Exercice 1 : périmètre du rectangle et calcul formel
a)
Le périmètre du rectangle OPMQ est donné par :
Ainsi, on a :
b)
Pour trouver les extrema de sur l’intervalle
, il faut dériver
et résoudre
.
La dérivée de est :
On pose et on résout pour
:
En utilisant l’écran de calcul formel, on obtient la solution :
On vérifie ensuite la valeur de aux bornes de l’intervalle et à
:
Comparer les valeurs :
Donc, l’extremum de la fonction sur l’intervalle
est un minimum local à
avec
, et un maximum local à
avec
.
Exercice 2 : dresser le tableau de variation
La fonction est définie par
sur l’intervalle
.
1. : » align= »absmiddle » />
Utilisons la règle de la chaîne :
2. : » align= »absmiddle » />
Analysons le signe de sur l’intervalle
.
– Lorsque
– Lorsque ,
– Lorsque ,
est nulle pour
où
.
Sur l’intervalle , cela se produit pour
.
Cependant, étant donné que nous travaillons sur l’intervalle , nous ne considérons seulement les valeurs
.
Ainsi, les points critiques sont .
3. : » align= »absmiddle » />
4. : » align= »absmiddle » />
En résumé, la fonction est croissante sur
et décroissante sur
.
Exercice 3 : déterminer la fonction dérivée
Correction de l’exercice en utilisant LaTeX :
a)
La dérivée de est :
b)
La dérivée de avec la règle du produit est :
c)
La dérivée de avec la règle de la chaîne est :
d)
La dérivée de en utilisant la règle du quotient et sachant que
est :
e)
La dérivée de en utilisant la règle du quotient est :
Ainsi, les dérivées des fonctions proposées sont :
a)
b)
c)
d)
e)
Exercice 4 : conjecturer avec la calculatrice une limite
Soit la fonction définie par :
pour .
en 0 utilisant une calculatrice : » align= »absmiddle » />
En évaluant les valeurs de pour
très proche de 0 (mais non nul), nous pouvons observer que
semble tendre vers une certaine valeur.
Lorsque nous évaluons sur une calculatrice pour des valeurs de
proches de 0, par exemple
,
,
, etc., nous trouvons que :
Ainsi, on conjecture que :
Pour démontrer que :
Utilisant la limite fondamentale :
où est une constante. Dans notre cas,
. Nous avons donc :
Ainsi, la limite de en 0 est bien :
Donc, la conjecture est démontrée.
Exercice 5 : déterminer l’ensemble de dérivabilité
1)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de :
2)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de (règle de la chaîne) :
3)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de :
4)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de (règle de la chaîne) :
5)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de (règle de la chaîne) :
6)
Ensemble de dérivabilité :
Calcul de (règle de la chaîne et règle du produit) :
Exercice 6 : fonction définie et dérivable en x0
Correction de l’exercice :
1. Pour et
:
Pour calculer , nous utilisons la règle de dérivation du quotient :
L’équation de la tangente au point d’abscisse est :
2. Pour et
:
Par la règle de la chaîne :
L’équation de la tangente au point d’abscisse est :
3. Pour et
:
En utilisant les règles de dérivation :
L’équation de la tangente au point d’abscisse est :
4. Pour et
:
En utilisant la règle de la chaîne :
L’équation de la tangente au point d’abscisse est :
5. Pour et
:
Par la règle de la chaîne :
L’équation de la tangente au point d’abscisse est :
Exercice 7 : associer chaque courbe à sa fonction
Les courbes et
sur
représentent les fonctions
et
telles que
est la dérivée de
, c’est-à-dire que
.
Pour associer chaque courbe à sa fonction, nous devons analyser les caractéristiques des fonctions dérivées et primitives.
– La fonction est la dérivée de
. La courbe représentant
devrait alors indiquer des variations locales et donner des informations sur la pente de
.
– La courbe représentant sera plus lisse et continuera à monter ou descendre selon les variations de
.
Observons les courbes :
– La courbe (en bleu) atteint un maximum local près de
. Cela signifie que la pente de la fonction
représentée par
(en vert) est maximale en ce point.
– La courbe passe par zéro aux environs de
, ce qui indique un point d’inflexion de la courbe
, où la pente change de signe.
– La courbe devient négative pour
est décroissante après ce point.
– Enfin, la courbe , qui semble correspondre à une courbe intégrée, devrait être continue et différentiable.
Ainsi, la courbe représente la fonction
(la dérivée), et la courbe
représente la fonction
.
En résumé :
– est la courbe de la fonction
.
– est la courbe de la fonction
.
Justification : Les propriétés de la dérivée observées (maximum, passage par zéro, devenir négatif) s’accordent avec les variations de pente de la courbe .
Exercice 8 : vérifier que la fonction f est T-périodique
1) Pour la fonction , on sait que la fonction sinus est périodique avec une période
, où
est le coefficient de
dans la fonction sinus.
Ici, , donc la période est
Or, est équivalent à
.
Ainsi, est
-périodique avec
.
2) Pour la fonction , on sait que la fonction cosinus est périodique avec une période
, où
est le coefficient de
.
Ici, , donc la période est
Ainsi, est
-périodique avec
.
3) Pour la fonction , on réécrit l’argument de la sinus :
Ainsi, la fonction devient et on voit que le coefficient de
est
.
La période est donc
Ainsi, est
-périodique avec
.
4) Pour la fonction , la constante
n’affecte pas la périodicité de la fonction cosinus. La fonction cosinus a une période
, où
est le coefficient de
.
Ici, , donc la période est
Ainsi, est
-périodique avec
.
Exercice 9 : fonction cosinus et représentations graphiques
Soit et
.
Les deux courbes représentées sur le graphique sont (verte) et
(rouge).
Pour associer chaque courbe à sa fonction, analysons d’abord leurs caractéristiques :
1. : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 2 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -2 et 2).
– Période : , car la période de
est
.
2. : » align= »absmiddle » />
– Amplitude : 1 (c’est-à-dire que la courbe oscille entre -1 et 1).
– Période : , car la période de
est
.
Observons les courbes :
– La courbe verte a une amplitude plus grande (elle varie entre -2 et 2). Elle a une période de
, correspondant à une période de la fonction
multipliée par 2, ce qui correspond à
.
– La courbe rouge a une amplitude plus petite (elle varie entre -1 et 1). Elle a une période réduite de
, indiquant une fréquence double par rapport à la courbe verte. Cela correspond à
.
Ainsi, nous pouvons associer les courbes comme suit :
– correspond à la fonction
.
– correspond à la fonction
.
Justification :
– La courbe (verte) a une amplitude de 2 et une période de
, ce qui est caractéristique de la fonction
.
– La courbe (rouge) a une amplitude de 1 et une période de
, ce qui est caractéristique de la fonction
.
Exercice 10 : résoudre sur I l’équation donnée
sur
L’équation se résout directement par
.
Or, dans l’intervalle , le
est injectif, donc
.
Comme , on a deux solutions:
sur
L’équation se résout par:
Ce qui donne :
Dans l’intervalle on va choisir
pour que
soit dans cet intervalle:
sur
Les angles correspondants sont :
Donc les solutions de cette équation dans l’intervalle sont:
Exercice 11 : courbes d’équations du type y=asin(wx)
Pour la courbe $\mathcal{C}$ (rouge) :
1. Nous observons que l’amplitude est de 1, donc $a = 1$.
2. La période est de $2\pi$, puisque la courbe se répète après $2\pi$. La période $T$ est donnée par $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Donc $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
Ainsi, l’équation pour $\mathcal{C}$ est $y = \sin(x)$.
Pour la courbe $\mathcal{C}’$ (bleue) :
1. Nous observons que l’amplitude est de 2, donc $a = 2$.
2. La période est de $4\pi$, puisque la courbe se répète après $4\pi$. La période $T$ est donnée par $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Donc $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.
Ainsi, l’équation pour $\mathcal{C}’$ est $y = 2\sin(\frac{x}{2})$.
Exercice 12 : pour les affirmations suivantes, démêler le vrai du faux
Correction de l’exercice :
1) Pour trouver , utilisons la dérivée de la fonction donnée :
La dérivée de avec
est
. Ainsi,
Donc l’affirmation 1 est fausse.
2) Cherchons les zéros de :
Cela revient à résoudre :
Donc,
Ainsi,
L’ensemble des solutions est donc :
L’affirmation 2 est vraie.
3) Pour déterminer si est strictement monotone sur
, regardons la dérivée
sur cet intervalle :
Pour ,
varie de
à
. Sur cet intervalle, la fonction
est négative ou nulle. Donc,
est positive ou nulle dans cet intervalle, ce qui signifie que
est décroissante ou constante. Cela montre que
n’est pas strictement monotone sur
. L’affirmation 3 est fausse.
4) Cherchons tel que
:
On sait que
donc
Ainsi,
L’affirmation 4 est vraie.
Exercice 13 : déterminer l’ensemble de dérivabilité
1.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
2.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
3.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
4.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
5.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
6.
Ensemble de dérivabilité :
La dérivée pour
:
Exercice 14 : justifier que f est dérivable sur I
1)
Pour :
La fonction est dérivable car elle est composée d’une constante divisée par un polynôme au dénominateur, qui est non nul sur l’intervalle
.
Calculons en utilisant la règle de dérivation
:
Soit et
Donc, .
2)
Pour :
La fonction est dérivable car elle est composée d’un polynôme sur un autre polynôme, où le dénominateur est non nul sur l’intervalle
.
Calculons :
Soit et
Donc, .
3)
Pour :
La fonction est dérivable car la fonction rationnelle obtenue est dérivable sur l’intervalle considéré.
Calculons en utilisant la règle de la dérivée de la composition
:
Soit
Donc, .
4)
Pour :
La fonction est dérivable car chaque terme de la somme est dérivable sur l’intervalle considéré.
Calculons :
Pour la dérivée de , on utilise la règle de la dérivée de
:
Soit
Donc .
Exercice 15 : calculer la dérivée de fonctions contenant cos x et sin x
1) Soit . La dérivée est:
2) Soit . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
3) Soit . En utilisant la règle du produit, nous obtenons:
4) Soit . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
5) Soit . En utilisant la règle du produit, nous obtenons:
6) Soit . En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons:
7) Soit . La dérivée est:
8) Soit . En utilisant la règle du quotient, nous obtenons:
Exercice 16 : changement de variable et calcul de limite
En opérant le changement de variable :
En posant , quand
, alors
, et l’expression devient :
Utilisons les formules de somme pour les sinus et cosinus :
Comme , nous avons:
Ainsi,
La limite originale devient donc :
Donc,
Déterminons maintenant les limites suivantes :
1)
Utilisons les développements limités pour les petites valeurs de :
Mais nous devons considérer les termes de l’ordre supérieur :
Donc :
Ainsi :
Donc,
2)
Posons . Quand
, alors
. L’expression devient :
Comme se comporte de manière oscillante dans le voisinage de
, cette limite n’existe pas car elle oscille entre des valeurs positives et négatives infinies.
Donc,
en raison de l’oscillation de .
Exercice 17 : convergence de suites et cosinus
1) Soit la suite définie par
.
Montrons que converge.
On peut simplifier l’expression de :
À mesure que tend vers l’infini,
tend vers 0 et
tend également vers 0.
Donc,
Ainsi, converge vers
.
2) Soit la suite définie par
.
Montrons que converge.
Considérons l’expression de :
À mesure que tend vers l’infini,
tend vers 0, car
est borné entre -1 et 1, alors que
tend vers l’infini. Donc:
Ensuite, tend vers l’infini quand
tend vers l’infini. Donc,
Ainsi,
Donc, la suite diverge.
Exercice 18 : cosinus et sinus avec tableau de variation
Correction :
1) La fonction définie par
est périodique de période
.
Pour le montrer, il suffit de vérifier que :
Puisque :
On obtient :
Donc, est périodique de période
.
2) Montrons que .
Utilisons l’identité trigonométrique :
Dans notre cas, , donc :
Or, et
, donc :
Alors :
Donc, .
3) Montrons les variations de .
Pour ce faire, calculons la dérivée :
Pour obtenir les variations, déterminons les points où :
Divisons par (sous réserve que
) :
Ainsi,
On sait que :
Sur l’intervalle , les valeurs pertinentes sont :
et
– Pour ,
,
, donc
est décroissante.
– Pour ,
,
, donc
est croissante.
– Pour ,
,
, donc
est décroissante.
4) Dressons le tableau de variation de sur
.
Exercice 19 : démontrer la dérivée nième d’une fonction
1. a)
Calculons les dérivées successives de :
b) Démontrons que, pour tout :
Par récurrence sur .
Pour , c’est évident car
.
Supposons que la formule est vraie pour un certain , c’est-à-dire
.
Calculons :
En utilisant la règle de dérivation de :
Or, nous savons que:
Cela montre que . La propriété est donc vraie pour
, ce qui complète la récurrence.
Ainsi, pour tout :
2) Prouvons la formule analogue pour la fonction sinus.
Soit , nous allons calculer les dérivées successives et vérifier si une formule similaire est valide pour
.
On remarque la répétition périodique des dérivées. Tentons :
Pour , c’est vrai car
.
Supposons que cela est vrai pour un certain , c’est-à-dire
.
Calculons :
En utilisant la règle de dérivation de :
Or, nous savons que:
Cela montre que . La propriété est donc vraie pour
, ce qui complète la récurrence.
Ainsi, pour tout :
Exercice 20 : valeurs où la dérivée s’annule
« `markdown
Pour trouver les valeurs où la dérivée des fonctions données s’annule, on calcule d’abord la dérivée de chacune des fonctions, puis on résout l’équation .
1. , définie sur
.
Posons . Alors
.
Dérivons en utilisant la règle de chaîne :
Calculons :
Ainsi,
Pour que , il faut que
, soit :
Donc, est la valeur pour laquelle la dérivée de
s’annule.
2. , définie sur
.
Posons et
. Alors
.
Dérivons en utilisant la règle du quotient :
Calculons et
:
Ainsi,
Simplifions l’expression :
Pour que , il faut que
, soit :
Donc, est la valeur pour laquelle la dérivée de
s’annule.
3. , définie sur
.
Posons et
. Alors
.
Dérivons en utilisant la règle du quotient :
Calculons et
:
Ainsi,
Pour que , il faut que :
C’est une équation complexe à résoudre en général. Pour simplifier, examinons les cas particuliers pour lesquels . Cela se produit pour
où
est un entier.
Donc, les valeurs où , c’est-à-dire
, sont les solutions pour lesquelles la dérivée de
s’annule.
En résumé :
1. pour
.
2. pour
.
3. pour
où
est un entier.
Exercice 21 : montrer que f est dérivable
Soit la fonction définie sur
par :
1) Montrer que est dérivable sur
et que :
Calculons la dérivée de en utilisant la formule du quotient :
Soit et
. Alors,
Les dérivées de et
sont :
Utilisons la dérivée du quotient :
Calculons les termes un par un :
Simplifions chaque expression :
En combinant les deux résultats :
Simplifions le numérateur :
Consolidons le numérateur et simplifions :
D’où,
2) Résoudre l’équation . En déduire le signe de
.
Résolvons l’équation :
En utilisant la formule quadratique,
Ici, ,
Les racines sont et
.
Comme est toujours positif ou nul, on considère seulement
.
3) Dresser le tableau de variation complet de .
Pour dessiner le tableau de variation de , nous devons examiner les signes de
.
Le terme est toujours positif pour
dépend du signe du numérateur
.
Étudions , qui se réduit à
. Cela a pour solution
.
D’où est la seule solution valable pour
.
Enfin, le tableau de variation est le suivant :
Nous avons une croissance jusqu’à puis une décroissance après ce point.
Exercice 22 : une équation de la tangente à la courbe
1) ,
Pour trouver l’équation de la tangente, nous devons d’abord calculer la dérivée de . Nous utilisons la règle de dérivation des quotients :
La dérivée de est donnée par :
En dérivant et
:
Donc,
Ensuite, nous évaluons et
en
:
L’équation de la tangente est alors :
2) ,
Calculons d’abord la dérivée de . Nous utilisons la règle de dérivation des quotients et des racines :
La dérivée de est donnée par :
En dérivant et
:
Donc,
Ensuite, évaluons et
en
:
Pour en
:
L’équation de la tangente est alors :
3) ,
Calculons la dérivée de . Utilisons la règle de dérivation des quotients et la règle de la chaîne pour les puissances :
La dérivée de est donnée par :
En dérivant et
:
Donc,
et
en
:
\[ f(2) = \frac{4(2)^2}{(2+1)^3} = \frac{16}{27} » align= »absmiddle » />
Pour en
:
L’équation de la tangente est alors :
Exercice 23 : montrer que f admet un minimum
Determiner les ensembles de definition et de derivabilite de $f$.
La fonction $f(x)$ est definie par :
\[
f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{\sqrt{x + 3}} » align= »absmiddle » />
L’ensemble de définition de $f$ se trouve en recherchant les valeurs de $x$ telles que le dénominateur ne s’annule pas et soit strictement positif :
La dérivabilité de $f$ se détermine en vérifiant qu’il n’y a pas de point de non-dérivabilité dans $\mathcal{D}_f$. $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ excepté aux points où le numérateur ou le dénominateur de $f$ ou de $f’$ pose problème (ce qu’on vérifiera dans la suite).
Montrer que, là où $f$ est dérivable :
Considérons la fonction $u(x)$ et $v(x)$ telles que :
La fonction $f(x)$ peut être réécrite comme :
La dérivée de $f$ est donnée par la formule du quotient :
Calculons d’abord les dérivées de $u(x)$ et $v(x)$ :
En substituant $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ et $v'(x)$ dans la formule du quotient, nous avons :
Simplifions l’expression :
Réécrivons sous un dénominateur commun :
Remarquons que $x^2 + 6x + 5$ se factorise comme $(x + 1)(x + 5)$. Donc:
Dresser le tableau de variation de $f$.
1. Calcul des zéros de $f'(x)$ : $(x + 1)(3x + 11) = 0$.
2. Analyse du signe de $f'(x)$:
Pour $x \in ]-3, -\frac{11}{3}[$ et $] -1, +\infty [$, $(3x + 11 )( x +1 ) > 0$:
Donc $f ‘( x ) > 0$ : $f$ est croissante.
Pour $x \in ]-\frac{11}{3}, -1[$:
$(3x + 11 )( x +1) < 0$.
Donc $f ‘( x ) <0$, donc $f$ est décroissante.
Résultat $\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x -3 -\frac{11 }{3} -1 + \infty \\ \hline f’ ( x ) + 0 – 0 \\ \hline f(x ) \equiv \searrow \equiv \nearrow \\ \hline \end{array}$.
Montrer que $f$ admet un minimum sur son ensemble de définition.
D’après le tableau de variation, $f(x)$ est décroissante sur $]-\frac{11}{3}, -1[$ et croissante sur $]-1, +\infty[$ avec un minimum local en $x = -1$. Il reste à démontrer que $f( – 1)$ est bien un minimum. la dérivée seconde et positive rajouterai conviction, en conformité à une dimension continue ayant sa détermination, assurance qu’un $f » ( -1) > 0$ certificatrice.
Donc la stricte signe de $f’ sur [-3,-1]$ : $-\frac{11}{3}$ est décroissante et local minimum, $\lim _{x \to \infty },$.
Ainsi, $f$ admet donc un minimum en $x = -1$.
(La preuve d’application sur formalisme mathématique de $y \to x $ l’estimation d’équations sur $x$.)
Exercice 24 : exprimer les nombres en fonction de cosx et sinx
1)
a)
Utilisons la période de et la parité :
b)
Utilisons la relation :
c)
Utilisons la relation :
d)
Utilisons la relation :
2)
a)
Utilisons les identités et
:
b)
Utilisons les identités et
et
:
Exercice 25 : simplifier les cos et sin suivants
Correction :
1)
2)
3)
4)
Exercice 26 : déterminer la valeur de cosinus et sinus
Étant donné que
nous pouvons utiliser les formules de somme et différence d’angles pour calculer les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$.
Utilisant la formule de la différence des angles, on obtient:
Nous connaissons les valeurs suivantes:
En substituant ces valeurs:
Pour $\sin \frac{\pi}{12}$:
Utilisant la formule de la différence des angles, on obtient:
En substituant les mêmes valeurs:
Pour déterminer les valeurs exactes de $\cos \frac{7\pi}{12}$ et $\sin \frac{7\pi}{12}$, nous utilisons la même approche :
Utilisons à nouveau les formules de somme et différence d’angles pour $\cos \frac{7\pi}{12}$ :
En utilisant la formule de la différence des angles:
Nous connaissons les valeurs suivantes:
En substituant ces valeurs:
Pour $\sin \frac{7\pi}{12}$:
Utilisant la formule de la différence des angles:
En substituant les mêmes valeurs:
Exercice 27 : simplifier et résoudre des équations
1) Simplifions l’expression suivante :
Utilisons la formule de la différence de cosinus :
Dans notre cas, et
, d’où :
et
Donc,
Comme , on obtient :
2) Établissons l’égalité suivante :
Utilisons les identités de sommes d’angles pour les sinus :
et
Calcule
Pour , soit
Simplifiez-vous à cette forme
Ensuite, simplifiez , soit
3) Résolvons dans l’équation suivante :
Utilisons la forme de l’équation pour simplifier dans la somme d’angle pour tous les angles :
Additionne l’équation pour obtenir :
Exercice 28 : déterminer les coordonnées d’un vecteur
1)
a) Un vecteur tel que la courbe
est invariante par translation de vecteur
est
, où
est la période de la fonction
.
b) En observant la représentation graphique de , on peut constater que la fonction se répète tous les 8 unités. Ainsi, la période
est de 8. Donc
.
2) Pour déterminer l’image de certains entiers par la fonction , nous devons utiliser la périodicité. Puisque
, nous savons que
pour tout entier
. Par conséquent:
– Pour , on écrit
. Donc,
. D’après le graphe,
.
Ainsi, .
– Pour , on écrit
. Donc,
. D’après le graphe,
.
Ainsi, .
– Pour , on écrit
. Donc,
. D’après le graphe,
.
Ainsi, .
– Pour , on écrit
. Donc,
. D’après le graphe,
.
Ainsi, .
En résumé:
Exercice 29 : vérifier que la fonction est T-Périodique
1)
\
Nous devons vérifier que pour
.
Calculons :
Comme , nous avons :
Donc, et la fonction est donc
-périodique.
2)
\
Nous devons vérifier que pour
.
Calculons :
En utilisant les identités trigonométriques, nous avons et
. Donc,
Donc, et la fonction est donc
-périodique.
3)
\
Nous devons vérifier que pour
.
Calculons :
En utilisant les identités trigonométriques, nous avons et
. Donc,
Donc, et la fonction est donc
-périodique.
4)
\
Nous devons vérifier que pour
.
Calculons :
Sachant que , cela donne :
Donc, et la fonction est donc
-périodique.
Exercice 30 : fonction paire ou impaire
Pour déterminer si une fonction est paire, impaire ou aucune des deux, il faut vérifier les propriétés suivantes :
– est paire si
pour tout
.
– est impaire si
pour tout
.
Nous allons étudier chaque fonction une par une.
1.
Calculons :
Donc, est impaire.
2.
Calculons :
Donc, est impaire.
3.
Calculons :
Donc, est impaire.
4.
Calculons
Donc, n’est ni paire ni impaire.
5.
Calculons pour valuer différentes:
Par conséquent, en général n’est ni paire ni impaire.
6.
Calculons :
Donc, est paire.
7.
Calculons :
Donc, n’est ni paire ni impaire.
8.
Calculons :
Donc, est impaire.
Exercice 31 : fonction homographique et polynôme
1. » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : Une fonction affine ne peut pas être paire sauf si elle est constante. Donc .
– *Impaire* : Pour que la fonction affine soit impaire, il faut que et que
, donc
.
2. » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si les termes de degré impair sont nuls. Donc .
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si les termes de degré pair sont nuls. Donc et
.
3. » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si . Donc
. En travaillant cette équation, on obtient
et
, ce qui mène à une forme simplifiée non définie à
, donc pas de fonction homographique paire stable.
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si . Donc
. En simplifiant, on obtient
et
, ce qui réduit encore la forme, indiquant pas de fonction homographique impaire stable.
4. » align= »absmiddle » /> :
– *Paire* : La fonction est paire si et seulement si . Donc les coefficients de termes de degré impair doivent être nuls :
et
.
– *Impaire* : La fonction est impaire si et seulement si . Donc les coefficients de termes de degré pair doivent être nuls :
et
.
En résumé :
– :
– Paire :
– Impaire :
– :
– Paire :
– Impaire :
– :
– Paire : Non canonique
– Impaire : Non canonique
– :
– Paire :
– Impaire :
Ce tableau résume les conditions pour lesquelles les différentes fonctions peuvent être paires ou impaires.
Exercice 32 : résoudre les équations
Correction :
1.
Sur l’intervalle :
2.
Sur l’intervalle :
3.
Sur l’intervalle :
4.
Sur l’intervalle :
5.
Sur l’intervalle :
6.
Sur l’intervalle :
7.
Sur l’intervalle :
8.
Sur l’intervalle :
Exercice 33 : une étude de la dérivabilité de la fonction cosinus
Pour déterminer , nous avons :
Nous faisons tendre vers
.
D’abord, calculons les limites du numérateur et du dénominateur :
Nous obtenons une forme indéterminée de type . Nous appliquons donc la règle de L’Hôpital :
La règle de L’Hôpital dit que si ou
, alors:
Calculons les dérivées du numérateur et du dénominateur :
Le numérateur donne:
Le dénominateur donne:
Appliquons la règle de L’Hôpital :
Enfin,
Donc,
Exercice 34 : déterminer les limites suivantes
$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(x – \frac{\pi}{2}) \sin x}$
Pour résoudre cette limite, on utilise les développements limités au voisinage de $\frac{\pi}{2}$.
Ainsi,
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin x}$ où $a \in \mathbb{R}$
Utilisons les développements limités:
Ainsi,
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{\sin^2 x}$
Connaissant les développements limités de $\cos x$:
Ainsi,
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos^2 x – 1}{x}$
Utilisons les identités trigonométriques et les développements limités:
Ainsi,
Sachant que $\cos x \approx 1$ pour $x \to 0$,
Exercice 35 : f dérivable et tableau de variation
Démonstration que .
Analysons les limites aux bornes infinies:
Pour , on divise numérateur et dénominateur par
:
Quand , les termes
et
tendent vers 0:
Donc,
Pour :
et avec les termes et
tendant vers 0:
Donc,
Établissement de la dérivabilité de et calcul de sa dérivée.
Utilisons la règle de dérivation des fractions et la dérivée de la fonction racine:
Calculons séparément les dérivées:
Alors,
Tableau de variation de .
Pour le tableau de variations, nous devons étudier les signes de .
Exercice 36 : courbe représentative de la fonction sinus
Pour compléter la courbe représentative de la fonction sinus sur l’intervalle , on remarque que la fonction sinus est périodique avec une période de
.
1. : » align= »absmiddle » />
– À ,
.
– La courbe monte jusqu’à atteindre son maximum à , où
.
– Ensuite, elle redescend pour atteindre à nouveau 0 à , où
.
2. : » align= »absmiddle » />
– La courbe continue à descendre pour atteindre son minimum à , où
.
– Puis elle remonte pour atteindre 0 à , où
.
En résumé, nous devons ajouter les parties suivantes à la courbe donnée pour obtenir la représentation de la fonction sinus sur :
– Entre et
, une portion de sinusoïde montant de
à
à
puis redescendant à
.
– Entre et
, une portion de sinusoïde descendant de
à
à
puis remontant à
.
En conclusion, la courbe correcte sur l’intervalle comporte trois périodes reliées de sinusoïde, chaque cycle de
commençant et finissant à zéro.
Exercice 37 : fonction sinus et affirmations
Soit la fonction définie par
.
Pour vérifier si est paire, nous devons vérifier si
:
Nous savons que , donc:
Nous constatons que . Donc,
n’est pas paire.
Pour vérifier si est impaire, nous devons vérifier si
:
, donc:
Comme , nous concluons que
est impaire.
Ainsi, l’affirmation correcte est:
Exercice 38 : quel est le sens de variation ?
La fonction sinus est périodique et impaire, avec une période de . Analysons son comportement sur l’intervalle
.
Nous savons que:
– La fonction sinus est croissante sur l’intervalle .
– La fonction sinus atteint son maximum à .
– La fonction sinus est décroissante sur l’intervalle et décroissante sur l’intervalle
.
Calculons quelques valeurs pour vérifier:
Sur l’intervalle , la fonction sinus décroît de 1 à 0.
Sur l’intervalle , la fonction sinus décroît de 0 à -1.
Ainsi, la fonction sinus est décroissante sur l’intervalle .
Exercice 39 : démontrer que la fonction f est périodique
Soit la fonction définie par
.
Nous devons exprimer en fonction de
et démontrer que la fonction
est périodique de période
.
Calculons :
Développons l’expression à l’intérieur de la fonction sinus :
Or, nous savons que pour tout réel ,
. Donc :
Ainsi :
Nous venons de montrer que . Donc, la fonction
est périodique de période
.
Exercice 40 : etude de la parité et de la périodicité
1. a) Conjecturer graphiquement la parité de .
En observant la courbe de la fonction , on remarque une symétrie par rapport à l’origine. Cette symétrie suggère que la fonction
est impaire.
b) Exprimer en fonction de
et démontrer cette conjecture.
Calculons :
Sachant que , nous avons :
Or,
Donc,
Ainsi, est bien une fonction impaire.
2. Exprimer en fonction de
et démontrer que la fonction
est périodique de période
.
Calculons :
Or, nous savons que la fonction sinus est périodique de période , donc :
Ce qui nous donne :
Or,
Donc,
Ainsi, nous avons montré que est périodique de période
.
Exercice 41 : démontrer que la fonction h est impaire
a) Démontrons que la fonction est impaire.
Une fonction est impaire si, pour tout
de son domaine:
Calculons donc :
Utilisons les propriétés des fonctions trigonométriques impaires:
Cela nous donne:
Comme notre égalité est vérifiée, nous pouvons conclure que est impaire.
b) Si une fonction est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère
. Cela signifie que si
est un point sur la courbe, alors
sera également un point sur la courbe.
c) Pour vérifier cette conjecture, il suffit d’afficher la courbe à l’écran d’une calculatrice graphique. On constatera que pour chaque point
sur la courbe, on trouve également le point
, confirmant ainsi que la courbe est bien symétrique par rapport à l’origine.
Exercice 42 : conjecturer que la fonction k est périodique
a) Pour afficher la courbe représentative de la fonction sur une calculatrice, il suffit de tracer la fonction
.
b) Conjecturons que la fonction est périodique de période
. Pour la fonction sinus,
est périodique de période
. Donc, pour
, nous conjecturons que la période
est :
c) Démontrons cette conjecture :
Une fonction est périodique de période
si pour tout
appartenant à
, on a
.
Prenons . Montrons que
:
Sachant que pour tout
:
Donc on a :
Par conséquent, la fonction est bien périodique de période
.
Exercice 43 : déterminer la fonction dérivée
a) sur
Pour trouver la dérivée de , nous appliquons la règle du quotient :
Nous connaissons les dérivées suivantes :
Donc,
b) sur
Pour trouver la dérivée de , nous utilisons d’abord la règle de la dérivation de fonctions composées et la règle du quotient. Observons que
:
Utilisons la règle de la chaîne avec pour obtenir :
Étant donné que , nous obtenons :
Ou encore,
Exercice 44 : etude d’une fonction et tableau de variation
Calculons la dérivée de
:
La dérivée de est :
La dérivée de est :
Ainsi,
Donc,
est du signe de
sur
. » align= »absmiddle » />
Sur l’intervalle ,
parce que
atteint sa valeur minimale (qui est
) en
.
Donc, pour tout
.
Ainsi, sur cet intervalle, le signe de est déterminé par le signe de
.
sur [0 ; π]. » align= »absmiddle » />
Sur l’intervalle :
– car
.
– pour
car
.
– pour
car
sur
.
sur
. » align= »absmiddle » />
Pour dresser le tableau de variations, il faut calculer les valeurs de aux points critiques et aux bornes de l’intervalle.
1.
2.
3.
Le tableau de variations est donc :
Variations :
Ainsi, la fonction croît sur
et décroît sur
.
Exercice 45 : dérivée et tableau de variation
a) Déterminer .
Calculons la dérivée en utilisant la règle du produit :
Nous avons deux fonctions et
. La dérivée du produit
est donnée par :
Calculons et
:
Alors :
Simplifions :
b) Expliquer pourquoi a le même signe que
.
La dérivée est donnée par :
Le signe de est déterminé par le produit des signes de
et
.
Observons les intervalles où ces termes changent de signe :
– change de signe à
et
.
– est toujours positif ou nul car
varie entre -1 et 1, donc
varie entre 0 et 2.
Ainsi, le terme est toujours positif sur l’intervalle
. Par conséquent, le signe de
dépend uniquement du signe de
.
c) Dresser le tableau de variations de sur
.
Pour dresser le tableau de variations, nous devons examiner les signes de :
– Pour ,
est croissante.
– Pour ,
, donc
. La fonction
est décroissante.
– Pour ,
est croissante.
Les valeurs aux points critiques :
–
–
–
–
–
Le tableau de variations de est alors :
Exercice 46 : exprimer f(x+2) et conclure
La fonction est définie par :
Calculons :
En utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition, nous avons :
La fonction cosinus est périodique de période , donc :
Alors :
Nous avons donc montré que :
Par conséquent, la fonction est périodique de période 2.
Exercice 47 : propriétés d’une fonction et calcul formel
a) Vérifions d’abord les résultats donnés par l’écran de calcul formel.
1. est défini par:
2. Calculons :
Or, pour tout
,
donc:
Alors:
3. Calculons :
Or, étant donné la périodicité de la fonction cosinus, pour tout
et
,
donc:
Alors:
Conclusion: Les résultats donnés par l’écran de calcul formel sont corrects.
b) Observons les propriétés de la fonction à partir de ces calculs:
– est une fonction paire car
.
– est
-périodique car
.
c) Pour la courbe représentative de , on en déduit les caractéristiques suivantes:
– La courbe de est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (symétrie paire).
– La courbe de est périodique avec une période de
.
Exercice 48 : déterminer dans chaque cas la fonction dérivée
a) Soit . La dérivée de
est :
b) Soit . La dérivée de
est obtenue en utilisant la règle du produit :
c) Soit . La dérivée de
est obtenue en utilisant également la règle du produit :
d) Soit . La dérivée de
est obtenue en utilisant la règle de la chaîne pour le second terme :
Exercice 49 : déterminer la fonction dérivée définie sur I
a) avec
Pour dériver , nous utilisons la formule du quotient de deux fonctions
et
:
où et
.
Les dérivées sont et
.
Ainsi, la dérivée de est
b) avec
Pour dériver , nous utilisons la règle de dérivation d’une fonction
et
:
où , donc
.
Ainsi, la dérivée de est
Exercice 50 : etudier f ‘(x) et dresser le tableau de variation
1) Vérifions le résultat affiché sur l’écran de calcul formel.
La fonction donnée est :
On va calculer la dérivée de .
Utilisons la chaîne de dérivation et les identités trigonométriques pour dériver :
En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons :
Et pour , la dérivée est :
Donc la dérivée de est :
Factorisons :
Ainsi, la dérivée factorisée est :
Ce qui correspond au résultat affiché sur l’écran de calcul formel.
2.a) Expliquer pourquoi est du signe de
sur
. En déduire le signe de
sur
.
La dérivée est donnée par :
– Observons que est constant et négatif.
– Sur ,
est toujours négatif ou nul, car
varie entre -1 et 1, donc
.
– alterne entre positif et négatif sur
.
Donc, prend le signe opposé de
puisque
et
sont toujours négatifs ou nuls.
Déduisons le signe de sur les intervalles de
en utilisant le signe de
:
– est positif sur
– est négatif sur
Par conséquent :
– est négatif sur
car
est positif.
– est positif sur
car
est négatif.
2.b) Dresser le tableau de variations de sur
.
Nous savons que change de signe aux points
.
Analysons les valeurs de à ces points :
–
–
–
Ensuite, construisons le tableau de variations :
Ainsi, le tableau de variations de sur
est :
– décroît sur
– atteint un minimum local (égal à 0) à
– atteint un maximum local (égal à 4) à
– décroît sur
– atteint un minimum local (égal à 0) à
.
En conséquence, varie de la manière suivante :
– commence à 0, monte jusqu’à 4 puis redescend à 0.
Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :
D'autres outils pour progresser en autonomie :