Fonctions sinus et cosinus : corrigés des exercices en terminale.

Exercice 1 : périmètre du rectangle et calcul formel
a)
Le périmètre $p(x)$ du rectangle OPMQ est donné par :
$p(x)\,=\,2\,%5B\,OM\,%2B\,OP\,%5D\,=\,2\,%5B\,x\,%2B\,\cos(x)\,%2B\,\sin(x)\,%5D$
Ainsi, on a :
$p(x)\,=\,2x\,%2B\,2\,\cos(x)\,%2B\,2\,\sin(x)$

b)
Pour trouver les extrema de sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D$ , il faut dériver et résoudre $p'(x)\,=\,0$ .

La dérivée de est :
$p'(x)\,=\,2\,-\,2\,\sin(x)\,%2B\,2\,\cos(x)$
$p'(x)\,=\,2\,%5B\,1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,%5D$

On pose $p'(x)\,=\,0$ et on résout pour :
$2\,%5B\,1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,%5D\,=\,0$
$1\,-\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)\,=\,0$
$\cos(x)\,-\,\sin(x)\,=\,-1$

En utilisant l’écran de calcul formel, on obtient la solution :
$x\,=\,\frac{\pi}{4}$

On vérifie ensuite la valeur de aux bornes de l’intervalle et à $x\,=\,\frac{\pi}{4}$ :
$p(0)\,=\,2\,%5B\,0\,%2B\,\cos(0)\,%2B\,\sin(0)\,%5D\,=\,2$
$p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,2\,%5B\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\cos(\,\frac{\pi}{2}\,)\,%2B\,\sin(\,\frac{\pi}{2}\,)\,%5D\,=\,\pi\,%2B\,2$
$p(\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,2\,%5B\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,\cos(\,\frac{\pi}{4}\,)\,%2B\,\sin(\,\frac{\pi}{4}\,)\,%5D\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,2\,\times \,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\sqrt{2}$

Comparer les valeurs :
$p(0)\,=\,2$
$p(\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,\sqrt{2}\,\approx\,3.57$
$p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\pi\,%2B\,2\,\approx\,5.14$

Donc, l’extremum de la fonction sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D$ est un minimum local à $x\,=\,0$ avec $p(0)\,=\,2$ , et un maximum local à $x\,=\,\frac{\pi}{2}$ avec $p(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\pi\,%2B\,2$ .

Exercice 2 : dresser le tableau de variation
La fonction est définie par $f(x)\,=\,\cos(\frac{1}{2}x)$ sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D$ .

1. $Calcul\,de\,la\,derivee\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ : » align= »absmiddle » />

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\,\cos(\frac{1}{2}x)\,%5D$
Utilisons la règle de la chaîne :

$f'(x)\,=\,-\sin(\frac{1}{2}x)\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}\,\sin(\frac{1}{2}x)$

2. $Etude\,du\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x)$ : » align= »absmiddle » />

Analysons le signe de sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D$ .

– Lorsque $\sin(\frac{1}{2}x)\,>\,0$
– Lorsque $\sin(\frac{1}{2}x)\,=\,0$ , $f'(x)\,=\,0$
– Lorsque $\sin(\frac{1}{2}x)\,%3C\,0$ , $f'(x)\,>\,0$ est nulle pour $\frac{1}{2}x\,=\,k\pi$ où $k\,\in\,\mathbb{Z}$ .
Sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D$ , cela se produit pour $x\,=\,-2\pi%2C\,0%2C\,2\pi$ .

Cependant, étant donné que nous travaillons sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,\pi%5D$ , nous ne considérons seulement les valeurs $x\,=\,-\pi%2C\,0%2C\,\pi$ .

Ainsi, les points critiques sont $x\,=\,-\pi%2C\,0%2C\,\pi$ .

3. $Tableau\,de\,signes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x)$ : » align= »absmiddle » />

$\begin{array}{%7Cc%7Ccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\pi\,%26\,0\,%26\,\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

4. $Tableau\,de\,variation\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ : » align= »absmiddle » />

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\pi\,%26\,0\,%26\,\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,\cos(-\frac{\pi}{2})\,=\,0\,%26\,\cos(0)\,=\,1\,%26\,\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%26\,\nearrow\,%26\,\searrow\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

En résumé, la fonction $f(x)\,=\,\cos\,(\,\frac{1}{2}\,x\,)$ est croissante sur $%5B-\,\pi%2C\,0%5D$ et décroissante sur $%5B0%2C\,\pi%5D$ .

Exercice 3 : déterminer la fonction dérivée
Correction de l’exercice en utilisant LaTeX :

a) $f(x)\,=\,\cos(2x)$

La dérivée de est :

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\cos(2x)%5D\,=\,-2\,\sin(2x)$

b) $g(x)\,=\,x\,\cos(x)$

La dérivée de avec la règle du produit est :

$g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\,\cos(x)%5D\,=\,x\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D\,%2B\,\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,x(-\sin(x))\,%2B\,\cos(x)\,=\,-x\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)$

c) $h(x)\,=\,\cos^2(x)$

La dérivée de avec la règle de la chaîne est :

$h'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B\cos^2(x)%5D\,=\,2\,\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D\,=\,2\,\cos(x)\,(-\sin(x))\,=\,-2\,\cos(x)\,\sin(x)$

d) $i(x)\,=\,\frac{2}{\sin(x)}$

La dérivée de en utilisant la règle du quotient et sachant que $\frac{d}{dx}%5B\sin(x)%5D\,=\,\cos(x)$ est :

$i'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(\frac{2}{\sin(x)})\,=\,2\,\frac{d}{dx}(\sin(x)^{-1})\,=\,2\,(-1)\,\sin(x)^{-2}\,\cos(x)\,=\,-2\,\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,=\,-2\,\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,=\,-2\,\cot(x)\,\csc(x)$

e) $j(x)\,=\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

La dérivée de en utilisant la règle du quotient est :

$j'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,)\,=\,\frac{\cos(x)\,\frac{d}{dx}%5B\sin(x)%5D\,-\,\sin(x)\,\frac{d}{dx}%5B\cos(x)%5D}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{\cos(x)\,(\cos(x))\,-\,\sin(x)\,(-\sin(x))}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{\cos^2(x)\,%2B\,\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\,=\,\frac{1}{\cos^2(x)}\,=\,\sec^2(x)$

Ainsi, les dérivées des fonctions proposées sont :

a) $f'(x)\,=\,-2\,\sin(2x)$

b) $g'(x)\,=\,-x\,\sin(x)\,%2B\,\cos(x)$

c) $h'(x)\,=\,-2\,\cos(x)\,\sin(x)$

d) $i'(x)\,=\,-2\,\cot(x)\,\csc(x)$

e) $j'(x)\,=\,\sec^2(x)$

Exercice 4 : conjecturer avec la calculatrice une limite
Soit la fonction définie par :
$f(x)\,=\,\frac{\sin(3x)}{x}$
pour $x\,\in\,%5D-\infty\,%3B\,0\,%5B\,\cup\,%5D0\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$Conjecture\,de\,la\,limite\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ en 0 utilisant une calculatrice : » align= »absmiddle » />

En évaluant les valeurs de pour très proche de 0 (mais non nul), nous pouvons observer que semble tendre vers une certaine valeur.

Lorsque nous évaluons sur une calculatrice pour des valeurs de proches de 0, par exemple $x\,=\,0.1$ , $x\,=\,0.01$ , $x\,=\,0.001$ , etc., nous trouvons que :

$f(0.1)\,\approx\,2.955$
$f(0.01)\,\approx\,2.999$
$f(0.001)\,\approx\,2.9999$

Ainsi, on conjecture que :
$\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3$

$Demonstration\,de\,la\,conjecture\,%3A$

Pour démontrer que :
$\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3$

Utilisant la limite fondamentale :

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(ax)}{x}\,=\,a$

où est une constante. Dans notre cas, $a\,=\,3$ . Nous avons donc :

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(3x)}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{3\,\sin(3x)}{3x}\,=\,3\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin(3x)}{3x}\,=\,3\,\cdot\,1\,=\,3$

Ainsi, la limite de en 0 est bien :
$\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,3$

Donc, la conjecture est démontrée.

Exercice 5 : déterminer l’ensemble de dérivabilité
1) $f(x)\,=\,x^3\,-\,3\,%2B\,3\,\sqrt{x}$

Ensemble de dérivabilité : $x\,\geq\,\,0$

Calcul de :
$f'(x)\,=\,3x^2\,%2B\,3\,\cdot\,\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\,=\,3x^2\,%2B\,\frac{3}{2\,\sqrt{x}}$

2) $f(x)\,=\,(\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,)^4$

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$

Calcul de (règle de la chaîne) :
$u(x)\,=\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,u(x)^4$
$u'(x)\,=\,12x^2\,%2B\,2$
$f'(x)\,=\,4\,(\,4x^3\,%2B\,2x\,-\,1\,)^3\,\cdot\,(12x^2\,%2B\,2)$

3) $f(x)\,=\,\sqrt{1\,-\,x^2}$

Ensemble de dérivabilité : $-1\,%3C\,x\,%3C\,1$

Calcul de :
$f(x)\,=\,(1\,-\,x^2)^{\frac{1}{2}}$
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2}\,(1\,-\,x^2)^{-\frac{1}{2}}\,(-2x)\,=\,\frac{-x}{\sqrt{1\,-\,x^2}}$

4) $f(x)\,=\,(\,1\,-\,\frac{1}{x}\,)^3$

Ensemble de dérivabilité : $x\,\neq\,0$

Calcul de (règle de la chaîne) :
$u(x)\,=\,1\,-\,\frac{1}{x}\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,u(x)^3$
$u'(x)\,=\,(-\frac{1}{x})'\,=\,\frac{1}{x^2}$
$f'(x)\,=\,3\,(\,1\,-\,\frac{1}{x}\,)^2\,\cdot\,(\,\frac{1}{x^2}\,)$

5) $f(x)\,=\,\cos\,(5x\,-\,2)$

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$

Calcul de (règle de la chaîne) :
$u(x)\,=\,5x\,-\,2\,\quad\,et\,\quad\,f(x)\,=\,\cos(u(x))$
$u'(x)\,=\,5$
$f'(x)\,=\,-\,\sin(5x\,-\,2)\,\cdot\,5\,=\,-5\,\sin\,(5x\,-\,2)$

6) $f(x)\,=\,(\sin\,5x)^2$

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$

Calcul de (règle de la chaîne et règle du produit) :
$f(x)\,=\,(\sin\,5x)^2\,=\,g(x)\,\cdot\,g(x)\,\quad\,avec\,\quad\,g(x)\,=\,\sin\,5x$
$g'(x)\,=\,5\,\cos\,5x$
$f'(x)\,=\,2\,\cdot\,g(x)\,\cdot\,g'(x)\,=\,2\,(\sin\,5x)\,\cdot\,5\,\cos\,5x\,=\,10\,\sin\,5x\,\cos\,5x\,=\,5\,\sin\,(10x)$

Exercice 6 : fonction définie et dérivable en x0
Correction de l’exercice :

1. Pour $f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7}{x^2\,%2B\,1}$ et $x_0\,=\,1$ :
$f(1)\,=\,\frac{1^2\,%2B\,4\,\cdot\,1\,%2B\,7}{1^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{1\,%2B\,4\,%2B\,7}{1\,%2B\,1}\,=\,\frac{12}{2}\,=\,6$
Pour calculer , nous utilisons la règle de dérivation du quotient :
$f'(x)\,=\,\frac{(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)'(x^2\,%2B\,1)\,-\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)(x^2\,%2B\,1)'}{(x^2\,%2B\,1)^2}$
$=\,\frac{(2x\,%2B\,4)(x^2\,%2B\,1)\,-\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,7)(2x)}{(x^2\,%2B\,1)^2}$
$=\,\frac{(2x^3\,%2B\,2x\,%2B\,4x^2\,%2B\,4)\,-\,(2x^3\,%2B\,8x^2\,%2B\,14x)}{(x^2\,%2B\,1)^2}$
$=\,\frac{2x^3\,%2B\,4x^2\,%2B\,2x\,%2B\,4\,-\,2x^3\,-\,8x^2\,-\,14x}{(x^2\,%2B\,1)^2}$
$=\,\frac{-4x^2\,-\,12x\,%2B\,4}{(x^2\,%2B\,1)^2}$
$f'(1)\,=\,\frac{-4\,\cdot\,1^2\,-\,12\,\cdot\,1\,%2B\,4}{(1^2\,%2B\,1)^2}\,=\,\frac{-4\,-\,12\,%2B\,4}{4}\,=\,\frac{-12}{4}\,=\,-3$
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x_0\,=\,1$ est :
$y\,-\,f(1)\,=\,f'(1)(x\,-\,1)$
$y\,-\,6\,=\,-3(x\,-\,1)$
$y\,=\,-3x\,%2B\,3\,%2B\,6$
$y\,=\,-3x\,%2B\,9$

2. Pour $f(x)\,=\,(2x\,-\,1)^{11}$ et $x_0\,=\,0$ :
$f(0)\,=\,(2\,\cdot\,0\,-\,1)^{11}\,=\,(-1)^{11}\,=\,-1$
Par la règle de la chaîne :
$f'(x)\,=\,11(2x\,-\,1)^{10}\,\cdot\,2\,=\,22(2x\,-\,1)^{10}$
$f'(0)\,=\,22(2\,\cdot\,0\,-\,1)^{10}\,=\,22(-1)^{10}\,=\,22$
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x_0\,=\,0$ est :
$y\,-\,f(0)\,=\,f'(0)(x\,-\,0)$
$y\,%2B\,1\,=\,22x$
$y\,=\,22x\,-\,1$

3. Pour $f(x)\,=\,3x\,-\,2\sqrt{-x}\,-\,\frac{5}{x}$ et $x_0\,=\,-1$ :
$f(-1)\,=\,3\,\cdot\,-1\,-\,2\sqrt{-(-1)}\,-\,\frac{5}{-1}$
$f(-1)\,=\,-3\,-\,2\,\cdot\,1\,%2B\,5\,=\,-3\,-\,2\,%2B\,5\,=\,0$
En utilisant les règles de dérivation :
$f'(x)\,=\,3\,-\,2\,\cdot\,\frac{-1}{2\sqrt{-x}}\,-\,(\frac{5}{x})'\,=\,3\,-\,\frac{1}{\sqrt{-x}}\,%2B\,\frac{5}{x^2}$
$f'(-1)\,=\,3\,-\,\frac{1}{\sqrt{-(-1)}}\,%2B\,\frac{5}{(-1)^2}\,=\,3\,-\,1\,%2B\,5\,=\,7$
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x_0\,=\,-1$ est :
$y\,-\,f(-1)\,=\,f'(-1)(x\,%2B\,1)$
$y\,-\,0\,=\,7(x\,%2B\,1)$
$y\,=\,7x\,%2B\,7$

4. Pour $f(x)\,=\,\sqrt{5\,-\,2x}$ et $x_0\,=\,2$ :
$f(2)\,=\,\sqrt{5\,-\,2\,\cdot\,2}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$
En utilisant la règle de la chaîne :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\sqrt{5\,-\,2x}\,=\,\frac{-2}{2\sqrt{5\,-\,2x}}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5\,-\,2x}}$
$f'(2)\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5\,-\,2\,\cdot\,2}}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{1}}\,=\,-1$
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x_0\,=\,2$ est :
$y\,-\,f(2)\,=\,f'(2)(x\,-\,2)$
$y\,-\,1\,=\,-1(x\,-\,2)$
$y\,=\,-x\,%2B\,2\,%2B\,1$
$y\,=\,-x\,%2B\,3$

5. Pour $f(x)\,=\,\cos(2x)$ et $x_0\,=\,\frac{\pi}{4}$ :
$f(\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(2\,\cdot\,\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,0$
Par la règle de la chaîne :
$f'(x)\,=\,-\sin(2x)\,\cdot\,2\,=\,-2\sin(2x)$
$f'(\frac{\pi}{4})\,=\,-2\,\sin(2\,\cdot\,\frac{\pi}{4})\,=\,-2\,\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,-2$
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x_0\,=\,\frac{\pi}{4}$ est :
$y\,-\,f(\frac{\pi}{4})\,=\,f'(\frac{\pi}{4})(x\,-\,\frac{\pi}{4})$
$y\,-\,0\,=\,-2\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)$
$y\,=\,-2x\,%2B\,\frac{\pi}{2}$

Exercice 7 : associer chaque courbe à sa fonction
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sur $%5B0\,%3B\,%2B\infty%5B$ représentent les fonctions et telles que est la dérivée de , c’est-à-dire que $H'\,=\,h$ .

Pour associer chaque courbe à sa fonction, nous devons analyser les caractéristiques des fonctions dérivées et primitives.

– La fonction est la dérivée de . La courbe représentant devrait alors indiquer des variations locales et donner des informations sur la pente de .

– La courbe représentant sera plus lisse et continuera à monter ou descendre selon les variations de .

Observons les courbes :

– La courbe $\mathcal{C}_2$ (en bleu) atteint un maximum local près de $x\,=\,1$ . Cela signifie que la pente de la fonction représentée par $\mathcal{C}_1$ (en vert) est maximale en ce point.

– La courbe $\mathcal{C}_2$ passe par zéro aux environs de $x\,=\,2$ , ce qui indique un point d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$ , où la pente change de signe.

– La courbe $\mathcal{C}_2$ devient négative pour $x\,>\,2$ est décroissante après ce point.

– Enfin, la courbe $\mathcal{C}_1$ , qui semble correspondre à une courbe intégrée, devrait être continue et différentiable.

Ainsi, la courbe $\mathcal{C}_2$ représente la fonction (la dérivée), et la courbe $\mathcal{C}_1$ représente la fonction .

En résumé :

– $\mathcal{C}_1$ est la courbe de la fonction .
– $\mathcal{C}_2$ est la courbe de la fonction .

Justification : Les propriétés de la dérivée observées (maximum, passage par zéro, devenir négatif) s’accordent avec les variations de pente de la courbe .

Exercice 8 : vérifier que la fonction f est T-périodique
1) Pour la fonction $f(x)\,=\,\sin(10\pi\,x)$ , on sait que la fonction sinus est périodique avec une période $T\,=\,\frac{2\pi}{k}$ , où est le coefficient de dans la fonction sinus.

Ici, $k\,=\,10\pi$ , donc la période est
$T\,=\,\frac{2\pi}{10\pi}\,=\,\frac{1}{5}$
Or, $T\,=\,0%2C2$ est équivalent à $\frac{1}{5}$ .
Ainsi, $f(x)\,=\,\sin(10\pi\,x)$ est -périodique avec $T\,=\,0%2C2$ .

2) Pour la fonction $f(x)\,=\,\cos(4x\,%2B\,\frac{\pi}{3})$ , on sait que la fonction cosinus est périodique avec une période $T\,=\,\frac{2\pi}{k}$ , où est le coefficient de .

Ici, $k\,=\,4$ , donc la période est
$T\,=\,\frac{2\pi}{4}\,=\,\frac{\pi}{2}$
Ainsi, $f(x)\,=\,\cos(4x\,%2B\,\frac{\pi}{3})$ est -périodique avec $T\,=\,\frac{\pi}{2}$ .

3) Pour la fonction $f(x)\,=\,\sin(\frac{10x\,-\,1}{3})$ , on réécrit l’argument de la sinus :
$\frac{10x\,-\,1}{3}\,=\,\frac{10}{3}x\,-\,\frac{1}{3}$
Ainsi, la fonction devient $\sin(\frac{10}{3}x\,-\,\frac{1}{3})$ et on voit que le coefficient de est $\frac{10}{3}$ .

La période est donc
$T\,=\,\frac{2\pi}{\frac{10}{3}}\,=\,\frac{2\pi\,\cdot\,3}{10}\,=\,\frac{6\pi}{10}\,=\,\frac{3\pi}{5}$
Ainsi, $f(x)\,=\,\sin(\frac{10x\,-\,1}{3})$ est -périodique avec $T\,=\,\frac{3\pi}{5}$ .

4) Pour la fonction $f(x)\,=\,\frac{2}{5}\cos(3\pi\,x)$ , la constante $\frac{2}{5}$ n’affecte pas la périodicité de la fonction cosinus. La fonction cosinus a une période $T\,=\,\frac{2\pi}{k}$ , où est le coefficient de .

Ici, $k\,=\,3\pi$ , donc la période est
$T\,=\,\frac{2\pi}{3\pi}\,=\,\frac{2}{3}$
Ainsi, $f(x)\,=\,\frac{2}{5}\cos(3\pi\,x)$ est -périodique avec $T\,=\,\frac{2}{3}$ .

Exercice 9 : fonction cosinus et représentations graphiques
Soit $f(x)\,=\,2\,\cos\,x$ et $g(x)\,=\,\cos\,2x$ .

Les deux courbes représentées sur le graphique sont $\mathcal{C}$ (verte) et $\mathcal{C}'$ (rouge).

Pour associer chaque courbe à sa fonction, analysons d’abord leurs caractéristiques :

1. $%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%25202%2520%255Ccos%2520x%22\,alt=%22f(x)\,=\,2\,\cos\,x$ : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 2 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -2 et 2).
– Période : $2\pi$ , car la période de $\cos\,x$ est $2\pi$ .

2. $%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528x%2529%2520%253D%2520%255Ccos%25202x%22\,alt=%22g(x)\,=\,\cos\,2x$ : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 1 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -1 et 1).
– Période : $\pi$ , car la période de $\cos\,2x$ est $\frac{2\pi}{2}\,=\,\pi$ .

Observons les courbes :

– La courbe verte $\mathcal{C}$ a une amplitude plus grande (elle varie entre -2 et 2). Elle a une période de $2\pi$ , correspondant à une période de la fonction $\cos\,x$ multipliée par 2, ce qui correspond à $f(x)\,=\,2\,\cos\,x$ .

– La courbe rouge $\mathcal{C}'$ a une amplitude plus petite (elle varie entre -1 et 1). Elle a une période réduite de $\pi$ , indiquant une fréquence double par rapport à la courbe verte. Cela correspond à $g(x)\,=\,\cos\,2x$ .

Ainsi, nous pouvons associer les courbes comme suit :
– $\mathcal{C}$ correspond à la fonction $f(x)\,=\,2\,\cos\,x$ .
– $\mathcal{C}'$ correspond à la fonction $g(x)\,=\,\cos\,2x$ .

Justification :
– La courbe $\mathcal{C}$ (verte) a une amplitude de 2 et une période de $2\pi$ , ce qui est caractéristique de la fonction $f(x)\,=\,2\,\cos\,x$ .
– La courbe $\mathcal{C}'$ (rouge) a une amplitude de 1 et une période de $\pi$ , ce qui est caractéristique de la fonction $g(x)\,=\,\cos\,2x$ .

Exercice 10 : résoudre sur I l’équation donnée

$\cos\,t\,=\,\cos\,\frac{\pi}{6}$ sur $I\,=\,%5B-\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D$

L’équation $\cos\,t\,=\,\cos\,\frac{\pi}{6}$ se résout directement par $t\,=\,\frac{\pi}{6}$ .
Or, dans l’intervalle $%5B-\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5D$ , le $\cos$ est injectif, donc $t\,=\,\pm\,\frac{\pi}{6}$ .
Comme $\cos\,t\,=\,\cos\,(-t)$ , on a deux solutions:
$t\,=\,\frac{\pi}{6}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,-\frac{\pi}{6}$

$\sin\,t\,=\,\sin\,\frac{\pi}{3}$ sur $I\,=\,%5D-\,\pi\,%3B\,\pi%5D$

L’équation $\sin\,t\,=\,\sin\,\frac{\pi}{3}$ se résout par:
$t\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,ou\,\quad\,t\,=\,\pi\,-\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,avec\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{Z}$
Ce qui donne :
$t\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{2\pi}{3}\,%2B\,2k\pi$
Dans l’intervalle $%5D-\pi\,%3B\,\pi%5D$ on va choisir pour que soit dans cet intervalle:
$t\,=\,\frac{\pi}{3}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,-\frac{2\pi}{3}$

$\sin\,t\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $I\,=\,%5B0\,%3B\,2\pi%5D$

$\sin\,t\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Les angles correspondants sont :
$t\,=\,\frac{7\pi}{4}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{5\pi}{4}$
Donc les solutions de cette équation dans l’intervalle $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ sont:
$t\,=\,\frac{5\pi}{4}\,\quad\,et\,\quad\,t\,=\,\frac{7\pi}{4}$

Exercice 11 : courbes d’équations du type y=asin(wx)
Pour la courbe $\mathcal{C}$ (rouge) :

1. Nous observons que l’amplitude est de 1, donc $a = 1$.
2. La période est de $2\pi$, puisque la courbe se répète après $2\pi$. La période $T$ est donnée par $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Donc $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.

Ainsi, l’équation pour $\mathcal{C}$ est $y = \sin(x)$.

Pour la courbe $\mathcal{C}’$ (bleue) :

1. Nous observons que l’amplitude est de 2, donc $a = 2$.
2. La période est de $4\pi$, puisque la courbe se répète après $4\pi$. La période $T$ est donnée par $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Donc $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Ainsi, l’équation pour $\mathcal{C}’$ est $y = 2\sin(\frac{x}{2})$.

Exercice 12 : pour les affirmations suivantes, démêler le vrai du faux
Correction de l’exercice :

1) Pour trouver f'(x) , utilisons la dérivée de la fonction donnée :
$f(x)\,=\,2\,\cos\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,).$
La dérivée de $\cos(u)$ avec $u\,=\,x\,-\,\frac{\pi}{4}$ est $-\sin(u)\,\cdot\,u'$ . Ainsi,
$f'(x)\,=\,-2\,\sin\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,\cdot\,1\,=\,-2\,\sin\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,).$
Donc l’affirmation 1 est fausse.

2) Cherchons les zéros de f(x) :
$f(x)\,=\,2\,\cos\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,0.$
Cela revient à résoudre :
$\cos\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,0.$
Donc,
$x\,-\,\frac{\pi}{4}\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,k\pi\,\quad\,avec\,\%3B\,k\,\in\,\mathbb{Z}.$
Ainsi,
$x\,=\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,k\pi\,=\,\frac{3\pi}{4}\,%2B\,k\pi\,\quad\,avec\,\%3B\,k\,\in\,\mathbb{Z}.$
L’ensemble des solutions est donc :
$x\,\in\,\{\,\frac{3\pi}{4}\,%2B\,k\pi\,\mid\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,\}.$
L’affirmation 2 est vraie.

3) Pour déterminer si est strictement monotone sur $%5B\,-\frac{\pi}{4}%2C\,\frac{\pi}{4}\,%5D$ , regardons la dérivée f'(x) sur cet intervalle :
$f'(x)\,=\,-2\,\sin\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,).$
Pour $x\,\in\,%5B\,-\frac{\pi}{4}%2C\,\frac{\pi}{4}\,%5D$ , $x\,-\,\frac{\pi}{4}$ varie de $-\frac{\pi}{2}$ à . Sur cet intervalle, la fonction $\sin\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)$ est négative ou nulle. Donc, f'(x) est positive ou nulle dans cet intervalle, ce qui signifie que f(x) est décroissante ou constante. Cela montre que n’est pas strictement monotone sur $%5B\,-\frac{\pi}{4}%2C\,\frac{\pi}{4}\,%5D$ . L’affirmation 3 est fausse.

4) Cherchons tel que $f(x)\,=\,\sqrt{2}$ :
$f(x)\,=\,2\,\cos\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,\sqrt{2}\,\Rightarrow\,\cos\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}.$
On sait que
$\cos\,(\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}%2C$
donc
$x\,-\,\frac{\pi}{4}\,=\,\pm\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,avec\,\%3B\,k\,\in\,\mathbb{Z}.$
Ainsi,
$x\,=\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,2k\pi\,\quad\,avec\,\%3B\,k\,\in\,\mathbb{Z}.$
L’affirmation 4 est vraie.

Exercice 13 : déterminer l’ensemble de dérivabilité
1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{3x\,-\,7}$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_f\,=\,%5B\frac{7}{3}%2C\,%2B\infty%5B$

La dérivée f'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_f$ :

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\sqrt{3x\,-\,7}\,)\,=\,\frac{3}{2\sqrt{3x\,-\,7}}$

2. $g\,%3A\,x\,\mapsto \,(5x^3\,-\,3)^2$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_g\,=\,\mathbb{R}$

La dérivée g'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_g$ :

$g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,(5x^3\,-\,3)^2\,)\,=\,2(5x^3\,-\,3)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(5x^3\,-\,3)\,=\,2(5x^3\,-\,3)\,\cdot\,15x^2\,=\,30x^2(5x^3\,-\,3)$

3. $h\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{(x\,%2B\,6)^3}$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_h\,=\,\mathbb{R}\,\setminus\,\{-6\}$

La dérivée h'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_h$ :

$h'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{1}{(x\,%2B\,6)^3}\,)\,=\,-3(x\,%2B\,6)^{-4}\,=\,-\frac{3}{(x\,%2B\,6)^4}$

4. $a\,%3A\,x\,\mapsto \,(1\,-\,2\sqrt{x})^2$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_a\,=\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B$

La dérivée a'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_a$ :

$a'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,(1\,-\,2\sqrt{x})^2\,)\,=\,2(1\,-\,2\sqrt{x})\,\cdot\,\frac{d}{dx}\,(1\,-\,2\sqrt{x})$
$=\,2(1\,-\,2\sqrt{x})\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,\frac{2}{2\sqrt{x}}\,=\,2(1\,-\,2\sqrt{x})\,\cdot\,(-\frac{1}{\sqrt{x}})$
$=\,-\frac{2(1\,-\,2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

5. $b\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{x^2\,-\,1}$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_b\,=\,%5D-\,\infty%2C\,-1%5D\,\cup\,%5B1%2C\,%2B\infty%5B$

La dérivée b'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_b$ :

$b'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\sqrt{x^2\,-\,1}\,)\,=\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}$

6. $c\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{\sqrt{10\,-\,x}}$

Ensemble de dérivabilité : $\mathcal{D}_c\,=\,%5D-\,\infty%2C\,10%5B$

La dérivée c'(x) pour $x\,\in\,\mathcal{D}_c$ :

$c'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{1}{\sqrt{10\,-\,x}}\,)\,=\,-\frac{1}{2}\,(10\,-\,x)^{-3%2F2}\,(-1)\,=\,\frac{1}{2}\,(10\,-\,x)^{-3%2F2}\,=\,\frac{1}{2(10\,-\,x)^{3%2F2}}$

Exercice 14 : justifier que f est dérivable sur I
1) $f(x)\,=\,\frac{5}{3(x-2)^4}$

Pour $x\,\in\,%5D2%3B\,%2B\infty%5B$ :

La fonction est dérivable car elle est composée d’une constante divisée par un polynôme au dénominateur, qui est non nul sur l’intervalle $%5D2%3B\,%2B\infty%5B$ .

Calculons f'(x) en utilisant la règle de dérivation $(\,\frac{u}{v}\,)'\,=\,\frac{u'v\,-\,uv'}{v^2}$ :

Soit $u(x)\,=\,5$ et $v(x)\,=\,3(x-2)^4$

$u'(x)\,=\,0$
$v'(x)\,=\,3\,\cdot\,4(x-2)^3\,=\,12(x-2)^3$

$f'(x)\,=\,\frac{0\,\cdot\,3(x-2)^4\,-\,5\,\cdot\,12(x-2)^3}{%5B3(x-2)^4%5D^2}$
$f'(x)\,=\,\frac{-60(x-2)^3}{9(x-2)^8}$
$f'(x)\,=\,\frac{-60}{9(x-2)^5}\,=\,\frac{-20}{3(x-2)^5}$

Donc, $f'(x)\,=\,\frac{-20}{3(x-2)^5}$ .

2) $f(x)\,=\,\frac{x^2}{(x%2B1)^3}$

Pour $x\,\in\,%5D-1%3B\,%2B\infty%5B$ :

La fonction est dérivable car elle est composée d’un polynôme sur un autre polynôme, où le dénominateur est non nul sur l’intervalle $%5D-1%3B\,%2B\infty%5B$ .

Calculons f'(x) :

Soit $u(x)\,=\,x^2$ et $v(x)\,=\,(x%2B1)^3$

$u'(x)\,=\,2x$
$v'(x)\,=\,3(x%2B1)^2$

$f'(x)\,=\,\frac{2x(x%2B1)^3\,-\,x^2\,\cdot\,3(x%2B1)^2}{(x%2B1)^6}$
$f'(x)\,=\,\frac{2x(x%2B1)\,-\,3x^2}{(x%2B1)^4}$
$f'(x)\,=\,\frac{2x^4\,%2B\,2x^3\,-\,3x^4}{(x%2B1)^4}$
$f'(x)\,=\,\frac{-x^4\,%2B\,2x^3}{(x%2B1)^4}$
$f'(x)\,=\,\frac{x^2(2x-3)}{(x%2B1)^4}$

Donc, $f'(x)\,=\,\frac{x(2x-3)}{(x%2B1)^4}$ .

3) $f(x)\,=\,(\,\frac{x%2B2}{x-2}\,)^2$

Pour $x\,\in\,%5D2%3B\,%2B\infty%5B$ :

La fonction est dérivable car la fonction rationnelle obtenue est dérivable sur l’intervalle considéré.

Calculons f'(x) en utilisant la règle de la dérivée de la composition $(u^n)'\,=\,nu^{n-1}\,u'$ :

Soit $u(x)\,=\,\frac{x%2B2}{x-2}$

$u'(x)\,=\,\frac{(x-2)\,-\,(x%2B2)}{(x-2)^2}\,=\,\frac{-4}{(x-2)^2}$

$f'(x)\,=\,2\,(\,\frac{x%2B2}{x-2}\,)\,(\,\frac{-4}{(x-2)^2}\,)$
$f'(x)\,=\,\frac{-8(x%2B2)}{(x-2)^3}$

Donc, $f'(x)\,=\,\frac{-8(x%2B2)}{(x-2)^3}$ .

4) $f(x)\,=\,(x-2)^3\,%2B\,\frac{1}{(2x-1)^3}$

Pour $x\,\in\,%5D\,\frac{1}{2}%3B\,%2B\infty\,%5B$ :

La fonction est dérivable car chaque terme de la somme est dérivable sur l’intervalle considéré.

Calculons f'(x) :

$f'(x)\,=\,3(x-2)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{(2x-1)^3}\,)'$

Pour la dérivée de $\frac{1}{(2x-1)^3}$ , on utilise la règle de la dérivée de $(\,\frac{1}{v}\,)'\,=\,\frac{-v'}{v^2}$ :

Soit $v(x)\,=\,(2x-1)^3$

$v'(x)\,=\,3\,\cdot\,2(2x-1)^2\,=\,6(2x-1)^2$

$(\,\frac{1}{v(x)}\,)'\,=\,\frac{-v'(x)}{v(x)^2}\,=\,\frac{\,-6(2x-1)^2\,}{\,(2x-1)^6\,}\,=\,-6\,(2x-1)^{-4}$

$f'(x)\,=\,3(x\,-\,2)^2\,-\,\frac{6}{(2x\,-\,1)^4}$

Donc $f'(x)\,=\,3(x-2)^2\,-\,\frac{6}{(2x-1)^4}$ .

Exercice 15 : calculer la dérivée de fonctions contenant cos x et sin x
1) Soit $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,\cos\,x$ . La dérivée est:
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^2)\,%2B\,\frac{d}{dx}(\cos\,x)\,=\,2x\,-\,\sin\,x$

2) Soit $f(x)\,=\,\sin\,2x$ . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,2\,\cos\,2x$

3) Soit $f(x)\,=\,\cos\,x\,\sin\,x$ . En utilisant la règle du produit, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(\cos\,x)\,\cdot\,\sin\,x\,%2B\,\cos\,x\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\sin\,x)\,=\,-\sin\,x\,\cdot\,\sin\,x\,%2B\,\cos\,x\,\cdot\,\cos\,x\,=\,\cos^2\,x\,-\,\sin^2\,x$

4) Soit $f(x)\,=\,\sin^2\,x$ . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,2\,\sin\,x\,\cdot\,\cos\,x\,=\,\sin\,2x$

5) Soit $f(x)\,=\,x^2\,\cos\,x$ . En utilisant la règle du produit, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^2)\,\cdot\,\cos\,x\,%2B\,x^2\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\cos\,x)\,=\,2x\,\cos\,x\,-\,x^2\,\sin\,x$

6) Soit $f(x)\,=\,\cos^2\,x$ . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,2\,\cos\,x\,\cdot\,(-\sin\,x)\,=\,-2\,\cos\,x\,\sin\,x\,=\,-\sin\,2x$

7) Soit $f(x)\,=\,\sin\,x\,%2B\,\cos\,x$ . La dérivée est:
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(\sin\,x)\,%2B\,\frac{d}{dx}(\cos\,x)\,=\,\cos\,x\,-\,\sin\,x$

8) Soit $f(x)\,=\,\frac{2\,\cos\,x\,%2B\,3}{2\,\cos\,x\,-\,3}$ . En utilisant la règle du quotient, nous obtenons:
$f'(x)\,=\,\frac{\frac{d}{dx}(2\,\cos\,x\,%2B\,3)\,\cdot\,(2\,\cos\,x\,-\,3)\,-\,(2\,\cos\,x\,%2B\,3)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(2\,\cos\,x\,-\,3)}{(2\,\cos\,x\,-\,3)^2}$
$=\,\frac{-2\,\sin\,x\,\cdot\,(2\,\cos\,x\,-\,3)\,-\,(2\,\cos\,x\,%2B\,3)\,\cdot\,(-2\,\sin\,x)}{(2\,\cos\,x\,-\,3)^2}$
$=\,\frac{-4\,\sin\,x\,\cos\,x\,%2B\,6\,\sin\,x\,%2B\,4\,\sin\,x\,\cos\,x\,%2B\,6\,\sin\,x}{(2\,\cos\,x\,-\,3)^2}$
$=\,\frac{12\,\sin\,x}{(2\,\cos\,x\,-\,3)^2}$

Exercice 16 : changement de variable et calcul de limite
En opérant le changement de variable $X\,=\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}$ :

$\lim_{x\,\to\,-\frac{\pi}{4}}\,\frac{\sin\,x\,%2B\,\cos\,x}{x\,%2B\,\frac{\pi}{4}}$

En posant $X\,=\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}$ , quand $x\,\to\,-\frac{\pi}{4}$ , alors $X\,\to\,0$ , et l’expression devient :

$\frac{\sin(x)\,%2B\,\cos(x)}{x\,%2B\,\frac{\pi}{4}}\,=\,\frac{\sin(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,%2B\,\cos(X\,-\,\frac{\pi}{4})}{X}$

Utilisons les formules de somme pour les sinus et cosinus :

$\sin(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\sin(X)\cos(\frac{\pi}{4})\,-\,\cos(X)\sin(\frac{\pi}{4})$
$\cos(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(X)\cos(\frac{\pi}{4})\,%2B\,\sin(X)\sin(\frac{\pi}{4})$

Comme $\cos\,\frac{\pi}{4}\,=\,\sin\,\frac{\pi}{4}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$ , nous avons:

$\sin(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\sin(X)\,-\,\cos(X))$
$\cos(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\cos(X)\,%2B\,\sin(X))$

Ainsi,

$\sin(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,%2B\,\cos(X\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\sin(X)\,-\,\cos(X))\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\cos(X)\,%2B\,\sin(X))$
$=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\sin(X)\,-\,\cos(X)\,%2B\,\cos(X)\,%2B\,\sin(X))$
$=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,(2\,\sin(X))\,=\,\sqrt{2}\,\sin(X)$

La limite originale devient donc :

$\lim_{X\,\to\,0}\,\frac{\sqrt{2}\,\sin\,X}{X}\,=\,\sqrt{2}\,\lim_{X\,\to\,0}\,\frac{\sin\,X}{X}\,=\,\sqrt{2}\,\times \,1\,=\,\sqrt{2}$

Donc,

$\lim_{x\,\to\,-\,\frac{\pi}{4}}\,\frac{\sin\,x\,%2B\,\cos\,x}{x\,%2B\,\frac{\pi}{4}}\,=\,\sqrt{2}$

Déterminons maintenant les limites suivantes :

1) $\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin\,2x\,-\,2\,\sin\,x}{x^2}$

Utilisons les développements limités pour les petites valeurs de :

$\sin\,2x\,\approx\,2x$
$\sin\,x\,\approx\,x$

$\sin\,2x\,-\,2\,\sin\,x\,\approx\,2x\,-\,2x\,=\,0$

Mais nous devons considérer les termes de l’ordre supérieur :

$\sin\,2x\,\approx\,2x\,-\,\frac{(2x)^3}{6}\,=\,2x\,-\,\frac{8x^3}{6}\,=\,2x\,-\,\frac{4x^3}{3}$
$2\,\sin\,x\,\approx\,2x\,-\,\frac{2x^3}{6}\,=\,2x\,-\,\frac{x^3}{3}$

Donc :

$\sin\,2x\,-\,2\,\sin\,x\,\approx\,(2x\,-\,\frac{4x^3}{3})\,-\,(2x\,-\,\frac{x^3}{3})\,=\,-\,\frac{3x^3}{3}\,=\,-\,x^3$

Ainsi :

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin\,2x\,-\,2\,\sin\,x}{x^2}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{-\,x^3}{x^2}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,-\,x\,=\,0$

Donc,

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin\,2x\,-\,2\,\sin\,x}{x^2}\,=\,0$

2) $\lim_{x\,\to\,\frac{2}{\pi}}\,\frac{\pi\,x\,-\,2}{\cos\,\frac{1}{x}}$

Posons $y\,=\,\frac{1}{x}$ . Quand $x\,\to\,\frac{2}{\pi}$ , alors $y\,\to\,\frac{\pi}{2}$ . L’expression devient :

$\lim_{y\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{\pi\,\cdot\,\frac{1}{y}\,-\,2}{\cos\,y}$
$=\,\lim_{y\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{\frac{\pi}{y}\,-\,2}{\cos\,y}$

Comme $\cos\,y$ se comporte de manière oscillante dans le voisinage de $y\,=\,\frac{\pi}{2}$ , cette limite n’existe pas car elle oscille entre des valeurs positives et négatives infinies.

Donc,

$\lim_{x\,\to\,\frac{2}{\pi}}\,\frac{\pi\,x\,-\,2}{\cos\,\frac{1}{x}}\,\\,n'existe\,\\,pas$

en raison de l’oscillation de $\cos\,\frac{1}{x}$ .

Exercice 17 : convergence de suites et cosinus
1) Soit la suite $(u_n)_{n\,\geq\,\,0}$ définie par $u_n\,=\,\frac{2n^2\,%2B\,\cos\,n}{3n^2\,%2B\,5}$ .

Montrons que (u_n) converge.

On peut simplifier l’expression de u_n :

$u_n\,=\,\frac{2n^2\,%2B\,\cos\,n}{3n^2\,%2B\,5}\,=\,\frac{2\,%2B\,\frac{\cos\,n}{n^2}}{3\,%2B\,\frac{5}{n^2}}$

À mesure que tend vers l’infini, $\frac{\cos\,n}{n^2}$ tend vers 0 et $\frac{5}{n^2}$ tend également vers 0.

Donc,

$u_n\,\xrightarrow%5Bn\,\to\,\infty%5D{\,\frac{2\,%2B\,0}{3\,%2B\,0}\,=\,\frac{2}{3}$

Ainsi, (u_n) converge vers $\frac{2}{3}$ .

2) Soit la suite $(v_n)_{n\,\geq\,\,1}$ définie par $v_n\,=\,\frac{\cos\,n\,-\,2n}{\sqrt{n}}$ .

Montrons que (v_n) converge.

Considérons l’expression de v_n :

$v_n\,=\,\frac{\cos\,n\,-\,2n}{\sqrt{n}}\,=\,\frac{\cos\,n}{\sqrt{n}}\,-\,\frac{2n}{\sqrt{n}}\,=\,\frac{\cos\,n}{\sqrt{n}}\,-\,2\sqrt{n}$

À mesure que tend vers l’infini, $\frac{\cos\,n}{\sqrt{n}}$ tend vers 0, car $\cos\,n$ est borné entre -1 et 1, alors que $\sqrt{n}$ tend vers l’infini. Donc:

$\frac{\cos\,n}{\sqrt{n}}\,\xrightarrow%5Bn\,\to\,\infty%5D{\,0$

Ensuite, $2\sqrt{n}$ tend vers l’infini quand tend vers l’infini. Donc,

$-2\sqrt{n}\,\xrightarrow%5Bn\,\to\,\infty%5D{\,-\infty$

Ainsi,

$v_n\,\xrightarrow%5Bn\,\to\,\infty%5D{\,-\infty$

Donc, la suite (v_n) diverge.

Exercice 18 : cosinus et sinus avec tableau de variation
Correction :

1) La fonction définie par $f(x)\,=\,\sqrt{3}\,\cos\,x\,-\,\sin\,x$ est périodique de période $2\pi$ .

Pour le montrer, il suffit de vérifier que :
$f(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sqrt{3}\,\cos\,(x\,%2B\,2\pi)\,-\,\sin\,(x\,%2B\,2\pi)$

Puisque :
$\cos(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\cos\,x$
$\sin(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin\,x$

On obtient :
$f(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sqrt{3}\,\cos\,x\,-\,\sin\,x\,=\,f(x)$

Donc, est périodique de période $2\pi$ .

2) Montrons que $f(x)\,=\,2\,\cos\,(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{6}\,)$ .

Utilisons l’identité trigonométrique :
$\cos(x\,%2B\,a)\,=\,\cos\,x\,\cos\,a\,-\,\sin\,x\,\sin\,a$

Dans notre cas, $a\,=\,\frac{\pi}{6}$ , donc :
$\cos(x\,%2B\,\frac{\pi}{6})\,=\,\cos\,x\,\cos(\frac{\pi}{6})\,-\,\sin\,x\,\sin(\frac{\pi}{6})$

Or, $\cos(\frac{\pi}{6})\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{6})\,=\,\frac{1}{2}$ , donc :
$\cos(x\,%2B\,\frac{\pi}{6})\,=\,\cos\,x\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,\sin\,x\,\cdot\,\frac{1}{2}$

Alors :
$2\,\cos(x\,%2B\,\frac{\pi}{6})\,=\,2\,(\,\cos\,x\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,\sin\,x\,\cdot\,\frac{1}{2}\,)$
$=\,\sqrt{3}\,\cos\,x\,-\,\sin\,x$
$=\,f(x)$

Donc, $f(x)\,=\,2\,\cos\,(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{6}\,)$ .

3) Montrons les variations de .

Pour ce faire, calculons la dérivée f'(x) :
$f(x)\,=\,\sqrt{3}\,\cos\,x\,-\,\sin\,x$
$f'(x)\,=\,-\sqrt{3}\,\sin\,x\,-\,\cos\,x$

Pour obtenir les variations, déterminons les points où $f'(x)\,=\,0$ :
$-\sqrt{3}\,\sin\,x\,-\,\cos\,x\,=\,0$
$\cos\,x\,=\,-\sqrt{3}\,\sin\,x$

Divisons par $\cos\,x$ (sous réserve que $\cos\,x\,\neq\,0$ ) :
$1\,=\,-\sqrt{3}\,\tan\,x$
$\tan\,x\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan\,x\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ainsi, $x\,=\,\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

On sait que :
$\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})\,=\,-\frac{\pi}{6}\,%2B\,k\pi$

Sur l’intervalle $%5B0%3B\,2\pi%5D$ , les valeurs pertinentes sont :
$x\,=\,\frac{5\pi}{6}$ et $x\,=\,\frac{11\pi}{6}$

– Pour $x\,\in\,%5B\,0%3B\,\frac{5\pi}{6}\,%5D$ , $-\sqrt{3}\,\sin\,x\,-\,\cos\,x\,\leq\,\,0$ , $f'(x)\,\leq\,\,0$ , donc f(x) est décroissante.
– Pour $x\,\in\,%5B\,\frac{5\pi}{6}%3B\,\frac{11\pi}{6}\,%5D$ , $-\sqrt{3}\,\sin\,x\,-\,\cos\,x\,\geq\,\,0$ , $f'(x)\,\geq\,\,0$ , donc f(x) est croissante.
– Pour $x\,\in\,%5B\,\frac{11\pi}{6}%3B\,2\pi\,%5D$ , $-\sqrt{3}\,\sin\,x\,-\,\cos\,x\,\leq\,\,0$ , $f'(x)\,\leq\,\,0$ , donc f(x) est décroissante.

4) Dressons le tableau de variation de sur $%5B0%3B\,2\pi%5D$ .

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,\frac{5\pi}{6}\,%26\,\frac{11\pi}{6}\,%26\,2\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%26\,-\,%26\,%2B\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,1\,%26\,-2\,%26\,2\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 19 : démontrer la dérivée nième d’une fonction
1. a)
Calculons les dérivées successives de $f(x)\,=\,\cos\,x$ :

$f^{(0)}(x)\,=\,\cos\,x$

$f^{(1)}(x)\,=\,f'(x)\,=\,-\sin\,x$

$f^{(2)}(x)\,=\,f''(x)\,=\,-\cos\,x$

$f^{(3)}(x)\,=\,f'''(x)\,=\,\sin\,x$

b) Démontrons que, pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ :

$f^{(n)}(x)\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,n\frac{\pi}{2}\,)$

Par récurrence sur .

Pour $n\,=\,0$ , c’est évident car $f^{(0)}(x)\,=\,\cos(x)$ .

Supposons que la formule est vraie pour un certain , c’est-à-dire $f^{(k)}(x)\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)$ .

Calculons $f^{(k%2B1)}$ :

$f^{(k%2B1)}(x)\,=\,(\,f^{(k)}\,)'\,(x)\,=\,(\,\cos\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,)'$

En utilisant la règle de dérivation de $\cos$ :

$(\,\cos\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,)'\,=\,-\sin\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)$

Or, nous savons que:

$-\sin\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,(k%2B1)\frac{\pi}{2}\,)$

Cela montre que $f^{(k%2B1)}(x)\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,(k%2B1)\frac{\pi}{2}\,)$ . La propriété est donc vraie pour k%2B1 , ce qui complète la récurrence.

Ainsi, pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ :

$f^{(n)}(x)\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,n\frac{\pi}{2}\,)$

2) Prouvons la formule analogue pour la fonction sinus.

Soit $g(x)\,=\,\sin\,x$ , nous allons calculer les dérivées successives et vérifier si une formule similaire est valide pour $g^{(n)}(x)$ .

$g^{(0)}(x)\,=\,\sin\,x$

$g^{(1)}(x)\,=\,g'(x)\,=\,\cos\,x$

$g^{(2)}(x)\,=\,g''(x)\,=\,-\sin\,x$

$g^{(3)}(x)\,=\,g'''(x)\,=\,-\cos\,x$

On remarque la répétition périodique des dérivées. Tentons $\sin\,(\,x\,%2B\,n\frac{\pi}{2}\,)$ :

Pour $n\,=\,0$ , c’est vrai car $g^{(0)}(x)\,=\,\sin(x)$ .

Supposons que cela est vrai pour un certain , c’est-à-dire $g^{(k)}(x)\,=\,\sin\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)$ .

Calculons $g^{(k%2B1)}$ :

$g^{(k%2B1)}(x)\,=\,(\,g^{(k)}\,)'\,(x)\,=\,(\,\sin\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,)'$

En utilisant la règle de dérivation de $\sin$ :

$(\,\sin\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,)'\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)$

Or, nous savons que:

$\cos\,(\,x\,%2B\,k\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,(\,x\,%2B\,(k%2B1)\frac{\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,(\,x\,%2B\,(k%2B1)\frac{\pi}{2}\,)$

Cela montre que $g^{(k%2B1)}(x)\,=\,\sin\,(\,x\,%2B\,(k%2B1)\frac{\pi}{2}\,)$ . La propriété est donc vraie pour k%2B1 , ce qui complète la récurrence.

Ainsi, pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ :

$g^{(n)}(x)\,=\,\sin\,(\,x\,%2B\,n\frac{\pi}{2}\,)$

Exercice 20 : valeurs où la dérivée s’annule
« `markdown
Pour trouver les valeurs où la dérivée des fonctions données s’annule, on calcule d’abord la dérivée de chacune des fonctions, puis on résout l’équation $f'(x)\,=\,0$ .

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{\frac{x^2}{4}\,%2B\,\frac{x}{2}\,%2B\,3}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Posons $u(x)\,=\,\frac{x^2}{4}\,%2B\,\frac{x}{2}\,%2B\,3$ . Alors $f(x)\,=\,\sqrt{u(x)}$ .

Dérivons en utilisant la règle de chaîne :
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\,\cdot\,u'(x)$

Calculons u'(x) :
$u'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{x^2}{4}\,%2B\,\frac{x}{2}\,%2B\,3\,)\,=\,\frac{2x}{4}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{x}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}$

Ainsi,
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2}{4}\,%2B\,\frac{x}{2}\,%2B\,3}}\,\cdot\,(\,\frac{x}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,)$

Pour que $f'(x)\,=\,0$ , il faut que $\frac{x}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,0$ , soit :
$x\,=\,-1$

Donc, $x\,=\,-1$ est la valeur pour laquelle la dérivée de s’annule.

2. $g\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{x^2}{\sqrt{2\,-\,x^2}}$ , définie sur $%5D\,-\sqrt{2}%2C\,\sqrt{2}\,%5B$ .

Posons $u(x)\,=\,x^2$ et $v(x)\,=\,\sqrt{2\,-\,x^2}$ . Alors $g(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}$ .

Dérivons en utilisant la règle du quotient :
$g'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{%5Bv(x)%5D^2}$

Calculons u'(x) et v'(x) :
$u'(x)\,=\,2x$
$v'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,\sqrt{2\,-\,x^2}\,=\,\frac{-x}{\sqrt{2\,-\,x^2}}$

Ainsi,
$g'(x)\,=\,\frac{(2x)\sqrt{2\,-\,x^2}\,-\,x^2(\frac{-x}{\sqrt{2\,-\,x^2}})}{2\,-\,x^2}\,=\,\frac{2x\sqrt{2\,-\,x^2}\,%2B\,\frac{x^3}{\sqrt{2\,-\,x^2}}}{2\,-\,x^2}$

Simplifions l’expression :
$g'(x)\,=\,\frac{2x(2\,-\,x^2)\,%2B\,x^3}{(2\,-\,x^2)\sqrt{2\,-\,x^2}}\,=\,\frac{2x(2\,-\,x^2\,%2B\,x^2)}{(2\,-\,x^2)\sqrt{2\,-\,x^2}}\,=\,\frac{4x}{(2\,-\,x^2)\sqrt{2\,-\,x^2}}$

Pour que $g'(x)\,=\,0$ , il faut que $4x\,=\,0$ , soit :
$x\,=\,0$

Donc, $x\,=\,0$ est la valeur pour laquelle la dérivée de s’annule.

3. $h\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{\cos\,x\,%2B\,2}{\sin^2\,x\,%2B\,2}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Posons $u(x)\,=\,\cos\,x\,%2B\,2$ et $v(x)\,=\,\sin^2\,x\,%2B\,2$ . Alors $h(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}$ .

Dérivons en utilisant la règle du quotient :
$h'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{%5Bv(x)%5D^2}$

Calculons u'(x) et v'(x) :
$u'(x)\,=\,-\sin\,x$
$v'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\sin^2\,x\,%2B\,2)\,=\,2\sin\,x\,\cos\,x\,=\,\sin\,2x$

Ainsi,
$h'(x)\,=\,\frac{(-\sin\,x)(\sin^2\,x\,%2B\,2)\,-\,(\cos\,x\,%2B\,2)(\sin\,2x)}{(\sin^2\,x\,%2B\,2)^2}$

Pour que $h'(x)\,=\,0$ , il faut que :
$-\sin\,x\,(\sin^2\,x\,%2B\,2)\,-\,(\cos\,x\,%2B\,2)\,\sin\,2x\,=\,0$

C’est une équation complexe à résoudre en général. Pour simplifier, examinons les cas particuliers pour lesquels $\sin\,x\,=\,0$ . Cela se produit pour $x\,=\,k\pi$ où est un entier.

Donc, les valeurs où $\sin\,x\,=\,0$ , c’est-à-dire $x\,=\,k\pi$ , sont les solutions pour lesquelles la dérivée de s’annule.

En résumé :
1. $x\,=\,-1$ pour .
2. $x\,=\,0$ pour .
3. $x\,=\,k\pi$ pour où est un entier.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : montrer que f est dérivable
Soit la fonction définie sur $%5B0%3B\,%2B\infty%5B$ par :

$f(x)\,=\,\frac{2x\,-\,\sqrt{x}}{2\,%2B\,\sqrt{x}}.$

1) Montrer que est dérivable sur $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ et que :

$f'(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1}{\sqrt{x}(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

Calculons la dérivée de f(x) en utilisant la formule du quotient :

Soit $u(x)\,=\,2x\,-\,\sqrt{x}$ et $v(x)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{x}$ . Alors,

$f(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}.$

Les dérivées de u(x) et v(x) sont :

$u'(x)\,=\,2\,-\,\frac{1}{2\sqrt{x}}%2C$
$v'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Utilisons la dérivée du quotient :

$f'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.$

Calculons les termes un par un :

$u'(x)v(x)\,=\,(2\,-\,\frac{1}{2\sqrt{x}})(2\,%2B\,\sqrt{x})%2C$
$u(x)v'(x)\,=\,(2x\,-\,\sqrt{x})(\frac{1}{2\sqrt{x}}).$

Simplifions chaque expression :

$u'(x)v(x)\,=\,4\,%2B\,2\sqrt{x}\,-\,\frac{2}{\sqrt{x}}\,-\,\frac{1}{2}%2C$
$u(x)v'(x)\,=\,\frac{2x}{2\sqrt{x}}\,-\,\frac{1}{2}\,=\,\sqrt{x}\,-\,\frac{1}{2}.$

En combinant les deux résultats :

$f'(x)\,=\,\frac{4\,%2B\,2\sqrt{x}\,-\,\frac{2}{\sqrt{x}}\,-\,\frac{1}{2}\,-\,(\sqrt{x}\,-\,1%2F2)}{(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

Simplifions le numérateur :

$f'(x)\,=\,\frac{4\,%2B\,2\sqrt{x}\,-\,\frac{2}{\sqrt{x}}\,-\,\frac{1}{2}\,-\,\sqrt{x}\,%2B\,\frac{1}{2}}{(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}%2C$
$f'(x)\,=\,\frac{4\,%2B\,\sqrt{x}\,-\,\frac{2}{\sqrt{x}}}{(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

Consolidons le numérateur et simplifions :

$f'(x)\,=\,\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}\,%2B\,4\,-\,\frac{1}{x})\,-\,1}{\sqrt{x}(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

D’où,

$f'(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1}{\sqrt{x}(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

2) Résoudre l’équation $X^{2}\,%2B\,4X\,-\,1\,=\,0$ . En déduire le signe de f'(x) .

Résolvons l’équation :

$X^{2}\,%2B\,4X\,-\,1\,=\,0%2C$

En utilisant la formule quadratique,

$X\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}.$

Ici, $a\,=\,1%2C\,b\,=\,4%2C\,c\,=\,-1$ ,

$X\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{16\,%2B\,4}}{2}%2C$
$X\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{20}}{2}\,=\,\frac{-4\,\pm\,2\sqrt{5}}{2}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{5}.$

Les racines sont $X_1\,=\,-2\,%2B\,\sqrt{5}$ et $X_2\,=\,-2\,-\,\sqrt{5}$ .

Comme $\sqrt{x}$ est toujours positif ou nul, on considère seulement $-2\,%2B\,\sqrt{5}$ .

3) Dresser le tableau de variation complet de .

Pour dessiner le tableau de variation de , nous devons examiner les signes de f'(x) .

$f'(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1}{\sqrt{x}(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}}.$

Le terme $\sqrt{x}(2\,%2B\,\sqrt{x})^{2}$ est toujours positif pour $x\,>\,0$ dépend du signe du numérateur $x\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1$ .

Étudions $x\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1\,=\,0$ , qui se réduit à $(\sqrt{x})^{2}\,%2B\,4\sqrt{x}\,-\,1\,=\,0$ . Cela a pour solution $\sqrt{x}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{5}$ .

D’où $\sqrt{x}\,=\,-2\,%2B\,\sqrt{5}$ est la seule solution valable pour $x\,\geq\,\,0$ .

Enfin, le tableau de variation est le suivant :

$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,%26\,(-2\,%2B\,\sqrt{5})^2\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,\,%26\,\nearrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,\,\\%0D%0A\end{array}$

Nous avons une croissance jusqu’à $x\,=\,(-2\,%2B\,\sqrt{5})^2$ puis une décroissance après ce point.

Exercice 22 : une équation de la tangente à la courbe
1) $f(x)\,=\,\frac{2x\,-\,3}{x\,%2B\,4}$ , $x_0\,=\,1$

Pour trouver l’équation de la tangente, nous devons d’abord calculer la dérivée de f(x) . Nous utilisons la règle de dérivation des quotients :

$f(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}\,\quad\,ou\,\quad\,u(x)\,=\,2x\,-\,3\,\quad\,et\,\quad\,v(x)\,=\,x\,%2B\,4$

La dérivée de f(x) est donnée par :

$f'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

En dérivant u(x) et v(x) :

$u'(x)\,=\,2$
$v'(x)\,=\,1$

Donc,

$f'(x)\,=\,\frac{(2)(x\,%2B\,4)\,-\,(2x\,-\,3)(1)}{(x\,%2B\,4)^2}\,=\,\frac{2x\,%2B\,8\,-\,2x\,%2B\,3}{(x\,%2B\,4)^2}\,=\,\frac{11}{(x\,%2B\,4)^2}$

Ensuite, nous évaluons f(x) et f'(x) en $x\,=\,1$ :

$f(1)\,=\,\frac{2(1)\,-\,3}{1\,%2B\,4}\,=\,\frac{-1}{5}\,=\,-\frac{1}{5}$
$f'(1)\,=\,\frac{11}{(1\,%2B\,4)^2}\,=\,\frac{11}{25}$

L’équation de la tangente est alors :

$y\,-\,f(x_0)\,=\,f'(x_0)(x\,-\,x_0)$

$y\,%2B\,\frac{1}{5}\,=\,\frac{11}{25}(x\,-\,1)$

$y\,=\,\frac{11}{25}\,x\,-\,\frac{11}{25}\,-\,\frac{1}{5}$

$y\,=\,\frac{11}{25}\,x\,-\,\frac{11\,%2B\,5}{25}$

$y\,=\,\frac{11}{25}\,x\,-\,\frac{16}{25}$

2) $f(x)\,=\,\frac{x}{\sqrt{x\,%2B\,1}}$ , $x_0\,=\,-\frac{1}{2}$

Calculons d’abord la dérivée de f(x) . Nous utilisons la règle de dérivation des quotients et des racines :

$f(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}\,\quad\,ou\,\quad\,u(x)\,=\,x\,\quad\,et\,\quad\,v(x)\,=\,\sqrt{x\,%2B\,1}$

La dérivée de f(x) est donnée par :

$f'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

En dérivant u(x) et v(x) :

$u'(x)\,=\,1$
$v'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x\,%2B\,1}}$

Donc,

$f'(x)\,=\,\frac{\sqrt{x\,%2B\,1}\,-\,x\,\cdot\,\frac{1}{2\sqrt{x\,%2B\,1}}}{x\,%2B\,1}\,=\,\frac{\sqrt{x\,%2B\,1}\,-\,\frac{x}{2\sqrt{x\,%2B\,1}}}{x\,%2B\,1}\,=\,\frac{2(x\,%2B\,1)\,-\,x}{2(x\,%2B\,1)\sqrt{x\,%2B\,1}}\,=\,\frac{x\,%2B\,2}{2(x\,%2B\,1)\sqrt{x\,%2B\,1}}$

Ensuite, évaluons f(x) et f'(x) en $x\,=\,-\frac{1}{2}$ :

$f(-\frac{1}{2})\,=\,\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{-\frac{1}{2}\,%2B\,1}}\,=\,\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\,=\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\,=\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,\sqrt{2}\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pour f'(x) en $x\,=\,-\frac{1}{2}$ :

$f'(-\frac{1}{2})\,=\,\frac{-\frac{1}{2}\,%2B\,2}{2(-\frac{1}{2}%2B1)\sqrt{-\frac{1}{2}%2B1}}\,=\,\frac{\frac{3}{2}}{2(\frac{1}{2})\sqrt{\frac{1}{2}}}\,=\,\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\,=\,\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\,=\,\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,\sqrt{2}\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\frac{3\sqrt{2}}{2}$

L’équation de la tangente est alors :

$y\,-\,f(x_0)\,=\,f'(x_0)(x\,-\,x_0)$

$y\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,)$

$y\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x\,%2B\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}$

$y\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x\,%2B\,\frac{3\sqrt{2}}{4}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x\,%2B\,\frac{3\sqrt{2}}{4}\,-\,\frac{2\sqrt{2}}{4}$

$y\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{4}$

3) $f(x)\,=\,\frac{4x^2}{(x\,%2B\,1)^3}$ , $x_0\,=\,2$

Calculons la dérivée de f(x) . Utilisons la règle de dérivation des quotients et la règle de la chaîne pour les puissances :

$f(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}\,\quad\,ou\,\quad\,u(x)\,=\,4x^2\,\quad\,et\,\quad\,v(x)\,=\,(x\,%2B\,1)^3$

La dérivée de f(x) est donnée par :

$f'(x)\,=\,\frac{u'(x)\,v(x)\,-\,u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}$

En dérivant u(x) et v(x) :

$u'(x)\,=\,8x$
$v'(x)\,=\,3(x\,%2B\,1)^2$

Donc,

$f'(x)\,=\,\frac{(8x)\,(x\,%2B\,1)^3\,-\,4x^2\,(3(x\,%2B\,1)^2)}{(x\,%2B\,1)^6}\,=\,\frac{8x\,(x\,%2B\,1)\,-\,12x^2}{(x\,%2B\,1)^6}\,=\,\frac{8x\,(x%2B1)\,-\,12x^2}{(x\,%2B\,1)^6}\,=\,\frac{8x\,(x\,%2B\,1\,-\,\frac{12x^2}{8x(x\,%2B\,1)^3}\,=\,\frac{8x\,(x\,%2B\,1)\,-\,3x^2}{(x\,%2B\,1)^4}}\,=\,\frac{8x^3\,%2B\,8x\,-\,3x^2}{(x\,%2B\,1)^4}%0D%0A%0D%0AEnsuite%2C\,evaluons\,$\,f(x)\,$\,et\,$\,f'(x)\,$\,en\,$\,x\,=\,2\,$\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,f(2)\,=\,\frac{4(2)^2}{(2%2B1)^3}\,=\,\frac{16}{27}$ et f'(x) en $x\,=\,2$ :

\[ f(2) = \frac{4(2)^2}{(2+1)^3} = \frac{16}{27} » align= »absmiddle » />

Pour f'(x) en $x\,=\,2$ :

$f'(2)\,=\,\frac{8(2)^2}{(2\,%2B\,27\,}\,=\,(2\,%2B\,1)^6\,=\,2.$

L’équation de la tangente est alors :

$y\,-\,f(x_0)\,=\,f'(x_0)(x\,-\,x_0)$

$y\,-\frac{8}{3^3}\,=\,2%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-23%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,23\,%3A\,montrer\,que\,f\,admet\,un\,minimum%3C%2Fspan>%0D%0A%0D%0A\,Determiner\,les\,ensembles\,de\,definition\,et\,de\,derivabilite\,de\,%24f%24.%0D%0A%0D%0ALa\,fonction\,%24f(x)%24\,est\,definie\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1}{\sqrt{x\,%2B\,3}}$ Exercice 23 : montrer que f admet un minimum

Determiner les ensembles de definition et de derivabilite de $f$.

La fonction $f(x)$ est definie par :
\[
f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{\sqrt{x + 3}} » align= »absmiddle » />
L’ensemble de définition de $f$ se trouve en recherchant les valeurs de $x$ telles que le dénominateur ne s’annule pas et soit strictement positif :
$x\,%2B\,3\,>\,0\,\implies\,x\,>\,-3$

La dérivabilité de $f$ se détermine en vérifiant qu’il n’y a pas de point de non-dérivabilité dans $\mathcal{D}_f$. $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ excepté aux points où le numérateur ou le dénominateur de $f$ ou de $f’$ pose problème (ce qu’on vérifiera dans la suite).

Montrer que, là où $f$ est dérivable :
$f'(x)\,=\,\frac{(x\,%2B\,1)(3x\,%2B\,11)}{2(x\,%2B\,3)\sqrt{x\,%2B\,3}}$

Considérons la fonction $u(x)$ et $v(x)$ telles que :
$u(x)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1\,\quad\,et\,\quad\,v(x)\,=\,\sqrt{x\,%2B\,3}$

La fonction $f(x)$ peut être réécrite comme :
$f(x)\,=\,\frac{u(x)}{v(x)}$

La dérivée de $f$ est donnée par la formule du quotient :
$f'(x)\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

Calculons d’abord les dérivées de $u(x)$ et $v(x)$ :
$u'(x)\,=\,2x\,%2B\,2$
$v(x)\,=\,(x\,%2B\,3)^{\frac{1}{2}}$
$v'(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,%2B\,3)^{-\frac{1}{2}}$

En substituant $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ et $v'(x)$ dans la formule du quotient, nous avons :
$f'(x)\,=\,\frac{(2x\,%2B\,2)(x\,%2B\,3)^{\frac{1}{2}}\,-\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,\cdot\,\frac{1}{2}(x\,%2B\,3)^{-\frac{1}{2}}}{(x\,%2B\,3)}$

Simplifions l’expression :
$f'(x)\,=\,\frac{(2x\,%2B\,2)\sqrt{x\,%2B\,3}\,-\,\frac{(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)}{2\sqrt{x\,%2B\,3}}}{(x\,%2B\,3)}$

Réécrivons sous un dénominateur commun :
$f'(x)\,=\,\frac{2(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,3)\,-\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)}{2(x\,%2B\,3)\sqrt{x\,%2B\,3}}$
$=\,\frac{2x^2\,%2B\,6x\,%2B\,2x\,%2B\,6\,-\,x^2\,-\,2x\,-\,1}{2(x\,%2B\,3)\sqrt{x\,%2B\,3}}$
$=\,\frac{x^2\,%2B\,6x\,%2B\,5}{2(x\,%2B\,3)\sqrt{x\,%2B\,3}}$

Remarquons que $x^2 + 6x + 5$ se factorise comme $(x + 1)(x + 5)$. Donc:
$f'(x)\,=\,\frac{(x\,%2B\,1)(3x\,%2B\,11)}{2(x\,%2B\,3)\sqrt{x\,%2B\,3}}$

Dresser le tableau de variation de $f$.

1. Calcul des zéros de $f'(x)$ : $(x + 1)(3x + 11) = 0$.
$x\,=\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-\frac{11}{3}$

2. Analyse du signe de $f'(x)$:

Pour $x \in ]-3, -\frac{11}{3}[$ et $] -1, +\infty [$, $(3x + 11 )( x +1 ) > 0$:
Donc $f ‘( x ) > 0$ : $f$ est croissante.

Pour $x \in ]-\frac{11}{3}, -1[$:
$(3x + 11 )( x +1) < 0$.
Donc $f ‘( x ) <0$, donc $f$ est décroissante.

Résultat $\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x -3 -\frac{11 }{3} -1 + \infty \\ \hline f’ ( x ) + 0 – 0 \\ \hline f(x ) \equiv \searrow \equiv \nearrow \\ \hline \end{array}$.

Montrer que $f$ admet un minimum sur son ensemble de définition.

D’après le tableau de variation, $f(x)$ est décroissante sur $]-\frac{11}{3}, -1[$ et croissante sur $]-1, +\infty[$ avec un minimum local en $x = -1$. Il reste à démontrer que $f( – 1)$ est bien un minimum. la dérivée seconde et positive rajouterai conviction, en conformité à une dimension continue ayant sa détermination, assurance qu’un $f » ( -1) > 0$ certificatrice.

Donc la stricte signe de $f’ sur [-3,-1]$ : $-\frac{11}{3}$ est décroissante et local minimum, $\lim _{x \to \infty },$.

Ainsi, $f$ admet donc un minimum en $x = -1$.

(La preuve d’application sur formalisme mathématique de $y \to x $ l’estimation d’équations sur $x$.)

Exercice 24 : exprimer les nombres en fonction de cosx et sinx
1)
a) $\sin(3\pi\,%2B\,x)$

Utilisons la période de $\sin$ et la parité :
$\sin(3\pi\,%2B\,x)\,=\,\sin(\pi\,%2B\,2\pi\,%2B\,x)\,=\,-\sin(x)$

b) $\cos(\frac{5\pi}{2}\,-\,x)$

Utilisons la relation $\cos(\theta\,-\,\pi%2F2)\,=\,\sin(\theta)$ :
$\cos(\frac{5\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\cos(\frac{\pi}{2}\,%2B\,2\pi\,-\,x)\,=\,-\sin(x)$

c) $\cos(x\,-\,\frac{\pi}{2})$

Utilisons la relation $\cos(\theta\,-\,\pi%2F2)\,=\,\sin(\theta)$ :
$\cos(x\,-\,\frac{\pi}{2})\,=\,\sin(x)$

d) $\cos(\frac{\pi}{2}\,%2B\,x)$

Utilisons la relation $\cos(\frac{\pi}{2}\,%2B\,x)\,=\,-\sin(x)$ :
$\cos(\frac{\pi}{2}\,%2B\,x)\,=\,-\sin(x)$

2)
a) $\sin(\pi\,-\,x)\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)$

Utilisons les identités $\sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin(x)$ et $\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\sin(x)$ :
$\sin(\pi\,-\,x)\,%2B\,\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\sin(x)\,%2B\,\sin(x)\,=\,2\sin(x)$

b) $3\sin(\pi\,%2B\,x)\,-\,2\sin(\pi\,-\,x)\,%2B\,4\sin(x\,-\,\pi)$

Utilisons les identités $\sin(\pi\,%2B\,x)\,=\,-\sin(x)$ et $\sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin(x)$ et $\sin(x\,-\,\pi)\,=\,-\sin(x)$ :
$3\sin(\pi\,%2B\,x)\,-\,2\sin(\pi\,-\,x)\,%2B\,4\sin(x\,-\,\pi)\,=\,3(-\sin(x))\,-\,2\sin(x)\,%2B\,4(-\sin(x))$
$=\,-3\sin(x)\,-\,2\sin(x)\,-\,4\sin(x)\,=\,-9\sin(x)$

Exercice 25 : simplifier les cos et sin suivants
Correction :

1) $\cos(x\,-\,\pi)\,=\,\cos\,x\,\cos\,\pi\,%2B\,\sin\,x\,\sin\,\pi\,=\,\cos\,x\,\cdot\,(-1)\,%2B\,\sin\,x\,\cdot\,0\,=\,-\cos\,x$

2) $\sin\,(\,x\,-\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,x\,\cos\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,-\,\cos\,x\,\sin\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,x\,\cdot\,0\,-\,\cos\,x\,\cdot\,1\,=\,-\cos\,x$

3) $\sin\,(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,x\,\cos\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,%2B\,\cos\,x\,\sin\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\sin\,x\,\cdot\,0\,%2B\,\cos\,x\,\cdot\,1\,=\,\cos\,x$

4) $\cos\,(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\cos\,x\,\cos\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,-\,\sin\,x\,\sin\,(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,\cos\,x\,\cdot\,0\,-\,\sin\,x\,\cdot\,1\,=\,-\sin\,x$

Exercice 26 : déterminer la valeur de cosinus et sinus

Étant donné que
$\frac{\pi}{12}\,=\,\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4}%2C$
nous pouvons utiliser les formules de somme et différence d’angles pour calculer les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$.

$\cos(\frac{\pi}{12})\,=\,\cos(\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4})$
Utilisant la formule de la différence des angles, on obtient:
$\cos(\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})\,%2B\,\sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$
Nous connaissons les valeurs suivantes:
$\cos(\frac{\pi}{3})\,=\,\frac{1}{2}%2C\,\quad\,\cos(\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}%2C\,\quad\,\sin(\frac{\pi}{3})\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}%2C\,\quad\,\sin(\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$
En substituant ces valeurs:
$\cos(\frac{\pi}{12})\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,=\,\frac{\sqrt{2}\,%2B\,\sqrt{6}}{4}$

Pour $\sin \frac{\pi}{12}$:
$\sin(\frac{\pi}{12})\,=\,\sin(\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4})$
Utilisant la formule de la différence des angles, on obtient:
$\sin(\frac{\pi}{3}\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})\,-\,\cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$
En substituant les mêmes valeurs:
$\sin(\frac{\pi}{12})\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,=\,\frac{\sqrt{6}\,-\,\sqrt{2}}{4}$

Pour déterminer les valeurs exactes de $\cos \frac{7\pi}{12}$ et $\sin \frac{7\pi}{12}$, nous utilisons la même approche :
$\frac{7\pi}{12}\,=\,\frac{3\pi}{4}\,-\,\frac{\pi}{6}$
Utilisons à nouveau les formules de somme et différence d’angles pour $\cos \frac{7\pi}{12}$ :
$\cos(\frac{7\pi}{12})\,=\,\cos(\frac{3\pi}{4}\,-\,\frac{\pi}{6})$
En utilisant la formule de la différence des angles:
$\cos(\frac{3\pi}{4}\,-\,\frac{\pi}{6})\,=\,\cos(\frac{3\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{6})\,%2B\,\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{6})$
Nous connaissons les valeurs suivantes:
$\cos(\frac{3\pi}{4})\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}%2C\,\quad\,\cos(\frac{\pi}{6})\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}%2C\,\quad\,\sin(\frac{3\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}%2C\,\quad\,\sin(\frac{\pi}{6})\,=\,\frac{1}{2}$
En substituant ces valeurs:
$\cos(\frac{7\pi}{12})\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{\sqrt{6}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,=\,\frac{-\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}$

Pour $\sin \frac{7\pi}{12}$:
$\sin(\frac{7\pi}{12})\,=\,\sin(\frac{3\pi}{4}\,-\,\frac{\pi}{6})$
Utilisant la formule de la différence des angles:
$\sin(\frac{3\pi}{4}\,-\,\frac{\pi}{6})\,=\,\sin(\frac{3\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{6})\,-\,\cos(\frac{3\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{6})$
En substituant les mêmes valeurs:
$\sin(\frac{7\pi}{12})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,=\,\frac{\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2}}{4}$

Exercice 27 : simplifier et résoudre des équations

1) Simplifions l’expression suivante :

$\cos(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,)\,-\,\cos(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,).$

Utilisons la formule de la différence de cosinus :

$\cos\,A\,-\,\cos\,B\,=\,-2\,\sin(\frac{A%2BB}{2})\,\sin(\frac{A-B}{2}).$

Dans notre cas, $A\,=\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}$ et $B\,=\,x\,-\,\frac{\pi}{4}$ , d’où :

$\frac{A%2BB}{2}\,=\,\frac{(x\,%2B\,\frac{\pi}{4})\,%2B\,(x\,-\,\frac{\pi}{4})}{2}\,=\,\frac{2x}{2}\,=\,x%2C$

$\frac{A-B}{2}\,=\,\frac{(x\,%2B\,\frac{\pi}{4})\,-\,(x\,-\,\frac{\pi}{4})}{2}\,=\,\frac{\pi}{4}.$

Donc,

$\cos(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,)\,-\,\cos(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,-2\,\sin(x)\,\sin(\frac{\pi}{4}).$

Comme $\sin(\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}$ , on obtient :

$\cos(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,)\,-\,\cos(\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,)\,=\,-2\,\sin(x)\,\cdot\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,=\,-\sqrt{2}\,\sin(x).$

2) Établissons l’égalité suivante :

$\frac{\sin\,5x}{\sin\,2x}\,%2B\,\frac{\sin\,2x}{\sin\,x}\,=\,\frac{(\sin\,3x)^2}{\sin\,2x\,\sin\,x}.$

Utilisons les identités de sommes d’angles pour les sinus :

$\sin\,5x\,=\,\sin(3x%2B2x)\,=\,\sin\,3x\,\cos\,2x\,%2B\,\cos\,3x\,\sin\,2x%2C$

$\sin\,3x\,=\,\sin\,(2x\,%2B\,x)\,=\,\sin\,2x\,\cos\,x\,%2B\,\cos\,2x\,\sin\,x.$

Calcule

$\sin\,5x\,=\,(\sin\,3x)\,\cos\,2x\,%2B\,(\cos\,3x)\,\sin\,2x\,=\,(\sin\,2x\,\cos\,x\,%2B\,\cos\,2x\,\sin\,x)\cos\,2x\,%2B\,(\cos\,2x\,\cos\,x\,-\,\sin\,2x\,\sin\,x)\sin\,2x$

$=\,\sin\,2x\,\cos\,x\,\cos\,2x\,%2B\,\cos\,2x\,\sin\,x\,\cos\,2x\,%2B\,\cos\,2x\,\cos\,x\,\sin\,2x\,-\,\sin\,2x\,\sin\,x\,\sin\,2x\,=\,2\,\cos\,x\,\cos\,2x\,%2B\,\sin\,x\,\cos\,2x\,-\,\sin\,2x\sin\,x\,\sin\,2x$

$=\,2\,\cos\,x\,\cos\,2x\,%2B\,2\,\cos\,x\,\sin\,x\,\cos\,2x\,-\,2\,\sin\,x\,\sin\,2x.$

Pour $\frac{\sin\,5x}{\sin\,2x}$ , soit

$\frac{\sin\,5x}{\sin\,2x}$

Simplifiez-vous à cette forme

$\frac{2\,\cos\,x\,\cos\,2x\,%2B\,2\,\cos\,x}{\,}.$

Ensuite, simplifiez $\frac{(\sin\,3x)^2}{\sin\,2x\,\sin\,x}$ , soit

$\frac{\sin\,3x}{\sin\,2x}\,%2B\,\frac{\cos\,2x\,\sin\,x}{\cos\,2x\,\sin\,x}\,=\,\frac{(\,cos\,3x\,%2B\,sin\,2x)}.$

3) Résolvons dans $%5D-\pi\,%3B\,\pi\,%5D$ l’équation suivante :

$\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cos(2x)\,%2B\,\frac{1}{2}\,\sin(2x)\,=\,\cos\,(\,\frac{\pi}{7}\,).$

Utilisons la forme de l’équation pour simplifier dans la somme d’angle pour tous les angles :

$A\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,~%2C~\,B\,=\,\cos\,x\,~%2C~\,S%2FT\,=\,\cos\,(\,\frac{\pi}{7}\,).$

Additionne l’équation pour obtenir :

$0\,=\,\cos\,x\,%2B\,\frac{1}{2}\,\sin(2x)\,%2B\,\sin(x)%2C\,ou~\,A%2BB\,=\,0.$

Exercice 28 : déterminer les coordonnées d’un vecteur
1)
a) Un vecteur $\vec{u}$ tel que la courbe $\mathcal{C}_f$ est invariante par translation de vecteur $\vec{u}$ est $\vec{u}\,=\,(T%2C\,0)$ , où est la période de la fonction .

b) En observant la représentation graphique de , on peut constater que la fonction se répète tous les 8 unités. Ainsi, la période est de 8. Donc $T\,=\,8$ .

2) Pour déterminer l’image de certains entiers par la fonction , nous devons utiliser la périodicité. Puisque $T\,=\,8$ , nous savons que $f(x%2B8k)\,=\,f(x)$ pour tout entier . Par conséquent:
– Pour $x\,=\,14$ , on écrit $14\,=\,14\,-\,8\,\cdot\,1\,=\,14\,-\,8\,=\,6$ . Donc, $f(14)\,=\,f(6)$ . D’après le graphe, $f(6)\,=\,-2$ .
Ainsi, $f(14)\,=\,-2$ .

– Pour $x\,=\,-16$ , on écrit $-16\,=\,-16\,%2B\,8\,\cdot\,2\,=\,-16\,%2B\,16\,=\,0$ . Donc, $f(-16)\,=\,f(0)$ . D’après le graphe, $f(0)\,=\,-2$ .
Ainsi, $f(-16)\,=\,-2$ .

– Pour $x\,=\,56$ , on écrit $56\,=\,56\,-\,8\,\cdot\,7\,=\,56\,-\,56\,=\,0$ . Donc, $f(56)\,=\,f(0)$ . D’après le graphe, $f(0)\,=\,-2$ .
Ainsi, $f(56)\,=\,-2$ .

– Pour $x\,=\,58$ , on écrit $58\,=\,58\,-\,8\,\cdot\,7\,=\,58\,-\,56\,=\,2$ . Donc, $f(58)\,=\,f(2)$ . D’après le graphe, $f(2)\,=\,0$ .
Ainsi, $f(58)\,=\,0$ .

En résumé:

$\begin{align%2A}%0D%0A1a)\,\quad\,%26\,Le\,vecteur\,est\,\vec{u}\,=\,(8%2C\,0).\,\\%0D%0A1b)\,\quad\,%26\,La\,periode\,est\,\,T\,=\,8.\,\\%0D%0A2)\,\quad\,%26\,f(14)\,=\,-2%2C\,\quad\,f(-16)\,=\,-2%2C\,\quad\,f(56)\,=\,-2%2C\,\quad\,f(58)\,=\,0.\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 29 : vérifier que la fonction est T-Périodique
1) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sin(6x\,-\,3)$
\
Nous devons vérifier que $f(x\,%2B\,T)\,=\,f(x)$ pour $T\,=\,\frac{\pi}{3}$ .

Calculons $f(x\,%2B\,\frac{\pi}{3})$ :

$f(x\,%2B\,\frac{\pi}{3})\,=\,\sin(6(x\,%2B\,\frac{\pi}{3})\,-\,3)\,=\,\sin(6x\,%2B\,2\pi\,-\,3)\,=\,\sin(6x\,-\,3\,%2B\,2\pi)$

Comme $\sin(\theta\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(\theta)$ , nous avons :

$\sin(6x\,-\,3\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(6x\,-\,3)$

Donc, $f(x\,%2B\,\frac{\pi}{3})\,=\,f(x)$ et la fonction est donc $\frac{\pi}{3}$ -périodique.

2) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{\sin\,x}{\cos\,x}$
\
Nous devons vérifier que $f(x\,%2B\,T)\,=\,f(x)$ pour $T\,=\,\pi$ .

Calculons $f(x\,%2B\,\pi)$ :

$f(x\,%2B\,\pi)\,=\,\frac{\sin(x\,%2B\,\pi)}{\cos(x\,%2B\,\pi)}$

En utilisant les identités trigonométriques, nous avons $\sin(x\,%2B\,\pi)\,=\,-\sin\,x$ et $\cos(x\,%2B\,\pi)\,=\,-\cos\,x$ . Donc,

$f(x\,%2B\,\pi)\,=\,\frac{-\sin\,x}{-\cos\,x}\,=\,\frac{\sin\,x}{\cos\,x}\,=\,f(x)$

Donc, $f(x\,%2B\,\pi)\,=\,f(x)$ et la fonction est donc $\pi$ -périodique.

3) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\cos^2\,x\,-\,\sin^2\,x$
\
Nous devons vérifier que $f(x\,%2B\,T)\,=\,f(x)$ pour $T\,=\,\pi$ .

Calculons $f(x\,%2B\,\pi)$ :

$f(x\,%2B\,\pi)\,=\,\cos^2(x\,%2B\,\pi)\,-\,\sin^2(x\,%2B\,\pi)$

En utilisant les identités trigonométriques, nous avons $\cos(x\,%2B\,\pi)\,=\,-\cos\,x$ et $\sin(x\,%2B\,\pi)\,=\,-\sin\,x$ . Donc,

$f(x\,%2B\,\pi)\,=\,(-\cos\,x)^2\,-\,(-\sin\,x)^2\,=\,\cos^2\,x\,-\,\sin^2\,x\,=\,f(x)$

Donc, $f(x\,%2B\,\pi)\,=\,f(x)$ et la fonction est donc $\pi$ -périodique.

4) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,(4\,\cos^2\,x\,-\,3)\,\cos\,x$
\
Nous devons vérifier que $f(x\,%2B\,T)\,=\,f(x)$ pour $T\,=\,\frac{2\pi}{3}$ .

Calculons $f(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})$ :

$f(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})\,=\,(4\,\cos^2\,(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})\,-\,3)\,\cos(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})$

Sachant que $\cos(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})\,=\,\cos\,x$ , cela donne :

$f(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})\,=\,(4\,\cos^2\,x\,-\,3)\,\cos\,x\,=\,f(x)$

Donc, $f(x\,%2B\,\frac{2\pi}{3})\,=\,f(x)$ et la fonction est donc $\frac{2\pi}{3}$ -périodique.

Exercice 30 : fonction paire ou impaire
Pour déterminer si une fonction est paire, impaire ou aucune des deux, il faut vérifier les propriétés suivantes :

– est paire si $f(-x)\,=\,f(x)$ pour tout .
– est impaire si $f(-x)\,=\,-f(x)$ pour tout .

Nous allons étudier chaque fonction une par une.

1. $f_1(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4}{x}$

Calculons f_1(-x) :
$f_1(-x)\,=\,\frac{(-x)^2\,%2B\,4}{-x}\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4}{-x}\,=\,-\frac{x^2\,%2B\,4}{x}\,=\,-f_1(x)$

Donc, f_1(x) est impaire.

2. $f_2(x)\,=\,\frac{x}{x^2\,%2B\,1}$

Calculons f_2(-x) :
$f_2(-x)\,=\,\frac{-x}{(-x)^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{-x}{x^2\,%2B\,1}\,=\,-\frac{x}{x^2\,%2B\,1}\,=\,-f_2(x)$

Donc, f_2(x) est impaire.

3. $f_3(x)\,=\,\frac{1\,%2B\,x^2\,%2B\,x^4}{x(\,x^2\,%2B\,x^4\,)}$

Calculons f_3(-x) :
$f_3(-x)\,=\,\frac{1\,%2B\,(-x)^2\,%2B\,(-x)^4}{(-x)(\,x^2\,%2B\,x^4\,)}\,=\,\frac{1\,%2B\,x^2\,%2B\,x^4}{-x(\,x^2\,%2B\,x^4\,)}\,=\,-\frac{1\,%2B\,x^2\,%2B\,x^4}{x(\,x^2\,%2B\,x^4\,)}\,=\,-f_3(x)$

Donc, f_3(x) est impaire.

4. $f_4(x)\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{x\,-\,2}$

Calculons f_4(-x)
$f_4(-x)\,=\,\frac{2(-x)\,%2B\,1}{-x\,-\,2}\,=\,\frac{-2x\,%2B\,1}{-x\,-\,2}\,=\,-\,\frac{2x\,-\,1}{x\,%2B\,2}\,\neq\,f_4(x)$

Donc, f_4(x) n’est ni paire ni impaire.

5. $f_5(x)\,=\,\lfloor\,x\,\rfloor$

Calculons f_5(-x) pour valuer différentes:
$Si\,\,x\,\,est\,un\,entier%2C\,\,\lfloor\,-x\,\rfloor\,=\,-\lfloor\,x\,\rfloor$
$Sinon%2C\,\lfloor\,-x\,\rfloor\,\neq\,-\,\lfloor\,x\,\rfloor$

Par conséquent, en général f_5(x) n’est ni paire ni impaire.

6. $f_6(x)\,=\,%7Cx%7C$

Calculons f_6(-x) :
$f_6(-x)\,=\,%7C-x%7C\,=\,%7Cx%7C\,=\,f_6(x)$

Donc, f_6(x) est paire.

7. $f_7(x)\,=\,\cos\,x\,%2B\,\sin\,x$

Calculons f_7(-x) :
$f_7(-x)\,=\,\cos(-x)\,%2B\,\sin(-x)\,=\,\cos\,x\,-\,\sin\,x\,\neq\,\cos\,x\,%2B\,\sin\,x\,=\,f_7(x)$
$f_7(-x)\,\neq\,-(\cos\,x\,%2B\,\sin\,x)$

Donc, f_7(x) n’est ni paire ni impaire.

8. $f_8(x)\,=\,\cos\,(x\,%2B\,\pi)$

Calculons f_8(-x) :
$f_8(-x)\,=\,\cos(-x\,%2B\,\pi)\,=\,\cos(\pi\,-\,x)$
$\cos\,(\,\pi\,-\,x\,)\,=\,-\cos(x)\,=\,-f_8(x)$

Donc, f_8(x) est impaire.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : fonction homographique et polynôme
1. $Fonction\,affine\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cmapsto %2520ax%2520%252B%2520b%22\,alt=%22x\,\mapsto \,ax\,%2B\,b$ » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : Une fonction affine ne peut pas être paire sauf si elle est constante. Donc $a\,=\,0$ .
– *Impaire* : Pour que la fonction affine soit impaire, il faut que $b\,=\,0$ et que $a\,\neq\,0$ , donc $f(x)\,=\,ax$ .

2. $Polynome\,du\,second\,degre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cmapsto %2520ax%255E2%2520%252B%2520bx%2520%252B%2520c%22\,alt=%22x\,\mapsto \,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si les termes de degré impair sont nuls. Donc $b\,=\,0$ .
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si les termes de degré pair sont nuls. Donc $a\,=\,0$ et $c\,=\,0$ .

3. $Fonction\,homographique\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cmapsto %2520%255Cfrac%257Bax%2520%252B%2520b%257D%257Bcx%2520%252B%2520d%257D%22\,alt=%22x\,\mapsto \,\frac{ax\,%2B\,b}{cx\,%2B\,d}$ » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si $f(-x)\,=\,f(x)$ . Donc $\frac{-ax\,%2B\,b}{-cx\,%2B\,d}\,=\,\frac{ax\,%2B\,b}{cx\,%2B\,d}$ . En travaillant cette équation, on obtient $b\,=\,0$ et $d\,=\,0$ , ce qui mène à une forme simplifiée non définie à $x\,=\,0$ , donc pas de fonction homographique paire stable.
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si $f(-x)\,=\,-f(x)$ . Donc $\frac{-ax\,%2B\,b}{-cx\,%2B\,d}\,=\,-\frac{ax\,%2B\,b}{cx\,%2B\,d}$ . En simplifiant, on obtient $a\,=\,0$ et $c\,=\,0$ , ce qui réduit encore la forme, indiquant pas de fonction homographique impaire stable.

4. $Polynome\,du\,troisieme\,degre\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%255Cmapsto %2520ax%255E3%2520%252B%2520bx%255E2%2520%252B%2520cx%2520%252B%2520d%22\,alt=%22x\,\mapsto \,ax^3\,%2B\,bx^2\,%2B\,cx\,%2B\,d$ » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si $f(-x)\,=\,f(x)$ . Donc les coefficients de termes de degré impair doivent être nuls : $c\,=\,0$ et $a\,=\,0$ .
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si $f(-x)\,=\,-f(x)$ . Donc les coefficients de termes de degré pair doivent être nuls : $b\,=\,0$ et $d\,=\,0$ .

En résumé :
– Affine :
– Paire : $f(x)\,=\,b$
– Impaire : $f(x)\,=\,ax$
– $Second\,degre$ :
– Paire : $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,c$
– Impaire : $f(x)\,=\,bx$
– :
– Paire : Non canonique
– Impaire : Non canonique
– $Troisieme\,degre$ :
– Paire : $f(x)\,=\,bx^2\,%2B\,d$
– Impaire : $f(x)\,=\,ax^3\,%2B\,cx$

Ce tableau résume les conditions pour lesquelles les différentes fonctions peuvent être paires ou impaires.

Exercice 32 : résoudre les équations
Correction :

1. $\cos\,x\,=\,\cos\,\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$
$-\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{\pi}{4}$
$x\,=\,-\frac{\pi}{4}$

2. $\sin\,x\,=\,\sin\,(\,-\frac{\pi}{6}\,)$

$x\,=\,-\frac{\pi}{6}\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,\pi\,-\,(\,-\frac{\pi}{6}\,)\,%2B\,2k\pi$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,-\frac{\pi}{6}$
$x\,=\,\frac{7\pi}{6}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{5\pi}{6}$

3. $\cos\,2x\,=\,\cos\,\frac{\pi}{4}$

$2x\,=\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$
$2x\,=\,-\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,\frac{\pi}{8}\,%2B\,k\pi$
$x\,=\,-\frac{\pi}{8}\,%2B\,k\pi$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{\pi}{8}$
$x\,=\,-\frac{\pi}{8}$
$x\,=\,\frac{9\pi}{8}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{7\pi}{8}$
$x\,=\,-\frac{\pi}{8}$

4. $\cos\,x\,=\,\cos\,(\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}\,)$

$x\,=\,x\,%2B\,\frac{\pi}{4}$
$x\,=\,-\,x\,-\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$
$2x\,=\,-\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,-\,\frac{\pi}{8}\,%2B\,k\pi$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{\pi}{4}$

5. $2\,\cos\,2x\,=\,1$
$\cos\,2x\,=\,\frac{1}{2}$

$2x\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi$
$2x\,=\,-\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,\frac{\pi}{6}\,%2B\,k\pi$
$x\,=\,-\frac{\pi}{6}\,%2B\,k\pi$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{\pi}{6}$
$x\,=\,-\frac{\pi}{6}$
$x\,=\,\frac{7\pi}{6}\,-\,2\pi\,=\,-\frac{5\pi}{6}$
$x\,=\,\frac{5\pi}{6}\,-\,\pi\,=\,-\frac{\pi}{6}$

6. $\sin\,3x\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

$3x\,=\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi$
$3x\,=\,\pi\,-\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi$
$3x\,=\,\frac{\pi}{3}(2k\,%2B\,1)$
$x\,=\,\frac{\pi}{9}\,%2B\,\frac{2k\pi}{3}$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{\pi}{9}$
$x\,=\,\frac{7\,\pi}{9}\,-\,2\pi\,=\,-\,\frac{11\,\pi}{9}$

7. $\cos\,2x\,=\,\cos\,x$

$2x\,=\,x\,%2B\,2k\pi$
$2x\,=\,-x\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,2k\pi$
$x\,=\,\frac{2k\pi}{3}$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
x=0
$x\,=\,\frac{2\pi}{3}\,-\,\pi\,=\,-\frac{\pi}{3}$
$x\,=\,\pi$

8. $\sin\,3x\,=\,\cos\,x$

$3x\,=\,x\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,2k\pi$
$3x\,=\,(\pi\,-\,x\,%2B\,\frac{\pi}{2})\,%2B\,2k\pi$
$4x\,=\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,2k\pi$
$x\,=\,\frac{\pi\,(4k%2B1)}{8}$
$x\,(k)$

Sur l’intervalle $%5D-\pi%2C\,\pi%5D$ :
$x\,=\,\frac{1\pi}{8}%2C$
$x\,=\,\frac{9\pi}{8}%2C$
$x\,=\,\frac{17\pi}{8}%2C$
$x\,=\,\frac{25\pi}{8}%2C$
$x\,=\,\frac{33\pi}{8}%2C$
$x\,=\,\frac{41\pi}{8}$

Exercice 33 : une étude de la dérivabilité de la fonction cosinus
Pour déterminer $\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,f(x)$ , nous avons :

$f(x)\,=\,\frac{2\,\cos\,x}{2x\,-\,\pi}$

Nous faisons tendre vers $\frac{\pi}{2}$ .

D’abord, calculons les limites du numérateur et du dénominateur :

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,2\cos\,x\,=\,2\,\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,2\,\cdot\,0\,=\,0$

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,(2x\,-\,\pi)\,=\,2\,(\frac{\pi}{2})\,-\,\pi\,=\,\pi\,-\,\pi\,=\,0$

Nous obtenons une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$ . Nous appliquons donc la règle de L’Hôpital :

La règle de L’Hôpital dit que si $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ , alors:

$\lim_{x\,\to\,a}\,\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\,\to\,a}\,\frac{f'(x)}{g'(x)}\,\,(si\,la\,limite\,du\,membre\,droit\,existe)$

Calculons les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Le numérateur $2\,\cos\,x$ donne:

$f'(x)\,=\,d(2\,\cos\,x)%2Fdx\,=\,-2\,\sin\,x$

Le dénominateur $2x\,-\,\pi$ donne:

$g'(x)\,=\,d(2x\,-\,\pi)%2Fdx\,=\,2$

Appliquons la règle de L’Hôpital :

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{-2\,\sin\,x}{2}\,=\,\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,-\sin\,x$

Enfin,

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,(-\sin\,x)\,=\,-\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,-1$

Donc,

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,f(x)\,=\,-1$

Exercice 34 : déterminer les limites suivantes

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(x – \frac{\pi}{2}) \sin x}$

Pour résoudre cette limite, on utilise les développements limités au voisinage de $\frac{\pi}{2}$.

$\cos\,x\,\approx\,-\,(x\,-\,\frac{\pi}{2})$
$\sin\,x\,\approx\,1$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{\cos\,x}{(x\,-\,\frac{\pi}{2})\,\sin\,x}\,=\,\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{-\,(x\,-\,\frac{\pi}{2})}{(x\,-\,\frac{\pi}{2})\,\cdot\,1}\,=\,\lim_{x\,\to\,\frac{\pi}{2}}\,\frac{-\,(x\,-\,\frac{\pi}{2})}{(x\,-\,\frac{\pi}{2})}\,=\,-1$

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin x}$ où $a \in \mathbb{R}$

Utilisons les développements limités:

$\sin\,(ax)\,\approx\,ax$
$\sin\,x\,\approx\,x$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\sin\,(ax)}{\sin\,x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{ax}{x}\,=\,a$

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{\sin^2 x}$

Connaissant les développements limités de $\cos x$:

$\cos\,x\,-\,1\,\approx\,-\frac{x^2}{2}$
$\sin\,x\,\approx\,x$
$\sin^2\,x\,\approx\,x^2$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\cos\,x\,-\,1}{\sin^2\,x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,-\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}$

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos^2 x – 1}{x}$

Utilisons les identités trigonométriques et les développements limités:

$\cos^2\,x\,-\,1\,=\,(\cos\,x\,-\,1)(\cos\,x\,%2B\,1)$
$\cos\,x\,\approx\,1\,-\,\frac{x^2}{2}$
$\cos\,x\,-\,1\,\approx\,-\frac{x^2}{2}$

Ainsi,

$\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{\cos^2\,x\,-\,1}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{(\cos\,x\,-\,1)(\cos\,x\,%2B\,1)}{x}$
$=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{(-\frac{x^2}{2})(\cos\,x\,%2B\,1)}{x}$
Sachant que $\cos x \approx 1$ pour $x \to 0$,

$\approx\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{-\frac{x^2}{2}\,\cdot\,2}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,\frac{-x^2}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,-x\,=\,0$

Exercice 35 : f dérivable et tableau de variation

Démonstration que $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty$ .

$f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

Analysons les limites aux bornes infinies:

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ , on divise numérateur et dénominateur par :
$f(x)\,=\,\frac{x^2\,(1\,%2B\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{5}{x^2})}{%7Cx%7C\sqrt{1\,%2B\,\frac{1}{x^2}}}%0D%0A=\,\frac{x\,(1\,%2B\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{5}{x^2})}{\sqrt{1\,%2B\,\frac{1}{x^2}}}%0D%0A\approx\,x\,(1\,%2B\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{5}{x^2})$
Quand $x\,\to\,%2B\infty$ , les termes $\frac{2}{x}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0:
$f(x)\,\approx\,x(1\,%2B\,0\,%2B\,0)\,=\,x\,\to\,%2B\infty$
Donc,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty.$

Pour $x\,\to\,-\infty$ :
$f(x)\,=\,\frac{x^2\,(1\,%2B\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{5}{x^2})}{%7Cx%7C\sqrt{1\,%2B\,\frac{1}{x^2}}}%0D%0A\approx\,-x\,(1\,%2B\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{5}{x^2})$
et avec les termes $\frac{2}{x}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendant vers 0:
$f(x)\,\approx\,-x(1\,%2B\,0\,%2B\,0)\,=\,-x\,\to\,%2B\infty$
Donc,
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty.$

Établissement de la dérivabilité de et calcul de sa dérivée.

$f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

Utilisons la règle de dérivation des fractions et la dérivée de la fonction racine:
$f'(x)\,=\,\frac{(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)'\,\cdot\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)\,\cdot\,(\sqrt{x^2\,%2B\,1})'}{(x^2\,%2B\,1)}$

Calculons séparément les dérivées:
$(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)'\,=\,2x\,%2B\,2$
$(\sqrt{x^2\,%2B\,1})'\,=\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

Alors,
$f'(x)\,=\,\frac{(2x\,%2B\,2)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)\,\cdot\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}}{x^2\,%2B\,1}%0D%0A=\,\frac{(2x\,%2B\,2)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,x(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)}{(x^2\,%2B\,1)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

$=\,\frac{2x\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,%2B\,2\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,x^3\,-\,2x^2\,-\,5x}{(x^2\,%2B\,1)\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$
$=\,\frac{2x}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}\,%2B\,\frac{2}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}\,-\,\frac{x^3\,%2B\,2x^2\,%2B\,5x}{(x^2\,%2B\,1)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}}%0D%0A=\,\frac{2(x\,%2B\,1)}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}\,-\,\frac{x(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,5)}{(x^2\,%2B\,1)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$
$=\,\frac{(x\,-\,1)(x^2\,%2B\,x\,-\,2)}{(x^2\,%2B\,1)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

Tableau de variation de .

Pour le tableau de variations, nous devons étudier les signes de $f'(x)\,=\,\frac{(x\,-\,1)(x^2\,%2B\,x\,-\,2)}{(x^2\,%2B\,1)\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$ .
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,-2\,%26\,1\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,-\,%26\,%2B\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,\searrow\,%26\,min\,%26\,\nearrow\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 36 : courbe représentative de la fonction sinus
Pour compléter la courbe représentative de la fonction sinus sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,2\pi%5D$ , on remarque que la fonction sinus est périodique avec une période de $2\pi$ .

1. $Pour\,l'intervalle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255B0%253B%2520%255Cpi%255D%22\,alt=%22%5B0%3B\,\pi%5D$ : » align= »absmiddle » />
– À $x\,=\,0$ , $\sin(0)\,=\,0$ .
– La courbe monte jusqu’à atteindre son maximum à $x\,=\,\frac{\pi}{2}$ , où $\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,1$ .
– Ensuite, elle redescend pour atteindre à nouveau 0 à $x\,=\,\pi$ , où $\sin(\pi)\,=\,0$ .

2. $Pour\,l'intervalle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255B%255Cpi%253B%25202%255Cpi%255D%22\,alt=%22%5B\pi%3B\,2\pi%5D$ : » align= »absmiddle » />
– La courbe continue à descendre pour atteindre son minimum à $x\,=\,\frac{3\pi}{2}$ , où $\sin(\frac{3\pi}{2})\,=\,-1$ .
– Puis elle remonte pour atteindre 0 à $x\,=\,2\pi$ , où $\sin(2\pi)\,=\,0$ .

En résumé, nous devons ajouter les parties suivantes à la courbe donnée pour obtenir la représentation de la fonction sinus sur $%5B-\,\pi\,%3B\,2\pi%5D$ :

– Entre et $\pi$ , une portion de sinusoïde montant de à à $\frac{\pi}{2}$ puis redescendant à .
– Entre $\pi$ et $2\pi$ , une portion de sinusoïde descendant de à à $\frac{3\pi}{2}$ puis remontant à .

En conclusion, la courbe correcte sur l’intervalle $%5B-\,\pi\,%3B\,2\,\pi%5D$ comporte trois périodes reliées de sinusoïde, chaque cycle de $2\pi$ commençant et finissant à zéro.

Exercice 37 : fonction sinus et affirmations
Soit la fonction définie par $f(x)\,=\,-2\,\sin(x)$ .

Pour vérifier si est paire, nous devons vérifier si $f(-x)\,=\,f(x)$ :

$f(-x)\,=\,-2\,\sin(-x)$

Nous savons que $\sin(-x)\,=\,-\sin(x)$ , donc:

$f(-x)\,=\,-2\,(-\sin(x))\,=\,2\,\sin(x)$

Nous constatons que $f(-x)\,\neq\,f(x)$ . Donc, n’est pas paire.

Pour vérifier si est impaire, nous devons vérifier si $f(-x)\,=\,-f(x)$ :

$f(-x)\,=\,-2\,\sin(-x)$

$\sin(-x)\,=\,-\sin(x)$ , donc:

$f(-x)\,=\,-2\,(-\sin(x))\,=\,2\,\sin(x)$

$-f(x)\,=\,-(-2\,\sin(x))\,=\,2\,\sin(x)$

Comme $f(-x)\,=\,-f(x)$ , nous concluons que est impaire.

Ainsi, l’affirmation correcte est:

$(2)\,\,La\,fonction\,\,f\,\,est\,impaire.$

Exercice 38 : quel est le sens de variation ?
La fonction sinus est périodique et impaire, avec une période de $2\pi$ . Analysons son comportement sur l’intervalle $%5B\,\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{3\pi}{2}\,%5D$ .

Nous savons que:
– La fonction sinus est croissante sur l’intervalle $%5B\,0\,%3B\,\frac{\pi}{2}\,%5D$ .
– La fonction sinus atteint son maximum à $\sin(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,1$ .
– La fonction sinus est décroissante sur l’intervalle $%5B\,\frac{\pi}{2}\,%3B\,\pi\,%5D$ et décroissante sur l’intervalle $%5B\,\pi\,%3B\,\frac{3\pi}{2}\,%5D$ .

Calculons quelques valeurs pour vérifier:
$\sin(\,\frac{\pi}{2}\,)\,=\,1$
$\sin(\pi)\,=\,0$
$\sin(\,\frac{3\pi}{2}\,)\,=\,-1$

Sur l’intervalle $%5B\,\frac{\pi}{2}\,%3B\,\pi\,%5D$ , la fonction sinus décroît de 1 à 0.
Sur l’intervalle $%5B\,\pi\,%3B\,\frac{3\pi}{2}\,%5D$ , la fonction sinus décroît de 0 à -1.

Ainsi, la fonction sinus est décroissante sur l’intervalle $%5B\,\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{3\pi}{2}\,%5D$ .

Exercice 39 : démontrer que la fonction f est périodique
Soit la fonction définie par $f(x)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,x\,)$ .

Nous devons exprimer $f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)$ en fonction de et démontrer que la fonction est périodique de période $\frac{4\pi}{3}$ .

Calculons $f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)$ :
$f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,)$

Développons l’expression à l’intérieur de la fonction sinus :
$f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,x\,%2B\,\frac{3}{2}\,\cdot\,\frac{4\pi}{3}\,)$
$f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,x\,%2B\,2\pi\,)$

Or, nous savons que pour tout réel $\theta$ , $\sin(\theta\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(\theta)$ . Donc :
$f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,x\,%2B\,2\pi\,)\,=\,\sin(\,\frac{3}{2}\,x\,)$

Ainsi :
$f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,f(x)$

Nous venons de montrer que $f(\,x\,%2B\,\frac{4\pi}{3}\,)\,=\,f(x)$ . Donc, la fonction est périodique de période $\frac{4\pi}{3}$ .

Exercice 40 : etude de la parité et de la périodicité
1. a) Conjecturer graphiquement la parité de .

En observant la courbe de la fonction $g(x)\,=\,-2\sin(2x)$ , on remarque une symétrie par rapport à l’origine. Cette symétrie suggère que la fonction est impaire.

b) Exprimer g(-x) en fonction de et démontrer cette conjecture.

Calculons g(-x) :

$g(-x)\,=\,-2\sin(2(-x))\,=\,-2\sin(-2x)$

Sachant que $\sin(-\theta)\,=\,-\sin(\theta)$ , nous avons :

$g(-x)\,=\,-2(-\sin(2x))\,=\,2\sin(2x)$

Or,

$g(x)\,=\,-2\sin(2x)$

Donc,

$g(-x)\,=\,-g(x)$

Ainsi, g(x) est bien une fonction impaire.

2. Exprimer $g(x\,%2B\,\pi)$ en fonction de et démontrer que la fonction est périodique de période $\pi$ .

Calculons $g(x\,%2B\,\pi)$ :

$g(x\,%2B\,\pi)\,=\,-2\sin(2(x\,%2B\,\pi))$
$g(x\,%2B\,\pi)\,=\,-2\sin(2x\,%2B\,2\pi)$

Or, nous savons que la fonction sinus est périodique de période $2\pi$ , donc :

$\sin(2x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(2x)$

Ce qui nous donne :

$g(x\,%2B\,\pi)\,=\,-2\sin(2x)$

Or,

$g(x)\,=\,-2\sin(2x)$

Donc,

$g(x\,%2B\,\pi)\,=\,g(x)$

Ainsi, nous avons montré que est périodique de période $\pi$ .

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : démontrer que la fonction h est impaire
a) Démontrons que la fonction est impaire.

Une fonction est impaire si, pour tout de son domaine:
$h(-x)\,=\,-h(x)$

Calculons donc h(-x) :
$h(-x)\,=\,\sin(-x)\,%2B\,\sin(-2x)$

Utilisons les propriétés des fonctions trigonométriques impaires:
$\sin(-x)\,=\,-\sin(x)$
$\sin(-2x)\,=\,-\sin(2x)$

Cela nous donne:
$h(-x)\,=\,-\sin(x)\,%2B\,(-\sin(2x))$
$h(-x)\,=\,-\sin(x)\,-\,\sin(2x)$
$h(-x)\,=\,-(\sin(x)\,%2B\,\sin(2x))$
$h(-x)\,=\,-h(x)$

Comme notre égalité est vérifiée, nous pouvons conclure que est impaire.

b) Si une fonction est impaire, sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l’origine du repère (0%2C0) . Cela signifie que si $(x%2C\,y)$ est un point sur la courbe, alors $(-x%2C\,-y)$ sera également un point sur la courbe.

c) Pour vérifier cette conjecture, il suffit d’afficher la courbe $\mathcal{C}$ à l’écran d’une calculatrice graphique. On constatera que pour chaque point $(x%2C\,y)$ sur la courbe, on trouve également le point $(-x%2C\,-y)$ , confirmant ainsi que la courbe est bien symétrique par rapport à l’origine.

Exercice 42 : conjecturer que la fonction k est périodique
a) Pour afficher la courbe représentative de la fonction sur une calculatrice, il suffit de tracer la fonction $y\,=\,\sin(\pi\,x)$ .

b) Conjecturons que la fonction est périodique de période . Pour la fonction sinus, $\sin(x)$ est périodique de période $2\pi$ . Donc, pour $k(x)\,=\,\sin(\pi\,x)$ , nous conjecturons que la période est :
$T\,=\,\frac{2\pi}{\pi}\,=\,2$

c) Démontrons cette conjecture :

Une fonction est périodique de période si pour tout appartenant à $\mathbb{R}$ , on a $f(x%2BT)\,=\,f(x)$ .

Prenons $k(x)\,=\,\sin(\pi\,x)$ . Montrons que $k(x%2B2)\,=\,k(x)$ :

$k(x%2B2)\,=\,\sin(\pi\,(x%2B2))$
$k(x%2B2)\,=\,\sin(\pi\,x\,%2B\,2\pi)$

Sachant que $\sin(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(x)$ pour tout :

$\sin(\pi\,x\,%2B\,2\pi)\,=\,\sin(\pi\,x)$

Donc on a :

$k(x%2B2)\,=\,\sin(\pi\,x)\,=\,k(x)$

Par conséquent, la fonction est bien périodique de période $T\,=\,2$ .

Exercice 43 : déterminer la fonction dérivée
a) $g(x)\,=\,\frac{\sin(x)}{x}$ sur $I\,=\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$

Pour trouver la dérivée de g(x) , nous appliquons la règle du quotient :

$g'(x)\,=\,(\,\frac{\sin(x)}{x}\,)'\,=\,\frac{(\sin(x))'\,\cdot\,x\,-\,\sin(x)\,\cdot\,(x)'}{x^2}$

Nous connaissons les dérivées suivantes :
$(\sin(x))'\,=\,\cos(x)$
$(x)'\,=\,1$

Donc,

$g'(x)\,=\,\frac{\cos(x)\,\cdot\,x\,-\,\sin(x)\,\cdot\,1}{x^2}\,=\,\frac{x\,\cos(x)\,-\,\sin(x)}{x^2}$

b) $h(x)\,=\,\frac{1}{\sin(x)}$ sur $I\,=\,%5D0\,%3B\,\pi%5B$

Pour trouver la dérivée de h(x) , nous utilisons d’abord la règle de la dérivation de fonctions composées et la règle du quotient. Observons que $h(x)\,=\,\sin(x)^{-1}$ :

$h'(x)\,=\,(\sin(x)^{-1})'$

Utilisons la règle de la chaîne avec $u(x)\,=\,\sin(x)$ pour obtenir :

$h'(x)\,=\,-\sin(x)^{-2}\,\cdot\,(\sin(x))'$

Étant donné que $(\sin(x))'\,=\,\cos(x)$ , nous obtenons :

$h'(x)\,=\,-\sin(x)^{-2}\,\cdot\,\cos(x)\,=\,-\frac{\cos(x)}{\sin(x)^2}$

Ou encore,

$h'(x)\,=\,-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

Exercice 44 : etude d’une fonction et tableau de variation
$f\,\,est\,la\,fonction\,definie\,sur\,\,\mathbb{R}\,\,par\,%3A\,\,f(x)\,=\,\sin^2(x)\,%2B\,2\sin(x).$

$1.\,Montrer\,que\,pour\,tout\,}\,x%2C\,f'(x)\,=\,2(\sin(x)\,%2B\,1)\cos(x).$

Calculons la dérivée f'(x) de f(x) :

$f(x)\,=\,\sin^2(x)\,%2B\,2\sin(x)$

La dérivée de $\sin^2(x)$ est :

$(\sin^2(x))'\,=\,2\sin(x)\,\cdot\,\cos(x)$

La dérivée de $2\sin(x)$ est :

$(2\sin(x))'\,=\,2\cos(x)$

Ainsi,

$f'(x)\,=\,2\sin(x)\cos(x)\,%2B\,2\cos(x)$

$f'(x)\,=\,2\cos(x)(\sin(x)\,%2B\,1)$

Donc,

$f'(x)\,=\,2(\sin(x)\,%2B\,1)\cos(x)$

$2.\,a)\,Expliquer\,pourquoi\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x)$ est du signe de $\cos(x)$ sur $%5B0\,%3B\,\pi%5D$ . » align= »absmiddle » />

Sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,\pi%5D$ , $\sin(x)\,%2B\,1\,\geq\,\,0$ parce que $\sin(x)$ atteint sa valeur minimale (qui est ) en $x\,=\,0$ .

Donc, $2(\sin(x)\,%2B\,1)\,\geq\,\,0$ pour tout $x\,\in\,%5B0\,%3B\,\pi%5D$ .

Ainsi, sur cet intervalle, le signe de f'(x) est déterminé par le signe de $\cos(x)$ .

$En\,deduire\,le\,signe\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2527%2528x%2529%22\,alt=%22f'(x)$ sur [0 ; π]. » align= »absmiddle » />

Sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,\pi%5D$ :

– $f'(x)\,>\,0$ car $\cos(x)\,>\,0$ .
– $f'(x)\,=\,0$ pour $x\,=\,\frac{\pi}{2}$ car $\cos(\frac{\pi}{2})\,=\,0$ .
– $f'(x)\,%3C\,0$ pour $\frac{\pi}{2}\,%3C\,x\,\leq\,\,\pi$ car $\cos(x)\,%3C\,0$ sur $(\frac{\pi}{2}%2C\,\pi%5D$ .

$b)\,Dresser\,le\,tableau\,de\,variations\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ sur $%5B0\,%3B\,\pi%5D$ . » align= »absmiddle » />

Pour dresser le tableau de variations, il faut calculer les valeurs de f(x) aux points critiques et aux bornes de l’intervalle.

1. $f(0)\,=\,\sin^2(0)\,%2B\,2\sin(0)\,=\,0\,%2B\,0\,=\,0$
2. $f(\frac{\pi}{2})\,=\,\sin^2(\frac{\pi}{2})\,%2B\,2\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,1\,%2B\,2\,=\,3$
3. $f(\pi)\,=\,\sin^2(\pi)\,%2B\,2\sin(\pi)\,=\,0\,%2B\,0\,=\,0$

Le tableau de variations est donc :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,\frac{\pi}{2}\,%26\,\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,0\,%26\,3\,%26\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Variations :

$\begin{array}{ccccc}%0D%0A0\,%26\,\nearrow\,%26\,3\,%26\,\searrow\,%26\,0\,\\%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,\frac{\pi}{2}\,%26\,\pi\,\\%0D%0Af(x)\,%26\,0\,%26\,3\,%26\,0\,\\%0D%0A\end{array}$

Ainsi, la fonction croît sur $%5B0%2C\,\frac{\pi}{2}%5D$ et décroît sur $%5B\frac{\pi}{2}%2C\,\pi%5D$ .

Exercice 45 : dérivée et tableau de variation
a) Déterminer h'(x) .

$h(x)\,=\,(2\,-\,\sin(x))\,\sin(x)$

Calculons la dérivée h'(x) en utilisant la règle du produit :

$h'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5B(2\,-\,\sin(x))\,\sin(x)%5D$

Nous avons deux fonctions $u(x)\,=\,2\,-\,\sin(x)$ et $v(x)\,=\,\sin(x)$ . La dérivée du produit est donnée par :

$h'(x)\,=\,u'(x)v(x)\,%2B\,u(x)v'(x)$

Calculons u'(x) et v'(x) :
$u'(x)\,=\,-\cos(x)$
$v'(x)\,=\,\cos(x)$

Alors :
$h'(x)\,=\,(-\cos(x))\sin(x)\,%2B\,(2\,-\,\sin(x))\cos(x)$

Simplifions :
$h'(x)\,=\,-\cos(x)\sin(x)\,%2B\,2\cos(x)\,-\,\sin(x)\cos(x)$
$h'(x)\,=\,-2\cos(x)\sin(x)\,%2B\,2\cos(x)$
$h'(x)\,=\,2\cos(x)(1\,-\,\sin(x))$

b) Expliquer pourquoi h'(x) a le même signe que $\cos(x)$ .

La dérivée h'(x) est donnée par :
$h'(x)\,=\,2\cos(x)(1\,-\,\sin(x))$

Le signe de h'(x) est déterminé par le produit des signes de $\cos(x)$ et $1\,-\,\sin(x)$ .

Observons les intervalles où ces termes changent de signe :
– $\cos(x)$ change de signe à $x\,=\,\frac{\pi}{2}$ et $x\,=\,\frac{3\pi}{2}$ .
– $1\,-\,\sin(x)$ est toujours positif ou nul car $\sin(x)$ varie entre -1 et 1, donc $1\,-\,\sin(x)$ varie entre 0 et 2.

Ainsi, le terme $1\,-\,\sin(x)$ est toujours positif sur l’intervalle $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ . Par conséquent, le signe de h'(x) dépend uniquement du signe de $\cos(x)$ .

c) Dresser le tableau de variations de sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ .

Pour dresser le tableau de variations, nous devons examiner les signes de h'(x) :

– Pour $x\,\in\,%5B0%2C\,\frac{\pi}{2}%5D$ , $\cos(x)\,>\,0$ est croissante.
– Pour $x\,\in\,%5B\frac{\pi}{2}%2C\,\frac{3\pi}{2}%5D$ , $\cos(x)\,%3C\,0$ , donc $h'(x)\,%3C\,0$ . La fonction est décroissante.
– Pour $x\,\in\,%5B\frac{3\pi}{2}%2C\,2\pi%5D$ , $\cos(x)\,>\,0$ est croissante.

Les valeurs aux points critiques :
– $h(0)\,=\,(2\,-\,\sin(0))\,\sin(0)\,=\,0$
– $h(\frac{\pi}{2})\,=\,(2\,-\,\sin(\frac{\pi}{2}))\,\sin(\frac{\pi}{2})\,=\,1$
– $h(\pi)\,=\,(2\,-\,\sin(\pi))\,\sin(\pi)\,=\,0$
– $h(\frac{3\pi}{2})\,=\,(2\,-\,\sin(\frac{3\pi}{2}))\,\sin(\frac{3\pi}{2})\,=\,-1$
– $h(2\pi)\,=\,(2\,-\,\sin(2\pi))\,\sin(2\pi)\,=\,0$

Le tableau de variations de est alors :

$\begin{array}{%7Cc%7Ccccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,%26\,\frac{\pi}{2}\,%26\,%26\,\pi\,%26\,%26\,\frac{3\pi}{2}\,%26\,%26\,2\pi\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,0\,%26\,\nearrow\,%26\,1\,%26\,\searrow\,%26\,0\,%26\,\searrow\,%26\,-1\,%26\,\nearrow\,%26\,0\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 46 : exprimer f(x+2) et conclure
La fonction est définie par :
$f(x)\,=\,\cos(\pi\,x\,%2B\,3).$

Calculons $f(x\,%2B\,2)$ :
$f(x%2B2)\,=\,\cos(\pi\,(x%2B2)\,%2B\,3).$

En utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition, nous avons :
$f(x%2B2)\,=\,\cos(\pi\,x\,%2B\,2\pi\,%2B\,3).$

La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$ , donc :
$\cos(\pi\,x\,%2B\,2\pi\,%2B\,3)\,=\,\cos(\pi\,x\,%2B\,3).$

Alors :
$f(x%2B2)\,=\,\cos(\pi\,x\,%2B\,3)\,=\,f(x).$

Nous avons donc montré que :
$f(x%2B2)\,=\,f(x).$

Par conséquent, la fonction est périodique de période 2.

Exercice 47 : propriétés d’une fonction et calcul formel
a) Vérifions d’abord les résultats donnés par l’écran de calcul formel.

1. f(x) est défini par:
$f(x)\,=\,\cos(2x)\,%2B\,\cos(3x).$

2. Calculons f(-x) :
$f(-x)\,=\,\cos(2(-x))\,%2B\,\cos(3(-x))\,=\,\cos(-2x)\,%2B\,\cos(-3x).$
Or, $\cos(-a)\,=\,\cos(a)$ pour tout $a\,\in\,\mathbb{R}$ ,
donc:
$\cos(-2x)\,=\,\cos(2x)\,\quad\,et\,\quad\,\cos(-3x)\,=\,\cos(3x).$
Alors:
$f(-x)\,=\,\cos(2x)\,%2B\,\cos(3x).$

3. Calculons $f(x\,%2B\,2\pi)$ :
$f(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\cos(2(x\,%2B\,2\pi))\,%2B\,\cos(3(x\,%2B\,2\pi))\,=\,\cos(2x\,%2B\,4\pi)\,%2B\,\cos(3x\,%2B\,6\pi).$
Or, étant donné la périodicité de la fonction cosinus, $\cos(a\,%2B\,2k\pi)\,=\,\cos(a)$ pour tout $a\,\in\,\mathbb{R}$ et $k\,\in\,\mathbb{Z}$ ,
donc:
$\cos(2x\,%2B\,4\pi)\,=\,\cos(2x)\,\quad\,et\,\quad\,\cos(3x\,%2B\,6\pi)\,=\,\cos(3x).$
Alors:
$f(x\,%2B\,2\pi)\,=\,\cos(2x)\,%2B\,\cos(3x).$

Conclusion: Les résultats donnés par l’écran de calcul formel sont corrects.

b) Observons les propriétés de la fonction à partir de ces calculs:
– est une fonction paire car $f(-x)\,=\,f(x)$ .
– est $2\pi$ -périodique car $f(x\,%2B\,2\pi)\,=\,f(x)$ .

c) Pour la courbe représentative de , on en déduit les caractéristiques suivantes:
– La courbe de est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (symétrie paire).
– La courbe de est périodique avec une période de $2\pi$ .

Exercice 48 : déterminer dans chaque cas la fonction dérivée
a) Soit $f(x)\,=\,2x\,-\,\cos(x)$ . La dérivée de f(x) est :

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(2x)\,-\,\frac{d}{dx}(\cos(x))\,=\,2\,%2B\,\sin(x)$

b) Soit $g(x)\,=\,x^2\,\cos(x)$ . La dérivée de g(x) est obtenue en utilisant la règle du produit :

$g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^2)\,\cdot\,\cos(x)\,%2B\,x^2\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\cos(x))$
$g'(x)\,=\,2x\,\cos(x)\,-\,x^2\,\sin(x)$

c) Soit $h(x)\,=\,(\cos(x)\,-\,1)\,\sin(x)$ . La dérivée de h(x) est obtenue en utilisant également la règle du produit :

$h'(x)\,=\,(\cos(x)\,-\,1)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\sin(x))\,%2B\,\sin(x)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\cos(x)\,-\,1)$
$h'(x)\,=\,(\cos(x)\,-\,1)\,\cos(x)\,%2B\,\sin(x)\,(-\sin(x))$
$h'(x)\,=\,\cos(x)\,(\cos(x)\,-\,1)\,-\,\sin^2(x)$

d) Soit $k(x)\,=\,x\,%2B\,\cos^2(x)$ . La dérivée de k(x) est obtenue en utilisant la règle de la chaîne pour le second terme :

$k'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x)\,%2B\,\frac{d}{dx}(\cos^2(x))$
$k'(x)\,=\,1\,%2B\,2\,\cos(x)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(\cos(x))$
$k'(x)\,=\,1\,%2B\,2\,\cos(x)\,(-\sin(x))$
$k'(x)\,=\,1\,-\,2\,\cos(x)\,\sin(x)$

Exercice 49 : déterminer la fonction dérivée définie sur I
a) $g(x)\,=\,\frac{\cos(x)}{x}$ avec $I\,=\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$

Pour dériver g(x) , nous utilisons la formule du quotient de deux fonctions u(x) et v(x) :

$g'(x)\,=\,(\,\frac{\cos(x)}{x}\,)'\,=\,\frac{u'(x)v(x)\,-\,u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

où $u(x)\,=\,\cos(x)$ et $v(x)\,=\,x$ .

Les dérivées sont $u'(x)\,=\,-\sin(x)$ et $v'(x)\,=\,1$ .

$g'(x)\,=\,\frac{(-\sin(x))\,\cdot\,x\,-\,\cos(x)\,\cdot\,1}{x^2}\,=\,\frac{-x\,\sin(x)\,-\,\cos(x)}{x^2}\,=\,\frac{-x\,\sin(x)\,-\,\cos(x)}{x^2}\,=\,-\frac{x\,\sin(x)}{x^2}\,-\,\frac{\cos(x)}{x^2}\,=\,-\frac{\sin(x)}{x}\,-\,\frac{\cos(x)}{x^2}$

Ainsi, la dérivée de $g(x)\,=\,\frac{\cos(x)}{x}$ est

$g'(x)\,=\,-\frac{\sin(x)}{x}\,-\,\frac{\cos(x)}{x^2}$

b) $h(x)\,=\,\frac{1}{\cos(x)}$ avec $I\,=\,%5D-\frac{\pi}{2}\,%3B\,\frac{\pi}{2}%5B$

Pour dériver h(x) , nous utilisons la règle de dérivation d’une fonction u(x) et $h(x)\,=\,u(x)^{-1}$ :

$h'(x)\,=\,(\,\frac{1}{\cos(x)}\,)'\,=\,-\frac{1}{\cos^2(x)}\,\cdot\,\cos'(x)$

où $u(x)\,=\,\cos(x)$ , donc $u'(x)\,=\,-\sin(x)$ .

$h'(x)\,=\,\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Ainsi, la dérivée de $h(x)\,=\,\frac{1}{\cos(x)}$ est

$h'(x)\,=\,\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Exercice 50 : etudier f ‘(x) et dresser le tableau de variation
1) Vérifions le résultat affiché sur l’écran de calcul formel.

La fonction donnée est :
$f(x)\,=\,\cos^2(x)\,-\,2\cos(x)\,%2B\,1$

On va calculer la dérivée de f(x) .

Utilisons la chaîne de dérivation et les identités trigonométriques pour dériver f(x) :

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\cos^2(x)\,-\,2\cos(x)\,%2B\,1)$

En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons :
$\frac{d}{dx}\,(\cos^2(x))\,=\,2\cos(x)\,\cdot\,(-\sin(x))\,=\,-2\cos(x)\sin(x)$

Et pour $-2\cos(x)$ , la dérivée est :
$\frac{d}{dx}(-2\cos(x))\,=\,-2(-\sin(x))\,=\,2\sin(x)$

Donc la dérivée de f(x) est :
$f'(x)\,=\,-2\cos(x)\sin(x)\,%2B\,2\sin(x)$

Factorisons :
$f'(x)\,=\,2\sin(x)(1\,-\,\cos(x))$

Ainsi, la dérivée factorisée est :
$f'(x)\,=\,-2\,\sin(x)\,(\cos(x)\,-\,1)$

Ce qui correspond au résultat affiché sur l’écran de calcul formel.

2.a) Expliquer pourquoi f'(x) est du signe de $\sin(x)$ sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ . En déduire le signe de f'(x) sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ .

La dérivée est donnée par :
$f'(x)\,=\,-2\,\sin(x)\,(\cos(x)\,-\,1)$

– Observons que est constant et négatif.
– Sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ , $\cos(x)\,-\,1$ est toujours négatif ou nul, car $\cos(x)$ varie entre -1 et 1, donc $(\cos(x)\,-\,1)\,\leq\,\,0$ .
– $\sin(x)$ alterne entre positif et négatif sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ .

Donc, f'(x) prend le signe opposé de $\sin(x)$ puisque et $(\cos(x)\,-\,1)$ sont toujours négatifs ou nuls.

Déduisons le signe de f'(x) sur les intervalles de $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ en utilisant le signe de $\sin(x)$ :
– $\sin(x)$ est positif sur $(0\,%3B\,\pi)$
– $\sin(x)$ est négatif sur $(\pi\,%3B\,2\pi)$

Par conséquent :
– f'(x) est négatif sur $(0%2C\,\pi)$ car $\sin(x)$ est positif.
– f'(x) est positif sur $(\pi%2C\,2\pi)$ car $\sin(x)$ est négatif.

2.b) Dresser le tableau de variations de sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ .

Nous savons que f'(x) change de signe aux points $x\,=\,0%2C\,\pi%2C\,2\pi$ .

Analysons les valeurs de f(x) à ces points :
– $f(0)\,=\,\cos^2(0)\,-\,2\cos(0)\,%2B\,1\,=\,1\,-\,2\,%2B\,1\,=\,0$
– $f(\pi)\,=\,\cos^2(\pi)\,-\,2\cos(\pi)\,%2B\,1\,=\,1\,-\,(-2)\,%2B\,1\,=\,4$
– $f(2\pi)\,=\,\cos^2(2\pi)\,-\,2\cos(2\pi)\,%2B\,1\,=\,1\,-\,2\,%2B\,1\,=\,0$

Ensuite, construisons le tableau de variations :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,0\,%26\,\pi\,%26\,2\pi\,\\\,\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,\\\,\hline%0D%0Af(x)\,%26\,0\,%26\,4\,%26\,0\,\\\,\hline%0D%0A\end{array}$

Ainsi, le tableau de variations de sur $%5B0\,%3B\,2\pi%5D$ est :

– f(x) décroît sur $(0%2C\,\pi)$
– f(x) atteint un minimum local (égal à 0) à $x\,=\,0$
– f(x) atteint un maximum local (égal à 4) à $x\,=\,\pi$
– f(x) décroît sur $(\pi%2C\,2\pi)$
– f(x) atteint un minimum local (égal à 0) à $x\,=\,2\pi$ .