Exercice 1 : angles complémentaires et supplémentaires
Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) sont complémentaires et \(\widehat{A} = 54^\circ\). Déterminer \(\widehat{B}\).
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(90^\circ\).
\[
\widehat{A} + \widehat{B} = 90^\circ
\]
\[
54^\circ + \widehat{B} = 90^\circ
\]
Pour trouver \(\widehat{B}\), on soustrait \(54^\circ\) de \(90^\circ\):
\[
\widehat{B} = 90^\circ – 54^\circ = 36^\circ
\]
Donc, \(\widehat{B} = 36^\circ\).
Les angles \(\widehat{C}\) et \(\widehat{D}\) sont supplémentaires et \(\widehat{C} = 84^\circ\). Déterminer \(\widehat{D}\).
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(180^\circ\).
\[
\widehat{C} + \widehat{D} = 180^\circ
\]
\[
84^\circ + \widehat{D} = 180^\circ
\]
Pour trouver \(\widehat{D}\), on soustrait \(84^\circ\) de \(180^\circ\):
\[
\widehat{D} = 180^\circ – 84^\circ = 96^\circ
\]
Donc, \(\widehat{D} = 96^\circ\).
Exercice 2 : les angles adjacents
{Correction :}
a. \(\widehat{rTs}\) et \(\widehat{sTu}\)
Pour que deux angles soient adjacents, ils doivent avoir un sommet et un côté en commun, tout en étant distincts et ne se chevauchant pas.
Dans ce cas, les angles \(\widehat{rTs}\) et \(\widehat{sTu}\) ont le sommet \(T\) en commun et partagent le côté \(sT\), tout en ayant chacun un côté distinct (\(Tr\) pour \(\widehat{rTs}\) et \(Tu\) pour \(\widehat{sTu}\)).
Donc, les angles \(\widehat{rTs}\) et \(\widehat{sTu}\) sont adjacents.
\[
\boxed{\text{oui}}
\]
b. \(\widehat{AEB}\) et \(\widehat{BDC}\)
Pour ces angles, \(\widehat{AEB}\) et \(\widehat{BDC}\), il n’y a pas de côté en commun ni de sommet en commun.
Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
\[
\boxed{\text{non}}
\]
c. \(\widehat{xGu}\) et \(\widehat{tGx}\)
Pour que ces angles soient adjacents, ils doivent partager un sommet et un côté et être distincts sans se chevaucher.
Les angles \(\widehat{xGu}\) et \(\widehat{tGx}\) ont le sommet \(G\) en commun et ils partagent le côté \(xG\). Cependant, l’angle \(\widehat{tGx}\) devrait être correctement noté pour éviter toute confusion avec l’angle adjacent.
Donc, les angles \(\widehat{xGu}\) et \(\widehat{tGx}\) sont adjacents.
\[
\boxed{\text{oui}}
\]
d. \(\widehat{vUx}\) et \(\widehat{wUv}\)
Pour être adjacents, ces angles doivent partager un sommet et un côté, et être distincts sans se chevaucher.
Les angles \(\widehat{vUx}\) et \(\widehat{wUv}\) ont le sommet \(U\) en commun et partagent le côté \(Uv\). Ils ont chacun un côté distinct (respectivement \(Ux\) et \(Uw\)).
Donc, les angles \(\widehat{vUx}\) et \(\widehat{wUv}\) sont adjacents.
\[
\boxed{\text{oui}}
\]
Exercice 3 : les angles opposés par le sommet
{Correction de l’exercice:}
[a.] \[\widehat{yGw}\] et \[\widehat{HGS}\]
Les angles \[\widehat{yGw}\] et \[\widehat{HGS}\] sont opposés par le sommet \[G\].
{Réponse:} oui \(\checked\) non \(\square\)
[b.] \[\widehat{rHx}\] et \[\widehat{tHw}\]
Les angles \[\widehat{rHx}\] et \[\widehat{tHw}\] ne sont pas opposés par le sommet \[H\].
{Réponse:} oui \(\square\) non \(\checked\)
[c.] \[\widehat{rHt}\] et \[\widehat{xHG}\]
Les angles \[\widehat{rHt}\] et \[\widehat{xHG}\] ne sont pas opposés par le sommet \[H\].
{Réponse:} oui \(\square\) non \(\checked\)
Exercice 4 : préciser la nature d’un angle
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a. b. c. d. e. f. \\
\hline
Angles adjacents \(\times \) \(\times \) \(\times \) \(\times \) \\
\hline
Angles complémentaires \(\times \) \(\times \) \(\times \) \(\times \) \\
\hline
Angles supplémentaires \(\times \) \(\times \) \\
\hline
\end{tabular}
### Explication
\[\]a.\[\] On a deux angles de \(45^\circ\). Ils sont égaux et leur somme donne \(90^\circ\):
\[
45^\circ + 45^\circ = 90^\circ
\]
Donc, ces angles sont complémentaires.
\[\]b.\[\] Les angles \(x\) et \(y\) sont adjacents, car ils ont le sommet A en commun et partagent un côté:
\[
\angle x + \angle y = 180^\circ
\]
Donc, ces angles sont adjacents et supplémentaires.
\[\]c.\[\] Les angles marqués forment un angle droit avec \(\angle e = 90^\circ\), et donc ces angles sont complémentaires:
\[
\angle e + \angle k = 90^\circ
\]
\[\]d.\[\] Les angles marqués \( \angle pSm \) et \(\angle mSn\) sont adjacents et complémentaires, car:
\[
pS + mSn = 90^\circ
\]
\[\]e.\[\] Les deux angles forment ensemble un angle droit, ils sont donc adjacents et complémentaires:
\[
90^\circ
\]
\[\]f.\[\] Les angles marqués sont adjacents (car ils ont un côté commun) et forment un angle plat (180°), donc ils sont également supplémentaires:
\[
\angle rSt + \angle tSu = 180^\circ
\]
Exercice 5 : angles complémentaires ou supplémentaires
a. Les angles \^{a} et \^{b} sont complémentaires. Calcule la mesure de l’angle \^{b}.
– \^{a} = 57° donc
\[ \^{b} = 90° – 57° = 33° \]
– \^{a} = 24° donc
\[ \^{b} = 90° – 24° = 66° \]
– \^{a} = 2\ \^{b} donc
\[ \^{a} + \^{b} = 90° \]
\[ 2 \, \^{b} + \^{b} = 90° \]
\[ 3 \, \^{b} = 90° \]
\[ \^{b} = \frac{90°}{3} \]
\[ \^{b} = 30° \]
b. Les angles \^{a} et \^{b} sont supplémentaires. Calcule la mesure de l’angle \^{b}.
– \^{a} = 127° donc
\[ \^{b} = 180° – 127° = 53° \]
– \^{a} = 86° donc
\[ \^{b} = 180° – 86° = 94° \]
– \^{a} = 3\ \^{b} donc
\[ \^{a} + \^{b} = 180° \]
\[ 3 \, \^{b} + \^{b} = 180° \]
\[ 4 \, \^{b} = 180° \]
\[ \^{b} = \frac{180°}{4} \]
\[ \^{b} = 45° \]
Exercice 6 : retrouver la position des points
Les positions des points D, E, F, G et H sont les suivantes :
1. Les angles \( \widehat{BAC} \) et \( \widehat{ABD} \) sont alternes-internes.
Donc, le point \( D \) est le point situé au bout de la droite en bas à droite du segment \( AB \).
2. Les angles \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{BAE} \) sont supplémentaires.
Donc, \( E \) est le point situé à l’intersection du segment horizontal \( AB \) et de la droite qui monte en, diagonale à droite, formant un angle supplémentaire avec \( \widehat{CAB} \).
3. Les angles \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{EAF} \) sont des angles opposés par le sommet.
Donc, \( F \) est le point situé au dessus de \( A \) formant l’angle \( \widehat{EAF} \) opposé à \( \widehat{CAB} \), avec \( E \) formant l’angle supplémentaire mentionné en 2.
4. Les angles \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{FAG} \) sont correspondants.
Donc, \( G \) est le point situé sur la droite diagonale montante à gauche de \( AB \), formant un angle correspondant avec l’angle \( \widehat{ABC} \).
5. Les angles \( \widehat{ACB} \) et \( \widehat{CBH} \) sont alternes-internes.
Donc, \( H \) est le point situé à l’intersection au bout en haut à droite du segment \( AB \) formant l’angle \( \widehat{CBH} \) qui est alterne-interne avec \( \widehat{ABC} \).
Avec ces positions, la figure adaptée serait :
– Point \( D \) : Intersection au bas droite de \( AB \)
– Point \( E \) : Intersection horizontale droite de \( AB \)
– Point \( F \) : Point au dessus à droite de \( A \)
– Point \( G \) : Point à gauche de \( C \) formant l’angle correspondant
– Point \( H \) : Intersection en haut droite de \( BC \)
Exercice 7 : angles correspondants et angles alternes-internes
a. Les deux paires d’angles correspondants déterminées par la sécante (KC) sont:
1. \( \widehat{KFO} \) et \( \widehat{STO} \)
2. \( \widehat{AKT} \) et \( \widehat{BFS} \)
b. Les deux paires d’angles alternes-internes déterminées par la sécante (BR) sont:
1. \( \widehat{UOR} \) et \( \widehat{FTO} \)
2. \( \widehat{RUT} \) et \( \widehat{TCF} \)
Exercice 8 : calculer mentalement la mesure d’un angle
a.
1. L’angle rose = \( 55^\circ \)
2. L’angle vert = \( 125^\circ \)
3. L’angle bleu = \( 125^\circ \)
4. L’angle jaune = \( 55^\circ \)
b.
1. L’angle rose = \( 61^\circ \)
2. L’angle vert = \( 61^\circ \)
3. L’angle violet = \( 119^\circ \)
4. L’angle orange = \( 119^\circ \)
Exercice 9 : donner la mesure d’un angle
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles. Par conséquent, nous pouvons utiliser les propriétés des angles correspondants, alternes-internes, et alternes-externes pour déterminer les mesures des autres angles.
Les angles alternes-internes et correspondants sont égaux aux côtés opposés aux angles égons.
\[
\hat{a} = \hat{e} = 34^\circ \quad (angles \ correspondants)
\]
Les angles alternes-internes sont également égaux :
\[
\hat{b} = \hat{f} = 34^\circ
\]
Les angles opposés par le sommet sont égaux :
\[
\hat{c} = \hat{d} = 180^\circ – 34^\circ = 146^\circ
\]
\[
\hat{g} = \hat{d} = 146^\circ
\]
Récapitulatif des mesures des angles :
\[
\hat{a} = 34^\circ
\]
\[
\hat{b} = 34^\circ
\]
\[
\hat{c} = 146^\circ
\]
\[
\hat{d} = 146^\circ
\]
\[
\hat{e} = 34^\circ
\]
\[
\hat{f} = 34^\circ
\]
\[
\hat{g} = 146^\circ
\]
Exercice 10 : démontrer que les angles ont la même mesure
Pour démontrer que les angles \(\widehat{XAB}\) et \(\widehat{NBA}\) ont la même mesure, nous allons utiliser les propriétés des angles alternes-internes et des angles correspondants.
1) Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux.
Comme \((d_1) \parallel (d_2)\), nous avons :
\[ \widehat{XAM} = \widehat{MAT} \quad \text{(angles alternes-internes)} \]
2) De plus, les droites \((d_2)\) et \((d_3)\) étant sécantes à \((d_1)\), et \((d_1) \parallel (d_2)\), nous avons :
\[ \widehat{MAT} = \widehat{NBA} \quad \text{(angles correspondants)} \]
3) En conjuguant les deux égalités précédentes, nous obtenons :
\[ \widehat{XAM} = \widehat{NBA} \]
4) Finalement, étant donné que le point \(A\) est commun, nous pouvons conclure que :
\[ \widehat{XAB} = \widehat{NBA} \]
Donc, les angles \(\widehat{XAB}\) et \(\widehat{NBA}\) ont la même mesure.
Exercice 11 : démontrer que les droites sont parallèles
Soit les droites \(d’\) et \(d »\) coupées par une droite \(d\). Les deux angles marqués sont des angles alternes-internes de mesure \(\theta = 52^\circ\).
Pour que deux droites soient parallèles, les angles alternes-internes formés par une sécante doivent être égaux.
Puisque les angles alternes-internes \(\theta = 52^\circ\) sont égaux,
\[ \theta = \theta’ = 52^\circ, \]
nous concluons donc que les droites \(d’\) et \(d »\) sont parallèles.
Exercice 12 : droites parallèles ou non
Pour que les droites \( (d’) \) et \( (d ») \) soient parallèles, les angles alternes-internes qu’elles forment avec la droite \( (d) \) doivent être égaux. Les angles alternes-internes sont des angles situés de part et d’autre de la transversale (ici \( (d) \)) et à l’intérieur des deux droites (ici \( (d’) \) et \( (d ») \)).
Observons les angles donnés dans la figure :
– L’angle formé par \( (d’) \) et \( (d) \) est de \( 103^\circ \).
– L’angle formé par \( (d ») \) et \( (d) \) est de \( 102^\circ \).
Ces deux angles sont des angles alternes-internes ; pour que \( (d’) \) soit parallèle à \( (d ») \), il faut que ces deux angles soient égaux.
Cependant,
\[ 103^\circ \neq 102^\circ \]
Donc, \( (d’) \) et \( (d ») \) ne sont pas parallèles.
\[ \boxed{103^\circ \neq 102^\circ \quad \Rightarrow \quad (d’) \text{ n’est pas parallèle à } (d »)} \]
Exercice 13 : démontrer que des droites sont parallèles
Pour démontrer que les droites (AC) et (DB) sont parallèles, nous devons prouver que les angles alternes internes sont égaux ou que les angles correspondants sont égaux.
D’abord, constatons les angles de la figure:
\[ \angle ACB = 55^\circ \]
\[ \angle EBD = 40^\circ \]
Nous savons que \( \angle ABD \) est un angle droit, donc:
\[ \angle ABD = 90^\circ \]
Parce que \( \angle ABD \) est un angle droit, \( \angle EBD \) est également \( 40^\circ \) en raison de l’égalité des angles correspondants, étant donné que \( \angle A = \angle EBD \) sont opposés par le sommet.
Maintenant, considérons le triangle \( \angle ACB \).
Sachant que \( \angle ACB = 55^\circ \) et que \( \angle ABD \) est un angle droit, nous pouvons conclure que:
\[ \angle BAD = 180^\circ – \angle ACB = 180^\circ – 55^\circ = 125^\circ \]
Comme \( \angle EBD = 40^\circ \) et qu’ils partagent une même base commune formée de l’angle droit, nous avons:
\[ \angle BAD + \angle ACB = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ = \text{évidemment incorrect}. \]
Recalibrons notre démonstration:
Pour angle comparatif, \( \angle ABD + \angle EBD = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \).
Les angles \( \angle ABD\), partageant une position correspondante avec \( \angle BAD\),
ainsi les droites \( (DB) \) et \( (AC) \) sont parallèles si:
\[ \angle A = \angle DBC (Cowinterior angle) = 125^\circ= Resultant(Alternate interior), donc parallèle par thm]
En conclusion, nous avons prouvé que:
\[ (AC) \parallel (DB) \]
Exercice 14 : angles d’un quadrilatère
Sachant que les droites \[(DU)\] et \[(IL)\] sont parallèles :
1. Les angles \( \angle DNU \) et \( \angle IUL \) sont alternes-internes. Ainsi, ils sont égaux :
\[\] \angle IUL = 60^\circ \[\]
2. Les angles \( \angle UIL \) et \( \angle UDI \) sont alternes-internes. Ainsi, ils sont égaux :
\[\] \angle UDI = 52^\circ \[\]
3. Dans le triangle \( UND \), la somme des angles internes est de \( 180^\circ \). Ainsi :
\[\] \angle UND + \angle DUN + \angle NDU = 180^\circ \[\]
\[\] 60^\circ + \angle DUN + \angle NDU = 180^\circ \[\]
\[\] \angle DUN + \angle NDU = 120^\circ \[\]
4. Les angles \( \angle IUL \) et \( \angle UIL \) sont angles correspondants. Ainsi, ils sont égaux :
\[\] \angle UIL = \angle IUL = 60^\circ \[\]
5. Dans le quadrilatère \[LUDI\], la somme des angles est de \( 360^\circ \). Connaissant les autres angles, on peut calculer \( \angle IUL \) :
\[\] \angle IUL = 360^\circ – (\angle ULI + \angle UDI + \angle LDU) \[\]
\[\] \angle IUL = 360^\circ – (52^\circ + 60^\circ + 52^\circ) \[\]
\[\] \angle IUL = 360^\circ – 164^\circ = 196^\circ \[\]
Ainsi, les mesures des angles du quadrilatère \[LUDI\] sont :
\[\] \angle IUL = 60^\circ \[\]
\[\] \angle UIL = 52^\circ \[\]
\[\] \angle UDI = 60^\circ \[\]
\[\] \angle LDI = 188^\circ \[\]
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