Nombres relatifs : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : les nombres relatifs.
Pour chaque question, une expression est proposée. Préciser parmi les trois possibilités, quelle est sa forme simplifiée.

$Situation\,1$

1. (+2) – (+8) – (-4) – (-3)
a. 2 – 8 – 4 – 3
b.2 + 8 + 4 + 3
c. 2 – 8 + 4 + 3

Simplifions:
$2\,-\,8\,-\,(-4)\,-\,(-3)\,=\,2\,-\,8\,%2B\,4\,%2B\,3\,=\,2\,-\,8\,%2B\,4\,%2B\,3\,=\,1$
La forme simplifiée correspond donc à la réponse c: $2 – 8 + 4 + 3$.

2. (-7) – (-3) + (+5) – (+4)

a. -7 + 3 + 5 – 4
b. -7 – 3 + 5 – 4
c. -7 + 3 + 5 + 4

Simplifions:
$-7\,-\,(-3)\,%2B\,5\,-\,4\,=\,-7\,%2B\,3\,%2B\,5\,-\,4\,=\,-7\,%2B\,3\,%2B\,5\,-\,4\,=\,-3\,-\,2\,=\,-4\,-\,2\,=\,-6$
La forme simplifiée correspond donc à la réponse a: -7 + 3 + 5 – 4.

$Situation\,2$

Effectuer les calculs suivants :

a. (+2) + (-5)
$2\,-\,5\,=\,-3$

b. (-3) + (+7) + (+3)
$-3\,%2B\,7\,%2B\,3\,=\,7\,-\,3\,%2B\,3\,=\,4\,%2B\,3\,=\,7$

c. (-7) + (+5) + (-8) + (+1)
$-7\,%2B\,5\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-7\,%2B\,5\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-2\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-10\,%2B\,1\,=\,-9$

d. (+5) – (-2) + (+4)
$5\,%2B\,2\,%2B\,4\,=\,11$

e. (-7) – (-2) + (+4)
$-7\,%2B\,2\,%2B\,4\,=\,-1$

f. (+5) + (-4) + (-7)
$5\,-\,4\,-\,7\,=\,-6$

Exercice 2 : les nombres relatifs.
$\begin{align%2A}%0D%0AA\,%26=\,(-5)\,%2B\,%5B(-4)\,\times \,(-2)\,%2B\,(%2B7)%5D\,\\%0D%0A%26=\,(-5)\,%2B\,%5B8\,%2B\,7%5D\,\\%0D%0A%26=\,(-5)\,%2B\,15\,\\%0D%0A%26=\,10.%0D%0A\end{align%2A}$

$\begin{align%2A}%0D%0AB\,%26=\,(-4)\,\times \,(-2)\,\times \,(-3)\,-\,(-3)\,\times \,(-2)\,\\%0D%0A%26=\,(-4)\,\times \,6\,-\,(-3)\,\times \,(-2)\,\\%0D%0A%26=\,(-24)\,-\,6\,\\%0D%0A%26=\,-30.%0D%0A\end{align%2A}$

$\begin{align%2A}%0D%0AC\,%26=\,(%2B6)\,-\,(-9)\,%2B\,(-3)\,\times \,%5B(-5)\,\times \,(-2)\,-\,3%5D\,\\%0D%0A%26=\,6\,%2B\,9\,%2B\,(-3)\,\times \,%5B10\,-\,3%5D\,\\%0D%0A%26=\,15\,%2B\,(-3)\,\times \,7\,\\%0D%0A%26=\,15\,-\,21\,\\%0D%0A%26=\,-6.%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 3 : produit de relatifs
$A\,=\,(%2B3)\,\times \,(-2)\,\times \,(%2B4)\,\times \,(-1)\,\times \,(-2)$

Commençons par multiplier les nombres:
$(%2B3)\,\times \,(-2)\,=\,-6$
$-6\,\times \,(%2B4)\,=\,-24$
$-24\,\times \,(-1)\,=\,24$
$24\,\times \,(-2)\,=\,-48$

Donc
$A\,=\,-48$

$B\,=\,(-2)\,\times \,(%2B5)\,\times \,(-1)\,\times \,(-5)\,\times \,(-2)$

Commençons par multiplier les nombres:
$(-2)\,\times \,(%2B5)\,=\,-10$
$-10\,\times \,(-1)\,=\,10$
$10\,\times \,(-5)\,=\,-50$
$-50\,\times \,(-2)\,=\,100$

Donc
$B\,=\,100$

$C\,=\,(-8)\,-\,4\,\times \,(%2B5)$

Commençons par multiplier puis soustraire:
$4\,\times \,(%2B5)\,=\,20$
$(-8)\,-\,20\,=\,-28$

Donc
$C\,=\,-28$

$D\,=\,5\,\times \,(-7\,%2B\,10)\,-\,12$

Commençons par effectuer les opérations dans les parenthèses:
$-7\,%2B\,10\,=\,3$
Puis, multiplions et soustrayons:
$5\,\times \,3\,=\,15$
$15\,-\,12\,=\,3$

Donc
$D\,=\,3$

Correction complète:
$A\,=\,-48$
$B\,=\,100$
$C\,=\,-28$
$D\,=\,3$

Exercice 4 : divisions de deux nombres relatifs.
$A\,%26=\,(%2B3)\,-\,(-7)\,%2B\,(%2B24)\,: \,(-6)\,\\%0D%0A%26=\,3\,%2B\,7\,%2B\,\frac{24}{-6}\,\\%0D%0A%26=\,3\,%2B\,7\,-\,4\,\\%0D%0A%26=\,6$

$B\,%26=\,(-3)\,%2B\,(-4)\,\times \,(-6)\,%2B\,(-21)\,: \,(-7)\,\\%0D%0A%26=\,-3\,%2B\,24\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26=\,24$

$C\,%26=\,(-36)\,: \,(-9)\,-\,%5B\,(-4)\,\times \,(-3)\,%2B\,(-21)\,: \,(-3)\,%5D\,\\%0D%0A%26=\,4\,-\,%5B\,12\,%2B\,7\,%5D\,\\%0D%0A%26=\,4\,-\,19\,\\%0D%0A%26=\,-15$

Exercice 5 : produit de nombres relatifs et regle des signes
Calculons les produits :

$A\,=\,2\,\times \,3\,\times \,(-4)\,\times \,0%2C5$
$A\,=\,(2\,\times \,3)\,\times \,(-4)\,\times \,0%2C5\,\\%0D%0AA\,=\,6\,\times \,(-4)\,\times \,0%2C5\,\\%0D%0AA\,=\,(-24)\,\times \,0%2C5\,\\%0D%0AA\,=\,-12$

$B\,=\,2\,\times \,(-1)\,\times \,5\,\times \,(-5)$
$B\,=\,(2\,\times \,(-1))\,\times \,5\,\times \,(-5)\,\\%0D%0AB\,=\,(-2)\,\times \,5\,\times \,(-5)\,\\%0D%0AB\,=\,(-2\,\times \,5)\,\times \,(-5)\,\\%0D%0AB\,=\,-10\,\times \,(-5)\,\\%0D%0AB\,=\,50$

$C\,=\,(-3)\,\times \,(-5)\,\times \,(-2)\,\times \,5$
$C\,=\,((-3)\,\times \,(-5))\,\times \,((-2)\,\times \,5)\,\\%0D%0AC\,=\,15\,\times \,(-10)\,\\%0D%0AC\,=\,-150$

$D\,=\,(-1)\,\times \,(-8)\,\times \,(-6)\,\times \,(-5)$
$D\,=\,((-1)\,\times \,(-8))\,\times \,((-6)\,\times \,(-5))\,\\%0D%0AD\,=\,8\,\times \,30\,\\%0D%0AD\,=\,240$

Exercice 6 : opérations sur les nombres relatifs
$A\,=\,5\,\times \,6\,-\,16\,: \,(-4)\,-\,(15-8%2C1)$
Calculons chaque terme étape par étape :

$5\,\times \,6\,=\,30$

$16\,: \,(-4)\,=\,-4$

$15\,-\,8%2C1\,=\,6%2C9$

Ainsi,

$A\,=\,30\,%2B\,4\,-\,6%2C9\,=\,27%2C1$

$B\,=\,(23\,-\,37)\,\times \,(14%2C2\,-\,16%2C7)$
Calculons chaque terme :

$23\,-\,37\,=\,-14$

$14%2C2\,-\,16%2C7\,=\,-2%2C5$

Ainsi,

$B\,=\,-14\,\times \,(-2%2C5)\,=\,35$

$C\,=\,-11%2C6\,-\,4%2C2\,: \,(-3)\,-\,(7%2C6\,-\,14%2C1)$
Calculons chaque terme :

$4%2C2\,: \,(-3)\,=\,-1%2C4$

$7%2C6\,-\,14%2C1\,=\,-6%2C5$

Ainsi,

$C\,=\,-11%2C6\,%2B\,1%2C4\,-\,(-6%2C5)\,=\,-11%2C6\,%2B\,1%2C4\,%2B\,6%2C5\,=\,-3%2C7$

Les réponses finales sont donc :

$A\,=\,27%2C1$

$B\,=\,35$

$C\,=\,-3%2C7$

Exercice 7 : quotient et division de nombres relatifs.
$A\,=\,6\,%2B\,\frac{24\,-\,66}{3\,-\,9}$
$A\,=\,6\,%2B\,\frac{-42}{-6}$
$A\,=\,6\,%2B\,7$
$A\,=\,13$

$B\,=\,\frac{(-7)\,\times \,8\,%2B\,6}{-21\,-\,(-2)\,\times \,13}$
$B\,=\,\frac{-56\,%2B\,6}{-21\,%2B\,26}$
$B\,=\,\frac{-50}{5}$
$B\,=\,-10$

$C\,=\,\frac{12\,\times \,(1\,-\,5)}{-3\,-\,3}$
$C\,=\,\frac{12\,\times \,(-4)}{-6}$
$C\,=\,\frac{-48}{-6}$
$C\,=\,8$

Exercice 8 : problème – mathématiques et économie
1. De quel montant a-t-elle amélioré ses résultats ?

$Perte\,il\,y\,a\,deux\,ans\,=\,80\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$
$Perte\,l'annee\,derniere\,=\,15\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$
$Amelioration\,des\,resultats\,=\,80\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC\,-\,15\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,65\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$

Elle a donc amélioré ses résultats de 65 000 €.

2. Si ses résultats augmentent du même montant l’année prochaine, quel sera son profit l’année prochaine ?

$Resultat\,actuel\,=\,-15\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC\,\quad\,(perte\,de\,l'annee\,derniere)$
$Amelioration\,prevue\,=\,65\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$
$Resultat\,prevu\,l'annee\,prochaine\,=\,-15\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC\,%2B\,65\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,50\%2C\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$

Son profit l’année prochaine sera de 50 000 €.

Exercice 9 : mathématiques et biologie- problème
Le cormoran est initialement à 11 mètres au-dessus de la mer. Après avoir plongé à 10 mètres de profondeur, la distance totale parcourue par le cormoran est la somme de ces deux distances.

Calculons cette distance :

$Distance\,totale\,=\,Hauteur\,initiale\,%2B\,Profondeur\,du\,plongeon$

En remplaçant par les valeurs données :

$Distance\,totale\,=\,11\,\%2C\,m\,%2B\,10\,\%2C\,m\,=\,21\,\%2C\,m$

Donc, le cormoran est descendu de 21 mètres.

Exercice 10 : phrases fausses et contre-exemple
a) « Lorsqu’on divise par , le résultat est plus petit que le nombre de départ. »

Contre-exemple :
$\frac{2}{0%2C1}\,=\,20$
En divisant 2 par 0,1, on obtient 20, ce qui est bien plus grand que 2.

b) « Un nombre est toujours plus grand que son inverse. »

Contre-exemple :
$\frac{1}{2}\,=\,0{%2C}5$
Le nombre $\frac{1}{2}$ (qui vaut 0{,}5) est plus petit que son inverse .

c) « Lorsqu’on multiplie un nombre par le résultat est toujours plus petit que le nombre de départ. »

Contre-exemple :
$-1\,\times \,(-3)\,=\,3$
En multipliant par , on obtient , ce qui est plus grand que .

d) « Lorsqu’on multiplie un nombre par 4 le résultat est toujours plus grand que le nombre de départ. »

Contre-exemple :
$4\,\times \,(-1)\,=\,-4$
En multipliant par , on obtient , ce qui est plus petit que .

Exercice 11 : calcul avec les nombres relatifs
$U\,=\,16\,-\,5\,\times \,4$
$U\,=\,16\,-\,20$
$U\,=\,-4$

$V\,=\,8\,\times \,4\,-\,5\,\times \,6$
$V\,=\,32\,-\,30$
$V\,=\,2$

$W\,=\,9\,-\,3\,%3A\,3$
$W\,=\,9\,-\,1$
$W\,=\,8$

$X\,=\,-7\,\times \,(3\,%2B\,6)$
$X\,=\,-7\,\times \,9$
$X\,=\,-63$

$Y\,=\,(-2\,-\,4)\,\times \,(6\,-\,8)$
$Y\,=\,(-6)\,\times \,(-2)$
$Y\,=\,12$

$Z\,=\,7\,-\,%5B6\,-\,(3\,-\,8)%5D$
$Z\,=\,7\,-\,%5B6\,-\,(-5)%5D$
$Z\,=\,7\,-\,11$
$Z\,=\,-4$

Exercice 12 : calcul littéral et nombres relatifs .
Calculer les expressions suivantes sachant que $a\,=\,-6$ , $b\,=\,2$ et $c\,=\,-4$ .

1. $a\,%2B\,b\,\cdot\,c$

$a\,%2B\,b\,\cdot\,c\,=\,-6\,%2B\,2\,\cdot\,(-4)\,=\,-6\,%2B\,(-8)\,=\,-6\,-\,8\,=\,-14$

2. $(a\,%2B\,b)\,\times \,c$

$(a\,%2B\,b)\,\times \,c\,=\,(-6\,%2B\,2)\,\times \,(-4)\,=\,(-4)\,\times \,(-4)\,=\,16$

3. $a\,%2B\,\frac{b}{c}$

$a\,%2B\,\frac{b}{c}\,=\,-6\,%2B\,\frac{2}{-4}\,=\,-6\,-\,\frac{1}{2}\,=\,-6\,-\,0.5\,=\,-6.5$

4. $\frac{a\,%2B\,b}{c}$

$\frac{a\,%2B\,b}{c}\,=\,\frac{-6\,%2B\,2}{-4}\,=\,\frac{-4}{-4}\,=\,1$

Exercice 13 : simplifier et calculer des expressions numériques

A= (-14) – (-13) + (-7) \\
A= -14 + 13 – 7 \\
A= (-14 + 13) – 7 \\
A= -1 – 7 \\
A= -8

B= (-4) – [(-3) – (-8) + (+7)] \\
B= -4 – [(-3) + 8 + 7] \\
B= -4 – [12] \\
B= -4 – 12 \\
B= -16
C= (-2) + (-3) \times (+5)
C= -2 + (-15)
C= -2 – 15
C= -17

D= (-9) – (-5) + [(-3) – (+2) \times (-3)]
D= (-9) + 5 + [(-3) – (-6)]
D= (-9) + 5 + (-3 + 6) \\
D= (-9) + 5 + 3
D= (-9 + 5) + 3
D= -4 + 3
D= -1

E = (-4) – (3 – 7) + (-8)
E= (-4) – (-4) + (-8)
E= (-4) + 4 – 8
E= 0 – 8
E= -8

Exercice 14 : trouver le signe d’un quotient
Soient et deux nombres relatifs négatifs et non nuls.

La multiplication de deux nombres négatifs donne un résultat positif :
$a\,%3C\,0\,\quad\,et\,\quad\,b\,%3C\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,ab\,>\,0$
Donc, le produit est positif.

Cependant, la somme de deux nombres négatifs reste négative :
$a\,%3C\,0\,\quad\,et\,\quad\,b\,%3C\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,a\,%2B\,b\,%3C\,0$

Ainsi, le quotient
$\frac{ab}{a%2Bb}$
se compose d’un numérateur positif ( $ab\,>\,0$ ) et d’un dénominateur négatif ( $a\,%2B\,b\,%3C\,0$ ).

Un quotient avec un numérateur positif et un dénominateur négatif est toujours négatif, donc :
$\frac{ab}{a%2Bb}\,%3C\,0$

En conclusion, le signe du quotient $\frac{ab}{a%2Bb}$ est négatif.

Exercice 15 : calculs sur les nombres relatifs
$A\,%26\,=\,(5\,-\,8)\,\times \,(-2\,-\,4)\,\\%0D%0A%26\,=\,(-3)\,\times \,(-6)\,\\%0D%0A%26\,=\,18$

$B\,%26\,=\,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,(-2)\,\times \,(-6\,%2B\,7)\,\\%0D%0A%26\,=\,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,(-2)\,\times \,1\,\\%0D%0A%26\,=\,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,(-2)\,\\%0D%0A%26\,=\,20\,\times \,(-2)\,\\%0D%0A%26\,=\,-40$

$C\,%26\,=\,%5B9\,%2B\,2\,\times \,(-12)%5D\,%3A\,%5B3\,-\,(16\,-\,18)%5D\,\\%0D%0A%26\,=\,%5B9\,%2B\,2\,\times \,(-12)%5D\,%3A\,%5B3\,-\,(-2)%5D\,\\%0D%0A%26\,=\,%5B9\,%2B\,(-24)%5D\,%3A\,%5B3\,%2B\,2%5D\,\\%0D%0A%26\,=\,%5B-15%5D\,%3A\,%5B5%5D\,\\%0D%0A%26\,=\,-3$

Exercice 16 : somme de deux nombres relatifs
a.
$(-10)\,%2B\,(-1)\,=\,-10\,-\,1\,=\,-11$

b.
$(%2B13)\,%2B\,(-6)\,=\,13\,-\,6\,=\,7$

c.
$(%2B5)\,%2B\,(%2B5)\,=\,5\,%2B\,5\,=\,10$

d.
$(-13)\,%2B\,(%2B6)\,=\,-13\,%2B\,6\,=\,-7$

e.
$(%2B1)\,%2B\,(-1)\,=\,1\,-\,1\,=\,0$

f.
$(%2B0%2C8)\,%2B\,(%2B3)\,=\,0%2C8\,%2B\,3\,=\,3%2C8$

g.
$(%2B1%2C5)\,%2B\,(-4)\,=\,1%2C5\,-\,4\,=\,-2%2C5$

h.
$(-2)\,%2B\,(%2B5%2C5)\,=\,-2\,%2B\,5%2C5\,=\,3%2C5$

i.
$(-1)\,%2B\,(-4%2C1)\,=\,-1\,-\,4%2C1\,=\,-5%2C1$

j.
$(-5)\,%2B\,(-0%2C4)\,=\,-5\,-\,0%2C4\,=\,-5%2C4$

Exercice 17 : soustraction de deux nombres relatifs
a. $(-6)\,-\,(-9)\,=\,-6\,%2B\,9\,=\,3$

b. $(-3)\,-\,(-5)\,=\,-3\,%2B\,5\,=\,2$

c. $(%2B15)\,-\,(-15)\,=\,15\,%2B\,15\,=\,30$

d. $(-15)\,-\,(%2B17)\,=\,-15\,-\,17\,=\,-32$

e. $(-0.1)\,-\,(-2)\,=\,-0.1\,%2B\,2\,=\,1.9$

f. $(%2B6.5)\,-\,(%2B1)\,=\,6.5\,-\,1\,=\,5.5$

g. $(-1)\,-\,(%2B9.5)\,=\,-1\,-\,9.5\,=\,-10.5$

h. $(%2B0.3)\,-\,(-6)\,=\,0.3\,%2B\,6\,=\,6.3$

Exercice 18 : effectuer les calculs
a. $4\,-\,19\,=\,-15$

b. $-18\,%2B\,13\,=\,-5$

c. $-8\,-\,3\,=\,-11$

d. $-11\,%2B\,11\,=\,0$

e. $-2%2C5\,-\,2%2C5\,=\,-5$

f. $-0%2C1\,%2B\,100\,=\,99%2C9$

g. $0%2C3\,-\,7%2C3\,=\,-7$

h. $-0%2C5\,-\,19%2C5\,=\,-20$

Exercice 19 : calculer la valeur des expressions
$A\,=\,(-14)\,%2B\,(%2B16)\,%2B\,(-3)$
$A\,=\,-14\,%2B\,16\,-\,3$
$A\,=\,2\,-\,3$
$A\,=\,-1$

$B\,=\,(%2B4%2C5)\,%2B\,(-16)\,%2B\,(-3%2C5)\,%2B\,(-3)\,%2B\,(%2B2%2C5)$
$B\,=\,4%2C5\,-\,16\,-\,3%2C5\,-\,3\,%2B\,2%2C5$
$B\,=\,4%2C5\,%2B\,2%2C5\,-\,16\,-\,3%2C5\,-\,3$
$B\,=\,7\,-\,16\,-\,3%2C5\,-\,3$
$B\,=\,-9\,-\,3%2C5\,-\,3$
$B\,=\,-12%2C5\,-\,3$
$B\,=\,-15%2C5$

$C\,=\,(-7)\,-\,(-11)\,-\,(-1)$
$C\,=\,-7\,%2B\,11\,%2B\,1$
$C\,=\,-7\,%2B\,12$
$C\,=\,5$

$D\,=\,(%2B2)\,-\,(-6)\,%2B\,(-3)\,-\,(-7)\,%2B\,(%2B12)\,-\,(-9)$
$D\,=\,2\,%2B\,6\,-\,3\,%2B\,7\,%2B\,12\,%2B\,9$
$D\,=\,2\,%2B\,6\,%2B\,7\,%2B\,12\,%2B\,9\,-\,3$
$D\,=\,36\,-\,3$
$D\,=\,33$

$E\,=\,(-2)\,-\,(-1)\,-\,5\,%2B\,4\,%2B\,77$
$E\,=\,-2\,%2B\,1\,-\,5\,%2B\,4\,%2B\,77$
$E\,=\,-2\,%2B\,1\,-\,5\,%2B\,4\,%2B\,77$
$E\,=\,(-2\,%2B\,1)\,%2B\,(-5\,%2B\,4)\,%2B\,77$
$E\,=\,-1\,-\,1\,%2B\,77$
$E\,=\,-2\,%2B\,77$
$E\,=\,75$

Exercice 20 : relier les expressions égales
1. $(-5)\,%2B\,(-20)\,=\,-25$
Peut être égal à:
$(-1)\,%2B\,(-17)\,=\,-18$
ou
$-3\,%2B\,(-4\,-\,4)\,=\,-3\,-\,8\,=\,-11$
ou
$(-12\,-\,1)\,-\,12\,=\,-12\,-\,13\,=\,-25$
Donc:
$(-5)\,%2B\,(-20)\,=\,-12\,-\,1\,-\,12.$

2. $3\,-\,(5\,-\,2)\,=\,3\,-\,3\,=\,0$
Peut être égal à:
$(-7)\,%2B\,7\,=\,0$
Donc:
$3\,-\,(5\,-\,2)\,=\,-7\,%2B\,7.$

3. $-10\,-\,1\,=\,-11$
Peut être égal à:
$-3\,%2B\,(-4\,-\,4)\,=\,-3\,-\,8\,=\,-11$
Donc:
$-10\,-\,1\,=\,-3\,%2B\,(-4\,-\,4).$

4. $(-7)\,-\,(%2B11)\,=\,-7\,-\,11\,=\,-18$
Peut être égal à:
$(-1)\,%2B\,(-17)\,=\,-18$
Donc:
$(-7)\,-\,(%2B11)\,=\,(-1)\,%2B\,(-17).$

5. $-5\,%2B\,12\,%2B\,3\,=\,10$
Peut être égal à:
$(%2B3)\,-\,(-7)\,=\,10$
Donc:
$-5\,%2B\,12\,%2B\,3\,=\,(%2B3)\,-\,(-7).$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : calcul littéral et relatifs
LaTeX:
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,y\,%26\,z\,%26\,x\,-\,y\,%26\,x\,-\,y\,%2B\,z\,\\%0D%0A\hline%0D%0A4%2C5\,%26\,-1\,%26\,2\,%26\,4%2C5\,-\,(-1)\,=\,4%2C5\,%2B\,1\,=\,5%2C5\,%26\,5%2C5\,%2B\,2\,=\,7%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A-6\,%26\,5\,%26\,3%2C5\,%26\,-6\,-\,5\,=\,-11\,%26\,-11\,%2B\,3%2C5\,=\,-7%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A7\,%26\,-5\,%26\,-4\,%26\,7\,-\,(-5)\,=\,7\,%2B\,5\,=\,12\,%26\,12\,-\,4\,=\,8\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1%2C5\,%26\,-9\,%26\,-8\,%26\,1%2C5\,-\,(-9)\,=\,1%2C5\,%2B\,9\,=\,10%2C5\,%26\,10%2C5\,-\,8\,=\,2%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A7\,%26\,-6\,%26\,9%2C5\,%26\,7\,-\,(-6)\,=\,7\,%2B\,6\,=\,13\,%26\,13\,%2B\,9%2C5\,=\,22%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 22 : expressions numériques et parenthèses
$A\,=\,(-5\,%2B\,1)\,%2B\,(6\,-\,11)\,%2B\,(-3\,-\,17)$
$A\,=\,(-4)\,%2B\,(-5)\,%2B\,(-20)$
$A\,=\,-4\,-\,5\,-\,20$
$A\,=\,-29$

$B\,=\,(15\,-\,12)\,-\,(-1\,-\,8)\,%2B\,(5\,%2B\,7)\,-\,(-1\,-\,5)$
$B\,=\,3\,-\,(-9)\,%2B\,12\,-\,(-6)$
$B\,=\,3\,%2B\,9\,%2B\,12\,%2B\,6$
$B\,=\,30$

$C\,=\,(-3\,%2B\,1\,-\,9)\,-\,(6\,-\,11\,%2B\,3)\,%2B\,(-5\,-\,11\,-\,10)$
$C\,=\,(-11)\,-\,(6\,-\,11\,%2B\,3)\,%2B\,(-26)$
$C\,=\,(-11)\,-\,(-2)\,%2B\,(-26)$
$C\,=\,-11\,%2B\,2\,-\,26$
$C\,=\,-35$

Exercice 23 : programme de calcul
Correction de l’exercice :

Pour appliquer le programme de calcul, suivons les étapes pour chaque nombre :

1. $Pour\,%24a\,=\,-2%2C5%24\,%3A$

Étape 1 : -2,5
Étape 2 : -2,5 + 4 = 1,5
Étape 3 : 1,5 – 2,5 = -1
Étape 4 : opposé de -1 = 1
Résultat final : 1

2. $Pour\,%24b\,=\,0%24\,%3A$

Étape 1 : 0
Étape 2 : 0 + 4 = 4
Étape 3 : 4 – 2,5 = 1,5
Étape 4 : opposé de1,5 = -1,5
Résultat final : -1,5

3. Pour c = 1,5 :
Étape 1 : 1,5
Étape 2 : 1,5 + 4 = 5,5
Étape 3 :5,5 – 2,5 = 3
Étape 4 : opposé de 3 = -3

Résultat final : -3

4. $Pour\,%24d\,=\,-1%24\,%3A$
Étape 1 : -1
Étape 2 : -1 + 4 = 3
Étape 3 : 3 – 2,5 = 0,5
Étape 4 : opposé de 0,5 = -0,5
Résultat final : -0,5

Exercice 24 : produit de relatifs et règle des signes
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Produit Positif Négatif \\
\hline
(– 7) $\times $ 37 \checkmark \\
7,5 $\times $ 3 \checkmark \\
2 $\times $ (– 3,2) \checkmark \\
(– 1) $\times $ (– 5,3) \checkmark \\
(– 2) $\times $ (– 0,1) \checkmark \\
(– 0,2) $\times $ (– 7) \checkmark \\
7,5 $\times $ (– 37) \checkmark \\
(– 7,5) $\times $ (– 37) \checkmark \\
(– 4) $\times $ 0 \\
0,23 $\times $ 5 \checkmark \\
4 $\times $ (– 4) \checkmark \\
0 $\times $ 5,54 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Exercice 25 : multiplier deux nombres relatifs
a. $(-10)\,\times \,(-10)\,=\,100$

b. $10\,\times \,10\,=\,100$

c. $10\,\times \,(-10)\,=\,-100$

d. $(-25)\,\times \,4\,=\,-100$

e. $(-100)\,\times \,2\,=\,-200$

f. $(-50)\,\times \,(-4)\,=\,200$

g. $237\,\times \,(-1)\,=\,-237$

h. $(-250)\,\times \,(-1)\,=\,250$

Exercice 26 : généralités de la règle des signes
a. $(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)$

$(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)\,=\,(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)$

$=\,(-1)\,\times \,2\,=\,-2$

$=\,-2\,\times \,(-3)\,=\,6$

$=\,6\,\times \,(-4)\,=\,-24$

$=\,-24\,\times \,(-5)\,=\,120$

Positif

b. $(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,6$

$(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,6\,=\,(-1)\,\times \,2\,\times \,(-3)\,\times \,(-4)\,\times \,(-5)\,\times \,6$

$=(-1)\,\times \,2\,=\,-2$

$=-2\,\times \,(-3)\,=\,6$

$=6\times \,(-4)\,=\,-24$

$=-24\times \,(-5)\,=\,120$

$=120\times \,6\,=\,720$

Positif

c. $2\,\times \,(-10)\,\times \,(-7)\,\times \,(-2)$

$2\,\times \,(-10)\,\times \,(-7)\,\times \,(-2)\,=2\,\times \,(-10)\,\times \,(-7)\,\times \,(-2)$

$=2\times \,(-10)\,=\,-20$

$=-20\times \,(-7)\,=\,140$

$=140\,\times \,(-2)\,=\,-280$

Negatif

d. $-4\,\times \,2.6\,\times \,(-3.8)\,\times \,(-4.5)\,\times \,(-1.5)$

$-4\,\times \,2.6\,\times \,(-3.8)\,\times \,(-4.5)\,\times \,(-1.5)\,=-4\,\times \,2.6\,\times \,(-3.8)\,\times \,(-4.5)\,\times \,(-1.5)$

$=-4\times \,2.6\,=\,-10.4$

$=-10.4\,\times \,(-3.8)\,=\,39.52$

$=39.52\,\times \,(-4.5)\,=\,-177.84$

$=-177.84\times \,(-1.5)\,=\,266.76$

Positif

e. $(-3)\,\times \,(-9)\,\times \,4\,\times \,(-1.2)\,\times \,(-2)\,\times \,(-1)$

$(-3)\,\times \,(-9)\,\times \,4\,\times \,(-1.2)\,\times \,(-2)\,\times \,(-1)\,=(-3)\,\times \,(-9)\,\times \,4\,\times \,(-1.2)\,\times \,(-2)\,\times \,(-1)$

$=(-3)\,\times \,(-9)\,=\,27$

$=27\,\times \,4\,=\,108$

$=108\times \,(-1.2)\,=\,-129.6$

$=-129.6\times \,(-2)\,=\,259.2$

$=259.2\,\times \,(-1)=\,-259.2$

Negatif

f. $(-5.7)\times \,9.3\times \,4.5\times \,0\times \,(-2.32)\times \,(-1)$

$(-5.7)\times \,9.3\times \,4.5\times \,0\times \,(-2.32)\times \,(-1)\,=\,(-5.7)\times \,9.3\times \,4.5\times \,0\times \,(-2.32)\times \,(-1)$

$=(-5.7)\times \,9.3\,=\,-53.01$

$=-53.01\times \,4.5\,=\,-238.545$

$=-238.545\,\times \,0\,=\,0$

Positif

Exercice 27 : nombres relatifs et calcul littéral
a. Complétons le tableau suivant:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Aa\,%26\,b\,%26\,ab\,%26\,(-a)b\,%26\,-(ab)\,%26\,a(-b)\,%26\,(-a)(-b)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A-2\,%26\,6\,%26\,(-2)\,\times \,6\,=\,-12\,%26\,-(-2)\,\times \,6\,=\,12\,%26\,-(-12)\,=\,12\,%26\,(-2)\,\times \,(-6)\,=\,12\,%26\,-(-2)(6)\,=\,12\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,%26\,-7%2C5\,%26\,3\,\times \,(-7%2C5)\,=\,-22%2C5\,%26\,-(3)\,\times \,(-7%2C5)\,=\,22%2C5\,%26\,-(-22%2C5)\,=\,22%2C5\,%26\,3\,\times \,7%2C5\,=\,22%2C5\,%26\,-(3)(-7%2C5)\,=\,22%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%26\,-5\,%26\,(-5\,)\,\times \,-10\,=\,50\,%26\,-(5)\,\times \,(-10)\,=\,50\,%26\,-\,(-50)\,=\,50\,%26\,5(10)\,=\,50\,%26\,-(5)(-10)\,=\,50\,\\%0D%0A\hline%0D%0A8\,%26\,%26\,%26\,%26\,%26\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A8\,%26\,b\,%26\,8\,b\,%26\,-(8)b\,%26\,-(8\,b)\,%26\,8(-b)\,%26\,-(8)(-b)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A8\,%26\,5\,%26\,8\,\times \,5\,=\,40\,%26\,-(8)(5)\,=\,-40\,%26\,-\,(40)\,=\,-40\,%26\,8(-5)\,=\,-40\,%26\,-\,(8)(-5)\,=\,40\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Nous remarquons que, pour chaque case, l’expression (-a)(-b) est égale à ab et chaque colonne est remplie en fonction de la multiplication et des signes entre les facteurs.

Cela montre que les formules et les signes affectés à chaque facteur respectent les règles de multiplication des nombres entiers et négatifs en algèbre.

Exercice 28 : quelques problèmes à résoudre
a. Pour déterminer le signe du produit de 275 nombres relatifs non nuls dont 82 sont positifs, nous devons d’abord calculer le nombre de nombres négatifs, qui est $275\,-\,82\,=\,193$ .

Le produit de nombres relatifs a un signe qui dépend du nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, le produit est positif ; s’il est impair, le produit est négatif. Ici, 193 est impair, donc le produit de ces nombres sera négatif.

$Conclusion\,%3A$ Le produit de ces 275 nombres est négatif.

b. Pour déterminer le signe du produit de 162 nombres, sachant qu’il y a deux fois plus de facteurs positifs que de facteurs négatifs, faisons les calculs suivants :

Si est le nombre de facteurs négatifs, alors le nombre de facteurs positifs est .

Nous avons donc :
$n\,%2B\,2n\,=\,162$
$3n\,=\,162$
$n\,=\,54$

Alors, il y a 54 facteurs négatifs et $2\,\times \,54\,=\,108$ facteurs positifs.

Puisque $n\,=\,54$ est pair, le produit de ces nombres sera positif.

Conclusion :

Le produit de ces 162 nombres est positif.

c. Pour déterminer le signe de , sachant que le produit $(-2)\,\times \,(-a)\,\times \,(-7.56)$ est positif, examinons la situation :

L’expression donnée est :
$(-2)\,\times \,(-a)\,\times \,(-7.56)$

Pour que le produit de trois termes soit positif, le nombre de termes négatifs doit être impair.

– est négatif,
– -7.56 est négatif,
– serait négatif si est positif.

Pour que le produit soit positif, il faut que soit négatif, c’est-à-dire que doit être positif.

$Conclusion\,%3A$ est positif.

Exercice 29 : appliquer un programme de calcul
Pour le nombre $a\,=\,5$ :
$%26Multiplier\,par\,\,-5%3A\,%26\,5\,\times \,(-5)\,=\,-25\,\\%0D%0A%26Puis\,doubler%3A\,%26\,2\,\times \,(-25)\,=\,-50$

Pour le nombre $b\,=\,0$ :
$%26Multiplier\,par\,\,-5%3A\,%26\,0\,\times \,(-5)\,=\,0\,\\%0D%0A%26Puis\,doubler%3A\,%26\,2\,\times \,0\,=\,0$

Pour le nombre $c\,=\,-5$ :
$%26Multiplier\,par\,\,-5%3A\,%26\,(-5)\,\times \,(-5)\,=\,25\,\\%0D%0A%26Puis\,doubler%3A\,%26\,2\,\times \,25\,=\,50$

Pour le nombre $d\,=\,-1{%2C}2$ :
$%26Multiplier\,par\,\,-5%3A\,%26\,(-1{%2C}2)\,\times \,(-5)\,=\,6\,\\%0D%0A%26Puis\,doubler%3A\,%26\,2\,\times \,6\,=\,12$

Exercice 30 : quotient de nombres relatifs
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Aquotient\,%26\,positif\,%26\,negatif\,\\%0D%0A\hline%0D%0Aa.\,\,(-8)\,: \,3\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ab.\,\,(-8)\,: \,(-4)\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ac.\,\,12\,: \,1%2C5\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ad.\,\,(-8)\,: \,(-4)\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ae.\,\,-42\,: \,7\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af.\,\,9\,: \,(-3)\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag.\,\,\frac{15}{4}\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah.\,\,\frac{11}{-5}\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ai.\,\,\frac{-45}{15}\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0Aj.\,\,\frac{-9%2C2}{-3%2C5}\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ak.\,\,\frac{-14}{-3}\,%26\,\checkmark\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Al.\,\,\frac{-2}{3}\,%26\,%26\,\checkmark\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : diviser deux nombres relatifs

a. (-27) : (-9) = 3
b. (-24) : (+4) = -6
c. (+8) : (-8) = -1
d.(-55) : (-5) = 11
e. (+15) : (-10) = -1.5
f. (-4) : (-8) = 0.5

Exercice 32 : nombres relatifs et fractions
a. $-\frac{7%2C2}{9}\,=\,-\frac{72}{90}\,=\,-\frac{4}{5}\,=\,-0%2C8$

b. $-\frac{9}{-18}\,=\,\frac{9}{18}\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0%2C5$

c. $\frac{18}{-2}\,=\,-\frac{18}{2}\,=\,-9$

d. $-\frac{9}{2}\,=\,-4%2C5$

e. $-\frac{14%2C6}{-2}\,=\,\frac{14%2C6}{2}\,=\,7%2C3$

f. $\frac{9%2C3}{3}\,=\,3%2C1$

g. $-\frac{21%2C3}{-3}\,=\,\frac{21%2C3}{3}\,=\,7%2C1$

h. $\frac{7}{-0%2C7}\,=\,-\frac{7}{0%2C7}\,=\,-10$

Exercice 33 : compléter par le bon signe
a. $(%2B21)\,: \,(-7)\,=\,3$

$%2B21\,: \,(-7)\,=\,-3\,\neq\,3$
$-21\,: \,(-7)\,=\,3$

Le bon signe est .

$(-21)\,: \,(-7)\,=\,3$

b. $(...\,\\,2)\,: \,(%2B4)\,=\,0.5$

$%2B2\,: \,(%2B4)\,=\,0.5$

Le bon signe est %2B .

$(%2B2)\,: \,(%2B4)\,=\,0.5$

c. $16\,: \,(...\,\\,8)\,=\,-2$

$16\,: \,(%2B8)\,=\,2$
$16\,: \,(-8)\,=\,-2$

Le bon signe est .

$16\,: \,(-8)\,=\,-2$

d. $(-63)\,: \,(...\,\\,7)\,=\,-9$

$-63\,: \,(%2B7)\,=\,-9$

Le bon signe est %2B .

$(-63)\,: \,(%2B7)\,=\,-9$

e. $49\,: \,(...\,\\,7)\,=\,7$

$49\,: \,(\,%2B7)\,=\,7$

Le bon signe est %2B .

$49\,: \,(%2B7)\,=\,7$

f. $(-121)\,: \,(...\,\\,11)\,=\,-11$

$-121\,: \,(%2B11)\,=\,-11$

Le bon signe est %2B .

$(-121)\,: \,(%2B11)\,=\,-11$

Exercice 34 : calculer ces expressions numériques
$A\,%26\,=\,15\,%2B\,5\,\times \,(-8)\,\\%0D%0A%26\,=\,15\,%2B\,(-40)\,\\%0D%0A%26\,=\,-25\,\\%0D%0A\\%0D%0AB\,%26\,=\,(-8)\,: \,4\,-\,5\,\\%0D%0A%26\,=\,-2\,-\,5\,\\%0D%0A%26\,=\,-7\,\\%0D%0A\\%0D%0AC\,%26\,=\,19\,-\,12\,: \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,19\,-\,(-3)\,\\%0D%0A%26\,=\,19\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26\,=\,22\,\\%0D%0A\\%0D%0AD\,%26\,=\,-10\,%2B\,10\,\times \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,-10\,%2B\,(-40)\,\\%0D%0A%26\,=\,-10\,-\,40\,\\%0D%0A%26\,=\,-50\,\\%0D%0A\\%0D%0AE\,%26\,=\,\frac{-9\,\times \,4}{6\,\times \,(-2)}\,\\%0D%0A%26\,=\,\frac{-36}{-12}\,\\%0D%0A%26\,=\,3\,\\%0D%0A\\%0D%0AG\,%26\,=\,(15\,%2B\,5)\,\times \,(-8)\,\\%0D%0A%26\,=\,20\,\times \,(-8)\,\\%0D%0A%26\,=\,-160\,\\%0D%0A\\%0D%0AH\,%26\,=\,(-8)\,: \,(4\,-\,5)\,\\%0D%0A%26\,=\,(-8)\,: \,(-1)\,\\%0D%0A%26\,=\,8\,\\%0D%0A\\%0D%0AI\,%26\,=\,8\,\times \,(-2)\,-\,9\,: \,(-3)\,\\%0D%0A%26\,=\,-16\,-\,(-3)\,\\%0D%0A%26\,=\,-16\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26\,=\,-13\,\\%0D%0A\\%0D%0AJ\,%26\,=\,(-10\,%2B\,10)\,\times \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,0\,\times \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,0\,\\%0D%0A\\%0D%0AK\,%26\,=\,(19\,-\,12)\,: \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,7\,: \,(-4)\,\\%0D%0A%26\,=\,-\frac{7}{4}$

Exercice 35 : nombres relatifs et parenthèses
A = (-4) : 2 – (-4) x (-9) : 3

$=\,-2\,-\,(-4)\,\times \,(-3)$

$=\,-2\,-\,12$

$=\,-14$

B = (8 : 2) : 2 x 3 – 4

$=\,4\,%3A\,2\,\times \,3\,-\,4$

$=\,2\,\times \,3\,-\,4$

$=\,6\,-\,4$

$=\,2$

C = 5 + 3 x 8 x 4 : 2 + 1

$=\,5\,%2B\,3\,\times \,8\,\times \,4\,: \,2\,%2B\,1$

$=\,5\,%2B\,3\,\times \,8\,\times \,2\,%2B\,1$

$=\,5\,%2B\,48\,%2B\,1$

$=\,54$

D = (-4 : 2) – ((-4) x (-9)) : 3

$=\,-2\,-\,(36\,: \,3)$

$=\,-2\,-\,12$

$=\,-14$

E = 8(2 : 2) x (3 – 4)

$=\,8\,\times \,1\,\times \,(-1)$

$=\,8\,\times \,-1$

$=\,-8$

F = (5 + 3) x 2 x (4 : 2 + 1)

$=\,8\,\times \,2\,\times \,(2\,%2B\,1)$

$=\,8\,\times \,2\,\times \,3$

$=\,48$

Exercice 36 : calculs avec les nombres relatifs
$A\,=\,%5B(-4)\,\times \,5\,%2B\,2\,%2B\,(-3)%5D\,-\,4\,=\,-35$

$B\,=\,%5B(-2)\,\times \,3\,%2B\,8%5D\,%2B\,%5B2\,\times \,2\,-\,1%5D\,=\,4$

$C\,=\,1\,%2B\,%5B(2\,\times \,4)\,-\,(2\,\times \,3)\,%2B\,4%5D\,=\,10$

$D\,=\,5\,%2B\,%5B2\,\times \,3\,%2B\,2\,%2B\,4\,-\,1%5D\,=\,18$

Exercice 37 : calcul littéral et nombres relatifs
Calculons les expressions suivantes avec a = 4 et b = -3.

Pour :

$A=\,3a\,%2B\,2b$
$=\,3\,\cdot\,4\,%2B\,2\,\cdot\,(-3)$
$=\,12\,-\,6$
= 6.
Pour :
$B=\,6\,%2B\,4a\,-\,3b$
$=\,6\,%2B\,4\,\cdot\,4\,-\,3\,\cdot\,(-3)$
$=\,6\,%2B\,16\,%2B\,9$
$=\,31.$

Pour :
C = -a – b
= -4 – (-3)
= -4 + 3
= -1.
Pour :

D = \frac{a + b}{a – b}
= \frac{4 + (-3)}{4 – (-3)}
= \frac{4 – 3}{4 + 3}
= \frac{1}{7}.

Exercice 38 : fractions et nombres relatifs
$C\,=\,\frac{-7\,%2B\,7\,\times \,(-3)\,-\,3}{-8\,\times \,5\,-\,3\,\times \,(-3)}$

Calcul du numérateur :
$-7\,%2B\,7\,\times \,(-3)\,-\,3\,=\,-7\,%2B\,(-21)\,-\,3\,=\,-7\,-\,21\,-\,3\,=\,-31$

Calcul du dénominateur :
$-8\,\times \,5\,-\,3\,\times \,(-3)\,=\,-40\,%2B\,9\,=\,-31$

Ainsi,
$C\,=\,\frac{-31}{-31}\,=\,1$

$D\,=\,\frac{%2B7\,\times \,(-8)\,-\,24\,: \,(-4)}{-27\,: \,(-3)\,%2B\,(-2)\,\times \,(%2B4)}$

Calcul du numérateur :
$%2B7\,\times \,(-8)\,-\,24\,: \,(-4)\,=\,-56\,%2B\,6\,=\,-50$

Calcul du dénominateur :
$-27\,: \,(-3)\,%2B\,(-2)\,\times \,(%2B4)\,=\,9\,-\,8\,=\,1$

Ainsi,
$D\,=\,\frac{-50}{1}\,=\,-50$

Exercice 39 : expression littérale et nombres relatifs
Pour $x\,=\,5$ :

$C\,=\,-(3\,-\,x)^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$

En remplaçant par :

$C\,=\,-(3\,-\,5)^2\,%2B\,2\,\cdot\,5\,%2B\,1$

Calculons l’expression :

$C\,=\,-(-2)^2\,%2B\,2\,\cdot\,5\,%2B\,1$

$C\,=\,-4\,%2B\,10\,%2B\,1$

$C\,=\,7$

Donc, pour $x\,=\,5$ , $C\,=\,7$ .

Pour $x\,=\,-2$ :

$C\,=\,-(3\,-\,x)^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$

En remplaçant par :

$C\,=\,-(3\,-\,(-2))^2\,%2B\,2\,\cdot\,(-2)\,%2B\,1$

Calculons l’expression :

$C\,=\,-(3\,%2B\,2)^2\,%2B\,2\,\cdot\,(-2)\,%2B\,1$

$C\,=\,-5^2\,-\,4\,%2B\,1$

$C\,=\,-25\,-\,4\,%2B\,1$

$C\,=\,-28$

Donc, pour $x\,=\,-2$ , $C\,=\,-28$ .

Exercice 40 : calculs d’expressions littérales
1. Pour prouver l’égalité de et de pour $x\,=\,-2$ :

Calculons d’abord :
$A\,=\,-2x^2\,%2B\,2$
Pour $x\,=\,-2$ :
$A\,=\,-2(-2)^2\,%2B\,2%0D%0A=\,-2\,\times \,4\,%2B\,2%0D%0A=\,-8\,%2B\,2%0D%0A=\,-6$

Puis, calculons :
$B\,=\,(2x^2\,-\,2)(2x\,%2B\,3)$
Pour $x\,=\,-2$ :
$B\,=\,(2(-2)^2\,-\,2)(2(-2)\,%2B\,3)%0D%0A=\,(2\,\times \,4\,-\,2)(-4\,%2B\,3)%0D%0A=\,(8\,-\,2)(-1)%0D%0A=\,6\,\times \,(-1)%0D%0A=\,-6$

Donc, pour $x\,=\,-2$ , $A\,=\,B\,=\,-6$ .

2. Pour tester cette égalité pour $x\,=\,2$ :

Calculons d’abord :
$A\,=\,-2x^2\,%2B\,2$
Pour $x\,=\,2$ :
$A\,=\,-2(2)^2\,%2B\,2%0D%0A=\,-2\,\times \,4\,%2B\,2%0D%0A=\,-8\,%2B\,2%0D%0A=\,-6$

Puis, calculons :
$B\,=\,(2x^2\,-\,2)(2x\,%2B\,3)$
Pour $x\,=\,2$ :
$B\,=\,(2(2)^2\,-\,2)(2(2)\,%2B\,3)%0D%0A=\,(2\,\times \,4\,-\,2)(4\,%2B\,3)%0D%0A=\,(8\,-\,2)(7)%0D%0A=\,6\,\times \,7%0D%0A=\,42$

Donc, pour $x\,=\,2$ , $A\,=\,-6$ et $B\,=\,42$ .

En conclusion, et sont égaux pour $x\,=\,-2$ mais ne sont pas égaux pour $x\,=\,2$ .

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : calculer les expressions suivantes
$\mathbf{T\,=\,1\,\times \,(-2)\,%2B\,3\,\times \,(-4)\,-\,5\,\times \,(-6)\,%2B\,7\,\times \,(-8)}$

Calculons chaque terme :

$1\,\times \,(-2)\,=\,-2$
$3\,\times \,(-4)\,=\,-12$
$-5\,\times \,(-6)\,=\,30$
$7\,\times \,(-8)\,=\,-56$

Ensuite, additionnons ces résultats :

$T\,=\,-2\,%2B\,(-12)\,%2B\,30\,%2B\,(-56)$

$T\,=\,-2\,-\,12\,%2B\,30\,-\,56$

$T\,=\,-70\,%2B\,30$

$T\,=\,-40$

$\mathbf{R\,=\,(-0%2C5)\,\times \,(-12)\,-\,(-0%2C1)\,\times \,8}$

Calculons chaque terme :

$(-0%2C5)\,\times \,(-12)\,=\,6$
$(-0%2C1)\,\times \,8\,=\,-0%2C8$
$-\,(-0%2C1)\,\times \,8\,=\,-\,(-0%2C8)\,=\,%2B\,0%2C8$

Ensuite, additionnons ces résultats :

$R\,=\,6\,%2B\,0%2C8$

$R\,=\,6%2C8$

$\mathbf{U\,=\,2\,\times \,(-7\,-\,3)\,\times \,(-4)\,-\,(1\,-\,7)}$

Simplifions les termes entre parenthèses d’abord :

$-7\,-\,3\,=\,-10$
$1\,-\,7\,=\,-6$

Ensuite, calculons chaque terme :

$2\,\times \,(-10)\,=\,-20$
$-20\,\times \,(-4)\,=\,80$

Ensuite, soustrayons le dernier terme :

$U\,=\,80\,-\,(-6)$

$U\,=\,80\,%2B\,6$

$U\,=\,86$

Exercice 42 : entourer l’opération prioritaire
$D\,=\,\frac{5\,-\,4}{2}\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0%2C5$

$E\,=\,\frac{5\,-\,4}{2}\,-\,5\,=\,\frac{1}{2}\,-\,5\,=\,0%2C5\,-\,5\,=\,-4%2C5$

$F\,=\,\frac{-4}{10\,-\,8}\,=\,\frac{-4}{2}\,=\,-2$

$G\,=\,-7\,-\,\frac{1\,-\,3}{4\,-\,5}\,=\,-7\,-\,\frac{-2}{-1}\,=\,-7\,-\,2\,=\,-9$

Exercice 43 : calculs avec nombres relatifs et fractions
Pour :

$S\,=\,\frac{-15\,%2B\,25\,\times \,2}{2\,\times \,(-2)\,-\,1}$

Calculons le numérateur :

$-15\,%2B\,25\,\times \,2\,=\,-15\,%2B\,50\,=\,35$

Calculons le dénominateur :

$2\,\times \,(-2)\,-\,1\,=\,-4\,-\,1\,=\,-5$

Donc,

$S\,=\,\frac{35}{-5}\,=\,-7$

Pour :

$T\,=\,\frac{-7\,-\,(-2)\,\times \,2}{-10\,%2B\,5\,\times \,(-2)}$

Calculons le numérateur :

$-7\,-\,(-2)\,\times \,2\,=\,-7\,%2B\,4\,=\,-3$

Calculons le dénominateur :

$-10\,%2B\,5\,\times \,(-2)\,=\,-10\,-\,10\,=\,-20$

Donc,

$T\,=\,\frac{-3}{-20}\,=\,\frac{3}{20}$

Exercice 44 : calculer et compléter le tableau
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Aa\,%26\,1\,%26\,-2\,%26\,4\,%26\,-7\,\\%0D%0Ab\,%26\,-2\,%26\,-1\,%26\,-3\,%26\,3\,\\%0D%0Ac\,%26\,3\,%26\,-5\,\%26\,-2\,%26\,-2\,\\%0D%0A\hline%0D%0Aa\,\times \,b\,\times \,c\,%26\,1\,\times \,(-2)\,\times \,3\,=\,-6\,%26\,(-2)\,\times \,(-1)\,\times \,(-5)\,=\,-10\,%26\,4\,\times \,(-3)\,\times \,(-2)\,=\,24\,%26\,(-7)\,\times \,3\,\times \,(-2)\,=\,42\,\\%0D%0Aa\,-\,b\,-\,c\,\,%26\,1\,-\,(-2)\,-\,3\,=\,0\,%26\,-2\,-\,(-1)\,-\,(-5)\,=\,4\,%26\,4\,-\,(-3)\,-\,(-2)\,=\,9\,%26\,-7\,-\,3\,-\,(-2)\,=\,-8\,\\%0D%0A(-a)\,%2B\,b\,\times \,c\,%26\,-1\,%2B\,(-2)\,\times \,3\,=\,-7\,%26\,2\,%2B\,(-1)\,\times \,(-5)\,=\,7\,%26\,-4\,%2B\,(-3)\,\times \,(-2)\,=\,2\,%26\,7\,%2B\,3\,\times \,(-2)\,=\,-2\,\\%0D%0A(-a\,-\,b)\,\times \,c\,%26\,(-(1\,%2B\,(-2))\,\times \,3\,=\,3\,%26\,(-(-2)\,-\,(-1))\,\times \,(-5)\,=\,-5\,%26\,(-4\,%2B\,3)\,\times \,(-2)\,=\,2\,%26\,(-(-7)\,-\,3)\,\times \,(-2)\,=\,-8\,\\%0D%0A(a\,-\,b)\,\times \,c\,%26\,(1\,%2B\,2)\,\times \,3\,=\,9\,%26\,((-2\,%2B\,1)\,\times \,(-5)\,=\,5\,%26\,(4\,%2B\,3)\,\times \,(-2)\,=\,-14\,%26\,(-7\,-\,3)\,\times \,(-2)\,=\,20\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 45 : programme de calcul
Pour répondre à ce programme de calcul, voyons chaque question en détail :

au depart, montrer que le resultat obtenu est 100 . » align= »absmiddle » />

Commençons par appliquer les étapes du programme :
$x\,=\,-4$
$x\,-\,6\,=\,-4\,-\,6\,=\,-10$
$(-10)^2\,=\,100$

Donc, si l’on choisit le nombre au départ, le résultat obtenu est bien 100 .

comme nombre de depart, quel est le resultat obtenu ? » align= »absmiddle » />

Appliquons les étapes du programme de calcul pour $x\,=\,15$ :
$x\,=\,15$
$x\,-\,6\,=\,15\,-\,6\,=\,9$
$9^2\,=\,81$

Donc, si l’on choisit le nombre au départ, le résultat obtenu est .

144 ? Justifier la reponse. » align= »absmiddle » />

Pour cela, nous devons résoudre l’équation suivante :
$y^2\,=\,144%2C$
où est le résultat de la soustraction de 6 au nombre de départ . Donc :

$x\,-\,6\,=\,\pm\,12$

Cela donne deux possibilités pour :
$x\,-\,6\,=\,12\,\implies\,x\,=\,18$
ou
$x\,-\,6\,=\,-12\,\implies\,x\,=\,-6$

On peut vérifier les deux possibilités :
– Si $x\,=\,18$ :
$18\,-\,6\,=\,12\,\quad\,et\,\quad\,12^2\,=\,144$

– Si $x\,=\,-6$ :
$-6\,-\,6\,=\,-12\,\quad\,et\,\quad\,(-12)^2\,=\,144$

Ainsi, les deux valeurs de possibles pour obtenir un résultat de 144 sont et .

Exercice 46 : substituer et calcul littéral
$A\,%26=\,-(12\,-\,x)\,%2B\,15\,-\,3x\,\quad\,pour\,\%2C\,x\,=\,-4\,\\%0D%0A%26=\,-(12\,-\,(-4))\,%2B\,15\,-\,3(-4)\,\\%0D%0A%26=\,-(12\,%2B\,4)\,%2B\,15\,%2B\,12\,\\%0D%0A%26=\,-16\,%2B\,15\,%2B\,12\,\\%0D%0A%26=\,11\,\\%0D%0A\\%0D%0AB\,%26=\,4\,-\,a\,-\,(11\,-\,a)\,%2B\,3\,-\,5a\,\quad\,pour\,\%2C\,a\,=\,-5\,\\%0D%0A%26=\,4\,-\,(-5)\,-\,(11\,-\,(-5))\,%2B\,3\,-\,5(-5)\,\\%0D%0A%26=\,4\,%2B\,5\,-\,(11\,%2B\,5)\,%2B\,3\,%2B\,25\,\\%0D%0A%26=\,4\,%2B\,5\,-\,16\,%2B\,3\,%2B\,25\,\\%0D%0A%26=\,21\,\\%0D%0A\\%0D%0AC\,%26=\,3(a\,-\,b)\,-\,4bc\,\quad\,pour\,\%2C\,a\,=\,-5%2C\,\%2C\,b\,=\,8%2C\,\%2C\,c\,=\,-7\,\\%0D%0A%26=\,3(-5\,-\,8)\,-\,4(8)(-7)\,\\%0D%0A%26=\,3(-13)\,-\,4\,\cdot\,8\,\cdot\,(-7)\,\\%0D%0A%26=\,-39\,%2B\,224\,\\%0D%0A%26=\,185\,\\%0D%0A\\%0D%0AD\,%26=\,ab\,-\,b(b\,-\,c)\,\quad\,pour\,\%2C\,a\,=\,-5%2C\,\%2C\,b\,=\,8%2C\,\%2C\,c\,=\,-7\,\\%0D%0A%26=\,(-5)(8)\,-\,8(8\,-\,(-7))\,\\%0D%0A%26=\,-40\,-\,8(8\,%2B\,7)\,\\%0D%0A%26=\,-40\,-\,8\,\cdot\,15\,\\%0D%0A%26=\,-40\,-\,120\,\\%0D%0A%26=\,-160\,\\$

Exercice 47 : expressions à calculer
1. $A\,=\,20\,: \,(-4)\,=\,-5$
2. $B\,=\,\frac{-25}{-5}\,=\,5$
3. $C\,=\,-12\,: \,3\,=\,-4$
4. $D\,=\,35\,: \,(-7)\,=\,-5$
5. $E\,=\,-32\,: \,(-8)\,=\,4$
6. $F\,=\,\frac{-16}{8}\,=\,-2$
7. $G\,=\,-8\,%2B\,16\,: \,(-8)\,=\,-8\,%2B\,(-2)\,=\,-10$
8. $H\,=\,-7\,: \,(-24)\,%2B\,6\,=\,\frac{7}{24}\,%2B\,6\,=\,6%2C29\,\approx\,6%2C3$
9. $I\,=\,-6\,%2B\,(-3)\,\times \,(-9)\,=\,-6\,%2B\,27\,=\,21$
10. $J\,=\,-7\,: \,(-2)\,%2B\,(-8)\,: \,(-2)\,=\,3%2C5\,%2B\,4\,=\,7%2C5$
11. $K\,=\,-3\,\times \,4\,%2B\,8\,: \,7\,-\,(4\,%2B\,2)\,=\,-12\,%2B\,\frac{8}{7}\,-\,6\,=\,-18\,%2B\,\frac{8}{7}\,=\,-16%2C86\,\approx\,-2%2C6$
12. $L\,=\,(-3\,%2B\,7)\,(\,\frac{4\,\times \,(7\,-\,1)}{4}\,)\,=\,4\,\times \,(6)\,=\,24$
13. $M\,=\,-\,\frac{3^{-2}}{-3\,%2B\,5\,\times \,(-7)}\,=\,\frac{1}{9}\,: \,-38\,=\,-\frac{1}{342}\,\approx\,-0%2C0029$
14. $N\,=\,-5\,\times \,2%2C4\,%2B\,\frac{15\,-\,20}{2}\,=\,-12\,%2B\,\frac{-5}{2}\,=\,-12\,-\,2%2C5\,=\,-14%2C5$
15. $O\,=\,5\,-\,36\,: \,(-4)\,-\,2\,\times \,(-5)\,=\,5\,%2B\,9\,%2B\,10\,=\,24$
16. $P\,=\,-32\,: \,(-\,6\,-\,2)\,\times \,(-5)\,=\,-32\,: \,-8\,\times \,-5\,=\,4\,\times \,-5\,=\,-20$
17. $Q\,=\,-5\,%2B\,18\,\times \,(-2)\,: \,(-3)\,\times \,(-4)\,=\,-5\,%2B\,18\,\times \,\frac{-2}{-3}\,\times \,-4\,=\,-5\,%2B\,18\,\times \,\frac{2}{3}\,\times \,-4\,=\,-5\,-\,48\,=\,-53\,\approx\,-53$
18. $R\,=\,5\,-\,(-9)\,\times \,3\,%2B\,(-8)\,: \,2\,\times \,(-3)\,=\,5\,%2B\,27\,%2B\,\frac{-8}{-6}\,=\,5\,%2B\,27\,%2B\,\frac{4}{3}\,=\,32\,%2B1%2C33\,=\,33%2C33\approx\,33%2C3$
19. $S\,=\,-15\,%2B\,(3\,-\,12\,: \,(-2))\,=\,-15\,(3\,%2B\,6)\,=\,-15\,%2B\,9\,=\,-6$
20. $T\,=\,(8\,-\,4\,\times \,(-5))\,\times \,(30\,%2B\,(-6)\,: \,2)\,=\,(8\,%2B\,20)\,\times \,(30\,-\,3)\,=\,28\,\times \,27\,=\,756$
21. $U\,=\,%5B-4\,%2B\,(3\,%2B\,(-9)\,: \,(-3))\,%5D\,: \,(-5)\,=\,(-4\,%2B\,6)\,: \,(-5)2\,: \,(-5)\,=-0%2C4$