Lois normales : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : production de vis et loi normale
L est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite (\mathcal{N}(0%2C1)).

a) P(-0%2C1\,\leq\,\,L\,\leq\,\,0%2C1)

Pour une loi normale centrée réduite, on utilise les tables de la loi normale ou une calculatrice scientifique :

P(L\,\leq\,\,0%2C1)\,\approx\,0%2C5398
P(L\,\leq\,\,-0%2C1)\,\approx\,0%2C4602

Ainsi,

P(-0%2C1\,\leq\,\,L\,\leq\,\,0%2C1)\,=\,P(L\,\leq\,\,0%2C1)\,-\,P(L\,\leq\,\,-0%2C1)\,=\,0%2C5398\,-\,0%2C4602\,=\,0%2C0796

b) P(L\,\leq\,\,0%2C05)

Pour une loi normale centrée réduite :

P(L\,\leq\,\,0%2C05)\,\approx\,0%2C5199

c) P(L\,\geq\,\,0%2C2)

Pour une loi normale centrée réduite :

P(L\,\geq\,\,0%2C2)\,=\,1\,-\,P(L\,\leq\,\,0%2C2)

P(L\,\leq\,\,0%2C2)\,\approx\,0%2C5793

Donc,

P(L\,\geq\,\,0%2C2)\,=\,1\,-\,0%2C5793\,=\,0%2C4207

En résumé :
a) P(-0%2C1\,\leq\,\,L\,\leq\,\,0%2C1)\,\approx\,0%2C0796
b) P(L\,\leq\,\,0%2C05)\,\approx\,0%2C5199
c) P(L\,\geq\,\,0%2C2)\,\approx\,0%2C4207

Exercice 2 : course à pied et événement
L’évènement P(T\,\geq\,\,0%2C25) représente la probabilité pour qu’un participant ait mis un temps supérieur à 3\,%2B\,0%2C25\,=\,3%2C25 heures pour terminer la course.

Pour calculer les probabilités demandées, nous allons utiliser la table de la loi normale standard \mathcal{N}(0%2C1).

\mathcal{N}(0%2C1) désigne une loi normale centrée et réduite avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

### a) P(T\,\geq\,\,0%2C25)

D’après la loi normale standard, nous avons :

P(T\,\geq\,\,0%2C25)\,=\,1\,-\,P(T\,\leq\,\,0%2C25)

Nous cherchons donc P(T\,\leq\,\,0%2C25).

En utilisant une table de la loi normale, nous trouvons :

P(T\,\leq\,\,0%2C25)\,\approx\,0%2C5987

Donc :

P(T\,\geq\,\,0%2C25)\,=\,1\,-\,0%2C5987\,=\,0%2C4013

### b) P(T\,\leq\,\,-0%2C5)

En utilisant une table de la loi normale, nous trouvons :

P(T\,\leq\,\,-0%2C5)\,\approx\,0%2C3085

### c) P(-0%2C1\,\leq\,\,T\,\leq\,\,0%2C2)

Nous devons calculer P(T\,\leq\,\,0%2C2) et P(T\,\leq\,\,-0%2C1).

En utilisant une table de la loi normale, nous trouvons :

P(T\,\leq\,\,0%2C2)\,\approx\,0%2C5793
P(T\,\leq\,\,-0%2C1)\,\approx\,0%2C4602

Donc, la probabilité cherchée est :

P(-0%2C1\,\leq\,\,T\,\leq\,\,0%2C2)\,=\,P(T\,\leq\,\,0%2C2)\,-\,P(T\,\leq\,\,-0%2C1)

P(-0%2C1\,\leq\,\,T\,\leq\,\,0%2C2)\,=\,0%2C5793\,-\,0%2C4602\,=\,0%2C1191

En résumé:

P(T\,\geq\,\,0%2C25)\,\approx\,0%2C40
P(T\,\leq\,\,-0%2C5)\,\approx\,0%2C31
P(-0%2C1\,\leq\,\,T\,\leq\,\,0%2C2)\,\approx\,0%2C12

Exercice 3 : déterminer les probabilités et la valeur du réel t
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

1) Déterminer les probabilités suivantes.

On utilise la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, notée \Phi(x), pour trouver les probabilités.

a) P(0\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)

P(0\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)\,=\,\Phi(0%2C5)\,-\,\Phi(0)
\Phi(0%2C5)\,\approx\,0%2C6915
\Phi(0)\,=\,0%2C5
P(0\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)\,=\,0%2C6915\,-\,0%2C5\,=\,0%2C1915

b) P(X\,\leq\,\,0%2C5)

P(X\,\leq\,\,0%2C5)\,=\,\Phi(0%2C5)\,\approx\,0%2C6915

c) P(X\,\geq\,\,-0%2C5)

P(X\,\geq\,\,-0%2C5)\,=\,1\,-\,\Phi(-0%2C5)
\Phi(-0%2C5)\,\approx\,0%2C3085
P(X\,\geq\,\,-0%2C5)\,=\,1\,-\,0%2C3085\,=\,0%2C6915

d) P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)

P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)\,=\,\Phi(0%2C5)\,-\,\Phi(-1)
\Phi(-1)\,\approx\,0%2C1587
P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,0%2C5)\,=\,0%2C6915\,-\,0%2C1587\,=\,0%2C5328

e) P(X\,\geq\,\,1)

P(X\,\geq\,\,1)\,=\,1\,-\,\Phi(1)
\Phi(1)\,\approx\,0%2C8413
P(X\,\geq\,\,1)\,=\,1\,-\,0%2C8413\,=\,0%2C1587

f) P(X\,\leq\,\,-2)

P(X\,\leq\,\,-2)\,=\,\Phi(-2)
\Phi(-2)\,\approx\,0%2C0228

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur du réel t telle que :

a) P(X\,%3C\,t)\,=\,0%2C8

On cherche t tel que \Phi(t)\,=\,0%2C8.

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite ou une calculatrice :

\Phi(t)\,=\,0%2C8\,\implies\,t\,\approx\,0%2C842

b) P(t\,\leq\,\,X)\,=\,0%2C2

On a P(X\,\geq\,\,t)\,=\,0%2C2 donc P(X\,%3C\,t)\,=\,0%2C8.

On cherche t tel que \Phi(t)\,=\,0%2C8.

\Phi(t)\,=\,0%2C8\,\implies\,t\,\approx\,0%2C842

c) P(X\,%3C\,t)\,=\,0%2C15

On cherche t tel que \Phi(t)\,=\,0%2C15.

\Phi(t)\,=\,0%2C15\,\implies\,t\,\approx\,-1%2C036

d) P(-t\,\leq\,\,X\,\leq\,\,t)\,=\,0%2C4

On cherche t tel que P(-t\,\leq\,\,X\,\leq\,\,t)\,=\,\Phi(t)\,-\,\Phi(-t)\,=\,0%2C4.

\Phi(t)\,=\,1\,-\,\Phi(-t)
\Phi(t)\,\approx\,0%2C7\,\implies\,t\,\approx\,0%2C524

Exercice 4 : une variable aléatoire Y suivant la loi normale centrée réduite
P(Y\,%3C\,a)\,=\,0.7

1) P(Y\,\leq\,\,a)

Pour une variable aléatoire Y suivant une loi normale centrée réduite \mathcal{N}(0%2C\,1), la probabilité qu’elle soit inférieure ou égale à une valeur a est la même que la probabilité qu’elle soit strictement inférieure à cette même valeur :
P(Y\,\leq\,\,a)\,=\,P(Y\,%3C\,a)\,=\,0.7

2) P(Y\,>\,a)

En utilisant la symétrie de la loi normale centrée réduite \mathcal{N}(0%2C\,1) :
P(Y\,\geq\,\,-a)\,=\,P(Y\,\leq\,\,a)
P(Y\,\geq\,\,-a)\,=\,0.7

4) P(0\,\leq\,\,Y\,\leq\,\,a)

En utilisant la propriété des probabilités cumulatives de la loi normale :
P(0\,\leq\,\,Y\,\leq\,\,a)\,=\,P(Y\,\leq\,\,a)\,-\,P(Y\,\leq\,\,0)
Sachant que pour la loi normale centrée réduite \mathcal{N}(0%2C\,1), P(Y\,\leq\,\,0)\,=\,0.5 :
P(0\,\leq\,\,Y\,\leq\,\,a)\,=\,0.7\,-\,0.5\,=\,0.2

5) P(Y\,\leq\,\,-a)
P(Y\,\leq\,\,-a)\,=\,P(Y\,>\,a)

En résumé :
1) P(Y\,\leq\,\,a)\,=\,0.7
2) P(Y\,>\,a)\,=\,0.3
4) P(0\,\leq\,\,Y\,\leq\,\,a)\,=\,0.2
5) P(Y\,\leq\,\,-a)\,=\,0.3

Exercice 5 : une variable aléatoire X suivant une loi normale

Quelle loi suit Z\,=\,\dfrac{X\,-\,\mu{\sigma} ?}
\begin{align*}
Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} \text{ suit une loi normale centrée réduite } \mathcal{N}(0,1).
\end{align*}

Montrer que X\,%3C\,14\,\Leftrightarrow\,Z\,%3C\,\dfrac{14\,-\,\mu{\sigma}}
\begin{align*}
X < 14 \Leftrightarrow \dfrac{X – \mu}{\sigma} < \dfrac{14 – \mu}{\sigma} \\
\Leftrightarrow Z < \dfrac{14 – \mu}{\sigma}.
\end{align*}

Déterminer le réel t tel que P(Z\,%3C\,t)\,=\,0%2C0668. Arrondir au centième.
\begin{align*}
P(Z < t) = 0,0668 \implies t = -1.51.
\end{align*}

En déduire que 14\,=\,-1%2C51\sigma\,%2B\,\mu
\begin{align*}
\dfrac{14 – \mu}{\sigma} = -1.51 \Leftrightarrow 14 – \mu = -1.51\sigma \\
\Leftrightarrow \mu = 14 + 1.51\sigma.
\end{align*}

Traduire de même P(X\,\geq\,\,27)\,=\,0.04 par une égalité portant sur \mu et \sigma en arrondissant au centième.
\begin{align*}
P(X \geq\, 27) = 0.04 \Leftrightarrow P(Z \geq\, \dfrac{27 – \mu}{\sigma}) = 0.04 \\
\Leftrightarrow P(Z < \dfrac{27 – \mu}{\sigma}) = 0.96.
\end{align*}
En utilisant la table de la loi normale :
\begin{align*}
P(Z < 1.75) \approx 0.96 \Rightarrow \dfrac{27 – \mu}{\sigma} = 1.75 \\
\Leftrightarrow 27 – \mu = 1.75\sigma \\
\Leftrightarrow \mu = 27 – 1.75\sigma.
\end{align*}

En déduire les valeurs de \mu et \sigma.
\begin{align*}
14 + 1.51\sigma = 27 – 1.75\sigma \\
3.26\sigma = 13 \\
\sigma \approx 3.99.
\end{align*}
En utilisant \sigma\,\approx\,3.99 dans \mu\,=\,14\,%2B\,1.51\sigma :
\begin{align*}
\mu \approx 14 + 1.51 \times 3.99 \\
\mu \approx 20.02.
\end{align*}

Donc, \mu\,\approx\,20.02 et \sigma\,\approx\,3.99.

Exercice 6 : déterminer, en arrondissant, h et t
1. Pour déterminer t tel que P(Z\,%3C\,6t)\,=\,0%2C99:

Sachant que Z\,\sim\,\mathcal{N}(0%2C\,1), nous utilisons la table de la loi normale ou des outils de calcul pour trouver la valeur de la variable aléatoire standard qui correspond à une probabilité cumulée de 0,99. La valeur z correspondante est environ 2,33.

Donc, nous avons :
P(Z\,%3C\,2%2C33)\,=\,0%2C99

Ainsi :
6t\,=\,2%2C33
t\,=\,\frac{2%2C33}{6}\,\approx\,0%2C39

\vspace{0.5cm}

2. Pour déterminer h tel que P(-2h\,%3C\,Z\,%3C\,2h)\,=\,0%2C95:

Sachant que Z\,\sim\,\mathcal{N}(0%2C\,1), nous cherchons la valeur 2h telle que la probabilité que Z soit entre -2h et 2h soit 0,95. La valeur z correspondant à P(-z\,%3C\,Z\,%3C\,z)\,=\,0%2C95 est environ 1,96 (les bornes symétriques autour de 0 capturent 95% de la distribution normale).

Ainsi :
2h\,=\,1%2C96
h\,=\,\frac{1%2C96}{2}\,\approx\,0%2C98

Exercice 7 : une puce qui effectue un saut en longueur
1) Déterminer P(-1\,\le\,X\,\le\,2).

L’intervalle %5B-1%2C\,2%5D correspond à la probabilité que la variable aléatoire X (qui suit une loi normale \mathcal{N}(0%2C\,1)) prenne une valeur entre -1 et 2. Nous allons utiliser les valeurs de la table de la fonction de répartition de la loi normale standard.

P(-1\,\le\,X\,\le\,2)\,=\,P(X\,\le\,2)\,-\,P(X\,\le\,-1)

Avec la table de la loi normale standard, nous avons :
P(X\,\le\,2)\,\approx\,0%2C977
P(X\,\le\,-1)\,\approx\,0%2C159

Donc,
P(-1\,\le\,X\,\le\,2)\,\approx\,0%2C977\,-\,0%2C159\,=\,0%2C818

2) Quelle est la probabilité que la puce retombe à son point de départ?

La probabilité que la puce retombe exactement à son point de départ (c’est-à-dire X\,=\,0) pour une variable continue est nulle. Donc,

P(X\,=\,0)\,=\,0

3) Quelle est la probabilité que la puce parcourt plus de 1 dm ?

Nous devons calculer P(X\,>\,1)

Donc,
P(X\,>\,1)\,\approx\,1\,-\,0%2C841\,=\,0%2C159 telle que :

P(%7CX%7C\,\ge\,x)\,=\,0%2C99

Cela revient à trouver x tel que P(%7CX%7C\,%3C\,x)\,=\,0%2C01. En termes de la fonction de répartition de la loi normale standard :

P(-x\,\le\,X\,\le\,x)\,=\,0%2C01

En utilisant la symétrie de la loi normale, la distance correspondante est trouvée via :
P(X\,\le\,x)\,=\,0%2C005
et
P(X\,\le\,-x)\,=\,0%2C995

Avec les calculs, nous trouvons via la table de la loi normale standard ou une calculatrice de probabilité que :

x\,\approx\,2%2C576

Donc, le chat doit se placer à une distance d’environ 2,576 dm de la puce pour avoir 99% de chance de l’éviter.

Exercice 8 : déterminer la probabilité qu’il soit à découvert
1) Déterminer la probabilité que le compte de Sigmund soit à découvert.

P(X\,%3C\,0)

Puisque X suit une loi normale \mathcal{N}(0%2C\,1), la probabilité que X soit négative correspond à la moitié de la distribution.

P(X\,%3C\,0)\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0.5

2) Déterminer la probabilité que Sigmund :

a) ait entre 200 et 500 euros sur son compte ;

b) soit à découvert d’entre 100 et 600 euros.

Pour ces calculs, nous allons utiliser les valeurs suivantes :

\Phi(z) représente la fonction de répartition de la loi normale standard.

a)

P(200\,%3C\,X\,%3C\,500)\,=\,P(0.2\,%3C\,X\,%3C\,0.5)

P(0.2\,%3C\,X\,%3C\,0.5)\,=\,\Phi(0.5)\,-\,\Phi(0.2)

En utilisant les tables de la loi normale :

\Phi(0.5)\,\approx\,0.6915
\Phi(0.2)\,\approx\,0.5793

P(200\,%3C\,X\,%3C\,500)\,=\,0.6915\,-\,0.5793\,=\,0.1122

b)

P(-6\,%3C\,X\,%3C\,-1)\,=\,P(-6\,%3C\,X\,%3C\,-1)

P(-6\,%3C\,X\,%3C\,-1)\,=\,\Phi(-1)\,-\,\Phi(-6)

En utilisant les tables de la loi normale :

\Phi(-1)\,\approx\,0.1587
\Phi(-6)\,\approx\,0

P(-6\,%3C\,X\,%3C\,-1)\,=\,0.1587\,-\,0\,\approx\,0.1587

3) Déterminer la probabilité qu’il soit à découvert de plus de 500 euros sachant qu’il a reçu un SMS.

P(X\,%3C\,-0.5\,%7C\,X\,%3C\,0)

On utilise la formule de la probabilité conditionnelle :

P(X\,%3C\,-0.5\,%7C\,X\,%3C\,0)\,=\,\frac{P(X\,%3C\,-0.5\,\cap\,X\,%3C\,0)}{P(X\,%3C\,0)}

Puisque X\,%3C\,-0.5 implique X\,%3C\,0, on a :

P(X\,%3C\,-0.5\,%7C\,X\,%3C\,0)\,=\,\frac{P(X\,%3C\,-0.5)}{P(X\,%3C\,0)}

En utilisant les tables de la loi normale :

P(X\,%3C\,-0.5)\,=\,\Phi(-0.5)\,\approx\,0.3085
P(X\,%3C\,0)\,=\,0.5

P(X\,%3C\,-0.5\,%7C\,X\,%3C\,0)\,=\,\frac{0.3085}{0.5}\,=\,0.617

Exercice 9 : loi normale et calculs de probabilités
1)\,On\,considere\,une\,variable\,aleatoire\,\,X\,\,suivant\,la\,loi\,\,\mathcal{N}(2%3B\,3^2).

a) P(0\,\le\,X\,\le\,3)

Nous devons standardiser X, c’est-à-dire, transformer X en variable aléatoire normale standard Z\,=\,\frac{X\,-\,\mu}{\sigma}\mu\,=\,2 et \sigma\,=\,3:

P(0\,\le\,X\,\le\,3)\,=\,P(\frac{0-2}{3}\,\le\,Z\,\le\,\frac{3-2}{3})
=\,P(-\frac{2}{3}\,\le\,Z\,\le\,\frac{1}{3}).

En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice statistique:

P(-\frac{2}{3}\,\le\,Z\,\le\,\frac{1}{3})\,\approx\,0.630.

b) P(X\,%3C\,2)

P(X\,%3C\,2)\,=\,P(Z\,%3C\,\frac{2-2}{3})\,=\,P(Z\,%3C\,0).
Comme Z suit une distribution normale standard symétrique:

P(Z\,%3C\,0)\,=\,0.5.

c) P(4\,\le\,X)

P(4\,\le\,X)\,=\,P(Z\,\ge\,\frac{4-2}{3})\,=\,P(Z\,\ge\,\frac{2}{3}).
En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice statistique:

P(Z\,\ge\,\frac{2}{3})\,=\,1\,-\,P(Z\,\le\,\frac{2}{3})\,\approx\,1\,-\,0.748\,=\,0.252.

d) P(X\,%3C\,1)

P(X\,%3C\,1)\,=\,P(Z\,%3C\,\frac{1-2}{3})\,=\,P(Z\,%3C\,-\frac{1}{3}).
En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice statistique:

P(Z\,%3C\,-\frac{1}{3})\,\approx\,0.368.

e) P(X\,\ge\,3)

P(X\,\ge\,3)\,=\,P(Z\,\ge\,\frac{3-2}{3})\,=\,P(Z\,\ge\,\frac{1}{3}).
En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice:

P(Z\,\ge\,\frac{1}{3})\,=\,1\,-\,P(Z\,\le\,\frac{1}{3})\,\approx\,1\,-\,0.629\,=\,0.371.

f) P(X\,>\,-2)

P(1\,%3C\,X\,%3C\,3)\,=\,P(\frac{1-2}{3}\,%3C\,Z\,%3C\,\frac{3-2}{3})\,=\,P(-\frac{1}{3}\,%3C\,Z\,%3C\,\frac{1}{3}).
En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice:

P(-\frac{1}{3}\,%3C\,Z\,%3C\,\frac{1}{3})\,\approx\,0.248\,%2B\,0.371\,=\,0.619.

h) P(X\,\ge\,2(3\,%3C\,X)

P(X\,\ge\,2)\,(3\,%3C\,X)\,=\,P(Z\,\ge\,\frac{2-2}{3})\,(P(\frac{3-2}{3}\,%3C\,Z))
=\,P(\,Z=0)\,(P(Z%3C\frac{1}%0D%0A{3}))\,\approx\,0.629\,%2B\,0.5\,=\,1.129.

2) On considère une variable aléatoire Y suivant la loi normale de paramètres \mu\,=\,10 et \sigma=4.

a) P(Y\,\le\,t)\,=\,0.2

En utilisant les tables de la loi normale standard, nous obtenons:

P(Y\,\le\,t)\,=\,0.2\,\implies\,P(Z\,\le\,z)\,=\,0.2\,\,ou\,\,Z\,=\,\frac{Y\,-\,10}{4}.

On retrouve que z\,\approx\,-0.842 d’après les tables. Donc:

t\,=\,10\,%2B\,(-0.842\,\times  \,4)\,=\,10\,-\,3.368\,=\,6.632

b) P(Y\,\ge\,t)\,=\,0.1

P(Y\,\ge\,t)\,=\,0.1\,\implies\,P(Z\,\ge\,z)\,=\,0.1
\implies\,P(Z\,\le\,z)\,=\,0.9.

On retrouve que z\,\approx\,1.282. Donc:

t\,=\,10\,%2B\,(1.282\,\times  \,4)\,=\,10\,%2B\,5.128\,=\,15.128

c) P(t\,\le\,Y\,\le\,17)\,=\,0.2

P(t\,\le\,Y\,%3C\,17)\,=\,0.2\,\implies\,P(u\,\le\,Z\,\le\,v).

En utilisant les tables de la loi normale standard, on trouve v\,\approx\,1.842 et P(Z\,\le\,v)\,=\,0.033, donc:

t\,=\,10\,%2B\,4(-0.842)\,\approx\,6.368

d) P(t\,\le\,Y\,\le\,10)\,=\,0%2C35

P(t\,\le\,Y\,%3C\,10)\,=\,0.35\,\implies\,P(u\,\le\,Z\,\le\,v).

En utilisant les tables de la loi normale standard, on trouve v\,\approx\,0.385 et P(Z\,\le\,v)\,=\,0.384, donc:

t\,=\,10%2B\,4(-0.385)=\,7.45

e) P(t\,\le\,Y\,\le\,9)\,=\,0.21

P(t\,\le\,Y\,%3C\,10)\,=\,0.21\,\implies\,P(u\,\le\,Z\,\le\,v).

En utilisant les tables de la loi normale standard, on trouve v\,\approx\,-0.251 et P(Z\,\le\,v)\,=\,0.399, donc:

t\,=\,10%2B\,4(-0.251)=\,7.826

f) \P{-t%0D%0A%0D%0A\le\,Y\,-10\,\le\,t}=\,0.90

En utilisant les tables de la loi normale standard ou une calculatrice, on trouve que Z\,\approx\,0.8 tant donc:

t_{1%2F2}=\,Z%2Bt_{1%2F2}=\,13.2\,moins\,4\,=\,10.8\math\less\,\\\implies\,\leggion%60%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-10%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,10\,%3A\,une\,variable\,aleatoire\,Z\,suivant\,une\,loi\,normale%3C%2Fspan>%0D%0AOn\,commence\,par\,standardiser\,la\,variable\,\(\,Z\,\)\,qui\,suit\,une\,loi\,normale\,\(\,\mathcal{N}(8%2C\,4)\,\).\,On\,utilise\,la\,transformation\,suivante\,pour\,exprimer\,\(\,Z\,\)\,en\,termes\,d'une\,variable\,normale\,standard\,\(\,X\,\)\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,Z\,=\,8\,%2B\,2XExercice 10 : une variable aleatoire Z suivant une loi normale
On commence par standardiser la variable Z qui suit une loi normale \mathcal{N}(8%2C\,4). On utilise la transformation suivante pour exprimer Z en termes d’une variable normale standard X :

\[ Z = 8 + 2X » align= »absmiddle » />

X suit une loi normale \mathcal{N}(0%2C1).

1) Déterminer les probabilités suivantes :

a) P(6\,\leq\,\,Z\,\leq\,\,12) :

On commence par standardiser :
P(6\,\leq\,\,Z\,\leq\,\,12)\,=\,P(\frac{6-8}{2}\,\leq\,\,X\,\leq\,\,\frac{12-8}{2})
P(6\,\leq\,\,Z\,\leq\,\,12)\,=\,P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,2)

En utilisant les tables de la loi normale standard :
P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,2)\,=\,\Phi(2)\,-\,\Phi(-1)
P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,2)\,=\,0.9772\,-\,0.1587
P(-1\,\leq\,\,X\,\leq\,\,2)\,=\,0.8185

b) P(Z\,>\,9) :

On standardise :
P(Z\,\leq\,\,7.5)\,=\,P(X\,\leq\,\,\frac{7.5-8}{2})
P(Z\,\leq\,\,7.5)\,=\,P(X\,\leq\,\,-0.25)

En utilisant les tables de la loi normale standard :
P(X\,\leq\,\,-0.25)\,=\,\Phi(-0.25)
P(X\,\leq\,\,-0.25)\,=\,0.4013

d) P(Z\,\geq\,\,8\,\cap\,Z\,%3C\,10) :

On standardise :
P(8\,\leq\,\,Z\,%3C\,10)\,=\,P(\frac{8-8}{2}\,\leq\,\,X\,%3C\,\frac{10-8}{2})
P(8\,\leq\,\,Z\,%3C\,10)\,=\,P(0\,\leq\,\,X\,%3C\,1)

En utilisant les tables de la loi normale standard :
P(0\,\leq\,\,X\,%3C\,1)\,=\,\Phi(1)\,-\,\Phi(0)
P(0\,\leq\,\,X\,%3C\,1)\,=\,0.8413\,-\,0.5
P(0\,\leq\,\,X\,%3C\,1)\,=\,0.3413

2) Déterminer dans chacun des cas suivants la valeur du réel t telle que :

a) P(Z\,\leq\,\,t)\,=\,0.3 :

En utilisant les tables de la loi normale standard pour trouver la valeur correspondante de X:
\Phi(X)\,=\,0.3\,\implies\,X\,\approx\,-0.5244

On déstandardise pour trouver t:
t\,=\,8\,%2B\,2(-0.5244)
t\,=\,8\,-\,1.0488
t\,\approx\,6.9512

b) P(Z\,\geq\,\,2t)\,=\,0.4 :

P(Z\,\geq\,\,2t)\,=\,0.4 implique P(Z\,%3C\,2t)\,=\,0.6.

En utilisant les tables de la loi normale standard pour trouver la valeur correspondante de X:
\Phi(X)\,=\,0.6\,\implies\,X\,\approx\,0.2533

On déstandardise pour trouver 2t:
2t\,=\,8\,%2B\,2(0.2533)
2t\,=\,8\,%2B\,0.5066
2t\,\approx\,8.5066

Donc, t\,\approx\,4.2533

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Voir Corrigés 11 à 20 ...

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