Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère à imprimer à télécharger en PDF

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Sommaire

Le produit scalaire dans le plan à travers un cours de maths en 1ère avec les définitions et propriétés ainsi que le projeté orthogonal. L’élève devra connaître les propriétés de linéarité du produit scalaire ainsi que sa symétrie. Déterminer si des vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux, puis, déterminer des équations de droits à l’aide du produit scalaire en première.

À retenir : Le produit scalaire de deux vecteurs vaut $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$, où $\theta$ est leur angle. En repère orthonormé, il vaut $xx’ + yy’$. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(3 ; -2)$ donnent $6 – 6 = 0$. Cette égalité des deux écritures du produit scalaire sert à calculer des angles et à prouver des perpendicularités.

I. Norme d’un vecteur

De même, propriétés :

Soit $\vec{u} – produit scalaire$ un vecteur de coordonnées ( ; ) dans une base orthonormée du plan.

a. On appelle norme du vecteur $\vec{u} – produit scalaire$ , notée $||\vec{u}|| – produit scalaire$ , le nombre $||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2} – produit scalaire$ .

b. Si est un nombre réel, alors $||k\vec{u}||=\left\,|\,k\,\right\,|\times||\vec{u}|| – produit scalaire$ .

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

Définition :

Soient $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ deux vecteurs non nuls de représentants respectifs $\vec{AB} – produit scalaire$ et $\vec{CD} – produit scalaire$ .
Les vecteurs $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On note dans ce cas $\vec{u}\perp\,\vec{v} – produit scalaire$ .

Remarque :

La définition ne dépend pas des représentants des vecteurs.
En effet, Si $\vec{AB}\,=\vec{A'B'} – produit scalaire$ et $\vec{CD}\,=\vec{C'D'} – produit scalaire$ et que $(AB)\perp\,(CD) – produit scalaire$ alors $(A'B')\perp\,(C'D') – produit scalaire$ .

III.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ .

Le produit scalaire de $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ , noté $\vec{u}.\vec{v} – produit scalaire$ , est défini par :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\,\vec{u}+\vec{v\,}||^2-||\,\vec{u}\,||^2-||\,\vec{v}\,||^2) – produit scalaire$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Également, propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ .

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\vec{u}$ ;

Nous avons $||\,\vec{u}\,||^2=\vec{u}.\vec{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u};\vec{v})=\pm\,\frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

IV.Produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soient $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ .Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par la formule suivante :

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ .

V. Propriétés algébriques du produit scalaire

Puis, propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}$ .
En particuliers, $(-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$||\,\vec{u}+\vec{v\,}\,||^2=(\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2+2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$||\,\vec{u}-\vec{v\,}|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2-2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v\,}||^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

VI.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\,cos(\vec{u};\vec{v})$ .
$\vec{AB}.\vec{AC}=\,AB\,\times\,AC\,\times\,cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors :

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens.
$\vec{u}.\vec{v}=-||\vec{u}||\times||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des sens contraires.

Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Produit scalaire (Wikipédia) (Wikipédia).

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I. Norme d’un vecteur

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

III.Définition du produit scalaire et orthogonalité

IV.Produit scalaire et coordonnées

V. Propriétés algébriques du produit scalaire

VI.Autres expressions du produit scalaire

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