Angles : corrigés des exercices de maths en 5ème.

Exercice 1 : angles complémentaires et supplémentaires

Les angles \widehat{A} et \widehat{B} sont complémentaires et \widehat{A}\,=\,54^\circ. Déterminer \widehat{B}.

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90^\circ.

\widehat{A}\,%2B\,\widehat{B}\,=\,90^\circ
54^\circ\,%2B\,\widehat{B}\,=\,90^\circ
Pour trouver \widehat{B}, on soustrait 54^\circ de 90^\circ:

\widehat{B}\,=\,90^\circ\,-\,54^\circ\,=\,36^\circ

Donc, \widehat{B}\,=\,36^\circ.

Les angles \widehat{C} et \widehat{D} sont supplémentaires et \widehat{C}\,=\,84^\circ. Déterminer \widehat{D}.

Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180^\circ.

\widehat{C}\,%2B\,\widehat{D}\,=\,180^\circ
84^\circ\,%2B\,\widehat{D}\,=\,180^\circ
Pour trouver \widehat{D}, on soustrait 84^\circ de 180^\circ:

\widehat{D}\,=\,180^\circ\,-\,84^\circ\,=\,96^\circ

Donc, \widehat{D}\,=\,96^\circ.

Exercice 2 : les angles adjacents
Correction :

a. \widehat{rTs} et \widehat{sTu}

Pour que deux angles soient adjacents, ils doivent avoir un sommet et un côté en commun, tout en étant distincts et ne se chevauchant pas.

Dans ce cas, les angles \widehat{rTs} et \widehat{sTu} ont le sommet T en commun et partagent le côté sT, tout en ayant chacun un côté distinct (Tr pour \widehat{rTs} et Tu pour \widehat{sTu}).

Donc, les angles \widehat{rTs} et \widehat{sTu} sont adjacents.

oui

b. \widehat{AEB} et \widehat{BDC}

Pour ces angles, \widehat{AEB} et \widehat{BDC}, il n’y a pas de côté en commun ni de sommet en commun.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.

non

c. \widehat{xGu} et \widehat{tGx}

Pour que ces angles soient adjacents, ils doivent partager un sommet et un côté et être distincts sans se chevaucher.

Les angles \widehat{xGu} et \widehat{tGx} ont le sommet G en commun et ils partagent le côté xG. Cependant, l’angle \widehat{tGx} devrait être correctement noté pour éviter toute confusion avec l’angle adjacent.

Donc, les angles \widehat{xGu} et \widehat{tGx} sont adjacents.

oui

d. \widehat{vUx} et \widehat{wUv}

Pour être adjacents, ces angles doivent partager un sommet et un côté, et être distincts sans se chevaucher.

Les angles \widehat{vUx} et \widehat{wUv} ont le sommet U en commun et partagent le côté Uv. Ils ont chacun un côté distinct (respectivement Ux et Uw).

Donc, les angles \widehat{vUx} et \widehat{wUv} sont adjacents.

oui

Exercice 3 : les angles opposés par le sommet
Correction de l’exercice:

[a.] $\widehat{yGw}$ et $\widehat{HGS}$

Les angles $\widehat{yGw}$ et $\widehat{HGS}$ sont opposés par le sommet $G$.

Réponse: oui \checked non \square

[b.] $\widehat{rHx}$ et $\widehat{tHw}$

Les angles $\widehat{rHx}$ et $\widehat{tHw}$ ne sont pas opposés par le sommet $H$.

Réponse: oui \square non \checked

[c.] $\widehat{rHt}$ et $\widehat{xHG}$

Les angles $\widehat{rHt}$ et $\widehat{xHG}$ ne sont pas opposés par le sommet $H$.

Réponse: oui \square non \checked

Exercice 4 : préciser la nature d’un angle
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a. b. c. d. e. f. \\
\hline
Angles adjacents \times  \times  \times  \times  \\
\hline
Angles complémentaires \times  \times  \times  \times  \\
\hline
Angles supplémentaires \times  \times  \\
\hline
\end{tabular}

### Explication

a. On a deux angles de 45^\circ. Ils sont égaux et leur somme donne 90^\circ:
45^\circ\,%2B\,45^\circ\,=\,90^\circ
Donc, ces angles sont complémentaires.

b. Les angles x et y sont adjacents, car ils ont le sommet A en commun et partagent un côté:
\angle\,x\,%2B\,\angle\,y\,=\,180^\circ
Donc, ces angles sont adjacents et supplémentaires.

c. Les angles marqués forment un angle droit avec \angle\,e\,=\,90^\circ, et donc ces angles sont complémentaires:
\angle\,e\,%2B\,\angle\,k\,=\,90^\circ

d. Les angles marqués \angle\,pSm et \angle\,mSn sont adjacents et complémentaires, car:
pS\,%2B\,mSn\,=\,90^\circ

e. Les deux angles forment ensemble un angle droit, ils sont donc adjacents et complémentaires:
90^\circ

f. Les angles marqués sont adjacents (car ils ont un côté commun) et forment un angle plat (180°), donc ils sont également supplémentaires:
\angle\,rSt\,%2B\,\angle\,tSu\,=\,180^\circ

Exercice 5 : angles complémentaires ou supplémentaires
a. Les angles \^{a} et \^{b} sont complémentaires. Calcule la mesure de l’angle \^{b}.

– \^{a} = 57° donc
\^{b}\,=\,90%C2%B0\,-\,57%C2%B0\,=\,33%C2%B0

– \^{a} = 24° donc
\^{b}\,=\,90%C2%B0\,-\,24%C2%B0\,=\,66%C2%B0

– \^{a} = 2\ \^{b} donc
\^{a}\,%2B\,\^{b}\,=\,90%C2%B0
2\,\%2C\,\^{b}\,%2B\,\^{b}\,=\,90%C2%B0
3\,\%2C\,\^{b}\,=\,90%C2%B0
\^{b}\,=\,\frac{90%C2%B0}{3}
\^{b}\,=\,30%C2%B0

b. Les angles \^{a} et \^{b} sont supplémentaires. Calcule la mesure de l’angle \^{b}.

– \^{a} = 127° donc
\^{b}\,=\,180%C2%B0\,-\,127%C2%B0\,=\,53%C2%B0

– \^{a} = 86° donc
\^{b}\,=\,180%C2%B0\,-\,86%C2%B0\,=\,94%C2%B0

– \^{a} = 3\ \^{b} donc
\^{a}\,%2B\,\^{b}\,=\,180%C2%B0
3\,\%2C\,\^{b}\,%2B\,\^{b}\,=\,180%C2%B0
4\,\%2C\,\^{b}\,=\,180%C2%B0
\^{b}\,=\,\frac{180%C2%B0}{4}
\^{b}\,=\,45%C2%B0

Exercice 6 : retrouver la position des points
Les positions des points D, E, F, G et H sont les suivantes :

1. Les angles \widehat{BAC} et \widehat{ABD} sont alternes-internes.
Donc, le point D est le point situé au bout de la droite en bas à droite du segment AB.

2. Les angles \widehat{CAB} et \widehat{BAE} sont supplémentaires.
Donc, E est le point situé à l’intersection du segment horizontal AB et de la droite qui monte en, diagonale à droite, formant un angle supplémentaire avec \widehat{CAB}.

3. Les angles \widehat{CAB} et \widehat{EAF} sont des angles opposés par le sommet.
Donc, F est le point situé au dessus de A formant l’angle \widehat{EAF} opposé à \widehat{CAB}, avec E formant l’angle supplémentaire mentionné en 2.

4. Les angles \widehat{ABC} et \widehat{FAG} sont correspondants.
Donc, G est le point situé sur la droite diagonale montante à gauche de AB, formant un angle correspondant avec l’angle \widehat{ABC}.

5. Les angles \widehat{ACB} et \widehat{CBH} sont alternes-internes.
Donc, H est le point situé à l’intersection au bout en haut à droite du segment AB formant l’angle \widehat{CBH} qui est alterne-interne avec \widehat{ABC}.

Avec ces positions, la figure adaptée serait :

– Point D : Intersection au bas droite de AB
– Point E : Intersection horizontale droite de AB
– Point F : Point au dessus à droite de A
– Point G : Point à gauche de C formant l’angle correspondant
– Point H : Intersection en haut droite de BC

Exercice 7 : angles correspondants et angles alternes-internes
a. Les deux paires d’angles correspondants déterminées par la sécante (KC) sont:
1. \widehat{KFO} et \widehat{STO}
2. \widehat{AKT} et \widehat{BFS}

b. Les deux paires d’angles alternes-internes déterminées par la sécante (BR) sont:
1. \widehat{UOR} et \widehat{FTO}
2. \widehat{RUT} et \widehat{TCF}

Exercice 8 : calculer mentalement la mesure d’un angle
a.
1. L’angle rose = 55^\circ
2. L’angle vert = 125^\circ
3. L’angle bleu = 125^\circ
4. L’angle jaune = 55^\circ

b.
1. L’angle rose = 61^\circ
2. L’angle vert = 61^\circ
3. L’angle violet = 119^\circ
4. L’angle orange = 119^\circ

Exercice 9 : donner la mesure d’un angle
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Par conséquent, nous pouvons utiliser les propriétés des angles correspondants, alternes-internes, et alternes-externes pour déterminer les mesures des autres angles.

Les angles alternes-internes et correspondants sont égaux aux côtés opposés aux angles égons.

\hat{a}\,=\,\hat{e}\,=\,34^\circ\,\quad\,(angles\,\\,correspondants)

Les angles alternes-internes sont également égaux :

\hat{b}\,=\,\hat{f}\,=\,34^\circ

Les angles opposés par le sommet sont égaux :

\hat{c}\,=\,\hat{d}\,=\,180^\circ\,-\,34^\circ\,=\,146^\circ

\hat{g}\,=\,\hat{d}\,=\,146^\circ

Récapitulatif des mesures des angles :

\hat{a}\,=\,34^\circ

\hat{b}\,=\,34^\circ

\hat{c}\,=\,146^\circ

\hat{d}\,=\,146^\circ

\hat{e}\,=\,34^\circ

\hat{f}\,=\,34^\circ

\hat{g}\,=\,146^\circ

Exercice 10 : démontrer que les angles ont la même mesure
Pour démontrer que les angles \widehat{XAB} et \widehat{NBA} ont la même mesure, nous allons utiliser les propriétés des angles alternes-internes et des angles correspondants.

1) Les droites (d_1) et (d_2) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux.

Comme (d_1)\,\parallel\,(d_2), nous avons :

\widehat{XAM}\,=\,\widehat{MAT}\,\quad\,(angles\,alternes-internes)

2) De plus, les droites (d_2) et (d_3) étant sécantes à (d_1), et (d_1)\,\parallel\,(d_2), nous avons :

\widehat{MAT}\,=\,\widehat{NBA}\,\quad\,(angles\,correspondants)

3) En conjuguant les deux égalités précédentes, nous obtenons :

\widehat{XAM}\,=\,\widehat{NBA}

4) Finalement, étant donné que le point A est commun, nous pouvons conclure que :

\widehat{XAB}\,=\,\widehat{NBA}

Donc, les angles \widehat{XAB} et \widehat{NBA} ont la même mesure.

Voir Corrigés 11 à 14 ...

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