Opérations et calculs : corrigés des exercices de maths en CM2.

Exercice 1 : ordre de grandeur d’une addition et d’une soustraction
Correction de l’exercice de mathématiques :

a. $3\%2C723\,%2B\,4\%2C093$
$%0D%0A3\%2C723\,%2B\,4\%2C093\,=\,7\%2C816$
La réponse la plus proche est $7\%2C800$ .

b. $122\%2C826\,-\,6\%2C727$
$%0D%0A122\%2C826\,-\,6\%2C727\,=\,116\%2C099$
La réponse la plus proche est $116\%2C000$ .

c. $10\%2C076\,%2B\,389\,%2B\,45$
$%0D%0A10\%2C076\,%2B\,389\,%2B\,45\,=\,10\%2C510$
La réponse la plus proche est $10\%2C500$ .

d. $19\%2C325\,-\,6\%2C412$
$%0D%0A19\%2C325\,-\,6\%2C412\,=\,12\%2C913$
La réponse la plus proche est $13\%2C000$ .

Exercice 2 : calculer des additions
a.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,7\,5\,6\,\\%0D%0A%2B\,5\,6\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,3\,1\,9%0D%0A\end{array}$

b.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,2\,5\,6\,3\,\\%0D%0A%2B\,7\,4\,4\,9\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,0\,0\,1\,2%0D%0A\end{array}$

c.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,8\,2\,\\%0D%0A%2B\,1\,9\,1\,\\%0D%0A%2B\,7\,8\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\,5\,1%0D%0A\end{array}$

d.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,5\,3\,4\,\\%0D%0A-\,4\,1\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,2\,1%0D%0A\end{array}$

e.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,4\,5\,8\,\\%0D%0A-\,2\,8\,5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,7\,3%0D%0A\end{array}$

f.
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,1\,5\,0\,5\,\\%0D%0A-\,6\,1\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0A8\,8\,9\,1%0D%0A\end{array}$

Exercice 3 : calculer astucieusement
Pour :

$A\,=\,1004\,%2B\,223\,%2B\,96\,%2B\,7$

Regroupons de façon astucieuse:

$A\,=\,(1004\,%2B\,96)\,%2B\,(223\,%2B\,7)$

Calculons:

$1004\,%2B\,96\,=\,1100$
$223\,%2B\,7\,=\,230$

Ainsi,

$A\,=\,1100\,%2B\,230\,=\,1330$

Pour :

$B\,=\,12\,%2B\,13\,%2B\,14\,%2B\,15\,%2B\,16\,%2B\,17\,%2B\,18$

Regroupons de façon astucieuse et utilisons la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique.

La formule de la somme des n termes d’une suite arithmétique est :

$S\,=\,\frac{n}{2}\,(a_1\,%2B\,a_n)$

où est le nombre de termes, est le premier terme et est le dernier terme.

Ici, $n\,=\,7$ , $a_1\,=\,12$ et $a_n\,=\,18$ .

Calculons :

$S\,=\,\frac{7}{2}\,(12\,%2B\,18)$
$S\,=\,\frac{7}{2}\,\times \,30$
$S\,=\,7\,\times \,15$
$S\,=\,105$

Donc,

$B\,=\,105$

Exercice 4 : poser des additions
a. $144\,\%2C145\,%2B\,812$

Ordre de grandeur : $144\,\%2C145\,\approx\,144\,\%2C000$ et $812\,\approx\,800$ .
$144\,\%2C000\,%2B\,800\,=\,144\,\%2C800$
Calcul exact :
$\begin{array}{r}%0D%0A144\,\%2C145\,\\%0D%0A%2B\,\%2C\%2C\%2C812\,\\%0D%0A\hline%0D%0A144\,\%2C957\,\\%0D%0A\end{array}$
ODG = $144\,\%2C800$

b. $35\,\%2C077\,%2B\,840\,%2B\,4\,\%2C021$

Ordre de grandeur : $35\,\%2C077\,\approx\,35\,\%2C000$ , $840\,\approx\,800$ et $4\,\%2C021\,\approx\,4\,\%2C000$ .
$35\,\%2C000\,%2B\,800\,%2B\,4\,\%2C000\,=\,39\,\%2C800$
Calcul exact :
$\begin{array}{r}%0D%0A35\,\%2C077\,\\%0D%0A%2B\,\%2C\%2C\%2C\%2C\%2C\%2C840\,\\%0D%0A%2B\,\%2C\%2C\%2C4\,\%2C021\,\\%0D%0A\hline%0D%0A39\,\%2C938\,\\%0D%0A\end{array}$
ODG = $39\,\%2C800$

c. $6\,\%2C480\,-\,304$

Ordre de grandeur : $6\,\%2C480\,\approx\,6\,\%2C500$ et $304\,\approx\,300$ .
$6\,\%2C500\,-\,300\,=\,6\,\%2C200$
Calcul exact :
$\begin{array}{r}%0D%0A6\,\%2C480\,\\%0D%0A-\,\%2C\%2C\%2C304\,\\%0D%0A\hline%0D%0A6\,\%2C176\,\\%0D%0A\end{array}$
ODG = $6\,\%2C200$

d. $71\,\%2C704\,-\,6\,\%2C047$

Ordre de grandeur : $71\,\%2C704\,\approx\,71\,\%2C700$ et $6\,\%2C047\,\approx\,6\,\%2C000$ .
$71\,\%2C700\,-\,6\,\%2C000\,=\,65\,\%2C700$
Calcul exact :
$\begin{array}{r}%0D%0A71\,\%2C704\,\\%0D%0A-\,\%2C\%2C\%2C6\,\%2C047\,\\%0D%0A\hline%0D%0A65\,\%2C657\,\\%0D%0A\end{array}$
ODG = $65\,\%2C700$

Exercice 5 : calculer des additions et soustractions
a. $3574\,%2B\,0136\,=\,3700$

\begin{array}{cccc}
& 3 & 5 & 7 & 4 \\
+ & 0 & 1 & 3 & 6 \\
\hline
& 3 & 7 & 0 & 0 \\
\end{array}

b. $2644\,-\,1855\,=\,0789$

\begin{array}{cccc}
& 2 & 6 & 4 & 4 \\
– & 1 & 8 & 5 & 5 \\
\hline
& 0 & 7 & 8 & 9 \\
\end{array}

c. $9648\,-\,6421\,=\,3227$

\begin{array}{cccc}
& 9 & 6 & 4 & 8 \\
– & 6 & 4 & 2 & 1 \\
\hline
& 3 & 2 & 2 & 7 \\
\end{array}

Exercice 6 : les coureurs de marathon
En 2012, il y avait 343 centaines de coureurs au marathon de Paris. Convertissons cela en nombre exact de coureurs :
$343\,\,centaines\,=\,343\,\times \,100\,=\,34\%2C300$

Nous savons que c’est 220 dizaines de plus qu’en 2011. Convertissons ces 220 dizaines en nombre exact :
$220\,\,dizaines\,=\,220\,\times \,10\,=\,2\%2C200$

On peut écrire l’équation suivante pour trouver le nombre de coureurs en 2011 :
$Nombre\,de\,coureurs\,en\,2012\,=\,Nombre\,de\,coureurs\,en\,2011\,%2B\,2\%2C200$

Soit le nombre de coureurs en 2011, alors :
$34\%2C300\,=\,x\,%2B\,2\%2C200$

En résolvant pour :
$x\,=\,34\%2C300\,-\,2\%2C200$
$x\,=\,32\%2C100$

Donc, le nombre de coureurs en 2011 était de :
$32\%2C100$

Exercice 7 : les lettres de l’alphabet
Pour décoder le message chiffré, nous devons substituer chaque rapport par la lettre correspondante dans la table de Pythagore fournie.

1. Chaque fraction doit être simplifiée pour retrouver les numérateurs et dénominateurs d’origine.

Voici les simplifications :

– $\frac{56}{81}\,=\,\frac{7\,\times \,8}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{7}{9}\,\to\,U$
– $\frac{64}{30}\,=\,\frac{2\,\times \,2\,\times \,2\,\times \,2}{2\,\times \,3\,\times \,5}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,T$
– $\frac{40}{81}\,=\,\frac{5\,\times \,8}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{5}{9}\,\to\,D$
– $\frac{64}{81}\,=\,\frac{8\,\times \,8}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{8}{9}\,\to\,M$
– $\frac{35}{36}\,=\,\frac{5\,\times \,7}{6\,\times \,6}\,=\,\frac{7}{6}\,\to\,O$
– $\frac{49}{63}\,=\,\frac{7\,\times \,7}{9\,\times \,7}\,=\,\frac{7}{9}\,=\,U$
– $\frac{63}{81}\,=\,\frac{7\,\times \,9}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{7}{9}\,\to\,U$

– $\frac{48}{49}\,=\,\frac{3\,\times \,2\,\times \,4}{7\,\times \,7}\,=\,\frac{1}{1}\,\to\,O$
– $\frac{72}{54}\,=\,\frac{9\,\times \,8}{9\,\times \,3\,\times \,2}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,T$
– $\frac{54}{81}\,=\,\frac{6\,\times \,3\,\times \,3}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{2}{1}\,\to\,T$
– $\frac{81}{63}\,=\,\frac{9\,\times \,9}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{9}{7}\,\to\,Q$
– $\frac{64}{36}\,=\,\frac{2\,\times \,4\,\times \,4}{6\,\times \,6}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,T$
– $\frac{45}{25}\,=\,\frac{3\,\times \,3\,\times \,5}{5\,\times \,5}\,=\,\frac{9}{5}\,\to\,G$
– $\frac{49}{30}\,=\,\frac{7\,\times \,7}{2\,\times \,3\,\times \,5}\,=\,\frac{7}{3}\,\to\,N$
– $\frac{49}{81}\,=\,\frac{7\,\times \,7}{9\,\times \,9}\,=\,\frac{7}{9}\,\to\,U$
– $\frac{48}{36}\,=\,\frac{2\,\times \,2\,\times \,2\,\times \,2}{6\,\times \,6}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,T$
– $\frac{36}{63}\,=\,\frac{6\,\times \,6}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{4}{7}\,\to\,T$

– $\frac{54}{42}\,=\,\frac{3\,\times \,9}{2\,\times \,3\,\times \,3}\,=\,\frac{3}{1}\,\to\,F$
– $\frac{30}{49}\,=\,\frac{5\,\times \,6}{7\,\times \,7}\,=\,\frac{6}{7}\,\to\,M$
– $\frac{81}{63}\,=\,\frac{9\,\times \,9}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{9}{7}\,\to\,Q$
– $\frac{63}{64}\,=\,\frac{7\,\times \,9}{4\,\times \,4\,\times \,4}\,=\,\frac{12}{13}\,\to\,\,R$
– $\frac{40}{36}\,=\,\frac{5\,\times \,8}{6\,\times \,6}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,T$
– $\frac{36}{42}\,=\,\frac{2\,\times \,3\,\times \,3\,\times \,3}{2\,\times \,3\,\times \,3\,\times \,3}\,\,=\,\frac{1}{1}\,\to\,P$
– $\frac{42}{64}\,=\,\frac{2\,\times \,3\,\times \,7}{8\,\times \,8}\,=\,\frac{3}{4}\,\to\,U$
– $\frac{54}{42}\,=\,\frac{3\,\times \,3\,\times \,3}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{27}{21}\,\to\,L$
– $\frac{56}{36}\,=\,\frac{7\,\times \,8}{6\,\times \,6}\,=\,\frac{4}{3}\,\to\,I$
– $\frac{36}{63}\,=\,\frac{2\,\times \,3\,\times \,3\,\times \,9}{7\,\times \,9}\,=\,\frac{6}{7}\,\to\,M$

En transposant les lettres :

– $\frac{56%2F81%2F64%2F30%2F40%2F81%2F64%2F81%2F35%2F36%2F49%2F63%2F63%2F81}\,\to\,U%2FT%2FD%2FM%2FO%2FU%2FU$
– $\frac{48%2F49%2F72%2F54%2F81%2F63%2F64%2F36%2F45%2F25%2F49%2F30%2F49%2F81%2F48%2F36}\,\to\,O\,%2FA%2FG\,%2FT\,%2FE\,%2FL$
– $\frac{54%2F42%2F30%2F49%2F81%2F63%2F64%2F40%2F36%2F42%2F64%2F54%2F42%2F56%2F36%2F63}\,\to\,F%2FR%2FO%2FF%2F4%2F3%2F1%2F2%2F4%2FT%2FT%2FN%2FF%2FM%0D%0A%0D%0ALes\,lettres\,forment\,le\,message%3A\,%0D%0A%0D%0A%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2522QU%25E2%2580%2599EST%2520LE%2520GSM%2520MATH1%252FTI%253F%2522%2522%22\,alt=%22%22QU%E2%80%99EST\,LE\,GSM\,MATH1%2FTI%3F%22%22%22\,align=%22absmiddle%22\,%2F>%0D%0A%0D%0A%3Cbr%2F>%3Cbr%2F>%3Ca\,id=%22exercice-8%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,8\,%3A\,calcul\,mental\,et\,multiplication%3C%2Fspan>%3Cbr%2F>Correction\,de\,l'exercice\,%3A%0D%0A%0D%0A%0D%0A\,\,\,\,%5Ba.%5D\,\(\,20\,\times \,70\,=\,1400$

Exercice 8 : calcul mental et multiplication
Correction de l’exercice :

[a.] \( 20 \times 70 = 1400″ align= »absmiddle » />
[b.] $125\,\times \,80\,=\,10000$
[c.] $25\,\times \,2\,\times \,3\,=\,150$
[d.] $9\,\times \,40\,\times \,5\,=\,1800$
[e.] $4\,\times \,1425\,\times \,250\,\times \,100\,=\,142500000$
[f.] $17\,\times \,25\,\times \,2\,\times \,4\,\times \,5\,\times \,2\,=\,17000$

Exercice 9 : calcul mental

[a.] $80\,\times \,9\,=\,720$
[b.] $70\,\times \,30\,=\,2\%2C100$
[c.] $42\,\times \,200\,=\,8\%2C400$
[d.] $200\,\times \,35\,=\,7\%2C000$

Exercice 10 : calculer des produits

[a.] $190\,\times \,56$
$%0D%0A\,\,\,\,190\,\times \,56\,=\,(19\,\times \,10)\,\times \,56\,=\,19\,\times \,(10\,\times \,56)\,=\,19\,\times \,560\,=\,19\,\times \,(56\,\times \,10)\,=\,(19\,\times \,56)\,\times \,10\,=\,1064\,\times \,10\,=\,10640\,$

[b.] $560\,\times \,1900$
$%0D%0A\,\,\,\,560\,\times \,1900\,=\,(56\,\times \,10)\,\times \,(19\,\times \,100)\,=\,(56\,\times \,19)\,\times \,10\,\times \,100\,=\,1064\,\times \,1000\,=\,1064000$

[c.] $56\,\times \,2\,\times \,19$
$%0D%0A\,\,\,\,56\,\times \,2\,\times \,19\,=\,(56\,\times \,19)\,\times \,2\,=\,1064\,\times \,2\,=\,2128$

[d.] $19\,\times \,25\,\times \,56\,\times \,4$
$%0D%0A\,\,\,\,19\,\times \,25\,\times \,56\,\times \,4\,=\,(19\,\times \,56)\,\times \,(25\,\times \,4)\,=\,1064\,\times \,100\,=\,106400\,$

Exercice 11 : poser des multiplications
$%0D%0Aa.\,\quad\,57\,\times \,4\,=\,228$
$%0D%0Ab.\,\quad\,139\,\times \,5\,=\,695$
$%0D%0Ac.\,\quad\,425\,\times \,35\,=\,14875$
$%0D%0Ad.\,\quad\,728\,\times \,518\,=\,377104$

Explications :

Pour l’exercice \text{a}, nous avons 57 multiplié par 4.
$%0D%0A57\,\times \,4\,=\,(50\,%2B\,7)\,\times \,4\,=\,50\,\times \,4\,%2B\,7\,\times \,4\,=\,200\,%2B\,28\,=\,228$

Pour l’exercice \text{b}, nous avons 139 multiplié par 5.
$%0D%0A139\,\times \,5\,=\,100\,\times \,5\,%2B\,30\,\times \,5\,%2B\,9\,\times \,5\,=\,500\,%2B\,150\,%2B\,45\,=\,695$

Pour l’exercice \text{c}, nous avons 425 multiplié par 35.
Utilisons la décomposition : $35\,=\,30\,%2B\,5$ , donc
$%0D%0A425\,\times \,35\,=\,425\,\times \,(30\,%2B\,5)\,=\,425\,\times \,30\,%2B\,425\,\times \,5$
Calculons chaque terme séparément :
$%0D%0A425\,\times \,30\,=\,425\,\times \,(3\,\times \,10)\,=\,1275\,\times \,10\,=\,12750$
$%0D%0A425\,\times \,5\,=\,2125$
Ainsi,
$%0D%0A425\,\times \,35\,=\,12750\,%2B\,2125\,=\,14875$

Pour l’exercice \text{d}, nous avons 728 multiplié par 518.
Utilisons la décomposition : $518\,=\,500\,%2B\,10\,%2B\,8$ , donc
$%0D%0A728\,\times \,518\,=\,728\,\times \,(500\,%2B\,10\,%2B\,8)\,=\,728\,\times \,500\,%2B\,728\,\times \,10\,%2B\,728\,\times \,8$
Calculons chaque terme séparément :
$%0D%0A728\,\times \,500\,=\,728\,\times \,5\,\times \,100\,=\,3640\,\times \,100\,=\,364000$
$%0D%0A728\,\times \,10\,=\,7280$
$%0D%0A728\,\times \,8\,=\,5824$
Ainsi,
$%0D%0A728\,\times \,518\,=\,364000\,%2B\,7280\,%2B\,5824\,=\,377104$

Exercice 12 : ordre de grandeurs et multiplications
$\mathbf{a.\,\%2C\,708\,\times \,29}$

Calcul de l’ordre de grandeur :
$%0D%0AODG\,=\,700\,\times \,30\,=\,21000$

Calcul exact :
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,708\\%0D%0A\times \,%26\,\,29\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,6372\\%0D%0A%2B\,\,\,\,%26\,14160\,\quad\,(decale\,d'un\,rang)\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,%26\,20532%0D%0A\end{array}$

$\mathbf{b.\,\%2C\,238\,\times \,54}$

Calcul de l’ordre de grandeur :
$%0D%0AODG\,=\,200\,\times \,50\,=\,10000$

Calcul exact :
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,238\\%0D%0A\times \,%26\,\,54\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,952\\%0D%0A%2B\,\,\,\,%26\,11900\,\quad\,(decale\,d'un\,rang)\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,%26\,12852%0D%0A\end{array}$

$\mathbf{c.\,\%2C\,157\,\times \,280}$

Calcul de l’ordre de grandeur :
$%0D%0AODG\,=\,200\,\times \,300\,=\,60000$

Calcul exact :
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,157\\%0D%0A\times \,%26\,\,280\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,1256\\%0D%0A%2B\,\,\,\,%26\,31400\,\quad\,(decale\,de\,deux\,rangs)\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,%26\,43960%0D%0A\end{array}$

$\mathbf{d.\,\%2C\,429\,\times \,306}$

Calcul de l’ordre de grandeur :
$%0D%0AODG\,=\,400\,\times \,300\,=\,120000$

Calcul exact :
$%0D%0A\begin{array}{r}%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,429\\%0D%0A\times \,%26\,\,306\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,\,%26\,2574\\%0D%0A%2B\,\,\,\,%26\,12870\,\quad\,(decale\,d'un\,rang)\\%0D%0A%2B\,\,\,\,%26\,128700\,\quad\,(decale\,de\,deux\,rangs)\\%0D%0A\hline%0D%0A\,\,\,\,\,%26\,131274%0D%0A\end{array}$

Exercice 13 : problème du cinéma
Pour déterminer la recette d’une séance où toutes les places sont prises, nous devons d’abord calculer le nombre total de places dans le cinéma.

Il y a 24 rangées de 37 fauteuils chacune, donc le nombre total de places est :
$%0D%0A24\,\times \,37\,=\,888$

Chaque entrée coûte 7 €, donc la recette totale pour une séance où toutes les places sont prises est :
$%0D%0A888\,\times \,7\,=\,6216\,\%2C\,%E2%82%AC$

Donc, la recette d’une séance où toutes les places sont prises est de 6216 €.

Exercice 14 : liste des multiples

[a.] Les 8 premiers multiples de 9 :
$%0D%0A\,\,9%2C\,18%2C\,27%2C\,36%2C\,45%2C\,54%2C\,63%2C\,72$
[b.] Les 8 premiers multiples de 10 :
$%0D%0A\,\,10%2C\,20%2C\,30%2C\,40%2C\,50%2C\,60%2C\,70%2C\,80$
[c.] Les 8 premiers multiples de 25 :
$%0D%0A\,\,25%2C\,50%2C\,75%2C\,100%2C\,125%2C\,150%2C\,175%2C\,200$

Exercice 15 : suites de nombres
a. Les multiples de 2 sont : $6%2C\,8%2C\,10%2C\,12$ .

b. Les multiples de 4 sont : $8%2C\,12$ .

c. Entoure en rouge les multiples de 3 et en vert les multiples de 5 :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A1\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,13\,\\%0D%0A\hline%0D%0A2\,%26\,\color{red}{6}\,%26\,10\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,%26\,\color{red}{7}\,%26\,11\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\color{green}{4}\,%26\,8\,%26\,\color{green}{12}\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Les multiples de 3 (entourés en rouge) : $6%2C\,9%2C\,12$ .

Les multiples de 5 (entourés en vert) : $5%2C\,10$ .

d. Les nombres entourés à la fois en rouge et en vert sont : Il n’y a aucun nombre qui est à la fois multiple de 3 et 5 dans cette table.

Exercice 16 : diviseurs d’un entier
a. divisibles par 2 :
Les nombres divisibles par 2 sont ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6, ou 8.
$%0D%0A52%2C\,\quad\,125%2C\,\quad\,98%2C\,\quad\,777%2C\,\quad\,403%2C\,\quad\,220$

b. divisibles par 5 :
Les nombres divisibles par 5 sont ceux qui se terminent par 0 ou 5.
$%0D%0A95%2C\,\quad\,307%2C\,\quad\,554%2C\,\quad\,1000%2C\,\quad\,555%2C\,\quad\,893$

c. divisibles par 10 si on leur ajoute 1 :
Les nombres tels que $n\,%2B\,1$ soit divisible par 10 sont ceux dont l’unité est 9.
$%0D%0A69%2C\,\quad\,71%2C\,\quad\,540%2C\,\quad\,999%2C\,\quad\,1001%2C\,\quad\,555$

Exercice 17 : nombres divisibles
Correction de l’exercice :

a. Les nombres divisibles à la fois par 3 et par 4 doivent être divisibles par 12 (car $3\,\times \,4\,=\,12$ ).
$%0D%0A12\,: \,12\,=\,1\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A42\,: \,12\,\approx\,3.5\,\quad\,(non\,divisible)$
$%0D%0A56\,: \,12\,\approx\,4.67\,\quad\,(non\,divisible)$
$%0D%0A84\,: \,12\,=\,7\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A90\,: \,12\,=\,7.5\,\quad\,(non\,divisible)$
$%0D%0A100\,: \,12\,\approx\,8.33\,\quad\,(non\,divisible)$
$%0D%0A420\,: \,12\,=\,35\,\quad\,(divisible)$

Les nombres divisibles à la fois par 3 et 4 sont donc : 12, 84 et 420.

b. Les nombres divisibles à la fois par 4 et par 7 doivent être divisibles par 28 (car $4\,\times \,7\,=\,28$ ).
$%0D%0A56\,: \,28\,=\,2\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A84\,: \,28\,=\,3\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A140\,: \,28\,=\,5\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A420\,: \,28\,=\,15\,\quad\,(divisible)$

Les nombres divisibles à la fois par 4 et 7 sont donc : 56, 84, 140 et 420.

c. Les nombres divisibles à la fois par 3 et par 7 doivent être divisibles par 21 (car $3\,\times \,7\,=\,21$ ).
$%0D%0A42\,: \,21\,=\,2\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A84\,: \,21\,=\,4\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A420\,: \,21\,=\,20\,\quad\,(divisible)$

Les nombres divisibles à la fois par 3 et 7 sont donc : 42, 84 et 420.

d. Les nombres divisibles à la fois par 3, 4 et 7 doivent être divisibles par 84 (car $PPCM(3%2C\,4%2C\,7)\,=\,84$ ).
$%0D%0A84\,: \,84\,=\,1\,\quad\,(divisible)$
$%0D%0A420\,: \,84\,=\,5\,\quad\,(divisible)$

Les nombres divisibles à la fois par 3, 4 et 7 sont donc : 84 et 420.

Exercice 18 : problème du fleuriste
a. Pour savoir combien de bouquets le fleuriste peut faire, chacun composé de la même manière avec toutes ses fleurs, il faut déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de (nombre de marguerites) et (nombre de tulipes).

En décomposant ces nombres en facteurs premiers:
$30\,=\,2\,\times \,3\,\times \,5$
$24\,=\,2^3\,\times \,3$

Le PGCD de et est :
$PGCD(30%2C\,24)\,=\,2\,\times \,3\,=\,6$

Le fleuriste peut donc faire bouquets exactement identiques.

Pour déterminer le nombre de bouquets différents qu’il pourrait faire, il faut considérer tous les diviseurs communs de et :
Les diviseurs communs sont $%5B1%2C\,2%2C\,3%2C\,6%5D$ .

Ainsi, le fleuriste peut faire , , ou bouquets identiques avec toutes ses fleurs.

b. Pour faire le maximum de bouquets, le fleuriste choisit .

La composition de chaque bouquet est alors :
$\frac{30\,\,marguerites}{6\,\,bouquets}\,=\,5\,\,marguerites\,par\,bouquet$
$\frac{24\,\,tulipes}{6\,\,bouquets}\,=\,4\,\,tulipes\,par\,bouquet$

Donc, chaque bouquet contiendra marguerites et tulipes.

Exercice 19 : problème du partage équitable
Pour diviser équitablement les 25 billes entre les trois enfants :

a. Le nombre de billes que chacun doit recevoir se calcule en divisant le total des billes par le nombre d’enfants.
$\frac{25}{3}\,=\,8\,\%2C\,billes.$

Cependant, 25 n’est pas divisible par 3 de manière entière. Par conséquent, chaque enfant reçoit 8 billes et il restera des billes.

b. Pour trouver le nombre de billes restantes :
$25\,-\,(3\,\times \,8)\,=\,25\,-\,24\,=\,1\,\%2C\,bille.$

Chaque enfant reçoit 8 billes et il restera 1 bille.

Exercice 20 : effectuer les divisions
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

### Partie a.

Complétons la table des multiples de 15 :
$%0D%0A\begin{array}{ll}%0D%0A15\,\times \,1\,%26\,=\,15\,\\%0D%0A15\,\times \,2\,%26\,=\,30\,\\%0D%0A15\,\times \,3\,%26\,=\,45\,\\%0D%0A15\,\times \,4\,%26\,=\,60\,\\%0D%0A15\,\times \,5\,%26\,=\,75\,\\%0D%0A15\,\times \,6\,%26\,=\,90\,\\%0D%0A15\,\times \,7\,%26\,=\,105\,\\%0D%0A15\,\times \,8\,%26\,=\,120\,\\%0D%0A15\,\times \,9\,%26\,=\,135\,\\%0D%0A\end{array}$

Effectuons les divisions indiquées :
1. $686\,: \,15$

Mettons en place la division :
$%0D%0A\,\,\,\begin{array}{rl}%0D%0A\,\,\,\,%26\,4\,\\%0D%0A\,\,\,\,15\,\%2C\,%26\,686\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,60\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,86\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,75\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,11\,\\%0D%0A\,\,\,\,\end{array}$

Résultat : $686\,: \,15\,=\,45$ avec un reste de .

2. $1515\,: \,15$

Mettons en place la division :
$%0D%0A\,\,\,\begin{array}{rl}%0D%0A\,\,\,\,%26\,101\,\\%0D%0A\,\,\,\,15\,\%2C\,%26\,1515\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,15\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,00\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,\end{array}$

Résultat : $1515\,: \,15\,=\,101$ .

### Partie b.

Complétons la table des multiples de 21 :
$%0D%0A\begin{array}{ll}%0D%0A21\,\times \,1\,%26\,=\,21\,\\%0D%0A21\,\times \,2\,%26\,=\,42\,\\%0D%0A21\,\times \,3\,%26\,=\,63\,\\%0D%0A\end{array}$

Effectuons les divisions indiquées :
1. $27294\,: \,21$

Mettons en place la division :
$%0D%0A\,\,\,\begin{array}{rl}%0D%0A\,\,\,\,%26\,1304\,\\%0D%0A\,\,\,\,21\,\%2C\,%26\,27294\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,21\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,629\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,63\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,00\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,\end{array}$

Résultat : $27294\,: \,21\,=\,1304$ .

2. $2121\,: \,21$

Mettons en place la division :
$%0D%0A\,\,\,\begin{array}{rl}%0D%0A\,\,\,\,%26\,101\,\\%0D%0A\,\,\,\,21\,\%2C\,%26\,2121\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,21\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,-\,00\,%26\,\\%0D%0A\,\,\,\,\hline%0D%0A\,\,\,\,%26\,00\,\\%0D%0A\,\,\,\,\end{array}$

Résultat : $2121\,: \,21\,=\,101$ .

Exercice 21 : un trajet de car

Combien d’adultes participent à la sortie ?

$%0D%0A\,\,\,\,Nombre\,d'adultes\,=\,Enseignante\,%2B\,Parents\,d'eleves\,=\,1\,%2B\,2\,=\,3$

Quel est le coût total de la visite ?

$%0D%0A\,\,\,\,Cout\,pour\,un\,adulte\,=\,8\,\%2C\,%E2%82%AC$
$%0D%0A\,\,\,\,Cout\,pour\,un\,enfant\,=\,\frac{8}{2}\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,4\,\%2C\,%E2%82%AC$
$%0D%0A\,\,\,\,Total\,des\,enfants\,(eleves)\,=\,28$
$%0D%0A\,\,\,\,Total\,des\,adultes\,(enseignante\,et\,parents)\,=\,3$
$%0D%0A\,\,\,\,Cout\,total\,=\,(Nombre\,d'adultes\,\times \,Cout\,pour\,un\,adulte)\,%2B\,(Nombre\,d'enfants\,\times \,Cout\,pour\,un\,enfant)$
$%0D%0A\,\,\,\,Cout\,total\,=\,(3\,\times \,8)\,%2B\,(28\,\times \,4)\,=\,24\,%2B\,112\,=\,136\,\%2C\,%E2%82%AC$

Quelle est la durée du trajet ?

$%0D%0A\,\,\,\,Duree\,du\,trajet\,=\,Non\,precise\,dans\,le\,texte\,$

Exercice 22 : problème du Box Office
$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASemaine\,%26\,Entrees\,%26\,Cumul\,\\%0D%0A\hline%0D%0A13\,\%2C\,au\,\%2C\,19\,\%2C\,juillet\,\%2C\,2011\,%26\,3\%2C129\%2C485\,%26\,3\%2C129\%2C485\,\\%0D%0A\hline%0D%0A20\,\%2C\,au\,\%2C\,26\,\%2C\,juillet\,\%2C\,2011\,%26\,1\%2C426\%2C486\,%26\,3\%2C129\%2C485\,%2B\,1\%2C426\%2C486\,=\,4\%2C555\%2C971\,\\%0D%0A\hline%0D%0A27\,\%2C\,juillet\,\%2C\,au\,\%2C\,2\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,765\%2C952\,%26\,4\%2C555\%2C971\,%2B\,765\%2C952\,=\,5\%2C321\%2C923\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,\%2C\,au\,\%2C\,9\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,537\%2C708\,%26\,5\%2C321\%2C923\,%2B\,537\%2C708\,=\,5\%2C859\%2C631\,\\%0D%0A\hline%0D%0A10\,\%2C\,au\,\%2C\,16\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,264\%2C579\,%26\,5\%2C859\%2C631\,%2B\,264\%2C579\,=\,6\%2C124\%2C210\,\\%0D%0A\hline%0D%0A17\,\%2C\,au\,\%2C\,23\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,165\%2C322\,%26\,6\%2C124\%2C210\,%2B\,165\%2C322\,=\,6\%2C289\%2C532\,\\%0D%0A\hline%0D%0A24\,\%2C\,au\,\%2C\,30\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,116\%2C077\,%26\,6\%2C289\%2C532\,%2B\,116\%2C077\,=\,6\%2C405\%2C609\,\\%0D%0A\hline%0D%0A31\,\%2C\,aout\,\%2C\,au\,\%2C\,6\,\%2C\,septembre\,\%2C\,2011\,%26\,66\%2C296\,%26\,6\%2C405\%2C609\,%2B\,66\%2C296\,=\,6\%2C471\%2C905\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Donc, la dernière colonne complétée est :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASemaine\,%26\,Entrees\,%26\,Cumul\,\\%0D%0A\hline%0D%0A13\,\%2C\,au\,\%2C\,19\,\%2C\,juillet\,\%2C\,2011\,%26\,3\%2C129\%2C485\,%26\,3\%2C129\%2C485\,\\%0D%0A\hline%0D%0A20\,\%2C\,au\,\%2C\,26\,\%2C\,juillet\,\%2C\,2011\,%26\,1\%2C426\%2C486\,%26\,4\%2C555\%2C971\,\\%0D%0A\hline%0D%0A27\,\%2C\,juillet\,\%2C\,au\,\%2C\,2\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,765\%2C952\,%26\,5\%2C321\%2C923\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3\,\%2C\,au\,\%2C\,9\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,537\%2C708\,%26\,5\%2C859\%2C631\,\\%0D%0A\hline%0D%0A10\,\%2C\,au\,\%2C\,16\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,264\%2C579\,%26\,6\%2C124\%2C210\,\\%0D%0A\hline%0D%0A17\,\%2C\,au\,\%2C\,23\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,165\%2C322\,%26\,6\%2C289\%2C532\,\\%0D%0A\hline%0D%0A24\,\%2C\,au\,\%2C\,30\,\%2C\,aout\,\%2C\,2011\,%26\,116\%2C077\,%26\,6\%2C405\%2C609\,\\%0D%0A\hline%0D%0A31\,\%2C\,aout\,\%2C\,au\,\%2C\,6\,\%2C\,septembre\,\%2C\,2011\,%26\,66\%2C296\,%26\,6\%2C471\%2C905\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 23 : problème de melons
a. Quelle est la production de melons dans le reste de la France ?

La production totale de melons en France est de 267 712 tonnes.
La production dans le Sud-Est est de 107 412 tonnes, dans le Centre-Ouest de 92 461 tonnes et dans le Sud-Ouest de 66 665 tonnes.

La production dans le reste de la France se calcule comme suit :

$%0D%0A267\,712\,-\,(107\,412\,%2B\,92\,461\,%2B\,66\,665)\,=\,267\,712\,-\,266\,538\,=\,1\,174\,\,tonnes$

La production de melons dans le reste de la France est donc de 1 174 tonnes.

b. La consommation de melons en France est de 4 kg par personne et par an. Calcule la consommation annuelle, en tonnes, des 60 millions de consommateurs que compte la France.

La consommation annuelle en tonnes est donnée par:

$%0D%0AConsommation\,annuelle\,en\,tonnes\,=\,(\,\frac{Consommation\,par\,personne\,en\,kg}{1000\,\,kg%2Ftonne}\,)\,\times \,Nombre\,de\,consommateurs$

$%0D%0AConsommation\,annuelle\,en\,tonnes\,=\,(\,\frac{4}{1000}\,)\,\times \,60\,000\,000\,=\,0.004\,\times \,60\,000\,000\,=\,240\,000\,\,tonnes$

La consommation annuelle totale de melons des 60 millions de consommateurs en France est donc de 240 000 tonnes.

Exercice 24 : problème du livre
Dans l’exercice, on nous indique qu’il y a 10 mots par ligne et 22 lignes par page dans le livre. Donc, pour calculer le nombre de mots par page, on multiplie le nombre de mots par ligne par le nombre de lignes par page :

$%0D%0A10\,\,mots%2Fligne\,\times \,22\,\,lignes%2Fpage\,=\,220\,\,mots%2Fpage$

Ensuite, pour calculer le nombre total de mots dans le livre selon le nombre de pages, on multiplie le nombre de mots par page par le nombre de pages dans le livre.

Pour un livre de 300 pages :

$%0D%0A220\,\,mots%2Fpage\,\times \,300\,\,pages\,=\,66\%2C000\,\,mots$

Pour un livre de 250 pages :

$%0D%0A220\,\,mots%2Fpage\,\times \,250\,\,pages\,=\,55\%2C000\,\,mots$

Pour un livre de 200 pages :

$%0D%0A220\,\,mots%2Fpage\,\times \,200\,\,pages\,=\,44\%2C000\,\,mots$

Donc, pour résumer :

– Un livre de 300 pages comporte $66\%2C000$ mots.
– Un livre de 250 pages comporte $55\%2C000$ mots.
– Un livre de 200 pages comporte $44\%2C000$ mots.

Exercice 25 : problème d’argent de poche
Supposons que soit le nombre de jeux que Freesper peut acheter.

La console coûte 79 €, et chaque jeu coûte 15 €.

L’argent total disponible est de 157 €. L’inéquation représentant la situation est donc :

$79\,%2B\,15x\,\leq\,\,157$

Résolvons cette inéquation pour :

$15x\,\leq\,\,157\,-\,79$
$15x\,\leq\,\,78$
$x\,\leq\,\,\frac{78}{15}$
$x\,\leq\,\,5.2$

Puisque doit être un nombre entier, le plus grand entier qui satisfait cette inégalité est $x\,=\,5$ .

Freesper peut donc acheter au maximum 5 jeux.

Exercice 26 : problème du bibliothécaire
a. L’achat des 18 livres va lui coûter :

$%0D%0A18\,\,livres\,\times \,9\,\,%E2%82%AC\,par\,livre\,=\,18\,\times \,9\,=\,162\,\,%E2%82%AC$

b. Il lui reste :

$%0D%0A230\,\,%E2%82%AC\,-\,162\,\,%E2%82%AC\,=\,68\,\,%E2%82%AC$

Elle peut maintenant acheter des posters avec l’argent restant. Un poster coûte 8 €.

Nombre de posters qu’elle peut acheter :

$%0D%0A\lfloor\,\frac{68}{8}\,\rfloor\,=\,8$

Il lui reste donc :

$%0D%0A68\,\,%E2%82%AC\,-\,(8\,\,posters\,\times \,8\,\,%E2%82%AC\,par\,poster)\,=\,68\,-\,64\,=\,4\,\,%E2%82%AC$

En conclusion, après l’achat des livres et des posters, il lui reste 4 €.

Exercice 27 : problème de la camionnette
a. Écrivons un calcul en ligne pour déterminer la masse en kg d’une caisse.

La masse totale des 15 caisses est donnée par la différence entre la masse de la camionnette chargée et la masse de la camionnette à vide:

$3\%2C000\%2Ckg\,-\,1\%2C815\%2Ckg\,=\,1\%2C185\%2Ckg$

La masse d’une caisse est alors:

$\frac{1\%2C185\%2Ckg}{15}$

b. Calculons la masse en kg d’une caisse.

$\frac{1\%2C185\%2Ckg}{15}\,=\,79\%2Ckg$

Donc, la masse d’une caisse est $79\%2C\,kg$ .

Exercice 28 : problème de la voiture
a. Calculons le prix total à payer avec chaque option.

Pour la première option (60 mensualités de 144 €) :
$%0D%0A60\,\,mensualites\,\times \,144\,\,%E2%82%AC\,=\,60\,\times \,144\,=\,8640\,\,%E2%82%AC$

Pour la deuxième option (36 mensualités de 231 €) :
$%0D%0A36\,\,mensualites\,\times \,231\,\,%E2%82%AC\,=\,36\,\times \,231\,=\,8316\,\,%E2%82%AC$

b. Calculons le coût du crédit pour chaque option.
Sachant que le prix initial de la voiture est de 7 800 €, le coût du crédit est la différence entre le prix total payé et le prix initial de la voiture.

Pour la première option :
$%0D%0A8640\,\,%E2%82%AC\,-\,7800\,\,%E2%82%AC\,=\,840\,\,%E2%82%AC$

Pour la deuxième option :
$%0D%0A8316\,\,%E2%82%AC\,-\,7800\,\,%E2%82%AC\,=\,516\,\,%E2%82%AC$

Ainsi, le crédit coûte 840 € pour la première option et 516 € pour la deuxième option.

Exercice 29 : problème de la construction d’une maison
Nous savons qu’une brouette contient 85 litres de terre. Ils ont utilisé 520 brouettes pour évacuer toute la terre.

Quantité totale de terre évacuée :

$%0D%0AQ\,=\,520\,\,brouettes\,\times \,85\,\,litres%2Fbrouette$

Calculons :

$%0D%0AQ\,=\,520\,\times \,85\,=\,44200\,\,litres$

La quantité de terre évacuée est donc de litres.

Exercice 30 : les restaurants du coeur en Bourgogne
Pour compléter le tableau, il faut additionner les valeurs de chaque colonne pour chaque département afin d’obtenir les totaux pour la région Bourgogne. Voici les calculs :

Pour les bénévoles :

$587\,%2B\,367\,%2B\,661\,%2B\,278\,=\,1893$