Volumes : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : calculer le volume d’une pièce
Pour calculer le volume du mur représenté, nous devons suivre les étapes suivantes:

1. Identifier les dimensions de chaque pièce:
– A: $1.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$
– B: $3.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$
– C: $5.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$
– D: $4.0\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$
– E: $1.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm$

2. Calculer le volume de chaque pièce:

Le volume de chaque pièce est donné par:
$V_i\,=\,longueur\,\times \,hauteur\,\times \,epaisseur$

Pour la pièce A:
$V_A\,=\,1.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,6\,\%2C\,cm^3$

Pour la pièce B:
$V_B\,=\,3.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,14\,\%2C\,cm^3$

Pour la pièce C:
$V_C\,=\,5.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,22\,\%2C\,cm^3$

Pour la pièce D:
$V_D\,=\,4.0\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,16\,\%2C\,cm^3$

Pour la pièce E:
$V_E\,=\,1.5\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,6\,\%2C\,cm^3$

3. Calculer le volume total du mur:

Le volume total $V_{total}$ est la somme des volumes des cinq pièces.
$V_{total}\,=\,V_A\,%2B\,V_B\,%2B\,V_C\,%2B\,V_D\,%2B\,V_E$

Substituons les valeurs:
$V_{total}\,=\,6\,\%2C\,cm^3\,%2B\,14\,\%2C\,cm^3\,%2B\,22\,\%2C\,cm^3\,%2B\,16\,\%2C\,cm^3\,%2B\,6\,\%2C\,cm^3$

Simplifions:
$V_{total}\,=\,64\,\%2C\,cm^3$

Donc, le volume du mur est :
$64\,\%2C\,cm^3$

Exercice 2 : volume d’un casier à bouteilles
1. Calculer le volume du pavé droit à partir duquel a été formé le casier.

Nous avons un pavé droit de dimensions 42 cm, 36 cm et 36 cm.

Le volume $V_{pave}$ du pavé droit est donné par:
$V_{pave}\,=\,longueur\,\times \,largeur\,\times \,hauteur\,=\,42\,\times \,36\,\times \,36\,=\,54%2C432\,\%2C\,cm^3$

2. Calculer le volume intérieur d’un compartiment.

Chaque compartiment est un cylindre de diamètre 10 cm, donc de rayon $r\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5$ cm et de hauteur égale à la profondeur du pavé, soit 36 cm.

Le volume $V_{cylindre}$ d’un cylindre est donné par:
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,r^2\,h\,=\,3.14\,\times \,5^2\,\times \,36\,=\,3.14\,\times \,25\,\times \,36\,=\,2%2C826\,\%2C\,cm^3$

3. En déduire le volume de plastique.

Le casier contient neuf compartiments (cylindres), donc le volume total des compartiments est:
$V_{total\,compartiments}\,=\,9\,\times \,2%2C826\,=\,25%2C434\,\%2C\,cm^3$

Le volume de plastique utilisé est donc la différence entre le volume du pavé droit et le volume total des compartiments:
$V_{plastique}\,=\,V_{pave}\,-\,V_{total\,compartiments}\,=\,54%2C432\,-\,25%2C434\,=\,28%2C998\,\%2C\,cm^3$

Exercice 3 : perspective cavalière d’un prisme droit
La hauteur de ce prisme droit est de $4\,\%2C\,cm$ .

Les bases du prisme sont les rectangles et .

Les faces latérales du prisme sont les rectangles , et .

Pour trouver la longueur , on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle . Les côtés du triangle rectangle sont $DC\,=\,3\,\%2C\,cm$ et $CF\,=\,8\,\%2C\,cm$ .

$DF\,=\,\sqrt{DC^2\,%2B\,CF^2}\,=\,\sqrt{3^2\,%2B\,8^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,64}\,=\,\sqrt{73}\,\approx\,8.54\,\%2C\,cm$

Pour la longueur , on utilise également le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle . Les côtés du triangle rectangle sont $BD\,=\,5\,\%2C\,cm$ et $DE\,=\,4\,\%2C\,cm$ .

$BE\,=\,\sqrt{BD^2\,%2B\,DE^2}\,=\,\sqrt{5^2\,%2B\,4^2}\,=\,\sqrt{25\,%2B\,16}\,=\,\sqrt{41}\,\approx\,6.4\,\%2C\,cm$

Exercice 4 : compléter un parallélépipède rectangle avec des cubes
Dans la hauteur (3 cm) :
$\frac{3\,\%2C\,cm}{1\,\%2C\,cm}\,=\,3$
Donc, on peut placer 3 cubes de 1 cm d’arête dans la hauteur.

Dans la largeur (4 cm) :
$\frac{4\,\%2C\,cm}{1\,\%2C\,cm}\,=\,4$
Donc, on peut placer 4 cubes de 1 cm d’arête dans la largeur.

Dans la longueur (6 cm) :
$\frac{6\,\%2C\,cm}{1\,\%2C\,cm}\,=\,6$
Donc, on peut placer 6 cubes de 1 cm d’arête dans la longueur.

Exercice 5 : convertir des volumes
$1\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,1000\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A0{%2C}087\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,87\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A345{%2C}000\,\%2C\,mm^3\,%26\,=\,\frac{345{%2C}000}{1{%2C}000{%2C}000}\,\%2C\,m^3\,=\,0{%2C}345\,\%2C\,dm^3\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0A0{%2C}375\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,375\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A38\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,38\,\times \,1000\,\%2C\,dm^3\,=\,38{%2C}000\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A0{%2C}00043\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,0{%2C}43\,\%2C\,dm^3\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0A2{%2C}915\,\%2C\,cm^3\,%26\,=\,\frac{2{%2C}915}{1000}\,\%2C\,dm^3\,=\,0{%2C}002915\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A740\,\%2C\,cm^3\,%26\,=\,\frac{740}{1000}\,\%2C\,dm^3\,=\,0{%2C}74\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A8{%2C}5\,\%2C\,cm^3\,%26\,=\,\frac{8{%2C}5}{1000}\,\%2C\,dm^3\,=\,0{%2C}0085\,\%2C\,dm^3\,\\%5B10pt%5D%0D%0A%0D%0A0{%2C}37\,\%2C\,dm^3\,%26\,=\,0{%2C}37\,\times \,1000\,\%2C\,cm^3\,=\,370\,\%2C\,cm^3\,\\%0D%0A0{%2C}005\,\%2C\,m^3\,%26\,=\,0{%2C}005\,\times \,100\,\%2C\,dm^3\,=\,5\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0A47\,\%2C\,mm^3\,%26\,=\,\frac{47}{1000}\,\%2C\,cm^3\,=\,0{%2C}047\,\%2C\,cm^3\,\\$

Exercice 6 : calcul du volume d’une tente
Pour calculer le volume de la tente, nous devons d’abord déterminer l’aire de la base et ensuite la multiplier par la hauteur .

1. Calcul de l’aire de la face avant ( $\Delta\,ABC$ ) :

Étant donné que le triangle est isocèle avec $BC\,=\,1.5\,\%2C\,\mathrm{m}$ et $AB\,=\,AC$ , nous devons d’abord déterminer la longueur des côtés et .

Utilisons le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur du triangle , qui est également perpendiculaire à , coupant en deux segments égaux :
$BH\,=\,HC\,=\,\frac{BC}{2}\,=\,\frac{1.5}{2}\,=\,0.75\,\%2C\,\mathrm{m}$

Le triangle est un triangle rectangle avec la hauteur de 2 m,
$AB^2\,=\,AH^2\,%2B\,BH^2$
$AB\,=\,\sqrt{AH^2\,%2B\,BH^2}$
$AB\,=\,\sqrt{2^2\,%2B\,0.75^2}$
$AB\,=\,\sqrt{4\,%2B\,0.5625}$
$AB\,=\,\sqrt{4.5625}$
$AB\,=\,\sqrt{4.5625}\,\approx\,2.136\,\%2C\,\mathrm{m}$

Maintenant, nous pouvons trouver l’aire du triangle :
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,BC\,\times \,AH$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,1.5\,\times \,2$
$Aire\,=\,1.5\,\%2C\,\mathrm{m}^2$

2. Calcul du volume du prisme :
Le prisme a une base $\Delta\,ABC$ d’aire $1.5\,\%2C\,\mathrm{m}^2$ et une longueur $CD\,=\,4.5\,\%2C\,\mathrm{m}$ .

Le volume du prisme est donné par :
$Volume\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,Longueur$
$Volume\,=\,1.5\,\%2C\,\mathrm{m}^2\,\times \,4.5\,\%2C\,\mathrm{m}$
$Volume\,=\,6.75\,\%2C\,\mathrm{m}^3$

Ainsi, le volume de la tente est $6.75\,\%2C\,\mathrm{m}^3$ .

Exercice 7 : calcul du volume d’un prisme
La hauteur du prisme est $AA'\,=\,5\,\%2Ccm$ .

L’aire de la base du prisme est $A\,=\,15\,\%2Ccm^2$ .

Le volume d’un prisme droit est donné par la formule :
$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,Hauteur$

En substituant les valeurs, nous obtenons :
$V\,=\,15\,\%2Ccm^2\,\times \,5\,\%2Ccm$
$V\,=\,75\,\%2Ccm^3$

Donc, le volume du prisme est $75\,\%2Ccm^3$ .

Exercice 8 : volume d’un hangar
1. Calculer la hauteur AH’ du triangle isocèle ABE.

Dans le triangle rectangle ADH :
$AD^2\,=\,AH^2\,%2B\,DH^2$
$DH\,=\,\sqrt{AD^2\,-\,AH^2}\,=\,\sqrt{16^2\,-\,12%2C5^2}\,=\,\sqrt{256\,-\,156%2C25}\,=\,\sqrt{99%2C75}\,\approx\,9%2C99\,\%2C\,m$

Nous avons CD = 9 m et ED = 5,2 m. Donc, AD = CD + DE = 9 + 5,2 = 14,2 m.

Dans le triangle rectangle H’HD :
$H'H\,=\,\sqrt{HD^2\,-\,DH^2}\,=\,\sqrt{14%2C2^2\,-\,9%2C99^2}\,=\,\sqrt{201%2C64\,-\,99%2C75}\,=\,\sqrt{101%2C89}\,\approx\,10%2C1\,\%2C\,m$

Donc, la hauteur H’ du triangle isocèle ABE est:
$AH'\,=\,AH\,%2B\,H'H\,=\,12%2C5\,%2B\,10%2C1\,=\,22%2C6\,\%2C\,m$

2. Calculer l’aire du polygone ABCDE.

Pour calculer l’aire du polygone ABCDE, nous le divisons en deux parties:
– le rectangle ABCD
– le triangle isocèle ABE.

L’aire du rectangle ABCD est:
$Aire_{ABCD}\,=\,AB\,\times \,BC\,=\,CD\,\times \,AD\,=\,9\,\times \,16\,=\,144\,\%2C\,m^2$

L’aire du triangle isocèle ABE est:
$Aire_{ABE}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AH'\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,9\,\times \,22%2C6\,=\,101%2C7\,\%2C\,m^2$

Donc, l’aire totale du polygone ABCDE est:
$Aire_{ABCED}\,=\,Aire_{ABCD}\,%2B\,Aire_{ABE}\,=\,144\,%2B\,101%2C7\,=\,245%2C7\,\%2C\,m^2$

3. En déduire le volume du hangar.

Le volume du hangar est constitué du volume du pavé droit ABCDEFGH et du prisme droit triangulaire ABEFJH’.

Volume du pavé droit ABCDEFGH:
$Volume_{pave}\,=\,ABCD\,\times \,HC\,=\,144\,\%2C\,m^2\,\times \,12%2C5\,\%2C\,m\,=\,1800\,\%2C\,m^3$

Volume du prisme droit à base triangulaire ABEFJH’:
$Volume_{prisme}\,=\,Aire_{base}\,\times \,hauteur\,=\,101%2C7\,\%2C\,m^2\,\times \,16\,\%2C\,m\,=\,1627%2C2\,\%2C\,m^3$

Donc, le volume total du hangar est:
$Volume_{total}\,=\,Volume_{pave}\,%2B\,Volume_{prisme}\,=\,1800\,%2B\,1627%2C2\,=\,3427%2C2\,\%2C\,m^3$

Exercice 9 : etude d’une piscine
1. Les bases de ce prisme sont désignées par les lettres et .

2. La nature géométrique des bases de ce prisme est rectangulaire.

3. Les dimensions d’une base sont $20\,\%2C\,m$ (longueur) et $8\,\%2C\,m$ (largeur).

4. L’aire d’une base est :
$A\,=\,longueur\,\times \,largeur\,=\,20\,\%2C\,m\,\times \,8\,\%2C\,m\,=\,160\,\%2C\,m^2$

5. L’aire totale du prisme est obtenue en ajoutant l’aire des deux bases et des faces latérales. Les faces latérales sont des rectangles, et leurs dimensions sont $20\,\%2C\,m\,\times \,4\,\%2C\,m$ , $8\,\%2C\,m\,\times \,4\,\%2C\,m$ .

L’aire des faces latérales est :
$A_{laterales}\,=\,2(20\,\%2C\,m\,\times \,4\,\%2C\,m)\,%2B\,2(8\,\%2C\,m\,\times \,4\,\%2C\,m)\,=\,2(80\,\%2C\,m^2)\,%2B\,2(32\,\%2C\,m^2)\,=\,160\,\%2C\,m^2\,%2B\,64\,\%2C\,m^2\,=\,224\,\%2C\,m^2$
Donc, l’aire totale du prisme est :
$A_{totale}\,=\,2\,\times \,160\,\%2C\,m^2\,%2B\,224\,\%2C\,m^2\,=\,320\,\%2C\,m^2\,%2B\,224\,\%2C\,m^2\,=\,544\,\%2C\,m^2$

6. Les 4 faces latérales de ce prisme sont désignées par , , , et .

7. La hauteur de ce prisme est de $4\,\%2C\,m$ .

8. Le volume de ce prisme est :
$V\,=\,aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur\,=\,160\,\%2C\,m^2\,\times \,4\,\%2C\,m\,=\,640\,\%2C\,m^3$

9. On remplit le prisme aux quatre cinquièmes d’eau :
$V_{eau}\,=\,\frac{4}{5}\,\times \,V\,=\,\frac{4}{5}\,\times \,640\,\%2C\,m^3\,=\,512\,\%2C\,m^3$

Le volume d’eau en litres (sachant que $1\,\%2C\,m^3\,=\,1000\,\%2C\,litres$ ) est :
$V_{eau}\,=\,512\,\%2C\,m^3\,\times \,1000\,\%2C\,litres%2Fm^3\,=\,512000\,\%2C\,litres$

Exercice 10 : volume d’un flacon de parfum
Correction de l’exercice :

$a)\,Calculer\,l'aire\,de\,la\,base%2C\,puis\,calculer\,le\,volume\,interieur\,du\,flacon\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fcm%255E3%22\,alt=%22cm^3$ . » align= »absmiddle » />

L’aire de la base est celle d’un octogone régulier. Pour un octogone régulier, l’aire peut être calculée en utilisant la formule suivante :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,perimetre\,\times \,apothem$

Le périmètre d’un octogone peut être calculé comme suit :

$P\,=\,8\,\times \,cote$

Dans ce cas, la longueur d’un côté est de 2,5 cm.

$P\,=\,8\,\times \,2%2C5\,=\,20\%2C\,cm$

L’apothème (distance du centre à un côté) est de 2,8 cm. Donc,

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,20\,\times \,2%2C8$

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,56\,=\,28\%2C\,cm^2$

Maintenant, pour calculer le volume, nous multiplions l’aire de la base par la hauteur du prisme :

$V\,=\,A\,\times \,hauteur$

Ici, la hauteur du prisme est de 12 cm.

$V\,=\,28\,\times \,12\,=\,336\%2C\,cm^3$

Donc, le volume intérieur du flacon est de:

$336\%2C\,cm^3$

$b)\,Calculer\,l'aire\,de\,l'une\,des\,etiquettes.$

Pour calculer l’aire d’une étiquette, nous devons connaître le périmètre extérieur de l’octogone et la hauteur de l’étiquette. L’étiquette est une bande rectangulaire entourant le flacon.

Le périmètre extérieur est le même que le périmètre calculé précédemment :

$P\,=\,20\%2C\,cm$

La hauteur de l’étiquette est de 3,5 cm. Donc l’aire $A_{etiquette}$ de l’étiquette est :

$A_{etiquette}\,=\,P\,\times \,hauteur$

$A_{etiquette}\,=\,20\,\times \,3%2C5$

$A_{etiquette}\,=\,70\%2C\,cm^2$

Donc, l’aire de l’une des étiquettes est de :

$70\%2C\,cm^2$

Exercice 11 : calcul du volume d’une boîte de chocolat
Correction de l’exercice de mathématiques :

a) Calculer le volume de cette boîte de chocolat en poudre.

Pour calculer le volume d’un cylindre, nous utilisons la formule suivante :
$V\,=\,\pi\,\times \,r^2\,\times \,h$
où est le rayon de la base et est la hauteur.

Pour cette boîte, nous avons :
– $r\,=\,\frac{9\,\%2C\,cm}{2}\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$
– $h\,=\,15\,\%2C\,cm$

Le volume de la boîte est donc :
$V\,=\,\pi\,\times \,(4%2C5\,\%2C\,cm)^2\,\times \,15\,\%2C\,cm$

Calculons $(4%2C5\,\%2C\,cm)^2$ :
$(4%2C5\,\%2C\,cm)^2\,=\,20%2C25\,\%2C\,cm^2$

Ensuite, multiplions par la hauteur et par $\pi$ :
$V\,=\,\pi\,\times \,20%2C25\,\%2C\,cm^2\,\times \,15\,\%2C\,cm$
$V\,=\,\pi\,\times \,303%2C75\,\%2C\,cm^3$
$V\,\approx\,3%2C1416\,\times \,303%2C75\,\%2C\,cm^3$
$V\,\approx\,954%2C93\,\%2C\,cm^3$

Le volume de la boîte de chocolat en poudre est donc approximativement $954%2C93\,\%2C\,cm^3$ .

b) Calculer le volume de poudre gratuit offert en promotion.

La poudre gratuite correspond à $20\%25$ du volume total, donc :
$V_{gratuit}\,=\,0%2C20\,\times \,V$
$V_{gratuit}\,=\,0%2C20\,\times \,954%2C93\,\%2C\,cm^3$
$V_{gratuit}\,\approx\,190%2C99\,\%2C\,cm^3$

Le volume de poudre gratuit offert en promotion est donc approximativement $190%2C99\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 12 : calculer le volume d’un outil de carrossier
Soit le rayon du cylindre du dessous. Alors, le rayon du cylindre du dessus est .

Pour déterminer le volume d’un cylindre, on utilise la formule:
$V\,=\,\pi\,r^2\,h$

Pour le cylindre du dessous :
$r\,=\,3\,\%2C\,cm$
$h_1\,=\,25\,\%2C\,cm$
Le volume du cylindre du dessous est donc :
$V_1\,=\,\pi\,\times \,(3)^2\,\times \,25$
$V_1\,=\,\pi\,\times \,9\,\times \,25$
$V_1\,=\,225\,\pi$
$V_1\,\approx\,706\,\%2C\,cm^3\,\%2C\,(en\,arrondissant\,au\,cm^3)$

Pour le cylindre du dessus :
$r\,=\,6\,\%2C\,cm\,\%2C\,(puisque\,le\,rayon\,est\,le\,double\,du\,cylindre\,du\,dessous)$
$h_2\,=\,12\,\%2C\,cm$
Le volume du cylindre du dessus est donc :
$V_2\,=\,\pi\,\times \,(6)^2\,\times \,12$
$V_2\,=\,\pi\,\times \,36\,\times \,12$
$V_2\,=\,432\,\pi$
$V_2\,\approx\,1357\,\%2C\,cm^3\,\%2C\,(en\,arrondissant\,au\,cm^3)$

Le volume total de l’outil de carrossier est donc la somme des volumes des deux cylindres :
$V_{total}\,=\,V_1\,%2B\,V_2$
$V_{total}\,=\,225\,\pi\,%2B\,432\,\pi$
$V_{total}\,=\,657\,\pi$
$V_{total}\,\approx\,2063\,\%2C\,cm^3\,\%2C\,(en\,arrondissant\,au\,cm^3)$

Ainsi, le volume total de l’outil de carrossier est d’environ $2063\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 13 : volume d’une pièce montée
Le volume d’un cylindre est donné par la formule $V\,=\,\pi\,r^2\,h$ , où est le rayon et est la hauteur.

Pour la pièce montée, il y a trois cylindres de rayons différents et de même hauteur. Calculons les volumes de chaque cylindre séparément puis additionnons-les.

1. $Cylindre\,du\,bas%3A$
– Rayon: $r_1\,=\,\frac{40}{2}\,=\,20$ cm
– Hauteur: $h\,=\,6$ cm
$V_1\,=\,\pi\,r_1^2\,h\,=\,\pi\,\times \,(20)^2\,\times \,6\,=\,\pi\,\times \,400\,\times \,6\,=\,2400\pi\,\%2C\,cm^3$

2. $Cylindre\,du\,milieu%3A$
– Rayon: $r_2\,=\,5$ cm de moins que le rayon du cylindre du bas, donc $r_2\,=\,20\,-\,5\,=\,15$ cm
– Hauteur: $h\,=\,6$ cm
$V_2\,=\,\pi\,r_2^2\,h\,=\,\pi\,\times \,(15)^2\,\times \,6\,=\,\pi\,\times \,225\,\times \,6\,=\,1350\pi\,\%2C\,cm^3$

3. $Cylindre\,du\,sommet%3A$
– Rayon: $r_3\,=\,5$ cm de moins que le rayon du cylindre du milieu, donc $r_3\,=\,15\,-\,5\,=\,10$ cm
– Hauteur: $h\,=\,6$ cm
$V_3\,=\,\pi\,r_3^2\,h\,=\,\pi\,\times \,(10)^2\,\times \,6\,=\,\pi\,\times \,100\,\times \,6\,=\,600\pi\,\%2C\,cm^3$

Le volume total de la pièce montée est la somme des volumes des trois cylindres:
$V_{total}\,=\,V_1\,%2B\,V_2\,%2B\,V_3\,=\,2400\pi\,%2B\,1350\pi\,%2B\,600\pi\,=\,4350\pi\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume de la pièce montée est $4350\pi\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 14 : longueur et aire d’un petit suisse
1. Pour calculer la longueur du papier entourant le petit suisse, on doit tenir compte de sa circonférence et du recouvrement de 5 mm.

La circonférence d’un cylindre (le petit suisse) est donnée par:
$C\,=\,2\pi\,\times \,rayon$

Le rayon est la moitié du diamètre:
$r\,=\,\frac{20\,\,mm}{2}\,=\,10\,\,mm$

La circonférence est donc:
$C\,=\,2\pi\,\times \,10\,\,mm\,=\,20\pi\,\,mm$

Ajoutons le recouvrement de 5 mm:
$L_{total}\,=\,20\pi\,\,mm\,%2B\,5\,\,mm$

Calculons la valeur numérique en arrondissant à 1 mm près:
$L_{total}\,\approx\,62.83\,\,mm\,%2B\,5\,\,mm\,=\,67.83\,\,mm$

Arrondie à 1 mm:
$L_{total}\,\approx\,68\,\,mm$

2. Pour calculer l’aire du papier, il nous faut additionner les aires de la partie rectangulaire entourant le cylindre et des deux disques couvrant les bases supérieure et inférieure du cylindre.

L’aire de la partie rectangulaire s’obtient en multipliant la circonférence par la hauteur :
$A_{rect}\,=\,C\,\times \,h$

Sachant que:
$C\,=\,20\pi\,\,mm$
$h\,=\,4.5\,\,cm\,=\,45\,\,mm$

$A_{rect}\,=\,20\pi\,\times \,45\,\,mm\,=\,900\pi\,\,mm^2$

L’aire d’un disque est donnée par:
$A_{disque}\,=\,\pi\,\times \,r^2$

L’aire des deux disques est donc:
$A_{disques}\,=\,2\,\times \,\pi\,\times \,(10\,\,mm)^2\,=\,2\,\times \,100\pi\,\,mm^2\,=\,200\pi\,\,mm^2$

L’aire totale du papier est donc:
$A_{total}\,=\,A_{rect}\,%2B\,A_{disques}\,=\,900\pi\,\,mm^2\,%2B\,200\pi\,\,mm^2$

$A_{total}\,=\,1100\pi\,\,mm^2$

Calculons la valeur numérique:
$A_{total}\,\approx\,1100\,\times \,3.14\,\,mm^2\,=\,3454\,\,mm^2$

Donc, l’aire du papier est approximativement:
$3454\,\,mm^2$

Exercice 15 : faces et arêtes d’un parallélépipède
a. Deux faces parallèles du parallélépipède rectangle sont les faces RSMU et PNTS .

b. Deux arêtes perpendiculaires du parallélépipède rectangle sont les arêtes et .

c. La face PNTS est un rectangle dont les dimensions sont $PN\,=\,6\,\%2C\,cm$ et $NS\,=\,1.5\,\%2C\,cm$ .

Pour représenter cette face en vraie grandeur :
– Dessinons un rectangle de 6 cm de longueur (taille du segment ) et 1.5 cm de largeur (taille du segment ).

Voici une représentation en vraie grandeur de la face PNST :

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,rectangle\,(6%2C\,1.5)%3B%0D%0A\node\,at\,(0%2C\,1.7)\,{P}%3B%0D%0A\node\,at\,(6%2C\,1.7)\,{N}%3B%0D%0A\node\,at\,(0%2C\,-0.2)\,{T}%3B%0D%0A\node\,at\,(6%2C\,-0.2)\,{S}%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$

Exercice 16 : faces d’un prisme droit
a. Les faces parallèles sont ABCDE et FGHIJ , AFJ et BGI , et EHJ et CFI .

b. Les faces perpendiculaires à la face ABCDE sont AFJ , BGI , EHJ et CFI .

c. Pour représenter en vraie grandeur la face BCHG :

La face BCHG est un rectangle dont les dimensions sont les suivantes:
– $BC\,=\,2\,\%2C\,cm$
– $BH\,=\,3\,\%2C\,cm$

La figure pourrait être dessinée comme suit :

$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{array}{ccccccc}%0D%0AB\,%26\,\underline{\\,\\,\\,\\,\\,2\,\%2C\,cm\\,\\,\\,\\,\\,}\,%26\,C\,\\%0D%0A%26\,\backslash\\,%26\,%26\,\backslash\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,\backslash\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,%26\,%26\backslash\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,\\,\\,\\,3\,\%2C\,cm\,%26\,\\%0D%0A%26\,\backslash\,%26\,~\,%26\,\backslash\,\\%0D%0A%26\,G\,%26\,\underline{\\,\\,\\,\\,\\,2\,\%2C\,cm\\,\\,\\,\\,\\,}\,%26\,H\,\\%0D%0A\end{array}%0D%0A\end{array}$

« `plaintext
B───2cm───C
│ │
3cm 3cm
│ │
G───2cm───H
« `

Cela donne un rectangle BCHG avec $BC\,=\,2\,\%2C\,cm$ et $BH\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

Exercice 17 : la pyramide régulière
a. Les deux faces superposables sont les triangles $\triangle\,SAC$ et $\triangle\,SBC$ .

b. Les deux arêtes perpendiculaires sont et .

Pour représenter en vraie grandeur la face SAB , nous utilisons les longueurs données :

– $SA\,=\,SC\,=\,3$ cm
– $AB\,=\,4$ cm

Nous allons dessiner le triangle SAB avec les dimensions réelles. En considérant que et sont de même longueur et est 4 cm, nous pouvons les représenter comme suit :

1. Tracez une ligne de 4 cm pour .
2. Depuis le point , dessinez un arc de cercle de rayon 3 cm (longueur de ).
3. Depuis le point , dessinez un arc de cercle de rayon 3 cm (longueur de ).
4. Le point d’intersection des deux arcs sera le sommet du triangle SAB .

Voici le calcul pour vérifier que le triangle est correctement formé :
$SA\,=\,SB\,=\,3\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,AB\,=\,4\,\%2C\,cm$

En LaTeX:
$\begin{tikzpicture}%0D%0A%25\,Points%0D%0A\coordinate\,(A)\,at\,(0%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(B)\,at\,(4%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(S)\,at\,(2%2C2.6)%3B\,%25\,Hauteur\,du\,triangle\,equilateral\,de\,cote\,4\,cm%0D%0A%0D%0A%25\,Lines%0D%0A\draw\,(A)\,--\,(B)\,--\,(S)\,--\,cycle%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Labels%0D%0A\fill\,(A)\,circle\,(1.5pt)\,node%5Bbelow%5D\,{%24A%24}%3B%0D%0A\fill\,(B)\,circle\,(1.5pt)\,node%5Bbelow%5D\,{%24B%24}%3B%0D%0A\fill\,(S)\,circle\,(1.5pt)\,node%5Babove%5D\,{%24S%24}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Lengths%0D%0A\node\,at\,(2%2C-0.3)\,{%244\,\%2C\,cm%24}%3B%0D%0A\node\,at\,(3.3%2C1.5)\,{%243\,\%2C\,cm%24}%3B%0D%0A\node\,at\,(0.7%2C1.5)\,{%243\,\%2C\,cm%24}%3B%0D%0A%0D%0A\end{tikzpicture}$

Exercice 18 : pyramide contenue dans un pavé droit
a.
Pour déterminer la nature des triangles SHE et SHG , calculons d’abord les longueurs des côtés de ces triangles.

Pour le triangle SHE :
– est l’arête verticale du pavé droit, donc $SE\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ .
– est l’arête horizontale de la base, donc $HE\,=\,4.5\,\%2C\,cm$ .
– Pour , utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle SHE . La distance peut être calculée comme suit :
$SH^2\,=\,SE^2\,%2B\,HE^2\,=\,(2.5)^2\,%2B\,(4.5)^2\,=\,6.25\,%2B\,20.25\,=\,26.5$
donc,
$SH\,=\,\sqrt{26.5}\,\approx\,5.15\,\%2C\,cm$

Pour le triangle SHG :
– est la distance diagonale du rectangle vertical SFGH . Pour , utilisons également le théorème de Pythagore :
$SG^2\,=\,SE^2\,%2B\,EG^2\,=\,(2.5)^2\,%2B\,(5.4)^2$
où est l’hypoténuse du rectangle de dimensions $GF\,=\,4.5\,\%2C\,cm$ et $HG\,=\,3\,\%2C\,cm$ . Calculons :
$EG^2\,=\,GF^2\,%2B\,HG^2\,=\,(4.5)^2\,%2B\,(3)^2\,=\,20.25\,%2B\,9\,=\,29.25$
$EG\,=\,\sqrt{29.25}\,\approx\,5.4\,\%2C\,cm$
donc,
$SG^2\,=\,(2.5)^2\,%2B\,(5.4)^2\,=\,6.25\,%2B\,29.25\,=\,35.5$
donc,
$SG\,=\,\sqrt{35.5}\,\approx\,5.96\,\%2C\,cm$

– Pour , nous l’avons déjà calculé comme $SH\,=\,5.15\,\%2C\,cm$ .
– $HG\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

En résumé, les triangles SHE et SHG ont les côtés respectivement :
– SHE : $SE\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ , $HE\,=\,4.5\,\%2C\,cm$ , $SH\,=\,5.15\,\%2C\,cm$
– SHG : $SG\,=\,5.96\,\%2C\,cm$ , $HG\,=\,3\,\%2C\,cm$ , $SH\,=\,5.15\,\%2C\,cm$

En utilisant le théorème de Pythagore inversé, ses triangles ne vérifient pas la condition d’être rectangles.

b.
Pour représenter en vraie grandeur la face SHE , dessinons un triangle avec $SE\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ , $HE\,=\,4.5\,\%2C\,cm$ , et $SH\,=\,5.15\,\%2C\,cm$ .

$Dessin\,du\,triangle\,\,SHE\,%3A$

1. Tracez un segment $SE\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ .
2. À l’une de ses extrémités, tracez $HE\,=\,4.5\,\%2C\,cm$ perpendiculairement.
3. Complétez en ajustant la longueur $SH\,=\,5.15\,\%2C\,cm$ .

Exercice 19 : volume d’un solide
Le volume total du solide est la somme des volumes du cube et du cylindre.

1. Calcul du volume du cube :
La longueur de l’arête du cube est de $20\,\%2C\,mm$ .

$V_{cube}\,=\,a^3\,=\,20^3\,\%2C\,mm^3\,=\,8000\,\%2C\,mm^3$

Sachant que $1\,\%2C\,cm^3\,=\,1000\,\%2C\,mm^3$ , on convertit le volume en cm^3 :

$V_{cube}\,=\,\frac{8000\,\%2C\,mm^3}{1000}\,=\,8\,\%2C\,cm^3$

2. Calcul du volume du cylindre :
Le cylindre a un diamètre de $15\,\%2C\,mm$ , donc un rayon de $\frac{15}{2}\,=\,7%2C5\,\%2C\,mm$ .
Sa hauteur est de $25\,\%2C\,mm$ .

$V_{cylindre}\,=\,\pi\,r^2\,h\,=\,\pi\,(\frac{15}{2})^2\,\times \,25\,\%2C\,mm^3\,=\,\pi\,\times \,7%2C5^2\,\times \,25\,\%2C\,mm^3$

$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,56%2C25\,\times \,25\,\%2C\,mm^3\,=\,\pi\,\times \,1406%2C25\,\%2C\,mm^3\,\approx\,4420\,\%2C\,mm^3$

Sachant que $1\,\%2C\,cm^3\,=\,1000\,\%2C\,mm^3$ , on convertit le volume en cm^3 :

$V_{cylindre}\,=\,\frac{4420\,\%2C\,mm^3}{1000}\,\approx\,4%2C42\,\%2C\,cm^3$

3. Volume total du solide :
$V_{total}\,=\,V_{cube}\,%2B\,V_{cylindre}\,=\,8\,%2B\,4%2C42\,=\,12%2C42\,\%2C\,cm^3$

En arrondissant à l’unité près :

$V_{total}\,\approx\,12\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume du solide est de $12\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 20 : reconnaître des solides
1. Le premier solide est un prisme droit à base triangulaire. Les bases sont les triangles ABC et DEF .

2. Le second solide est un prisme droit à base pentagonale. Les bases sont les pentagones GJKLM et HINOJ .

3. Le troisième solide est une pyramide régulière à base trapézoïdale. La base est le trapèze ABCD .

4. Le quatrième solide est un prisme droit à base rectangulaire. Les bases sont les rectangles ABCD et EFGH .

5. Le cinquième solide est un prisme droit à base hexagonale. Les bases sont les hexagones ABCDEF et GHJKLM .

6. Le sixième solide est une pyramide régulière à base triangulaire. La base est le triangle ABC .

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : volume d’un écrou
La formule pour le volume d’un parallélépipède rectangle est :

$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$

où :
– est la longueur,
– est la largeur,
– est la hauteur.

Dans notre cas, les dimensions du parallélépipède sont $L\,=\,2\,\%2C\,cm$ , $l\,=\,2\,\%2C\,cm$ et $h\,=\,0{%2C}6\,\%2C\,cm$ . Donc :

$V_{parallelepipede}\,=\,2\,\times \,2\,\times \,0{%2C}6\,=\,2{%2C}4\,\%2C\,cm^3$

La formule pour le volume d’un cylindre est :

$V\,=\,\pi\,\times \,r^2\,\times \,h$

où :
– est le rayon,
– est la hauteur.

Le diamètre du cylindre est de $1\,\%2C\,cm$ , ce qui donne un rayon de :

$r\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0{%2C}5\,\%2C\,cm$

La hauteur du cylindre est la même que celle du parallélépipède, soit $h\,=\,0{%2C}6\,\%2C\,cm$ . Donc :

$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,(0{%2C}5)^2\,\times \,0{%2C}6\,=\,\pi\,\times \,0{%2C}25\,\times \,0{%2C}6\,=\,0{%2C}15\pi$

Approximativement, en prenant $\pi\,\approx\,3{%2C}14$ :

$V_{cylindre}\,\approx\,0{%2C}15\,\times \,3{%2C}14\,=\,0{%2C}471\,\%2C\,cm^3$

Le volume de l’écrou est donc le volume du parallélépipède moins le volume du cylindre :

$V_{ecrou}\,=\,V_{parallelepipede}\,-\,V_{cylindre}\,=\,2{%2C}4\,-\,0{%2C}471\,=\,1{%2C}929\,\%2C\,cm^3$

Arrondi au dixième près :

$V_{ecrou}\,\approx\,1{%2C}9\,\%2C\,cm^3$

Exercice 22 : conversion de volumes
a.\ 1,5\ \text{dm}^3 = 1,5\ L

b.\ 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3

c.\ 1,2\ L = 120\ cL

d.\ 1,1\ \text{dm}^3 = 1100\ \text{cm}^3

e.\ 5\ L = 5000\ mL

f.\ 1000000\ \text{mm}^3 = 1\ L

Exercice 23 : volume d’un parallélépipède rectangle
Correction de l’exercice

Pour calculer le volume d’un parallélépipède rectangle, on utilise la formule suivante :
$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$
où est le volume, est la longueur, est la largeur et est la hauteur.

Pour le cube :
$L\,=\,l\,=\,h\,=\,4\%2C\,cm$

Le volume est donc :
$V\,=\,4\%2C\,cm\,\times \,4\%2C\,cm\,\times \,4\%2C\,cm\,=\,64\%2C\,cm^3$

Pour le parallélépipède rectangle vert :
$L\,=\,4\%2C\,cm%2C\\,l\,=\,2\%2C\,cm%2C\\,h\,=\,2\%2C\,cm$

Le volume est donc :
$V\,=\,4\%2C\,cm\,\times \,2\%2C\,cm\,\times \,2\%2C\,cm\,=\,16\%2C\,cm^3$

Pour le parallélépipède rectangle orange :
$L\,=\,5\%2C\,cm%2C\\,l\,=\,4\%2C\,cm%2C\\,h\,=\,4\%2C\,cm$

Le volume est donc :
$V\,=\,5\%2C\,cm\,\times \,4\%2C\,cm\,\times \,4\%2C\,cm\,=\,80\%2C\,cm^3$

Exercice 24 : volume d’un prisme droit
Pour calculer le volume du prisme droit, nous devons déterminer l’aire de la base ainsi que la hauteur du prisme.

1. Calcul de l’aire de la base ABC :

Le triangle ABC est rectangulaire en .

L’aire du triangle ABC est donnée par :
$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,BC\,\times \,AH$

En utilisant les valeurs donnés :
$BC\,=\,4\,\%2C\,cm$
$AH\,=\,1.5\,\%2C\,cm$

$Aire_{ABC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,1.5\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6\,=\,3\,\%2C\,cm^2$

2. Hauteur du prisme :

La hauteur du prisme est la longueur de l’arête , qui est perpendiculaire à la base ABC .

$BE\,=\,2\,\%2C\,cm$

3. Volume du prisme droit :

Le volume du prisme droit est donné par :
$V\,=\,Aire_{base}\,\times \,hauteur$

En utilisant les valeurs calculées :
$V\,=\,3\,\times \,2\,=\,6\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume du prisme est de $6\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 25 : volume d’une plaque de beurre
Soit les dimensions de la plaquette de beurre : $L\,=\,11%2C5\,\%2C\,cm$ , $l\,=\,6%2C5\,\%2C\,cm$ , $h\,=\,4\,\%2C\,cm$ .

Le volume total de la plaquette est donné par :
$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$
$V\,=\,11%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,6%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$
$V\,=\,299\,\%2C\,cm^3$

La plaquette est coupée en deux moitiés, donc le volume de chaque morceau est la moitié du volume total.

### Première méthode : Division par deux
$V_{moitie}\,=\,\frac{V}{2}$
$V_{moitie}\,=\,\frac{299\,\%2C\,cm^3}{2}$
$V_{moitie}\,=\,149%2C5\,\%2C\,cm^3$

### Deuxième méthode : Calcul direct des dimensions des moitiés

Si l’on coupe la plaquette en deux selon la longueur (donc chaque moitié a une longueur de $\frac{L}{2}\,=\,5%2C75\,\%2C\,cm$ ) :
$V_{moitie}\,=\,(\frac{11%2C5\,\%2C\,cm}{2})\,\times \,6%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$
$V_{moitie}\,=\,5%2C75\,\times \,6%2C5\,\times \,4$
$V_{moitie}\,=\,149%2C5\,\%2C\,cm^3$

Ou bien, si l’on coupe la plaquette en deux selon la largeur (donc chaque moitié a une largeur de $\frac{l}{2}\,=\,3%2C25\,\%2C\,cm$ ) :
$V_{moitie}\,=\,11%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,(\frac{6%2C5\,\%2C\,cm}{2})\,\times \,4\,\%2C\,cm$
$V_{moitie}\,=\,11%2C5\,\%2C\,cm\,\times \,3%2C25\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$
$V_{moitie}\,=\,149%2C5\,\%2C\,cm^3$

Dans les deux cas, le volume de chaque morceau est de $149%2C5\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 26 : conversion d’aires
a. $3%2C1\,\%2C\,m^3\,=\,3{%2C}1\,\times \,1000\,\%2C\,dm^3\,=\,3100\,\%2C\,dm^3$

b. $0{%2C}000\,\%2C\,75\,\%2Cm^3\,=\,0{%2C}000\,\%2C\,75\,\times \,1{%2C}000{%2C}000\,\%2C\,cm^3\,=\,750\,\%2C\,cm^3$

c. $0{%2C}037\,\%2C\,dm^3\,=\,0{%2C}037\,: \,1000\,\%2C\,m^3\,=\,0{%2C}000\,\%2C\,037\,\%2C\,m^3$

d. $500\,\%2C\,cm^3\,=\,500\,: \,1000\,\%2C\,dm^3\,=\,0{%2C}5\,\%2C\,dm^3$

e. $5{%2C}85\,\%2C\,cm^3\,=\,5{%2C}85\,\times \,1000\,\%2C\,mm^3\,=\,5850\,\%2C\,mm^3$

f. $550\,\%2C\,mm^3\,=\,550\,: \,1000\,\%2C\,cm^3\,=\,0{%2C}55\,\%2C\,cm^3$

Exercice 27 : volume d’une tente
a. Calculons le volume de la tente.

La tente a la forme d’un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.

La formule pour le volume d’un prisme droit est :

$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,hauteur$

La base de la tente est un triangle rectangle de côtés 0,90 m et 1,20 m.

L’aire de la base (triangle rectangle) est :

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,0%2C90\,\%2C\,m\,\times \,1%2C20\,\%2C\,m$

$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,1%2C08\,\%2C\,m^2$

$A\,=\,0%2C54\,\%2C\,m^2$

La hauteur du prisme est 2,10 m.

Donc, le volume est :

$V\,=\,0%2C54\,\%2C\,m^2\,\times \,2%2C10\,\%2C\,m$

$V\,=\,1%2C134\,\%2C\,m^3$

b. Convertissons le volume en litres.

1 mètre cube $=\,1000$ litres.

Donc, la contenance en litres est :

$C\,=\,1%2C134\,\%2C\,m^3\,\times \,1000\,\%2C\,litres%2Fm^3$

$C\,=\,1134\,\%2C\,litres$

La tente peut contenir environ 1134 litres.

Exercice 28 : volume d’un cylindre
Le volume d’un cylindre de révolution se calcule à l’aide de la formule :

$V\,=\,\pi\,r^2\,h$

où est le rayon de la base et est la hauteur du cylindre.

Ici, nous avons :
$r\,=\,4\,\%2C\,cm$
$h\,=\,8\,\%2C\,cm$

En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :
$V\,=\,\pi\,\times \,(4\,\%2C\,cm)^2\,\times \,8\,\%2C\,cm$

Calculons d’abord $(4\,\%2C\,cm)^2$ :
$(4\,\%2C\,cm)^2\,=\,16\,\%2C\,cm^2$

Ensuite, multiplions par 8 cm :
$16\,\%2C\,cm^2\,\times \,8\,\%2C\,cm\,=\,128\,\%2C\,cm^3$

Finalement, multiplions par $\pi$ :
$V\,=\,128\,\pi\,\%2C\,cm^3$

En utilisant une valeur approchée de $\pi\,\approx\,3.1416$ , nous avons :
$V\,\approx\,128\,\times \,3.1416$

Calculons cela :
$V\,\approx\,402.123\,\%2C\,cm^3$

Arrondissons à l’unité la plus proche :
$V\,\approx\,402\,\%2C\,cm^3$

Ainsi, le volume du cylindre est approximativement $402\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 29 : un tube en plastique
Pour calculer le volume de plastique nécessaire à la réalisation du tube, il faut calculer la différence entre le volume du cylindre externe et le volume du cylindre interne.

Les données fournies sont :
– longueur $L\,=\,1%2C4$ m = 14 dm,
– rayon intérieur $r_i\,=\,35$ mm = 3,5 cm = 0,35 dm,
– rayon extérieur $r_e\,=\,42$ mm = 4,2 cm = 0,42 dm.

1. Volume du cylindre extérieur V_e :
$V_e\,=\,\pi\,r_e^2\,L\,=\,\pi\,(0%2C42)^2\,\times \,14$

2. Volume du cylindre intérieur V_i :
$V_i\,=\,\pi\,r_i^2\,L\,=\,\pi\,(0%2C35)^2\,\times \,14$

3. Volume de plastique nécessaire :
$V\,=\,V_e\,-\,V_i\,=\,\pi\,(0%2C42)^2\,\times \,14\,-\,\pi\,(0%2C35)^2\,\times \,14$

En factorisant par $\pi\,\times \,14$ :
$V\,=\,\pi\,\times \,14\,\times \,(0%2C42^2\,-\,0%2C35^2)$

Calcul des carrés des rayons :
$0%2C42^2\,=\,0%2C1764$
$0%2C35^2\,=\,0%2C1225$

Donc, la différence des carrés :
$0%2C42^2\,-\,0%2C35^2\,=\,0%2C1764\,-\,0%2C1225\,=\,0%2C0539$

Calcul final du volume :
$V\,=\,\pi\,\times \,14\,\times \,0%2C0539\,\approx\,2%2C37\,\%2C\,dm^3$

La valeur approchée au dixième près du volume de plastique nécessaire est donc $2%2C4\,\%2C\,dm^3$ .

Exercice 30 : une tour cylindrique
Le volume de la tour totale est la somme du volume du cylindre et du volume du cône.

*Volume du cylindre:*

La formule pour le volume d’un cylindre est:
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,r^2\,h$

Où:
– $r\,=\,2%2C5$ m (rayon de la base)
– $h\,=\,10$ m (hauteur du cylindre)

Calculons le volume du cylindre:
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,(2%2C5\%2C\,m)^2\,\times \,10\%2C\,m$
$V_{cylindre}\,=\,\pi\,\times \,6%2C25\%2C\,m^2\,\times \,10\%2C\,m$
$V_{cylindre}\,=\,62%2C5\,\pi\%2C\,m^3$
$V_{cylindre}\,\approx\,196%2C35\%2C\,m^3$

*Volume du cône:*

La formule pour le volume d’un cône est:
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

Où:
– $r\,=\,2%2C5$ m (rayon de la base)
– $h\,=\,5$ m (hauteur du cône)

Calculons le volume du cône:
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,(2%2C5\%2C\,m)^2\,\times \,5\%2C\,m$
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,6%2C25\%2C\,m^2\,\times \,5\%2C\,m$
$V_{cone}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times \,31%2C25\%2C\,m^3$
$V_{cone}\,=\,10%2C42\,\pi\%2C\,m^3$
$V_{cone}\,\approx\,32%2C73\%2C\,m^3$

*Volume total de la tour:*

Ajoutons les volumes du cylindre et du cône pour obtenir le volume total:
$V_{total}\,=\,V_{cylindre}\,%2B\,V_{cone}$
$V_{total}\,\approx\,196%2C35\%2C\,m^3\,%2B\,32%2C73\%2C\,m^3$
$V_{total}\,\approx\,229%2C08\%2C\,m^3$

Donc, une valeur approchée à l’unité près du volume de la tour est:
$V_{total}\,\approx\,229\%2C\,m^3$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : une boîte de boules
Soit un parallélépipède rectangle de dimensions $4\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm\,\times \,8\,\%2C\,cm$

. Nous avons à l’intérieur de ce parallélépipède deux boules de rayon $2\,\%2C\,cm$ .

1. $Volume\,du\,parallelepipede\,rectangle\,%3A$

Le volume du parallélépipède rectangle est donné par :

$V\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h$

où $L\,=\,8\,\%2C\,cm$ , $l\,=\,4\,\%2C\,cm$ , et $h\,=\,4\,\%2C\,cm$ .

$V\,=\,8\,\times \,4\,\times \,4$
$V\,=\,128\,\%2C\,cm^3$

2. $Volume\,de\,chaque\,boule\,%3A$

Le volume V_b d’une boule est donné par la formule :

$V_b\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$

où $r\,=\,2\,\%2C\,cm$ .

$V_b\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,(2)^3$
$V_b\,=\,\frac{4}{3}\,\pi\,\times \,8$
$V_b\,=\,\frac{32}{3}\,\pi$

Approchons ce volume en utilisant $\pi\,\approx\,3.1416$ :

$V_b\,=\,\frac{32}{3}\,\times \,3.1416$
$V_b\,\approx\,33.5103\,\%2C\,cm^3$

3. $Volume\,total\,des\,deux\,boules\,%3A$

Puisque nous avons deux boules, le volume total des boules est :

$V_{total\,boules}\,=\,2\,\times \,V_b$
$V_{total\,boules}\,=\,2\,\times \,33.5103$
$V_{total\,boules}\,\approx\,67.0206\,\%2C\,cm^3$

4. $Volume\,de\,l'espace\,laisse\,libre\,%3A$

Le volume laissé libre par les deux boules dans le parallélépipède est :

$V_{libre}\,=\,V\,-\,V_{total\,boules}$
$V_{libre}\,=\,128\,-\,67.0206$
$V_{libre}\,\approx\,60.9794\,\%2C\,cm^3$

Le volume de l’espace laissé libre par les deux boules est donc approximativement $60.979\,\%2C\,cm^3$ .

Exercice 32 : conversions de volumes
1.
Effectue les conversions suivantes.

$\begin{array}{ll}%0D%0Aa.\,12\,\%2C\,m^3\,=\,12000\,\%2C\,dm^3\,%26\,d.\,0%2C75\,\%2C\,m^3\,=\,750\,\%2C\,dm^3\,\\%0D%0Ab.\,10\,\%2C\,mm^3\,=\,0%2C01\,\%2C\,cm^3\,%26\,e.\,12\,\%2C\,426\,\%2C\,mm^3\,=\,12%2C426\,\%2C\,cm^3\,\\%0D%0Ac.\,1200\,\%2C\,dm^3\,=\,1%2C2\,\%2C\,m^3\,%26\,f.\,25%2C7\,\%2C\,cm^3\,=\,25700\,\%2C\,mm^3\,\\%0D%0A\end{array}$

2.
Effectue les conversions suivantes.

$\begin{array}{ll}%0D%0Aa.\,127\,\%2C\,mL\,=\,0%2C127\,\%2C\,L\,%26\,e.\,0%2C051\,\%2C\,L\,=\,5%2C1\,\%2C\,cL\,\\%0D%0Ab.\,752%2C3\,\%2C\,hL\,=\,75230\,\%2C\,L\,%26\,f.\,25\,\%2C\,dL\,=\,2%2C5\,\%2C\,cL\,\\%0D%0Ac.\,132\,\%2C\,cL\,=\,1%2C32\,\%2C\,L\,%26\,g.\,0%2C3\,\%2C\,cL\,=\,0%2C03\,\%2C\,dL\,\\%0D%0Ad.\,\frac{1}{2}\,\%2C\,L\,=\,50\,\%2C\,cL\,%26\,h.\,\frac{1}{4}\,\%2C\,L\,=\,2%2C5\,\%2C\,dL\,\\%0D%0A\end{array}$

3.
Effectue les conversions suivantes.

$\begin{array}{ll}%0D%0Aa.\,12\,\%2C\,L\,=\,12\,\%2C\,dm^3\,%26\,e.\,1\,\%2C\,m^3\,=\,1000\,\%2C\,L\,\\%0D%0Ab.\,0%2C3\,\%2C\,L\,=\,0%2C0003\,\%2C\,m^3\,%26\,f.\,24\,\%2C\,dm^3\,=\,240\,\%2C\,cL\,\\%0D%0Ac.\,40\,\%2C\,mL\,=\,0%2C04\,\%2C\,dm^3\,%26\,g.\,12%2C9\,\%2C\,dm^3\,=\,12900\,\%2C\,mL\,\\%0D%0Ad.\,1%2C8\,\%2C\,hL\,=\,180\,\%2C\,L\,%26\,h.\,42%2C1\,\%2C\,m^3\,=\,42100\,\%2C\,L\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 33 : classer des solides
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASolide\,%26\,Cube\,%26\,Pave\,%26\,Prisme\,%26\,Cylindre\,%26\,Pyramide\,%26\,Cone\,%26\,Sphere\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFigure\,%26\,Fig.\,1\,%26\,Fig.\,4\,%26\,Fig.\,5%2C\,Fig.\,6%2C\,Fig.\,8\,%26\,Fig.\,2\,%26\,Fig.\,3\,%26\,Fig.\,7\,%26\,Fig.\,9\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 34 : conversions de volumes
a. $0%2C06\,\%2C\,m^3\,=\,0%2C06\,\times \,10^6\,\%2C\,cm^3\,=\,60\%2C000\,\%2C\,cm^3$

b. $76%2C4\,\%2C\,mm^3\,=\,76%2C4\,: \,1000\,\%2C\,cm^3\,=\,0%2C0764\,\%2C\,cm^3$

c. $0%2C5\,\%2C\,L\,=\,0%2C5\,\times \,100\,\%2C\,cL\,=\,50\,\%2C\,cL$

d. $1\%2C359\,\%2C\,mL\,=\,1\%2C359\,\%2C\,mL\,: \,100\,=\,13%2C59\,\%2C\,dL$

e. $1\,\%2C\,dm^3\,=\,1\,\%2C\,L\,=\,1\,\%2C\,L$

f. $20\,\%2C\,L\,=\,20\,\times \,100\,\%2C\,cL\,=\,2000\,\%2C\,cL\,=\,20\,\times \,10^{-3}\,\%2C\,m^3\,=\,0%2C02\,\%2C\,m^3$

g. $74%2C2\,\%2C\,mL\,=\,74%2C2\,: \,1000\,\%2C\,L\,=\,0%2C0742\,\%2C\,L$

h. $358\,\%2C\,mm^3\,=\,358\,\%2C\,mm^3\,: \,1000\,=\,0.358\,\%2C\,cm^3\,=\,0.358\,\%2C\,cm^3\,=\,0.358\,\%2C\,mL$

Exercice 35 : calculer les volumes des prismes droits
$Pour\,le\,premier\,prisme%3A$

$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,Hauteur$

$V\,=\,3\,\%2C\,cm^2\,\times \,2\,\%2C\,cm$

$V\,=\,6\,\%2C\,cm^3$

$Pour\,le\,deuxieme\,prisme%3A$

$V\,=\,Aire\,de\,la\,base\,\times \,Hauteur$

$V\,=\,8\,\%2C\,cm^2\,\times \,6.5\,\%2C\,cm$

$V\,=\,52\,\%2C\,cm^3$

Exercice 36 : volume de prisme droits
Correction de l’exercice

$Premier\,prisme\,%3A$

Aire de la base :
$Aire\,=\,\frac{4\,\times \,3}{2}\,=\,6\,\%2C\,cm^2$

Volume :
$Volume\,=\,6\,\times \,5\,=\,30\,\%2C\,cm^3$

—

$Deuxieme\,prisme\,%3A$

Aire de la base :
$Aire\,=\,\frac{4\,\times \,1.2}{2}\,=\,2.4\,\%2C\,cm^2$

Volume :
$Volume\,=\,2.4\,\times \,5\,=\,12\,\%2C\,cm^3$

—

$Troisieme\,prisme\,%3A$

Aire de la base :
$Aire\,=\,\frac{8\,\times \,10}{2}\,=\,40\,\%2C\,cm^2$

Volume :
$Volume\,=\,40\,\times \,6\,=\,240\,\%2C\,cm^3$

Exercice 37 : volume de cylindres de révolution
Aire de la base :
$\pi\,\times \,(2\,\%2C\,cm)^2\,=\,4\pi\,\%2C\,cm^2$

Volume du cylindre :
$4\pi\,\%2C\,cm^2\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,24\pi\,\%2C\,cm^3$

—

Aire de la base :
$\pi\,\times \,(6\,\%2C\,cm)^2\,=\,36\pi\,\%2C\,cm^2$

Volume du cylindre :
$36\pi\,\%2C\,cm^2\,\times \,4\,\%2C\,cm\,=\,144\pi\,\%2C\,cm^3$

—

Aire de la base :
$\pi\,\times \,(50\,\%2C\,cm)^2\,=\,2500\pi\,\%2C\,cm^2$

Volume du cylindre :
$2500\pi\,\%2C\,cm^2\,\times \,6\,\%2C\,dm\,=\,15000\pi\,\%2C\,cm^3\,=\,1500\pi\,\%2C\,dm^3$

—

Aire de la base :
$\pi\,\times \,(0.9\,\%2C\,cm)^2\,=\,0.81\pi\,\%2C\,cm^2$

Volume du cylindre :
$0.81\pi\,\%2C\,cm^2\,\times \,0.4\,\%2C\,cm\,=\,0.324\pi\,\%2C\,cm^3$

Exercice 38 : volume d’un solide
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Pour calculer le volume total du solide, nous devons additionner les volumes des deux cylindres composant le solide.

Le volume d’un cylindre est donné par la formule suivante :
$V\,=\,\pi\,\times \,r^2\,\times \,h$
où est le rayon et est la hauteur du cylindre.

1. Calcul du volume du petit cylindre (en haut) :
– Rayon : $r\,=\,\frac{3\,\,cm}{2}\,=\,1.5\,\,cm$
– Hauteur : $h\,=\,1\,\,cm$

$V_{petit}\,=\,\pi\,\times \,(1.5\,\,cm)^2\,\times \,1\,\,cm$
$V_{petit}\,=\,\pi\,\times \,2.25\,\,cm^2\,\times \,1\,\,cm$
$V_{petit}\,=\,2.25\pi\,\,cm^3$

2. Calcul du volume du grand cylindre (en bas) :
– Rayon : $r\,=\,\frac{4\,\,cm}{2}\,=\,2\,\,cm$
– Hauteur : $h\,=\,2\,\,cm$

$V_{grand}\,=\,\pi\,\times \,(2\,\,cm)^2\,\times \,2\,\,cm$
$V_{grand}\,=\,\pi\,\times \,4\,\,cm^2\,\times \,2\,\,cm$
$V_{grand}\,=\,8\pi\,\,cm^3$

3. Volume total du solide :
$V_{total}\,=\,V_{petit}\,%2B\,V_{grand}$
$V_{total}\,=\,2.25\pi\,\,cm^3\,%2B\,8\pi\,\,cm^3$
$V_{total}\,=\,10.25\pi\,\,cm^3$

Valeur exacte :
$V_{total}\,=\,10.25\pi\,\,cm^3$

Valeur arrondie au mm³ (utilisant $\pi\,\approx\,3.14159$ ) :
$V_{total}\,\approx\,10.25\,\times \,3.14159\,\,cm^3$
$V_{total}\,\approx\,32.20001\,\,cm^3$
$V_{total}\,\approx\,32200\,\,mm^3$