,\pi%2C\,0%5D et décroissante sur %5B0%2C\,\pi%5D.

Exercice 3 : déterminer la fonction dérivée
Correction de l’exercice en utilisant LaTeX :

a) f(x)\,=\,\cos(2x)

La dérivée de f(x) est :

f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\cos(2x)%5D\,=\,-2\,\sin(2x)

b) g(x)\,=\,x\,\cos(x)

La dérivée de g(x) avec la règle du produit est :

g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\,\cos(x)%5D\,=\,x\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D\,%2B\,\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,x(-\sin(x))\,%2B\,\cos(x)\,=\,-x\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)

c) h(x)\,=\,\cos^2(x)

La dérivée de h(x) avec la règle de la chaîne est :

h'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\cos^2(x)%5D\,=\,2\,\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D\,=\,2\,\cos(x)\,(-\sin(x))\,=\,-2\,\cos(x)\,\sin(x)

d) i(x)\,=\,\frac{2}{\sin(x)}

La dérivée de i(x) en utilisant la règle du quotient et sachant que \frac{d}{dx}%5B\sin(x)%5D\,=\,\cos(x) est :

i'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(\frac{2}{\sin(x)})\,=\,2\,\frac{d}{dx}(\sin(x)^{-1})\,=\,2\,(-1)\,\sin(x)^{-2}\,\cos(x)\,=\,-2\,\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,=\,-2\,\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,=\,-2\,\cot(x)\,\csc(x)

e) j(x)\,=\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

La dérivée de j(x) en utilisant la règle du quotient est :

j'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,)\,=\,\frac{\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5B\sin(x)%5D\,-\,\sin(x)\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{\cos(x)\,(\cos(x))\,-\,\sin(x)\,(-\sin(x))}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{\cos^2(x)\,%2B\,\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{1}{\cos^2(x)}\,=\,\sec^2(x)

Ainsi, les dérivées des fonctions proposées sont :

a) f'(x)\,=\,-2\,\sin(2x)

b) g'(x)\,=\,-x\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)

c) h'(x)\,=\,-2\,\cos(x)\,\sin(x)

d) i'(x)\,=\,-2\,\cot(x)\,\csc(x)

e) j'(x)\,=\,\sec^2(x)

Exercice 4 : conjecturer avec la calculatrice une limite
Soit f la fonction définie par :
f(x)\,=\,\frac{\sin(3x)}{x}
pour x\,\in\,%5D-\infty\,%3B\,0\,%5B\,\cup\,%5D0\,%3B\,%2B\infty\,%5B.

Conjecture\,de\,la\,limite\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f en 0 utilisant une calculatrice : » align= »absmiddle » />

En évaluant les valeurs de f(x) pour x très proche de 0 (mais non nul), nous pouvons observer que f(x) semble tendre vers une certaine valeur.

Lorsque nous évaluons f(x) sur une calculatrice pour des valeurs de x proches de 0, par exemple x\,=\,0.1, x\,=\,0.01, x\,=\,0.001, etc., nous trouvons que :

f(0.1)\,\approx\,2.955
f(0.01)\,\approx\,2.999
f(0.001)\,\approx\,2.9999

Ainsi, on conjecture que :
\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3

Demonstration\,de\,la\,conjecture\,%3A

Pour démontrer que :
\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3

Utilisant la limite fondamentale :

\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(ax)}{x}\,=\,a

a est une constante. Dans notre cas, a\,=\,3. Nous avons donc :

\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(3x)}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{3\,\sin(3x)}{3x}\,=\,3\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(3x)}{3x}\,=\,3\,\cdot\,1\,=\,3

Ainsi, la limite de f en 0 est bien :
\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3

Donc, la conjecture est démontrée.

Exercice 5 : déterminer l’ensemble de dérivabilité
1) f(x)\,=\,x^3\,-\,3\,%2B\,3\,\sqrt{x}

Ensemble de dérivabilité : x\,\geq\,\,0

Calcul de f'(x) :
f'(x)\,=\,3x^2\,%2B\,3\,\cdot\,\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\,=\,3x^2\,%2B\,\frac{3}{2\,\sqrt{x}}

2) f(x)\,=\,(\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,)^4

Ensemble de dérivabilité : \mathbb{R}

Calcul de f'(x) (règle de la chaîne) :
u(x)\,=\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,u(x)^4
u'(x)\,=\,12x^2\,%2B\,2
f'(x)\,=\,4\,(\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,)^3\,\cdot\,(12x^2\,%2B\,2)

3) f(x)\,=\,\sqrt{1\,-\,x^2}

Ensemble de dérivabilité : -1\,%3C\,x\,%3C\,1

Calcul de f'(x) :
f(x)\,=\,(1\,-\,x^2)^{\frac{1}{2}}
f'(x)\,=\,\frac{1}{2}\,(1\,-\,x^2)^{-\frac{1}{2}}\,(-2x)\,=\,\frac{-x}{\sqrt{1\,-\,x^2}}

4) f(x)\,=\,(\,1\,-\,\frac{1}{x}\,)^3

Ensemble de dérivabilité : x\,\neq\,0

Calcul de f'(x) (règle de la chaîne) :
u(x)\,=\,1\,-\,\frac{1}{x}\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,u(x)^3
u'(x)\,=\,(-\frac{1}{x})'\,=\,\frac{1}{x^2}
f'(x)\,=\,3\,(\,1\,-\,\frac{1}{x}\,)^2\,\cdot\,(\,\frac{1}{x^2}\,)

5) f(x)\,=\,\cos\,(5x\,-\,2)

Ensemble de dérivabilité : \mathbb{R}

Calcul de f'(x) (règle de la chaîne) :
u(x)\,=\,5x\,-\,2\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,\cos(u(x))
u'(x)\,=\,5
f'(x)\,=\,-\,\sin(5x\,-\,2)\,\cdot\,5\,=\,-5\,\sin\,(5x\,-\,2)

6) f(x)\,=\,(\sin\,5x)^2

Ensemble de dérivabilité : \mathbb{R}

Calcul de f'(x) (règle de la chaîne et règle du produit) :
f(x)\,=\,(\sin\,5x)^2\,=\,g(x)\,\cdot\,g(x)\,\quad\,avec\,\quad\,g(x)\,=\,\sin\,5x
g'(x)\,=\,5\,\cos\,5x
f'(x)\,=\,2\,\cdot\,g(x)\,\cdot\,g'(x)\,=\,2\,(\sin\,5x)\,\cdot\,5\,\cos\,5x\,=\,10\,\sin\,5x\,\cos\,5x\,=\,5\,\sin\,(10x)

Exercice 6 : fonction définie et dérivable en x0
Correction de l’exercice :

1. Pour f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7}{x^2\,%2B\,1} et x_0\,=\,1 :
f(1)\,=\,\frac{1^2\,%2B\,4\,\cdot\,1\,%2B\,7}{1^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{1\,%2B\,4\,%2B\,7}{1\,%2B\,1}\,=\,\frac{12}{2}\,=\,6
Pour calculer f'(x), nous utilisons la règle de dérivation du quotient :
f'(x)\,=\,\frac{(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)'(x^2\,%2B\,1)\,-\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)(x^2\,%2B\,1)'}{(x^2\,%2B\,1)^2}
=\,\frac{(2x\,%2B\,4)(x^2\,%2B\,1)\,-\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)(2x)}{(x^2\,%2B\,1)^2}
=\,\frac{(2x^3\,%2B\,2x\,%2B\,4x^2\,%2B\,4)\,-\,(2x^3\,%2B\,8x^2\,%2B\,14x)}{(x^2\,%2B\,1)^2}
=\,\frac{2x^3\,%2B\,4x^2\,%2B\,2x\,%2B\,4\,-\,2x^3\,-\,8x^2\,-\,14x}{(x^2\,%2B\,1)^2}
=\,\frac{-4x^2\,-\,12x\,%2B\,4}{(x^2\,%2B\,1)^2}
f'(1)\,=\,\frac{-4\,\cdot\,1^2\,-\,12\,\cdot\,1\,%2B\,4}{(1^2\,%2B\,1)^2}\,=\,\frac{-4\,-\,12\,%2B\,4}{4}\,=\,\frac{-12}{4}\,=\,-3
L’équation de la tangente au point d’abscisse x_0\,=\,1 est :
y\,-\,f(1)\,=\,f'(1)(x\,-\,1)
y\,-\,6\,=\,-3(x\,-\,1)
y\,=\,-3x\,%2B\,3\,%2B\,6
y\,=\,-3x\,%2B\,9

2. Pour f(x)\,=\,(2x\,-\,1)^{11} et x_0\,=\,0 :
f(0)\,=\,(2\,\cdot\,0\,-\,1)^{11}\,=\,(-1)^{11}\,=\,-1
Par la règle de la chaîne :
f'(x)\,=\,11(2x\,-\,1)^{10}\,\cdot\,2\,=\,22(2x\,-\,1)^{10}
f'(0)\,=\,22(2\,\cdot\,0\,-\,1)^{10}\,=\,22(-1)^{10}\,=\,22
L’équation de la tangente au point d’abscisse x_0\,=\,0 est :
y\,-\,f(0)\,=\,f'(0)(x\,-\,0)
y\,%2B\,1\,=\,22x
y\,=\,22x\,-\,1

3. Pour f(x)\,=\,3x\,-\,2\sqrt{-x}\,-\,\frac{5}{x} et x_0\,=\,-1 :
f(-1)\,=\,3\,\cdot\,-1\,-\,2\sqrt{-(-1)}\,-\,\frac{5}{-1}
f(-1)\,=\,-3\,-\,2\,\cdot\,1\,%2B\,5\,=\,-3\,-\,2\,%2B\,5\,=\,0
En utilisant les règles de dérivation :
f'(x)\,=\,3\,-\,2\,\cdot\,\frac{-1}{2\sqrt{-x}}\,-\,(\frac{5}{x})'\,=\,3\,-\,\frac{1}{\sqrt{-x}}\,%2B\,\frac{5}{x^2}
f'(-1)\,=\,3\,-\,\frac{1}{\sqrt{-(-1)}}\,%2B\,\frac{5}{(-1)^2}\,=\,3\,-\,1\,%2B\,5\,=\,7
L’équation de la tangente au point d’abscisse x_0\,=\,-1 est :
y\,-\,f(-1)\,=\,f'(-1)(x\,%2B\,1)
y\,-\,0\,=\,7(x\,%2B\,1)
y\,=\,7x\,%2B\,7

4. Pour f(x)\,=\,\sqrt{5\,-\,2x} et x_0\,=\,2 :
f(2)\,=\,\sqrt{5\,-\,2\,\cdot\,2}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1
En utilisant la règle de la chaîne :
f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\sqrt{5\,-\,2x}\,=\,\frac{-2}{2\sqrt{5\,-\,2x}}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5\,-\,2x}}
f'(2)\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5\,-\,2\,\cdot\,2}}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{1}}\,=\,-1
L’équation de la tangente au point d’abscisse x_0\,=\,2 est :
y\,-\,f(2)\,=\,f'(2)(x\,-\,2)
y\,-\,1\,=\,-1(x\,-\,2)
y\,=\,-x\,%2B\,2\,%2B\,1
y\,=\,-x\,%2B\,3

5. Pour f(x)\,=\,\cos(2x) et x_0\,=\,\frac{\pi}{4} :
f(\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(2\,\cdot\,\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,0
Par la règle de la chaîne :
f'(x)\,=\,-\sin(2x)\,\cdot\,2\,=\,-2\sin(2x)
f'(\frac{\pi}{4})\,=\,-2\,\sin(2\,\cdot\,\frac{\pi}{4})\,=\,-2\,\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,-2
L’équation de la tangente au point d’abscisse x_0\,=\,\frac{\pi}{4} est :
y\,-\,f(\frac{\pi}{4})\,=\,f'(\frac{\pi}{4})(x\,-\,\frac{\pi}{4})
y\,-\,0\,=\,-2\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)
y\,=\,-2x\,%2B\,\frac{\pi}{2}

Exercice 7 : associer chaque courbe à sa fonction
Les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 sur %5B0\,%3B\,%2B\infty%5B représentent les fonctions h et H telles que h est la dérivée de H, c’est-à-dire que H'\,=\,h.

Pour associer chaque courbe à sa fonction, nous devons analyser les caractéristiques des fonctions dérivées et primitives.

– La fonction h est la dérivée de H. La courbe représentant h devrait alors indiquer des variations locales et donner des informations sur la pente de H.

– La courbe représentant H sera plus lisse et continuera à monter ou descendre selon les variations de h.

Observons les courbes :

– La courbe \mathcal{C}_2 (en bleu) atteint un maximum local près de x\,=\,1. Cela signifie que la pente de la fonction H représentée par \mathcal{C}_1 (en vert) est maximale en ce point.

– La courbe \mathcal{C}_2 passe par zéro aux environs de x\,=\,2, ce qui indique un point d’inflexion de la courbe \mathcal{C}_1, où la pente change de signe.

– La courbe \mathcal{C}_2 devient négative pour x\,>\,2 est décroissante après ce point.

– Enfin, la courbe \mathcal{C}_1, qui semble correspondre à une courbe intégrée, devrait être continue et différentiable.

Ainsi, la courbe \mathcal{C}_2 représente la fonction h (la dérivée), et la courbe \mathcal{C}_1 représente la fonction H.

En résumé :

\mathcal{C}_1 est la courbe de la fonction H.
\mathcal{C}_2 est la courbe de la fonction h.

Justification : Les propriétés de la dérivée observées (maximum, passage par zéro, devenir négatif) s’accordent avec les variations de pente de la courbe H.

Exercice 8 : vérifier que la fonction f est T-périodique
1) Pour la fonction f(x)\,=\,\sin(10\pi\,x), on sait que la fonction sinus est périodique avec une période T\,=\,\frac{2\pi}{k}, où k est le coefficient de x dans la fonction sinus.

Ici, k\,=\,10\pi, donc la période est
T\,=\,\frac{2\pi}{10\pi}\,=\,\frac{1}{5}
Or, T\,=\,0%2C2 est équivalent à \frac{1}{5}.
Ainsi, f(x)\,=\,\sin(10\pi\,x) est T-périodique avec T\,=\,0%2C2.

2) Pour la fonction f(x)\,=\,\cos(4x\,%2B\,\frac{\pi}{3}), on sait que la fonction cosinus est périodique avec une période T\,=\,\frac{2\pi}{k}, où k est le coefficient de x.

Ici, k\,=\,4, donc la période est
T\,=\,\frac{2\pi}{4}\,=\,\frac{\pi}{2}
Ainsi, f(x)\,=\,\cos(4x\,%2B\,\frac{\pi}{3}) est T-périodique avec T\,=\,\frac{\pi}{2}.

3) Pour la fonction f(x)\,=\,\sin(\frac{10x\,-\,1}{3}), on réécrit l’argument de la sinus :
\frac{10x\,-\,1}{3}\,=\,\frac{10}{3}x\,-\,\frac{1}{3}
Ainsi, la fonction devient \sin(\frac{10}{3}x\,-\,\frac{1}{3}) et on voit que le coefficient de x est \frac{10}{3}.

La période est donc
T\,=\,\frac{2\pi}{\frac{10}{3}}\,=\,\frac{2\pi\,\cdot\,3}{10}\,=\,\frac{6\pi}{10}\,=\,\frac{3\pi}{5}
Ainsi, f(x)\,=\,\sin(\frac{10x\,-\,1}{3}) est T-périodique avec T\,=\,\frac{3\pi}{5}.

4) Pour la fonction f(x)\,=\,\frac{2}{5}\cos(3\pi\,x), la constante \frac{2}{5} n’affecte pas la périodicité de la fonction cosinus. La fonction cosinus a une période T\,=\,\frac{2\pi}{k}, où k est le coefficient de x.

Ici, k\,=\,3\pi, donc la période est
T\,=\,\frac{2\pi}{3\pi}\,=\,\frac{2}{3}
Ainsi, f(x)\,=\,\frac{2}{5}\cos(3\pi\,x) est T-périodique avec T\,=\,\frac{2}{3}.

Exercice 9 : fonction cosinus et représentations graphiques
Soit f(x)\,=\,2\,\cos\,x et g(x)\,=\,\cos\,2x.

Les deux courbes représentées sur le graphique sont \mathcal{C} (verte) et \mathcal{C}' (rouge).

Pour associer chaque courbe à sa fonction, analysons d’abord leurs caractéristiques :

1. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%25202%2520%255Ccos%2520x%22\,alt=%22f(x)\,=\,2\,\cos\,x : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 2 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -2 et 2).
– Période : 2\pi, car la période de \cos\,x est 2\pi.

2. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528x%2529%2520%253D%2520%255Ccos%25202x%22\,alt=%22g(x)\,=\,\cos\,2x : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 1 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -1 et 1).
– Période : \pi, car la période de \cos\,2x est \frac{2\pi}{2}\,=\,\pi.

Observons les courbes :

– La courbe verte \mathcal{C} a une amplitude plus grande (elle varie entre -2 et 2). Elle a une période de 2\pi, correspondant à une période de la fonction \cos\,x multipliée par 2, ce qui correspond à f(x)\,=\,2\,\cos\,x.

– La courbe rouge \mathcal{C}' a une amplitude plus petite (elle varie entre -1 et 1). Elle a une période réduite de \pi, indiquant une fréquence double par rapport à la courbe verte. Cela correspond à g(x)\,=\,\cos\,2x.

Ainsi, nous pouvons associer les courbes comme suit :
\mathcal{C} correspond à la fonction f(x)\,=\,2\,\cos\,x.
\mathcal{C}' correspond à la fonction g(x)\,=\,\cos\,2x.

Justification :
– La courbe \mathcal{C} (verte) a une amplitude de 2 et une période de 2\pi, ce qui est caractéristique de la fonction f(x)\,=\,2\,\cos\,x.
– La courbe \mathcal{C}' (rouge) a une amplitude de 1 et une période de \pi, ce qui est caractéristique de la fonction g(x)\,=\,\cos\,2x.

Exercice 10 : résoudre sur I l’équation donnée

\cos\,t\,=\,\cos\,\frac{\pi}{6} sur I\,=\,%5B-\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D

L’équation \cos\,t\,=\,\cos\,\frac{\pi}{6} se résout directement par t\,=\,\frac{\pi}{6}.
Or, dans l’intervalle %5B-\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D, le \cos est injectif, donc t\,=\,\pm\,\frac{\pi}{6}.
Comme \cos\,t\,=\,\cos\,(-t), on a deux solutions:
t\,=\,\frac{\pi}{6}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,-\frac{\pi}{6}

\sin\,t\,=\,\sin\,\frac{\pi}{3} sur I\,=\,%5D-\,\pi\,%3B\,\pi%5D

L’équation \sin\,t\,=\,\sin\,\frac{\pi}{3} se résout par:
t\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,ou\,\quad\,t\,=\,\pi\,-\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,avec\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{Z}
Ce qui donne :
t\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{2\pi}{3}\,%2B\,2k\pi
Dans l’intervalle %5D-\pi\,%3B\,\pi%5D on va choisir k pour que t soit dans cet intervalle:
t\,=\,\frac{\pi}{3}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,-\frac{2\pi}{3}

\sin\,t\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2} sur I\,=\,%5B0\,%3B\,2\pi%5D

\sin\,t\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}
Les angles correspondants sont :
t\,=\,\frac{7\pi}{4}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{5\pi}{4}
Donc les solutions de cette équation dans l’intervalle %5B0\,%3B\,2\pi%5D sont:
t\,=\,\frac{5\pi}{4}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{7\pi}{4}

Voir Corrigés 11 à 20 ...
Voir Corrigés 21 à 30 ...
Voir Corrigés 31 à 40 ...
Voir Corrigés 41 à 50 ...

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