Nombres relatifs : corrigés des exercices de maths en 4ème.

\[ V = 8 \times 4 – 5 \times 6 \]
\[ V = 32 – 30 \]
\[ V = 2 \]

\[ W = 9 – 3 : 3 \]
\[ W = 9 – 1 \]
\[ W = 8 \]

\[ X = -7 \times (3 + 6) \]
\[ X = -7 \times 9 \]
\[ X = -63 \]

\[ Y = (-2 – 4) \times (6 – 8) \]
\[ Y = (-6) \times (-2) \]
\[ Y = 12 \]

\[ Z = 7 – [6 – (3 – 8)] \]
\[ Z = 7 – [6 – (-5)] \]
\[ Z = 7 – 11 \]
\[ Z = -4 \]

Exercice 12 : calcul littéral et nombres relatifs .
Calculer les expressions suivantes sachant que \(a = -6\), \(b = 2\) et \(c = -4\).

1. \(a + b \cdot c\)

\[
a + b \cdot c = -6 + 2 \cdot (-4) = -6 + (-8) = -6 – 8 = -14
\]

2. \((a + b) \times c\)

\[
(a + b) \times c = (-6 + 2) \times (-4) = (-4) \times (-4) = 16
\]

3. \(a + \frac{b}{c}\)

\[
a + \frac{b}{c} = -6 + \frac{2}{-4} = -6 – \frac{1}{2} = -6 – 0.5 = -6.5
\]

4. \(\frac{a + b}{c}\)

\[
\frac{a + b}{c} = \frac{-6 + 2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1
\]

Exercice 13 : simplifier et calculer des expressions numériques
\begin{align*}
A = (-14) – (-13) + (-7) \\
= -14 + 13 – 7 \\
= (-14 + 13) – 7 \\
= -1 – 7 \\
= -8
\end{align*}

\begin{align*}
B = (-4) – [(-3) – (-8) + (+7)] \\
= -4 – [(-3) + 8 + 7] \\
= -4 – [12] \\
= -4 – 12 \\
= -16
\end{align*}

\begin{align*}
C = (-2) + (-3) \times (+5) \\
= -2 + (-15) \\
= -2 – 15 \\
= -17
\end{align*}

\begin{align*}
D = (-9) – (-5) + [(-3) – (+2) \times (-3)] \\
= (-9) + 5 + [(-3) – (-6)] \\
= (-9) + 5 + (-3 + 6) \\
= (-9) + 5 + 3 \\
= (-9 + 5) + 3 \\
= -4 + 3 \\
= -1
\end{align*}

\begin{align*}
E = (-4) – (3 – 7) + (-8) \\
= (-4) – (-4) + (-8) \\
= (-4) + 4 – 8 \\
= 0 – 8 \\
= -8
\end{align*}

Exercice 14 : trouver le signe d’un quotient
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres relatifs négatifs et non nuls.

La multiplication de deux nombres négatifs donne un résultat positif :
\[ a < 0 \quad \text{et} \quad b < 0 \quad \Rightarrow \quad ab > 0 \]
Donc, le produit \( ab \) est positif.

Cependant, la somme de deux nombres négatifs reste négative :
\[ a < 0 \quad \text{et} \quad b < 0 \quad \Rightarrow \quad a + b < 0 \]

Ainsi, le quotient
\[ \frac{ab}{a+b} \]
se compose d’un numérateur positif (\( ab > 0 \)) et d’un dénominateur négatif (\( a + b < 0 \)).

Un quotient avec un numérateur positif et un dénominateur négatif est toujours négatif, donc :
\[ \frac{ab}{a+b} < 0 \]

En conclusion, le signe du quotient \(\frac{ab}{a+b}\) est négatif.

Exercice 15 : calculs sur les nombres relatifs
\[
\begin{aligned}
A = (5 – 8) \times (-2 – 4) \\
= (-3) \times (-6) \\
= 18
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
B = (-4) \times (-5) \times (-2) \times (-6 + 7) \\
= (-4) \times (-5) \times (-2) \times 1 \\
= (-4) \times (-5) \times (-2) \\
= 20 \times (-2) \\
= -40
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
C = [9 + 2 \times (-12)] : [3 – (16 – 18)] \\
= [9 + 2 \times (-12)] : [3 – (-2)] \\
= [9 + (-24)] : [3 + 2] \\
= [-15] : [5] \\
= -3
\end{aligned}
\]

Exercice 16 : somme de deux nombres relatifs
a.
\[
(-10) + (-1) = -10 – 1 = -11
\]

b.
\[
(+13) + (-6) = 13 – 6 = 7
\]

c.
\[
(+5) + (+5) = 5 + 5 = 10
\]

d.
\[
(-13) + (+6) = -13 + 6 = -7
\]

e.
\[
(+1) + (-1) = 1 – 1 = 0
\]

f.
\[
(+0,8) + (+3) = 0,8 + 3 = 3,8
\]

g.
\[
(+1,5) + (-4) = 1,5 – 4 = -2,5
\]

h.
\[
(-2) + (+5,5) = -2 + 5,5 = 3,5
\]

i.
\[
(-1) + (-4,1) = -1 – 4,1 = -5,1
\]

j.
\[
(-5) + (-0,4) = -5 – 0,4 = -5,4
\]

Exercice 17 : soustraction de deux nombres relatifs
a. \( (-6) – (-9) = -6 + 9 = 3 \)

b. \( (-3) – (-5) = -3 + 5 = 2 \)

c. \( (+15) – (-15) = 15 + 15 = 30 \)

d. \( (-15) – (+17) = -15 – 17 = -32 \)

e. \( (-0.1) – (-2) = -0.1 + 2 = 1.9 \)

f. \( (+6.5) – (+1) = 6.5 – 1 = 5.5 \)

g. \( (-1) – (+9.5) = -1 – 9.5 = -10.5 \)

h. \( (+0.3) – (-6) = 0.3 + 6 = 6.3 \)

Exercice 18 : effectuer les calculs
a. \(4 – 19 = -15\)

b. \(-18 + 13 = -5\)

c. \(-8 – 3 = -11\)

d. \(-11 + 11 = 0\)

e. \(-2,5 – 2,5 = -5\)

f. \(-0,1 + 100 = 99,9\)

g. \(0,3 – 7,3 = -7\)

h. \(-0,5 – 19,5 = -20\)

Exercice 19 : calculer la valeur des expressions
\[
A = (-14) + (+16) + (-3)
\]
\[
A = -14 + 16 – 3
\]
\[
A = 2 – 3
\]
\[
A = -1
\]

\[
B = (+4,5) + (-16) + (-3,5) + (-3) + (+2,5)
\]
\[
B = 4,5 – 16 – 3,5 – 3 + 2,5
\]
\[
B = 4,5 + 2,5 – 16 – 3,5 – 3
\]
\[
B = 7 – 16 – 3,5 – 3
\]
\[
B = -9 – 3,5 – 3
\]
\[
B = -12,5 – 3
\]
\[
B = -15,5
\]

\[
C = (-7) – (-11) – (-1)
\]
\[
C = -7 + 11 + 1
\]
\[
C = -7 + 12
\]
\[
C = 5
\]

\[
D = (+2) – (-6) + (-3) – (-7) + (+12) – (-9)
\]
\[
D = 2 + 6 – 3 + 7 + 12 + 9
\]
\[
D = 2 + 6 + 7 + 12 + 9 – 3
\]
\[
D = 36 – 3
\]
\[
D = 33
\]

\[
E = (-2) – (-1) – 5 + 4 + 77
\]
\[
E = -2 + 1 – 5 + 4 + 77
\]
\[
E = -2 + 1 – 5 + 4 + 77
\]
\[
E = (-2 + 1) + (-5 + 4) + 77
\]
\[
E = -1 – 1 + 77
\]
\[
E = -2 + 77
\]
\[
E = 75
\]

Exercice 20 : relier les expressions égales
1. \[\] (-5) + (-20) = -25 \[\]
Peut être égal à:
\[\] (-1) + (-17) = -18 \[\]
ou
\[\] -3 + (-4 – 4) = -3 – 8 = -11\[\]
ou
\[\] (-12 – 1) – 12 = -12 – 13 = -25 \[\]
Donc:
\[\]
(-5) + (-20) = -12 – 1 – 12.
\[\]

2. \[\] 3 – (5 – 2) = 3 – 3 = 0 \[\]
Peut être égal à:
\[\] (-7) + 7 = 0 \[\]
Donc:
\[\]
3 – (5 – 2) = -7 + 7.
\[\]

3. \[\] -10 – 1 = -11 \[\]
Peut être égal à:
\[\] -3 + (-4 – 4) = -3 – 8 = -11 \[\]
Donc:
\[\]
-10 – 1 = -3 + (-4 – 4).
\[\]

4. \[\] (-7) – (+11) = -7 – 11 = -18 \[\]
Peut être égal à:
\[\] (-1) + (-17) = -18 \[\]
Donc:
\[\]
(-7) – (+11) = (-1) + (-17).
\[\]

5. \[\] -5 + 12 + 3 = 10 \[\]
Peut être égal à:
\[\] (+3) – (-7) = 10 \[\]
Donc:
\[\]
-5 + 12 + 3 = (+3) – (-7).
\[\]

Exercice 21 : calcul littéral et relatifs
LaTeX:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x y z x – y x – y + z \\
\hline
4,5 -1 2 4,5 – (-1) = 4,5 + 1 = 5,5 5,5 + 2 = 7,5 \\
\hline
-6 5 3,5 -6 – 5 = -11 -11 + 3,5 = -7,5 \\
\hline
7 -5 -4 7 – (-5) = 7 + 5 = 12 12 – 4 = 8 \\
\hline
1,5 -9 -8 1,5 – (-9) = 1,5 + 9 = 10,5 10,5 – 8 = 2,5 \\
\hline
7 -6 9,5 7 – (-6) = 7 + 6 = 13 13 + 9,5 = 22,5 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 22 : expressions numériques et parenthèses
\[ A = (-5 + 1) + (6 – 11) + (-3 – 17) \]
\[ A = (-4) + (-5) + (-20) \]
\[ A = -4 – 5 – 20 \]
\[ A = -29 \]

\[ B = (15 – 12) – (-1 – 8) + (5 + 7) – (-1 – 5) \]
\[ B = 3 – (-9) + 12 – (-6) \]
\[ B = 3 + 9 + 12 + 6 \]
\[ B = 30 \]

\[ C = (-3 + 1 – 9) – (6 – 11 + 3) + (-5 – 11 – 10) \]
\[ C = (-11) – (6 – 11 + 3) + (-26) \]
\[ C = (-11) – (-2) + (-26) \]
\[ C = -11 + 2 – 26 \]
\[ C = -35 \]

Exercice 23 : programme de calcul
{Correction de l’exercice :}

Pour appliquer le programme de calcul, suivons les étapes pour chaque nombre :

1. \[\]Pour \[a = -2,5\] :\[\]
\begin{align*}
\text{Étape 1 :} \quad -2,5 \\
\text{Étape 2 :} \quad -2,5 + 4 = 1,5 \\
\text{Étape 3 :} \quad 1,5 – 2,5 = -1 \\
\text{Étape 4 :} \quad \text{opposé de } -1 = 1
\end{align*}
Résultat final : \[1\]

2. \[\]Pour \[b = 0\] :\[\]
\begin{align*}
\text{Étape 1 :} \quad 0 \\
\text{Étape 2 :} \quad 0 + 4 = 4 \\
\text{Étape 3 :} \quad 4 – 2,5 = 1,5 \\
\text{Étape 4 :} \quad \text{opposé de } 1,5 = -1,5
\end{align*}
Résultat final : \[-1,5\]

3. \[\]Pour \[c = 1,5\] :\[\]
\begin{align*}
\text{Étape 1 :} \quad 1,5 \\
\text{Étape 2 :} \quad 1,5 + 4 = 5,5 \\
\text{Étape 3 :} \quad 5,5 – 2,5 = 3 \\
\text{Étape 4 :} \quad \text{opposé de } 3 = -3
\end{align*}
Résultat final : \[-3\]

4. \[\]Pour \[d = -1\] :\[\]
\begin{align*}
\text{Étape 1 :} \quad -1 \\
\text{Étape 2 :} \quad -1 + 4 = 3 \\
\text{Étape 3 :} \quad 3 – 2,5 = 0,5 \\
\text{Étape 4 :} \quad \text{opposé de } 0,5 = -0,5
\end{align*}
Résultat final : \[-0,5\]

Exercice 24 : produit de relatifs et règle des signes
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
{Produit} {Positif} {Négatif} \\
\hline
(– 7) \[\times \] 37 \checkmark \\
7,5 \[\times \] 3 \checkmark \\
2 \[\times \] (– 3,2) \checkmark \\
(– 1) \[\times \] (– 5,3) \checkmark \\
(– 2) \[\times \] (– 0,1) \checkmark \\
(– 0,2) \[\times \] (– 7) \checkmark \\
7,5 \[\times \] (– 37) \checkmark \\
(– 7,5) \[\times \] (– 37) \checkmark \\
(– 4) \[\times \] 0 \\
0,23 \[\times \] 5 \checkmark \\
4 \[\times \] (– 4) \checkmark \\
0 \[\times \] 5,54 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Exercice 25 : multiplier deux nombres relatifs
a. \( (-10) \times (-10) = 100 \)

b. \( 10 \times 10 = 100 \)

c. \( 10 \times (-10) = -100 \)

d. \( (-25) \times 4 = -100 \)

e. \( (-100) \times 2 = -200 \)

f. \( (-50) \times (-4) = 200 \)

g. \( 237 \times (-1) = -237 \)

h. \( (-250) \times (-1) = 250 \)

Exercice 26 : généralités de la règle des signes
a. \((-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5)\)

\[
(-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) = (-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5)
\]

\[
= (-1) \times 2 = -2
\]

\[
= -2 \times (-3) = 6
\]

\[
= 6 \times (-4) = -24
\]

\[
= -24 \times (-5) = 120
\]

\[ \text{Positif} \]

b. \((-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) \times 6\)

\[
(-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) \times 6 = (-1) \times 2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) \times 6
\]

\[
=(-1) \times 2 = -2
\]

\[
=-2 \times (-3) = 6
\]

\[
=6\times (-4) = -24
\]

\[
=-24\times (-5) = 120
\]

\[
=120\times 6 = 720
\]

\[ \text{Positif} \]

c. \(2 \times (-10) \times (-7) \times (-2)\)

\[
2 \times (-10) \times (-7) \times (-2) =2 \times (-10) \times (-7) \times (-2)
\]

\[
=2\times (-10) = -20
\]

\[
=-20\times (-7) = 140
\]

\[
=140 \times (-2) = -280
\]

\[ \text{Négatif} \]

d. \(-4 \times 2.6 \times (-3.8) \times (-4.5) \times (-1.5)\)

\[
-4 \times 2.6 \times (-3.8) \times (-4.5) \times (-1.5) =-4 \times 2.6 \times (-3.8) \times (-4.5) \times (-1.5)
\]

\[
=-4\times 2.6 = -10.4
\]

\[
=-10.4 \times (-3.8) = 39.52
\]

\[
=39.52 \times (-4.5) = -177.84
\]

\[
=-177.84\times (-1.5) = 266.76
\]

\[ \text{Positif} \]

e. \((-3) \times (-9) \times 4 \times (-1.2) \times (-2) \times (-1)\)

\[
(-3) \times (-9) \times 4 \times (-1.2) \times (-2) \times (-1) =(-3) \times (-9) \times 4 \times (-1.2) \times (-2) \times (-1)
\]

\[
=(-3) \times (-9) = 27
\]

\[
=27 \times 4 = 108
\]

\[
=108\times (-1.2) = -129.6
\]

\[
=-129.6\times (-2) = 259.2
\]

\[
=259.2 \times (-1)= -259.2
\]

\[ \text{Négatif} \]

f. \((-5.7)\times 9.3\times 4.5\times 0\times (-2.32)\times (-1)\)

\[
(-5.7)\times 9.3\times 4.5\times 0\times (-2.32)\times (-1) = (-5.7)\times 9.3\times 4.5\times 0\times (-2.32)\times (-1)
\]

\[
=(-5.7)\times 9.3 = -53.01
\]

\[
=-53.01\times 4.5 = -238.545
\]

\[
=-238.545 \times 0 = 0
\]

\[ \text{Positif} \]

Exercice 27 : nombres relatifs et calcul littéral
a. Complétons le tableau suivant:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a b ab (-a)b -(ab) a(-b) (-a)(-b) \\
\hline
-2 6 (-2) \times 6 = -12 -(-2) \times 6 = 12 -(-12) = 12 (-2) \times (-6) = 12 -(-2)(6) = 12 \\
\hline
3 -7,5 3 \times (-7,5) = -22,5 -(3) \times (-7,5) = 22,5 -(-22,5) = 22,5 3 \times 7,5 = 22,5 -(3)(-7,5) = 22,5 \\
\hline
-5 (-5 ) \times -10 = 50 -(5) \times (-10) = 50 – (-50) = 50 5(10) = 50 -(5)(-10) = 50 \\
\hline
8 \\
\hline
8 b 8 b -(8)b -(8 b) 8(-b) -(8)(-b) \\
\hline
8 5 8 \times 5 = 40 -(8)(5) = -40 – (40) = -40 8(-5) = -40 – (8)(-5) = 40 \\
\hline
\end{array}
\]

b. Nous remarquons que, pour chaque case, l’expression (-a)(-b) est égale à ab et chaque colonne est remplie en fonction de la multiplication et des signes entre les facteurs. Cela montre que les formules et les signes affectés à chaque facteur respectent les règles de multiplication des nombres entiers et négatifs en algèbre.

Exercice 28 : quelques problèmes à résoudre
a. Pour déterminer le signe du produit de 275 nombres relatifs non nuls dont 82 sont positifs, nous devons d’abord calculer le nombre de nombres négatifs, qui est \(275 – 82 = 193\).

Le produit de nombres relatifs a un signe qui dépend du nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, le produit est positif ; s’il est impair, le produit est négatif. Ici, \(193\) est impair, donc le produit de ces nombres sera négatif.

\[\]Conclusion :\[\] Le produit de ces 275 nombres est négatif.

b. Pour déterminer le signe du produit de 162 nombres, sachant qu’il y a deux fois plus de facteurs positifs que de facteurs négatifs, faisons les calculs suivants :

Si \( n \) est le nombre de facteurs négatifs, alors le nombre de facteurs positifs est \( 2n \).

Nous avons donc :
\[ n + 2n = 162 \]
\[ 3n = 162 \]
\[ n = 54 \]

Alors, il y a 54 facteurs négatifs et \( 2 \times 54 = 108 \) facteurs positifs.

Puisque \( n = 54 \) est pair, le produit de ces nombres sera positif.

\[\]Conclusion :\[\] Le produit de ces 162 nombres est positif.

c. Pour déterminer le signe de \( a \), sachant que le produit \((-2) \times (-a) \times (-7.56)\) est positif, examinons la situation :

L’expression donnée est :
\[ (-2) \times (-a) \times (-7.56) \]

Pour que le produit de trois termes soit positif, le nombre de termes négatifs doit être impair.

– \(-2\) est négatif,
– \(-7.56\) est négatif,
– \(-a \) serait négatif si \( a \) est positif.

Pour que le produit soit positif, il faut que \( -a \) soit négatif, c’est-à-dire que \( a \) doit être positif.

\[\]Conclusion :\[\] \( a \) est positif.

Exercice 29 : appliquer un programme de calcul
Pour le nombre \(a = 5\) :
\[
\begin{aligned}
\text{Multiplier par } -5: 5 \times (-5) = -25 \\
\text{Puis doubler:} 2 \times (-25) = -50
\end{aligned}
\]

Pour le nombre \(b = 0\) :
\[
\begin{aligned}
\text{Multiplier par } -5: 0 \times (-5) = 0 \\
\text{Puis doubler:} 2 \times 0 = 0
\end{aligned}
\]

Pour le nombre \(c = -5\) :
\[
\begin{aligned}
\text{Multiplier par } -5: (-5) \times (-5) = 25 \\
\text{Puis doubler:} 2 \times 25 = 50
\end{aligned}
\]

Pour le nombre \(d = -1{,}2\) :
\[
\begin{aligned}
\text{Multiplier par } -5: (-1{,}2) \times (-5) = 6 \\
\text{Puis doubler:} 2 \times 6 = 12
\end{aligned}
\]

Exercice 30 : quotient de nombres relatifs
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{quotient} \text{positif} \text{négatif} \\
\hline
\text{a. } (-8) : 3 \checkmark \\
\hline
\text{b. } (-8) : (-4) \checkmark \\
\hline
\text{c. } 12 : 1,5 \checkmark \\
\hline
\text{d. } (-8) : (-4) \checkmark \\
\hline
\text{e. } -42 : 7 \checkmark \\
\hline
\text{f. } 9 : (-3) \checkmark \\
\hline
\text{g. } \frac{15}{4} \checkmark \\
\hline
\text{h. } \frac{11}{-5} \checkmark \\
\hline
\text{i. } \frac{-45}{15} \checkmark \\
\hline
\text{j. } \frac{-9,2}{-3,5} \checkmark \\
\hline
\text{k. } \frac{-14}{-3} \checkmark \\
\hline
\text{l. } \frac{-2}{3} \checkmark \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 31 : diviser deux nombres relatifs
\begin{align*}
\text{a.} \quad (-27) : (-9) = 3 \\
\text{b.} \quad (-24) : (+4) = -6 \\
\text{c.} \quad (+8) : (-8) = -1 \\
\text{d.} \quad (-55) : (-5) = 11 \\
\text{e.} \quad (+15) : (-10) = -1.5 \\
\text{f.} \quad (-4) : (-8) = 0.5 \\
\end{align*}

Exercice 32 : nombres relatifs et fractions
a. \[
-\frac{7,2}{9} = -\frac{72}{90} = -\frac{4}{5} = -0,8
\]

b. \[
-\frac{9}{-18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0,5
\]

c. \[
\frac{18}{-2} = -\frac{18}{2} = -9
\]

d. \[
-\frac{9}{2} = -4,5
\]

e. \[
-\frac{14,6}{-2} = \frac{14,6}{2} = 7,3
\]

f. \[
\frac{9,3}{3} = 3,1
\]

g. \[
-\frac{21,3}{-3} = \frac{21,3}{3} = 7,1
\]

h. \[
\frac{7}{-0,7} = -\frac{7}{0,7} = -10
\]

Exercice 33 : compléter par le bon signe
a. \((+21) : (-7) = 3\)

\[ +21 : (-7) = -3 \neq 3 \]
\[ -21 : (-7) = 3 \]

Le bon signe est \(-\).

\[
(-21) : (-7) = 3
\]

b. \((… \ 2) : (+4) = 0.5\)

\[ +2 : (+4) = 0.5 \]

Le bon signe est \(+\).

\[
(+2) : (+4) = 0.5
\]

c. \(16 : (… \ 8) = -2\)

\[ 16 : (+8) = 2 \]
\[ 16 : (-8) = -2 \]

Le bon signe est \(-\).

\[
16 : (-8) = -2
\]

d. \((-63) : (… \ 7) = -9\)

\[ -63 : (+7) = -9 \]

Le bon signe est \(+\).

\[
(-63) : (+7) = -9
\]

e. \(49 : (… \ 7) = 7\)

\[ 49 : ( +7) = 7 \]

Le bon signe est \(+\).

\[
49 : (+7) = 7
\]

f. \((-121) : (… \ 11) = -11\)

\[ -121 : (+11) = -11 \]

Le bon signe est \(+\).

\[
(-121) : (+11) = -11
\]

Exercice 34 : calculer ces expressions numériques
\[
\begin{aligned}
A = 15 + 5 \times (-8) \\
= 15 + (-40) \\
= -25 \\
\\
B = (-8) : 4 – 5 \\
= -2 – 5 \\
= -7 \\
\\
C = 19 – 12 : (-4) \\
= 19 – (-3) \\
= 19 + 3 \\
= 22 \\
\\
D = -10 + 10 \times (-4) \\
= -10 + (-40) \\
= -10 – 40 \\
= -50 \\
\\
E = \frac{-9 \times 4}{6 \times (-2)} \\
= \frac{-36}{-12} \\
= 3 \\
\\
G = (15 + 5) \times (-8) \\
= 20 \times (-8) \\
= -160 \\
\\
H = (-8) : (4 – 5) \\
= (-8) : (-1) \\
= 8 \\
\\
I = 8 \times (-2) – 9 : (-3) \\
= -16 – (-3) \\
= -16 + 3 \\
= -13 \\
\\
J = (-10 + 10) \times (-4) \\
= 0 \times (-4) \\
= 0 \\
\\
K = (19 – 12) : (-4) \\
= 7 : (-4) \\
= -\frac{7}{4}
\end{aligned}
\]

Exercice 35 : nombres relatifs et parenthèses
A = (-4) : 2 – (-4) x (-9) : 3

\( = \dfrac{-4}{2} – (-4) \times (\dfrac{-9}{3}) \)

\( = -2 – (-4) \times (-3) \)

\( = -2 – 12 \)

\( = -14 \)

B = (8 : 2) : 2 x 3 – 4

\( = (\dfrac{8}{2}) : 2 \times 3 – 4 \)

\( = 4 : 2 \times 3 – 4 \)

\( = 2 \times 3 – 4 \)

\( = 6 – 4 \)

\( = 2 \)

C = 5 + 3 x 8 x 4 : 2 + 1

\( = 5 + 3 \times 8 \times 4 : 2 + 1 \)

\( = 5 + 3 \times 8 \times 2 + 1 \)

\( = 5 + 48 + 1 \)

\( = 54 \)

D = (-4 : 2) – ((-4) x (-9)) : 3

\( = (\dfrac{-4}{2}) – ((-4) \times (-9)) : 3 \)

\( = -2 – (36 : 3) \)

\( = -2 – 12 \)

\( = -14 \)

E = 8(2 : 2) x (3 – 4)

\( = 8(\dfrac{2}{2}) \times (3 – 4) \)

\( = 8 \times 1 \times (-1) \)

\( = 8 \times -1 \)

\( = -8 \)

F = (5 + 3) x 2 x (4 : 2 + 1)

\( = (8) \times 2 \times (\dfrac{4}{2} + 1) \)

\( = 8 \times 2 \times (2 + 1) \)

\( = 8 \times 2 \times 3 \)

\( = 48 \)

Exercice 36 : calculs avec les nombres relatifs
\[
A = [(-4) \times 5 + 2 + (-3)] – 4 = -35
\]

\[
B = [(-2) \times 3 + 8] + [2 \times 2 – 1] = 4
\]

\[
C = 1 + [(2 \times 4) – (2 \times 3) + 4] = 10
\]

\[
D = 5 + [2 \times 3 + 2 + 4 – 1] = 18
\]

Exercice 37 : calcul littéral et nombres relatifs
\[
\text{Calculons les expressions suivantes avec } a = 4 \text{ et } b = -3.
\]

Pour \( A \):
\begin{align*}
A = 3a + 2b \\
= 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) \\
= 12 – 6 \\
= 6.
\end{align*}

Pour \( B \):
\begin{align*}
B = 6 + 4a – 3b \\
= 6 + 4 \cdot 4 – 3 \cdot (-3) \\
= 6 + 16 + 9 \\
= 31.
\end{align*}

Pour \( C \):
\begin{align*}
C = -a – b \\
= -4 – (-3) \\
= -4 + 3 \\
= -1.
\end{align*}

Pour \( D \):
\begin{align*}
D = \frac{a + b}{a – b} \\
= \frac{4 + (-3)}{4 – (-3)} \\
= \frac{4 – 3}{4 + 3} \\
= \frac{1}{7}.
\end{align*}

Exercice 38 : fractions et nombres relatifs
\[
C = \frac{-7 + 7 \times (-3) – 3}{-8 \times 5 – 3 \times (-3)}
\]

Calcul du numérateur :
\[
-7 + 7 \times (-3) – 3 = -7 + (-21) – 3 = -7 – 21 – 3 = -31
\]

Calcul du dénominateur :
\[
-8 \times 5 – 3 \times (-3) = -40 + 9 = -31
\]

Ainsi,
\[
C = \frac{-31}{-31} = 1
\]

\[
D = \frac{+7 \times (-8) – 24 : (-4)}{-27 : (-3) + (-2) \times (+4)}
\]

Calcul du numérateur :
\[
+7 \times (-8) – 24 : (-4) = -56 + 6 = -50
\]

Calcul du dénominateur :
\[
-27 : (-3) + (-2) \times (+4) = 9 – 8 = 1
\]

Ainsi,
\[
D = \frac{-50}{1} = -50
\]

Exercice 39 : expression littérale et nombres relatifs
Pour \( x = 5 \) :

\[
C = -(3 – x)^2 + 2x + 1
\]

En remplaçant \( x \) par \( 5 \) :

\[
C = -(3 – 5)^2 + 2 \cdot 5 + 1
\]

Calculons l’expression :

\[
C = -(-2)^2 + 2 \cdot 5 + 1
\]

\[
C = -4 + 10 + 1
\]

\[
C = 7
\]

Donc, pour \( x = 5 \), \( C = 7 \).

Pour \( x = -2 \) :

\[
C = -(3 – x)^2 + 2x + 1
\]

En remplaçant \( x \) par \( -2 \) :

\[
C = -(3 – (-2))^2 + 2 \cdot (-2) + 1
\]

Calculons l’expression :

\[
C = -(3 + 2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1
\]

\[
C = -5^2 – 4 + 1
\]

\[
C = -25 – 4 + 1
\]

\[
C = -28
\]

Donc, pour \( x = -2 \), \( C = -28 \).

Exercice 40 : calculs d’expressions littérales
1. Pour prouver l’égalité de \( A \) et de \( B \) pour \( x = -2 \):

Calculons d’abord \( A \):
\[
A = -2x^2 + 2
\]
Pour \( x = -2 \):
\[
A = -2(-2)^2 + 2
= -2 \times 4 + 2
= -8 + 2
= -6
\]

Puis, calculons \( B \):
\[
B = (2x^2 – 2)(2x + 3)
\]
Pour \( x = -2 \):
\[
B = (2(-2)^2 – 2)(2(-2) + 3)
= (2 \times 4 – 2)(-4 + 3)
= (8 – 2)(-1)
= 6 \times (-1)
= -6
\]

Donc, pour \( x = -2 \), \( A = B = -6 \).

2. Pour tester cette égalité pour \( x = 2 \):

Calculons d’abord \( A \):
\[
A = -2x^2 + 2
\]
Pour \( x = 2 \):
\[
A = -2(2)^2 + 2
= -2 \times 4 + 2
= -8 + 2
= -6
\]

Puis, calculons \( B \):
\[
B = (2x^2 – 2)(2x + 3)
\]
Pour \( x = 2 \):
\[
B = (2(2)^2 – 2)(2(2) + 3)
= (2 \times 4 – 2)(4 + 3)
= (8 – 2)(7)
= 6 \times 7
= 42
\]

Donc, pour \( x = 2 \), \( A = -6 \) et \( B = 42 \).

En conclusion, \( A \) et \( B \) sont égaux pour \( x = -2 \) mais ne sont pas égaux pour \( x = 2 \).

Exercice 41 : calculer les expressions suivantes
\(\mathbf{T = 1 \times (-2) + 3 \times (-4) – 5 \times (-6) + 7 \times (-8)}\)

Calculons chaque terme :

\[1 \times (-2) = -2 \]
\[3 \times (-4) = -12 \]
\[-5 \times (-6) = 30 \]
\[7 \times (-8) = -56 \]

Ensuite, additionnons ces résultats :

\[
T = -2 + (-12) + 30 + (-56)
\]

\[
T = -2 – 12 + 30 – 56
\]

\[
T = -70 + 30
\]

\[
T = -40
\]

\(\mathbf{R = (-0,5) \times (-12) – (-0,1) \times 8}\)

Calculons chaque terme :

\[
(-0,5) \times (-12) = 6
\]
\[
(-0,1) \times 8 = -0,8
\]
\[
– (-0,1) \times 8 = – (-0,8) = + 0,8
\]

Ensuite, additionnons ces résultats :

\[
R = 6 + 0,8
\]

\[
R = 6,8
\]

\(\mathbf{U = 2 \times (-7 – 3) \times (-4) – (1 – 7)}\)

Simplifions les termes entre parenthèses d’abord :

\[
-7 – 3 = -10
\]
\[
1 – 7 = -6
\]

Ensuite, calculons chaque terme :

\[
2 \times (-10) = -20
\]
\[
-20 \times (-4) = 80
\]

Ensuite, soustrayons le dernier terme :

\[
U = 80 – (-6)
\]

\[
U = 80 + 6
\]

\[
U = 86
\]

Exercice 42 : entourer l’opération prioritaire
\[ D = \frac{5 – 4}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 \]

\[ E = \frac{5 – 4}{2} – 5 = \frac{1}{2} – 5 = 0,5 – 5 = -4,5 \]

\[ F = \frac{-4}{10 – 8} = \frac{-4}{2} = -2 \]

\[ G = -7 – \frac{1 – 3}{4 – 5} = -7 – \frac{-2}{-1} = -7 – 2 = -9 \]

Exercice 43 : calculs avec nombres relatifs et fractions
Pour \( S \):

\[
S = \frac{-15 + 25 \times 2}{2 \times (-2) – 1}
\]

Calculons le numérateur :

\[
-15 + 25 \times 2 = -15 + 50 = 35
\]

Calculons le dénominateur :

\[
2 \times (-2) – 1 = -4 – 1 = -5
\]

Donc,

\[
S = \frac{35}{-5} = -7
\]

Pour \( T \):

\[
T = \frac{-7 – (-2) \times 2}{-10 + 5 \times (-2)}
\]

Calculons le numérateur :

\[
-7 – (-2) \times 2 = -7 + 4 = -3
\]

Calculons le dénominateur :

\[
-10 + 5 \times (-2) = -10 – 10 = -20
\]

Donc,

\[
T = \frac{-3}{-20} = \frac{3}{20}
\]

Exercice 44 : calculer et compléter le tableau
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{a} 1 -2 4 -7 \\
\text{b} -2 -1 -3 3 \\
\text{c} 3 -5 \ -2 -2 \\
\hline
\text{a \times b \times c} 1 \times (-2) \times 3 = -6 (-2) \times (-1) \times (-5) = -10 4 \times (-3) \times (-2) = 24 (-7) \times 3 \times (-2) = 42 \\
\text{a – b – c } 1 – (-2) – 3 = 0 -2 – (-1) – (-5) = 4 4 – (-3) – (-2) = 9 -7 – 3 – (-2) = -8 \\
(-\text{a}) + \text{b} \times \text{c} -1 + (-2) \times 3 = -7 2 + (-1) \times (-5) = 7 -4 + (-3) \times (-2) = 2 7 + 3 \times (-2) = -2 \\
(-\text{a} – \text{b}) \times \text{c} (-(1 + (-2)) \times 3 = 3 (-(-2) – (-1)) \times (-5) = -5 (-4 + 3) \times (-2) = 2 (-(-7) – 3) \times (-2) = -8 \\
(\text{a – b}) \times \text{c} (1 + 2) \times 3 = 9 ((-2 + 1) \times (-5) = 5 (4 + 3) \times (-2) = -14 (-7 – 3) \times (-2) = 20 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 45 : programme de calcul
Pour répondre à ce programme de calcul, voyons chaque question en détail :

\[\]1. On choisit le nombre \(-4\) au départ, montrer que le résultat obtenu est \(100\).\[\]

Commençons par appliquer les étapes du programme :
\[
x = -4
\]
\[
x – 6 = -4 – 6 = -10
\]
\[
(-10)^2 = 100
\]

Donc, si l’on choisit le nombre \(-4\) au départ, le résultat obtenu est bien \(100\).

\[\]2. On choisit \(15\) comme nombre de départ, quel est le résultat obtenu ?\[\]

Appliquons les étapes du programme de calcul pour \(x = 15\) :
\[
x = 15
\]
\[
x – 6 = 15 – 6 = 9
\]
\[
9^2 = 81
\]

Donc, si l’on choisit le nombre \(15\) au départ, le résultat obtenu est \(81\).

\[\]3. Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit le nombre \(144\) ? Justifier la réponse.\[\]

Pour cela, nous devons résoudre l’équation suivante :
\[
y^2 = 144,
\]
où \( y \) est le résultat de la soustraction de 6 au nombre de départ \( x \). Donc :

\[
x – 6 = \pm 12
\]

Cela donne deux possibilités pour \( x \) :
\[
x – 6 = 12 \implies x = 18
\]
ou
\[
x – 6 = -12 \implies x = -6
\]

On peut vérifier les deux possibilités :
– Si \( x = 18 \) :
\[
18 – 6 = 12 \quad \text{et} \quad 12^2 = 144
\]

– Si \( x = -6 \) :
\[
-6 – 6 = -12 \quad \text{et} \quad (-12)^2 = 144
\]

Ainsi, les deux valeurs de \( x \) possibles pour obtenir un résultat de \( 144 \) sont \( 18 \) et \( -6 \).

Exercice 46 : substituer et calcul littéral
\[
\begin{aligned}
A = -(12 – x) + 15 – 3x \quad \text{pour} \, x = -4 \\
= -(12 – (-4)) + 15 – 3(-4) \\
= -(12 + 4) + 15 + 12 \\
= -16 + 15 + 12 \\
= 11 \\
\\
B = 4 – a – (11 – a) + 3 – 5a \quad \text{pour} \, a = -5 \\
= 4 – (-5) – (11 – (-5)) + 3 – 5(-5) \\
= 4 + 5 – (11 + 5) + 3 + 25 \\
= 4 + 5 – 16 + 3 + 25 \\
= 21 \\
\\
C = 3(a – b) – 4bc \quad \text{pour} \, a = -5, \, b = 8, \, c = -7 \\
= 3(-5 – 8) – 4(8)(-7) \\
= 3(-13) – 4 \cdot 8 \cdot (-7) \\
= -39 + 224 \\
= 185 \\
\\
D = ab – b(b – c) \quad \text{pour} \, a = -5, \, b = 8, \, c = -7 \\
= (-5)(8) – 8(8 – (-7)) \\
= -40 – 8(8 + 7) \\
= -40 – 8 \cdot 15 \\
= -40 – 120 \\
= -160 \\
\end{aligned}
\]

Exercice 47 : expressions à calculer
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Correction de l’exercice de mathématiques :

1. \( A = 20 : (-4) = -5 \)
2. \( B = \frac{-25}{-5} = 5 \)
3. \( C = -12 : 3 = -4 \)
4. \( D = 35 : (-7) = -5 \)
5. \( E = -32 : (-8) = 4 \)
6. \( F = \frac{-16}{8} = -2 \)
7. \( G = -8 + 16 : (-8) = -8 + (-2) = -10 \)
8.\( H = -7 : (-24) + 6 = \frac{7}{24} + 6 = 6,29 \approx 6,3\)
9. \( I = -6 + (-3) \times (-9) = -6 + 27 = 21 \)
10. \( J = -7 : (-2) + (-8) : (-2) = 3,5 + 4 = 7,5 \)
11. \( K = -3 \times 4 + 8 : 7 – (4 + 2) = -12 + \frac{8}{7} – 6 = -18 + \frac{8}{7} = -16,86 \approx -2,6 \)
12. \( L = (-3 + 7) ( \frac{4 \times (7 – 1)}{4} ) = 4 \times (6) = 24 \)
13. \( M = – \frac{3^{-2}}{-3 + 5 \times (-7)} = \frac{1}{9} : -38 = -\frac{1}{342} \approx -0,0029 \)
14. \( N = -5 \times 2,4 + \frac{15 – 20}{2} = -12 + \frac{-5}{2} = -12 – 2,5 = -14,5 \)
15. \( O = 5 – 36 : (-4) – 2 \times (-5) = 5 + 9 + 10 = 24 \)
16. \( P = -32 : (- 6 – 2) \times (-5) = -32 : -8 \times -5 = 4 \times -5 = -20 \)
17. \( Q = -5 + 18 \times (-2) : (-3) \times (-4) = -5 + 18 \times \frac{-2}{-3} \times -4 = -5 + 18 \times \frac{2}{3} \times -4 = -5 – 48 = -53 \approx -53 \)
18. \( R = 5 – (-9) \times 3 + (-8) : 2 \times (-3) = 5 + 27 + \frac{-8}{-6} = 5 + 27 + \frac{4}{3} = 32 +1,33 = 33,33\approx 33,3 \)
19. \( S = -15 + (3 – 12 : (-2)) = -15 (3 + 6) = -15 + 9 = -6 \)
20. \( T = (8 – 4 \times (-5)) \times (30 + (-6) : 2) = (8 + 20) \times (30 – 3) = 28 \times 27 = 756 \)
21. \( U = [-4 + (3 + (-9) : (-3)) ] : (-5) = (-4 + 6) : (-5)2 : (-5) =-0,4)

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Exercice 48 : calcul littéral et expressions à substituer
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a b c a \times b \times c a – b – c -a \times b \times c (-a + b) \times c -a + b \times c \\
\hline
-5 6 2 (-5) \times 6 \times 2 = -60 -5 – 6 – 2 = -13 -(-5) \times 6 \times 2 = 60 (-(-5) + 6) \times 2 = 16 -(-5) + 6 \times 2 = 17 \\
\hline
-1 4 -2 (-1) \times 4 \times (-2) = 8 -1 – 4 – (-2) = -3 -(-1) \times 4 \times (-2) = -8 (-(-1) + 4) \times (-2) = -6 -(-1) + 4 \times (-2) = -7 \\
\hline
3 5 -1 3 \times 5 \times (-1) = -15 3 – 5 – (-1) = -1 -(3) \times 5 \times (-1) = 15 (-(3) + 5) \times (-1) = -2 -(3) + 5 \times (-1) = -8 \\
\hline
6 3 -2 6 \times 3 \times (-2) = -36 6 – 3 – (-2) = 5 -(6) \times 3 \times (-2) = 36 (-(6) + 3) \times (-2) = 6 -(6) + 3 \times (-2) = -12 \\
\hline
\end{array}