Volumes : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 11 : calcul du volume d’une boîte de chocolat
{Correction de l’exercice de mathématiques :}

{a) Calculer le volume de cette boîte de chocolat en poudre.}

Pour calculer le volume d’un cylindre, nous utilisons la formule suivante :
\[ V = \pi \times r^2 \times h \]
où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) est la hauteur.

Pour cette boîte, nous avons :
– \( r = \frac{9 \, \text{cm}}{2} = 4,5 \, \text{cm} \)
– \( h = 15 \, \text{cm} \)

Le volume \( V \) de la boîte est donc :
\[ V = \pi \times (4,5 \, \text{cm})^2 \times 15 \, \text{cm} \]

Calculons \( (4,5 \, \text{cm})^2 \) :
\[ (4,5 \, \text{cm})^2 = 20,25 \, \text{cm}^2 \]

Ensuite, multiplions par la hauteur et par \(\pi\) :
\[ V = \pi \times 20,25 \, \text{cm}^2 \times 15 \, \text{cm} \]
\[ V = \pi \times 303,75 \, \text{cm}^3 \]
\[ V \approx 3,1416 \times 303,75 \, \text{cm}^3 \]
\[ V \approx 954,93 \, \text{cm}^3 \]

Le volume de la boîte de chocolat en poudre est donc approximativement \( 954,93 \, \text{cm}^3 \).

{b) Calculer le volume de poudre gratuit offert en promotion.}

La poudre gratuite correspond à \(20\%\) du volume total, donc :
\[ V_{\text{gratuit}} = 0,20 \times V \]
\[ V_{\text{gratuit}} = 0,20 \times 954,93 \, \text{cm}^3 \]
\[ V_{\text{gratuit}} \approx 190,99 \, \text{cm}^3 \]

Le volume de poudre gratuit offert en promotion est donc approximativement \( 190,99 \, \text{cm}^3 \).

Exercice 12 : calculer le volume d’un outil de carrossier
Soit \( r \) le rayon du cylindre du dessous. Alors, le rayon du cylindre du dessus est \( 2r \).

Pour déterminer le volume d’un cylindre, on utilise la formule:
\[ V = \pi r^2 h \]

Pour le cylindre du dessous :
\[ r = 3 \, \text{cm} \]
\[ h_1 = 25 \, \text{cm} \]
Le volume du cylindre du dessous est donc :
\[ V_1 = \pi \times (3)^2 \times 25 \]
\[ V_1 = \pi \times 9 \times 25 \]
\[ V_1 = 225 \pi \]
\[ V_1 \approx 706 \, \text{cm}^3 \, \text{(en arrondissant au cm}^3\text{)} \]

Pour le cylindre du dessus :
\[ r = 6 \, \text{cm} \, \text{(puisque le rayon est le double du cylindre du dessous)} \]
\[ h_2 = 12 \, \text{cm} \]
Le volume du cylindre du dessus est donc :
\[ V_2 = \pi \times (6)^2 \times 12 \]
\[ V_2 = \pi \times 36 \times 12 \]
\[ V_2 = 432 \pi \]
\[ V_2 \approx 1357 \, \text{cm}^3 \, \text{(en arrondissant au cm}^3\text{)} \]

Le volume total de l’outil de carrossier est donc la somme des volumes des deux cylindres :
\[ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 \]
\[ V_{\text{total}} = 225 \pi + 432 \pi \]
\[ V_{\text{total}} = 657 \pi \]
\[ V_{\text{total}} \approx 2063 \, \text{cm}^3 \, \text{(en arrondissant au cm}^3\text{)} \]

Ainsi, le volume total de l’outil de carrossier est d’environ \(\boxed{2063 \, \text{cm}^3}\).

Exercice 13 : volume d’une pièce montée
Le volume d’un cylindre est donné par la formule \( V = \pi r^2 h \), où \( r \) est le rayon et \( h \) est la hauteur.

Pour la pièce montée, il y a trois cylindres de rayons différents et de même hauteur. Calculons les volumes de chaque cylindre séparément puis additionnons-les.

1. \[\]Cylindre du bas:\[\]
– Rayon: \( r_1 = \frac{40}{2} = 20 \) cm
– Hauteur: \( h = 6 \) cm
\[
V_1 = \pi r_1^2 h = \pi \times (20)^2 \times 6 = \pi \times 400 \times 6 = 2400\pi \, \text{cm}^3
\]

2. \[\]Cylindre du milieu:\[\]
– Rayon: \( r_2 = 5 \) cm de moins que le rayon du cylindre du bas, donc \( r_2 = 20 – 5 = 15 \) cm
– Hauteur: \( h = 6 \) cm
\[
V_2 = \pi r_2^2 h = \pi \times (15)^2 \times 6 = \pi \times 225 \times 6 = 1350\pi \, \text{cm}^3
\]

3. \[\]Cylindre du sommet:\[\]
– Rayon: \( r_3 = 5 \) cm de moins que le rayon du cylindre du milieu, donc \( r_3 = 15 – 5 = 10 \) cm
– Hauteur: \( h = 6 \) cm
\[
V_3 = \pi r_3^2 h = \pi \times (10)^2 \times 6 = \pi \times 100 \times 6 = 600\pi \, \text{cm}^3
\]

Le volume total de la pièce montée est la somme des volumes des trois cylindres:
\[
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 = 2400\pi + 1350\pi + 600\pi = 4350\pi \, \text{cm}^3
\]

Ainsi, le volume de la pièce montée est \( 4350\pi \, \text{cm}^3 \).

Exercice 14 : longueur et aire d’un petit suisse
1. Pour calculer la longueur du papier entourant le petit suisse, on doit tenir compte de sa circonférence et du recouvrement de 5 mm.

La circonférence \(C\) d’un cylindre (le petit suisse) est donnée par:
\[ C = 2\pi \times \text{rayon} \]

Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre:
\[ r = \frac{20 \text{ mm}}{2} = 10 \text{ mm} \]

La circonférence est donc:
\[ C = 2\pi \times 10 \text{ mm} = 20\pi \text{ mm} \]

Ajoutons le recouvrement de 5 mm:
\[ L_{\text{total}} = 20\pi \text{ mm} + 5 \text{ mm} \]

Calculons la valeur numérique en arrondissant à 1 mm près:
\[ L_{\text{total}} \approx 62.83 \text{ mm} + 5 \text{ mm} = 67.83 \text{ mm} \]

Arrondie à 1 mm:
\[ L_{\text{total}} \approx 68 \text{ mm} \]

2. Pour calculer l’aire du papier, il nous faut additionner les aires de la partie rectangulaire entourant le cylindre et des deux disques couvrant les bases supérieure et inférieure du cylindre.

L’aire de la partie rectangulaire s’obtient en multipliant la circonférence \(C\) par la hauteur \(h\):
\[ A_{\text{rect}} = C \times h \]

Sachant que:
\[ C = 20\pi \text{ mm} \]
\[ h = 4.5 \text{ cm} = 45 \text{ mm} \]

\[ A_{\text{rect}} = 20\pi \times 45 \text{ mm} = 900\pi \text{ mm}^2 \]

L’aire d’un disque est donnée par:
\[ A_{\text{disque}} = \pi \times r^2 \]

L’aire des deux disques est donc:
\[ A_{\text{disques}} = 2 \times \pi \times (10 \text{ mm})^2 = 2 \times 100\pi \text{ mm}^2 = 200\pi \text{ mm}^2 \]

L’aire totale du papier est donc:
\[ A_{\text{total}} = A_{\text{rect}} + A_{\text{disques}} = 900\pi \text{ mm}^2 + 200\pi \text{ mm}^2 \]

\[ A_{\text{total}} = 1100\pi \text{ mm}^2 \]

Calculons la valeur numérique:
\[ A_{\text{total}} \approx 1100 \times 3.14 \text{ mm}^2 = 3454 \text{ mm}^2 \]

Donc, l’aire du papier est approximativement:
\[ 3454 \text{ mm}^2 \]

Exercice 15 : faces et arêtes d’un parallélépipède
a. Deux faces parallèles du parallélépipède rectangle sont les faces \( RSMU \) et \( PNTS \).

b. Deux arêtes perpendiculaires du parallélépipède rectangle sont les arêtes \( RP \) et \( RS \).

c. La face \( PNTS \) est un rectangle dont les dimensions sont \( PN = 6 \, \text{cm} \) et \( NS = 1.5 \, \text{cm} \).

Pour représenter cette face en vraie grandeur :
– Dessinons un rectangle de 6 cm de longueur (taille du segment \( PN \)) et 1.5 cm de largeur (taille du segment \( NS \)).

Voici une représentation en vraie grandeur de la face \( PNST \) :

\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (6, 1.5);
\node at (0, 1.7) {P};
\node at (6, 1.7) {N};
\node at (0, -0.2) {T};
\node at (6, -0.2) {S};
\end{tikzpicture}
\]

Exercice 16 : faces d’un prisme droit
a. Les faces parallèles sont \(ABCDE\) et \(FGHIJ\), \(AFJ\) et \(BGI\), et \(EHJ\) et \(CFI\).

b. Les faces perpendiculaires à la face \(ABCDE\) sont \(AFJ\), \(BGI\), \(EHJ\) et \(CFI\).

c. Pour représenter en vraie grandeur la face \(BCHG\):

La face \(BCHG\) est un rectangle dont les dimensions sont les suivantes:
– \(BC = 2 \, \text{cm}\)
– \(BH = 3 \, \text{cm}\)

La figure pourrait être dessinée comme suit :

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{ccccccc}
B \underline{\ \ \ \ \ 2 \, \text{cm}\ \ \ \ \ } C \\
\backslash\ \backslash \\
\backslash \ \ \ \ \ \ \backslash \\
\ \ \ 3 \, \text{cm} \\
\backslash ~ \backslash \\
G \underline{\ \ \ \ \ 2 \, \text{cm}\ \ \ \ \ } H \\
\end{array}
\end{array}
\]

« `plaintext
B───2cm───C
│ │
3cm 3cm
│ │
G───2cm───H
« `

Cela donne un rectangle \(BCHG\) avec \(BC = 2 \, \text{cm}\) et \(BH = 3 \, \text{cm}\).

Exercice 17 : la pyramide régulière
a. Les deux faces superposables sont les triangles \( \triangle SAC \) et \( \triangle SBC \).

b. Les deux arêtes perpendiculaires sont \( [SA] \) et \( [AB] \).

c.

Pour représenter en vraie grandeur la face \( SAB \), nous utilisons les longueurs données :

– \( SA = SC = 3 \) cm
– \( AB = 4 \) cm

Nous allons dessiner le triangle \( SAB \) avec les dimensions réelles. En considérant que \( SA \) et \( SB \) sont de même longueur et \( AB \) est 4 cm, nous pouvons les représenter comme suit :

1. Tracez une ligne de 4 cm pour \( AB \).
2. Depuis le point \( A \), dessinez un arc de cercle de rayon 3 cm (longueur de \( SA \)).
3. Depuis le point \( B \), dessinez un arc de cercle de rayon 3 cm (longueur de \( SB \)).
4. Le point d’intersection des deux arcs sera le sommet \( S \) du triangle \( SAB \).

Voici le calcul pour vérifier que le triangle est correctement formé :
\[ SA = SB = 3 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad AB = 4 \, \text{cm} \]

En LaTeX:
\[
\begin{tikzpicture}
% Points
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (S) at (2,2.6); % Hauteur du triangle équilatéral de côté 4 cm

% Lines
\draw (A) — (B) — (S) — cycle;

% Labels
\fill (A) circle (1.5pt) node[below] {\[A\]};
\fill (B) circle (1.5pt) node[below] {\[B\]};
\fill (S) circle (1.5pt) node[above] {\[S\]};

% Lengths
\node at (2,-0.3) {\[4 \, \text{cm}\]};
\node at (3.3,1.5) {\[3 \, \text{cm}\]};
\node at (0.7,1.5) {\[3 \, \text{cm}\]};

\end{tikzpicture}
\]

Exercice 18 : pyramide contenue dans un pavé droit
a.
Pour déterminer la nature des triangles \(SHE\) et \(SHG\), calculons d’abord les longueurs des côtés de ces triangles.

Pour le triangle \(SHE\) :
– \(SE\) est l’arête verticale du pavé droit, donc \(SE = 2.5 \, \text{cm}\).
– \(HE\) est l’arête horizontale de la base, donc \(HE = 4.5 \, \text{cm}\).
– Pour \(SH\), utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle \(SHE\). La distance \(SH\) peut être calculée comme suit :
\[
SH^2 = SE^2 + HE^2 = (2.5)^2 + (4.5)^2 = 6.25 + 20.25 = 26.5
\]
donc,
\[
SH = \sqrt{26.5} \approx 5.15 \, \text{cm}
\]

Pour le triangle \(SHG\) :
– \(SG\) est la distance diagonale du rectangle vertical \(SFGH\). Pour \(SG\), utilisons également le théorème de Pythagore :
\[
SG^2 = SE^2 + EG^2 = (2.5)^2 + (5.4)^2
\]
où \(EG\) est l’hypoténuse du rectangle de dimensions \(GF = 4.5 \, \text{cm}\) et \(HG = 3 \, \text{cm}\). Calculons \(EG\) :
\[
EG^2 = GF^2 + HG^2 = (4.5)^2 + (3)^2 = 20.25 + 9 = 29.25
\]
\[
EG = \sqrt{29.25} \approx 5.4 \, \text{cm}
\]
donc,
\[
SG^2 = (2.5)^2 + (5.4)^2 = 6.25 + 29.25 = 35.5
\]
donc,
\[
SG = \sqrt{35.5} \approx 5.96 \, \text{cm}
\]

– Pour \(SH\), nous l’avons déjà calculé comme \(SH = 5.15 \, \text{cm}\).
– \(HG = 3 \, \text{cm}\).

En résumé, les triangles \(SHE\) et \(SHG\) ont les côtés respectivement :
– \(SHE\) : \(SE = 2.5 \, \text{cm}\), \(HE = 4.5 \, \text{cm}\), \(SH = 5.15 \, \text{cm}\)
– \(SHG\) : \(SG = 5.96 \, \text{cm}\), \(HG = 3 \, \text{cm}\), \(SH = 5.15 \, \text{cm}\)

En utilisant le théorème de Pythagore inversé, ses triangles ne vérifient pas la condition d’être rectangles.

b.
Pour représenter en vraie grandeur la face \(SHE\), dessinons un triangle avec \(SE = 2.5 \, \text{cm}\), \(HE = 4.5 \, \text{cm}\), et \(SH = 5.15 \, \text{cm}\).

\[
\text{Dessin du triangle } SHE :
\]

1. Tracez un segment \(SE = 2.5 \, \text{cm}\).
2. À l’une de ses extrémités, tracez \(HE = 4.5 \, \text{cm}\) perpendiculairement.
3. Complétez en ajustant la longueur \(SH = 5.15 \, \text{cm}\).

Exercice 19 : volume d’un solide
Le volume total du solide est la somme des volumes du cube et du cylindre.

1. Calcul du volume du cube :
La longueur de l’arête du cube est de \(20 \, \text{mm}\).

\[
V_{cube} = a^3 = 20^3 \, \text{mm}^3 = 8000 \, \text{mm}^3
\]

Sachant que \(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\), on convertit le volume en \(\text{cm}^3\) :

\[
V_{cube} = \frac{8000 \, \text{mm}^3}{1000} = 8 \, \text{cm}^3
\]

2. Calcul du volume du cylindre :
Le cylindre a un diamètre de \(15 \, \text{mm}\), donc un rayon de \(\frac{15}{2} = 7,5 \, \text{mm}\).
Sa hauteur est de \(25 \, \text{mm}\).

\[
V_{cylindre} = \pi r^2 h = \pi (\frac{15}{2})^2 \times 25 \, \text{mm}^3 = \pi \times 7,5^2 \times 25 \, \text{mm}^3
\]

\[
V_{cylindre} = \pi \times 56,25 \times 25 \, \text{mm}^3 = \pi \times 1406,25 \, \text{mm}^3 \approx 4420 \, \text{mm}^3
\]

Sachant que \(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\), on convertit le volume en \(\text{cm}^3\) :

\[
V_{cylindre} = \frac{4420 \, \text{mm}^3}{1000} \approx 4,42 \, \text{cm}^3
\]

3. Volume total du solide :
\[
V_{total} = V_{cube} + V_{cylindre} = 8 + 4,42 = 12,42 \, \text{cm}^3
\]

En arrondissant à l’unité près :

\[
V_{total} \approx 12 \, \text{cm}^3
\]

Ainsi, le volume du solide est de \(\boxed{12 \, \text{cm}^3}\).

Exercice 20 : reconnaître des solides
1. Le premier solide est un prisme droit à base triangulaire. Les bases sont les triangles \( ABC \) et \( DEF \).

2. Le second solide est un prisme droit à base pentagonale. Les bases sont les pentagones \( GJKLM \) et \( HINOJ \).

3. Le troisième solide est une pyramide régulière à base trapézoïdale. La base est le trapèze \( ABCD \).

4. Le quatrième solide est un prisme droit à base rectangulaire. Les bases sont les rectangles \( ABCD \) et \( EFGH \).

5. Le cinquième solide est un prisme droit à base hexagonale. Les bases sont les hexagones \( ABCDEF \) et \( GHJKLM \).

6. Le sixième solide est une pyramide régulière à base triangulaire. La base est le triangle \( ABC \).

Exercice 21 : volume d’un écrou
La formule pour le volume d’un parallélépipède rectangle est :

\[ V = L \times l \times h \]

où :
– \( L \) est la longueur,
– \( l \) est la largeur,
– \( h \) est la hauteur.

Dans notre cas, les dimensions du parallélépipède sont \( L = 2 \, \text{cm} \), \( l = 2 \, \text{cm} \) et \( h = 0{,}6 \, \text{cm} \). Donc :

\[ V_{\text{parallélépipède}} = 2 \times 2 \times 0{,}6 = 2{,}4 \, \text{cm}^3 \]

La formule pour le volume d’un cylindre est :

\[ V = \pi \times r^2 \times h \]

où :
– \( r \) est le rayon,
– \( h \) est la hauteur.

Le diamètre du cylindre est de \( 1 \, \text{cm} \), ce qui donne un rayon de :

\[ r = \frac{1}{2} = 0{,}5 \, \text{cm} \]

La hauteur du cylindre est la même que celle du parallélépipède, soit \( h = 0{,}6 \, \text{cm} \). Donc :

\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times (0{,}5)^2 \times 0{,}6 = \pi \times 0{,}25 \times 0{,}6 = 0{,}15\pi \]

Approximativement, en prenant \(\pi \approx 3{,}14 \) :

\[ V_{\text{cylindre}} \approx 0{,}15 \times 3{,}14 = 0{,}471 \, \text{cm}^3 \]

Le volume de l’écrou est donc le volume du parallélépipède moins le volume du cylindre :

\[ V_{\text{écrou}} = V_{\text{parallélépipède}} – V_{\text{cylindre}} = 2{,}4 – 0{,}471 = 1{,}929 \, \text{cm}^3 \]

Arrondi au dixième près :

\[ V_{\text{écrou}} \approx 1{,}9 \, \text{cm}^3 \]

Exercice 22 : conversion de volumes
a.\ 1,5\ \text{dm}^3 = 1,5\ L

b.\ 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3

c.\ 1,2\ L = 120\ cL

d.\ 1,1\ \text{dm}^3 = 1100\ \text{cm}^3

e.\ 5\ L = 5000\ mL

f.\ 1000000\ \text{mm}^3 = 1\ L

Exercice 23 : volume d’un parallélépipède rectangle
{Correction de l’exercice}

Pour calculer le volume d’un parallélépipède rectangle, on utilise la formule suivante :
\[ V = L \times l \times h \]
où \( V \) est le volume, \( L \) est la longueur, \( l \) est la largeur et \( h \) est la hauteur.

{a.}

Pour le cube :
\[ L = l = h = 4\, \text{cm} \]

Le volume est donc :
\[
V = 4\, \text{cm} \times 4\, \text{cm} \times 4\, \text{cm} = 64\, \text{cm}^3
\]

{b.}

Pour le parallélépipède rectangle vert :
\[ L = 4\, \text{cm},\ l = 2\, \text{cm},\ h = 2\, \text{cm} \]

Le volume est donc :
\[
V = 4\, \text{cm} \times 2\, \text{cm} \times 2\, \text{cm} = 16\, \text{cm}^3
\]

{c.}

Pour le parallélépipède rectangle orange :
\[ L = 5\, \text{cm},\ l = 4\, \text{cm},\ h = 4\, \text{cm} \]

Le volume est donc :
\[
V = 5\, \text{cm} \times 4\, \text{cm} \times 4\, \text{cm} = 80\, \text{cm}^3
\]

Exercice 24 : volume d’un prisme droit
Pour calculer le volume du prisme droit, nous devons déterminer l’aire de la base ainsi que la hauteur du prisme.

1. Calcul de l’aire de la base \(ABC\):

Le triangle \(ABC\) est rectangulaire en \(H\).

L’aire du triangle \(ABC\) est donnée par :
\[ Aire_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]

En utilisant les valeurs donnés :
\[ BC = 4 \, \text{cm} \]
\[ AH = 1.5 \, \text{cm} \]

\[ Aire_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1.5 = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, \text{cm}^2 \]

2. Hauteur du prisme :

La hauteur du prisme est la longueur de l’arête \(BE\), qui est perpendiculaire à la base \(ABC\).

\[ BE = 2 \, \text{cm} \]

3. Volume du prisme droit :

Le volume \( V \) du prisme droit est donné par :
\[ V = Aire_{base} \times hauteur \]

En utilisant les valeurs calculées :
\[ V = 3 \times 2 = 6 \, \text{cm}^3 \]

Ainsi, le volume du prisme est de \(6 \, \text{cm}^3\).

Exercice 25 : volume d’une plaque de beurre
Soit les dimensions de la plaquette de beurre : \(L = 11,5 \, \text{cm}\), \(l = 6,5 \, \text{cm}\), \(h = 4 \, \text{cm}\).

Le volume total de la plaquette est donné par :
\[ V = L \times l \times h \]
\[ V = 11,5 \, \text{cm} \times 6,5 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} \]
\[ V = 299 \, \text{cm}^3 \]

La plaquette est coupée en deux moitiés, donc le volume de chaque morceau est la moitié du volume total.

### Première méthode : Division par deux
\[
V_{\text{moitié}} = \frac{V}{2}
\]
\[
V_{\text{moitié}} = \frac{299 \, \text{cm}^3}{2}
\]
\[
V_{\text{moitié}} = 149,5 \, \text{cm}^3
\]

### Deuxième méthode : Calcul direct des dimensions des moitiés

Si l’on coupe la plaquette en deux selon la longueur (donc chaque moitié a une longueur de \( \frac{L}{2} = 5,75 \, \text{cm} \)) :
\[
V_{\text{moitié}} = (\frac{11,5 \, \text{cm}}{2}) \times 6,5 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{moitié}} = 5,75 \times 6,5 \times 4
\]
\[
V_{\text{moitié}} = 149,5 \, \text{cm}^3
\]

Ou bien, si l’on coupe la plaquette en deux selon la largeur (donc chaque moitié a une largeur de \( \frac{l}{2} = 3,25 \, \text{cm} \)) :
\[
V_{\text{moitié}} = 11,5 \, \text{cm} \times (\frac{6,5 \, \text{cm}}{2}) \times 4 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{moitié}} = 11,5 \, \text{cm} \times 3,25 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{moitié}} = 149,5 \, \text{cm}^3
\]

Dans les deux cas, le volume de chaque morceau est de \( 149,5 \, \text{cm}^3 \).

Exercice 26 : conversion d’aires
a. \( 3,1 \, m^3 = 3{,}1 \times 1000 \, dm^3 = 3100 \, dm^3 \)

b. \( 0{,}000 \, 75 \,m^3 = 0{,}000 \, 75 \times 1{,}000{,}000 \, cm^3 = 750 \, cm^3 \)

c. \( 0{,}037 \, dm^3 = 0{,}037 : 1000 \, m^3 = 0{,}000 \, 037 \, m^3 \)

d. \( 500 \, cm^3 = 500 : 1000 \, dm^3 = 0{,}5 \, dm^3 \)

e. \( 5{,}85 \, cm^3 = 5{,}85 \times 1000 \, mm^3 = 5850 \, mm^3 \)

f. \( 550 \, mm^3 = 550 : 1000 \, cm^3 = 0{,}55 \, cm^3 \)

Exercice 27 : volume d’une tente
a. Calculons le volume de la tente.

La tente a la forme d’un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.

La formule pour le volume \( V \) d’un prisme droit est :

\[ V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} \]

La base de la tente est un triangle rectangle de côtés 0,90 m et 1,20 m.

L’aire \( A \) de la base (triangle rectangle) est :

\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]

\[ A = \frac{1}{2} \times 0,90 \, m \times 1,20 \, m \]

\[ A = \frac{1}{2} \times 1,08 \, m^2 \]

\[ A = 0,54 \, m^2 \]

La hauteur du prisme est 2,10 m.

Donc, le volume \( V \) est :

\[ V = 0,54 \, m^2 \times 2,10 \, m \]

\[ V = 1,134 \, m^3 \]

b. Convertissons le volume en litres.

1 mètre cube \( = 1000 \) litres.

Donc, la contenance en litres \( C \) est :

\[ C = 1,134 \, m^3 \times 1000 \, \text{litres/m}^3 \]

\[ C = 1134 \, \text{litres} \]

La tente peut contenir environ 1134 litres.

Exercice 28 : volume d’un cylindre
Le volume \( V \) d’un cylindre de révolution se calcule à l’aide de la formule :

\[ V = \pi r^2 h \]

où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) est la hauteur du cylindre.

Ici, nous avons :
\[ r = 4 \, \text{cm} \]
\[ h = 8 \, \text{cm} \]

En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :
\[ V = \pi \times (4 \, \text{cm})^2 \times 8 \, \text{cm} \]

Calculons d’abord \( (4 \, \text{cm})^2 \) :
\[ (4 \, \text{cm})^2 = 16 \, \text{cm}^2 \]

Ensuite, multiplions par 8 cm :
\[ 16 \, \text{cm}^2 \times 8 \, \text{cm} = 128 \, \text{cm}^3 \]

Finalement, multiplions par \( \pi \) :
\[ V = 128 \pi \, \text{cm}^3 \]

En utilisant une valeur approchée de \( \pi \approx 3.1416 \), nous avons :
\[ V \approx 128 \times 3.1416 \]

Calculons cela :
\[ V \approx 402.123 \, \text{cm}^3 \]

Arrondissons à l’unité la plus proche :
\[ V \approx 402 \, \text{cm}^3 \]

Ainsi, le volume du cylindre est approximativement \( 402 \, \text{cm}^3 \).

Exercice 29 : un tube en plastique
Pour calculer le volume de plastique nécessaire à la réalisation du tube, il faut calculer la différence entre le volume du cylindre externe et le volume du cylindre interne.

Les données fournies sont :
– longueur \( L = 1,4 \) m = 14 dm,
– rayon intérieur \( r_i = 35 \) mm = 3,5 cm = 0,35 dm,
– rayon extérieur \( r_e = 42 \) mm = 4,2 cm = 0,42 dm.

1. Volume du cylindre extérieur \( V_e \) :
\[
V_e = \pi r_e^2 L = \pi (0,42)^2 \times 14
\]

2. Volume du cylindre intérieur \( V_i \) :
\[
V_i = \pi r_i^2 L = \pi (0,35)^2 \times 14
\]

3. Volume de plastique nécessaire \( V \) :
\[
V = V_e – V_i = \pi (0,42)^2 \times 14 – \pi (0,35)^2 \times 14
\]

En factorisant par \( \pi \times 14 \) :
\[
V = \pi \times 14 \times (0,42^2 – 0,35^2)
\]

Calcul des carrés des rayons :
\[
0,42^2 = 0,1764
\]
\[
0,35^2 = 0,1225
\]

Donc, la différence des carrés :
\[
0,42^2 – 0,35^2 = 0,1764 – 0,1225 = 0,0539
\]

Calcul final du volume :
\[
V = \pi \times 14 \times 0,0539 \approx 2,37 \, \text{dm}^3
\]

La valeur approchée au dixième près du volume de plastique nécessaire est donc \( 2,4 \, \text{dm}^3 \).

Exercice 30 : une tour cylindrique
Le volume de la tour totale est la somme du volume du cylindre et du volume du cône.

*Volume du cylindre:*

La formule pour le volume d’un cylindre est:
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h \]

Où:
– \( r = 2,5 \) m (rayon de la base)
– \( h = 10 \) m (hauteur du cylindre)

Calculons le volume du cylindre:
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times (2,5\, \text{m})^2 \times 10\, \text{m} \]
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 6,25\, \text{m}^2 \times 10\, \text{m} \]
\[ V_{\text{cylindre}} = 62,5 \pi\, \text{m}^3 \]
\[ V_{\text{cylindre}} \approx 196,35\, \text{m}^3 \]

*Volume du cône:*

La formule pour le volume d’un cône est:
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Où:
– \( r = 2,5 \) m (rayon de la base)
– \( h = 5 \) m (hauteur du cône)

Calculons le volume du cône:
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi \times (2,5\, \text{m})^2 \times 5\, \text{m} \]
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi \times 6,25\, \text{m}^2 \times 5\, \text{m} \]
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi \times 31,25\, \text{m}^3 \]
\[ V_{\text{cône}} = 10,42 \pi\, \text{m}^3 \]
\[ V_{\text{cône}} \approx 32,73\, \text{m}^3 \]

*Volume total de la tour:*

Ajoutons les volumes du cylindre et du cône pour obtenir le volume total:
\[ V_{\text{total}} = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{cône}} \]
\[ V_{\text{total}} \approx 196,35\, \text{m}^3 + 32,73\, \text{m}^3 \]
\[ V_{\text{total}} \approx 229,08\, \text{m}^3 \]

Donc, une valeur approchée à l’unité près du volume de la tour est:
\[ V_{\text{total}} \approx 229\, \text{m}^3 \]

Exercice 31 : une boîte de boules
Soit un parallélépipède rectangle de dimensions \(4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm}\). Nous avons à l’intérieur de ce parallélépipède deux boules de rayon \(2 \, \text{cm}\).

1. \[\]Volume du parallélépipède rectangle :\[\]

Le volume \(V\) du parallélépipède rectangle est donné par :

\[ V = L \times l \times h \]

où \(L = 8 \, \text{cm}\), \(l = 4 \, \text{cm}\), et \(h = 4 \, \text{cm}\).

\[ V = 8 \times 4 \times 4 \]
\[ V = 128 \, \text{cm}^3 \]

2. \[\]Volume de chaque boule :\[\]

Le volume \(V_b\) d’une boule est donné par la formule :

\[ V_b = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

où \(r = 2 \, \text{cm}\).

\[ V_b = \frac{4}{3} \pi (2)^3 \]
\[ V_b = \frac{4}{3} \pi \times 8 \]
\[ V_b = \frac{32}{3} \pi \]

Approchons ce volume en utilisant \(\pi \approx 3.1416\) :

\[ V_b = \frac{32}{3} \times 3.1416 \]
\[ V_b \approx 33.5103 \, \text{cm}^3 \]

3. \[\]Volume total des deux boules :\[\]

Puisque nous avons deux boules, le volume total des boules est :

\[ V_{\text{total boules}} = 2 \times V_b \]
\[ V_{\text{total boules}} = 2 \times 33.5103 \]
\[ V_{\text{total boules}} \approx 67.0206 \, \text{cm}^3 \]

4. \[\]Volume de l’espace laissé libre :\[\]

Le volume laissé libre par les deux boules dans le parallélépipède est :

\[ V_{\text{libre}} = V – V_{\text{total boules}} \]
\[ V_{\text{libre}} = 128 – 67.0206 \]
\[ V_{\text{libre}} \approx 60.9794 \, \text{cm}^3 \]

Le volume de l’espace laissé libre par les deux boules est donc approximativement \(60.979 \, \text{cm}^3\).

Exercice 32 : conversions de volumes
1.
Effectue les conversions suivantes.

\[ \begin{array}{ll}
a. 12 \, m^3 = 12000 \, dm^3 d. 0,75 \, m^3 = 750 \, dm^3 \\
b. 10 \, mm^3 = 0,01 \, cm^3 e. 12 \, 426 \, mm^3 = 12,426 \, cm^3 \\
c. 1200 \, dm^3 = 1,2 \, m^3 f. 25,7 \, cm^3 = 25700 \, mm^3 \\
\end{array} \]

2.
Effectue les conversions suivantes.

\[ \begin{array}{ll}
a. 127 \, \text{mL} = 0,127 \, \text{L} e. 0,051 \, \text{L} = 5,1 \, \text{cL} \\
b. 752,3 \, \text{hL} = 75230 \, \text{L} f. 25 \, \text{dL} = 2,5 \, \text{cL} \\
c. 132 \, \text{cL} = 1,32 \, \text{L} g. 0,3 \, \text{cL} = 0,03 \, \text{dL} \\
d. \frac{1}{2} \, \text{L} = 50 \, \text{cL} h. \frac{1}{4} \, \text{L} = 2,5 \, \text{dL} \\
\end{array} \]

3.
Effectue les conversions suivantes.

\[ \begin{array}{ll}
a. 12 \, \text{L} = 12 \, dm^3 e. 1 \, m^3 = 1000 \, L \\
b. 0,3 \, L = 0,0003 \, m^3 f. 24 \, dm^3 = 240 \, cL \\
c. 40 \, mL = 0,04 \, dm^3 g. 12,9 \, dm^3 = 12900 \, mL \\
d. 1,8 \, hL = 180 \, L h. 42,1 \, m^3 = 42100 \, L \\
\end{array} \]

Exercice 33 : classer des solides
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Solide} \text{Cube} \text{Pavé} \text{Prisme} \text{Cylindre} \text{Pyramide} \text{Cône} \text{Sphère} \\
\hline
\text{Figure} \text{Fig. 1} \text{Fig. 4} \text{Fig. 5, Fig. 6, Fig. 8} \text{Fig. 2} \text{Fig. 3} \text{Fig. 7} \text{Fig. 9} \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 34 : conversions de volumes
a. \( 0,06 \, \text{m}^3 = 0,06 \times 10^6 \, \text{cm}^3 = 60\,000 \, \text{cm}^3 \)

b. \( 76,4 \, \text{mm}^3 = 76,4 : 1000 \, \text{cm}^3 = 0,0764 \, \text{cm}^3 \)

c. \( 0,5 \, \text{L} = 0,5 \times 100 \, \text{cL} = 50 \, \text{cL} \)

d. \( 1\,359 \, \text{mL} = 1\,359 \, \text{mL} : 100 = 13,59 \, \text{dL} \)

e. \( 1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L} = 1 \, \text{L} \)

f. \( 20 \, \text{L} = 20 \times 100 \, \text{cL} = 2000 \, \text{cL} = 20 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0,02 \, \text{m}^3 \)

g. \( 74,2 \, \text{mL} = 74,2 : 1000 \, \text{L} = 0,0742 \, \text{L} \)

h. \( 358 \, \text{mm}^3 = 358 \, \text{mm}^3 : 1000 = 0.358 \, \text{cm}^3 = 0.358 \, \text{cm}^3 = 0.358 \, \text{mL} \)

Exercice 35 : calculer les volumes des prismes droits
\[
\text{Pour le premier prisme:}
\]

\[
V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}
\]

\[
V = 3 \, \text{cm}^2 \times 2 \, \text{cm}
\]

\[
V = 6 \, \text{cm}^3
\]

\[
\text{Pour le deuxième prisme:}
\]

\[
V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}
\]

\[
V = 8 \, \text{cm}^2 \times 6.5 \, \text{cm}
\]

\[
V = 52 \, \text{cm}^3
\]

Exercice 36 : volume de prisme droits
{Correction de l’exercice}

\[\]Premier prisme :\[\]

Aire de la base :
\[ \text{Aire} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \, \text{cm}^2 \]

Volume :
\[ \text{Volume} = 6 \times 5 = 30 \, \text{cm}^3 \]

—

\[\]Deuxième prisme :\[\]

Aire de la base :
\[ \text{Aire} = \frac{4 \times 1.2}{2} = 2.4 \, \text{cm}^2 \]

Volume :
\[ \text{Volume} = 2.4 \times 5 = 12 \, \text{cm}^3 \]

—

\[\]Troisième prisme :\[\]

Aire de la base :
\[ \text{Aire} = \frac{8 \times 10}{2} = 40 \, \text{cm}^2 \]

Volume :
\[ \text{Volume} = 40 \times 6 = 240 \, \text{cm}^3 \]

Exercice 37 : volume de cylindres de révolution
Aire de la base :
\[ \pi \times (2 \, \text{cm})^2 = 4\pi \, \text{cm}^2 \]

Volume du cylindre :
\[ 4\pi \, \text{cm}^2 \times 6 \, \text{cm} = 24\pi \, \text{cm}^3 \]

—

Aire de la base :
\[ \pi \times (6 \, \text{cm})^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \]

Volume du cylindre :
\[ 36\pi \, \text{cm}^2 \times 4 \, \text{cm} = 144\pi \, \text{cm}^3 \]

—

Aire de la base :
\[ \pi \times (50 \, \text{cm})^2 = 2500\pi \, \text{cm}^2 \]

Volume du cylindre :
\[ 2500\pi \, \text{cm}^2 \times 6 \, \text{dm} = 15000\pi \, \text{cm}^3 = 1500\pi \, \text{dm}^3 \]

—

Aire de la base :
\[ \pi \times (0.9 \, \text{cm})^2 = 0.81\pi \, \text{cm}^2 \]

Volume du cylindre :
\[ 0.81\pi \, \text{cm}^2 \times 0.4 \, \text{cm} = 0.324\pi \, \text{cm}^3 \]

Exercice 38 : volume d’un solide
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Pour calculer le volume total du solide, nous devons additionner les volumes des deux cylindres composant le solide.

Le volume \( V \) d’un cylindre est donné par la formule suivante :
\[ V = \pi \times r^2 \times h \]
où \( r \) est le rayon et \( h \) est la hauteur du cylindre.

1. Calcul du volume du petit cylindre (en haut) :
– Rayon : \( r = \frac{3 \text{ cm}}{2} = 1.5 \text{ cm} \)
– Hauteur : \( h = 1 \text{ cm} \)

\[
V_{\text{petit}} = \pi \times (1.5 \text{ cm})^2 \times 1 \text{ cm}
\]
\[
V_{\text{petit}} = \pi \times 2.25 \text{ cm}^2 \times 1 \text{ cm}
\]
\[
V_{\text{petit}} = 2.25\pi \text{ cm}^3
\]

2. Calcul du volume du grand cylindre (en bas) :
– Rayon : \( r = \frac{4 \text{ cm}}{2} = 2 \text{ cm} \)
– Hauteur : \( h = 2 \text{ cm} \)

\[
V_{\text{grand}} = \pi \times (2 \text{ cm})^2 \times 2 \text{ cm}
\]
\[
V_{\text{grand}} = \pi \times 4 \text{ cm}^2 \times 2 \text{ cm}
\]
\[
V_{\text{grand}} = 8\pi \text{ cm}^3
\]

3. Volume total du solide :
\[
V_{\text{total}} = V_{\text{petit}} + V_{\text{grand}}
\]
\[
V_{\text{total}} = 2.25\pi \text{ cm}^3 + 8\pi \text{ cm}^3
\]
\[
V_{\text{total}} = 10.25\pi \text{ cm}^3
\]

Valeur exacte :
\[
V_{\text{total}} = 10.25\pi \text{ cm}^3
\]

Valeur arrondie au mm³ (utilisant \(\pi \approx 3.14159\)) :
\[
V_{\text{total}} \approx 10.25 \times 3.14159 \text{ cm}^3
\]
\[
V_{\text{total}} \approx 32.20001 \text{ cm}^3
\]
\[
V_{\text{total}} \approx 32200 \text{ mm}^3
\]