Corrigé des 32 exercices sur les fractions en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ensuite, les dénominateurs sont égaux : on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{3}{5} + \frac{6}{5} = \frac{3 + 6}{5} = \mathbf{\frac{9}{5}} \\ B &= \frac{7}{9} – \frac{2}{9} = \frac{7 – 2}{9} = \mathbf{\frac{5}{9}} \\ C &= \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \mathbf{\frac{7}{10}} \\ D &= \frac{8}{13} – \frac{3}{13} = \mathbf{\frac{5}{13}} \end{aligned} \]

Ainsi, un dénominateur est multiple de l’autre : on transforme la fraction qui a le plus petit dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{2}{3} – \frac{1}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}} \\ B &= \frac{2}{3} + \frac{7}{30} = \frac{20}{30} + \frac{7}{30} = \frac{27}{30} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \mathbf{\frac{9}{10}} \\ C &= \frac{17}{18} – \frac{1}{6} = \frac{17}{18} – \frac{3}{18} = \frac{14}{18} = \mathbf{\frac{7}{9}} \\ D &= \frac{1}{21} + \frac{2}{3} = \frac{1}{21} + \frac{14}{21} = \frac{15}{21} = \mathbf{\frac{5}{7}} \end{aligned} \]

Par conséquent, pour A, 24 est un multiple de 6 (\( 6 \times 4 \)) et de 4 (\( 4 \times 6 \)) : on écrit tout sur 24.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{1}{6} + \frac{3}{4} – \frac{7}{24} = \frac{4}{24} + \frac{18}{24} – \frac{7}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \mathbf{\frac{5}{8}} \end{aligned} \]

De plus, pour B, 18 est un multiple de 3 et de 9 : on écrit tout sur 18.

\[ \begin{aligned} B &= \frac{2}{3} – \frac{7}{18} + \frac{2}{9} = \frac{12}{18} – \frac{7}{18} + \frac{4}{18} = \frac{9}{18} = \mathbf{\frac{1}{2}} \end{aligned} \]

De même, un entier s’écrit comme une fraction de même dénominateur : \( 7 = \frac{14}{2} \), \( 4 = \frac{12}{3} \), etc.

\[ \begin{aligned} A &= 7 + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{15}{2}} \\ B &= 4 – \frac{1}{3} = \frac{12}{3} – \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{11}{3}} \\ C &= \frac{3}{4} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \mathbf{\frac{15}{4}} \\ D &= \frac{15}{7} – 2 = \frac{15}{7} – \frac{14}{7} = \mathbf{\frac{1}{7}} \end{aligned} \]

Ensuite, pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{5}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 1}{4 \times 3} = \mathbf{\frac{5}{12}} \\ B &= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \mathbf{\frac{3}{8}} \\ C &= \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100} = 0{,}21 \\ D &= \frac{5}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{7 \times 3} = \mathbf{\frac{20}{21}} \end{aligned} \]

Par ailleurs, aucune de ces fractions ne peut se simplifier.

Enfin, il faut d’abord compter en combien de parts égales est partagée chaque figure :

• le disque est partagé en 2 : on colorie 1 demi-disque ;
• le rectangle est partagé en 8 bandes : \( \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \), on colorie 4 bandes ;
• le segment est partagé en 6 morceaux : on en colorie 2 ;
• le pavé contient \( 4 \times 3 = 12 \) cubes : \( \frac{3}{6} = \frac{6}{12} \), on colorie 6 cubes.

Ensuite, N’importe quelles parts conviennent, pourvu que leur nombre soit le bon.

Ainsi, on quadrille le carré : les traits verticaux le partagent en largeurs 2, 1, 1, 2 et les traits horizontaux en trois bandes de hauteur 2. Par ailleurs, le carré mesure donc 6 carreaux sur 6, soit 36 carreaux.

• Pièce 1 : triangle rectangle de côtés 2 et 6, aire \( \frac{2 \times 6}{2} = 6 \) carreaux, soit \( \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}} \) de la figure.
• Pièce 2 : rectangle \( 1 \times 2 = 2 \) carreaux, soit \( \frac{2}{36} = \mathbf{\frac{1}{18}} \) de la figure.
• Pièce 3 : rectangle \( 2 \times 6 = 12 \) carreaux, soit \( \frac{12}{36} = \mathbf{\frac{1}{3}} \) de la figure.
• Une quatrième pièce hachurée, sans numéro (en haut, à droite de la pièce 2), mesure aussi \( 1 \times 2 = 2 \) carreaux.

Enfin, ensemble des pièces hachurées : \( 6 + 2 + 12 + 2 = 22 \) carreaux, soit \( \frac{22}{36} = \frac{11}{18} \).

De plus, nombre total d’animaux : \( 3 + 4 + 7 + 3 = 17 \). Nombre de poules : \( 3 + 7 = 10 \).

• Il y a 3 oies sur 17 animaux : \( \frac{3}{17} \) des animaux sont des oies.
• Il y a 10 poules sur 17 animaux : \( \frac{10}{17} \) des animaux sont des poules.
• Il y a 3 poules blanches sur 10 poules : \( \frac{3}{10} \) des poules sont blanches.

Ainsi, attention au dernier cas : le « tout » n’est plus l’ensemble des animaux mais seulement les poules.

Par conséquent, on cherche par quel nombre on a multiplié (ou divisé) et on fait de même en haut et en bas.

\[ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \quad \frac{7}{6} = \frac{14}{12} \quad \frac{5}{4} = \frac{15}{12} \quad \frac{2}{7} = \frac{18}{63} \quad \frac{9}{2} = \frac{18}{4} \]

De plus, par exemple, \( 12 = 2 \times 6 \) donc \( \frac{5}{2} = \frac{5 \times 6}{2 \times 6} = \frac{30}{12} \) ; et \( 18 = 2 \times 9 \) donc \( \frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63} \).

\[ \frac{6}{5} = \frac{18}{15} \qquad \frac{3}{11} = \frac{18}{66} \]

Ainsi, chaîne de \( \frac{4}{3} \) : \( 12 = 4 \times 3 \), \( 8 = 4 \times 2 \), \( 21 = 3 \times 7 \), \( 40 = 4 \times 10 \), \( 1{,}6 = 4 \times 0{,}4 \), \( 111 = 3 \times 37 \).

\[ \frac{4}{3} = \frac{12}{9} = \frac{8}{6} = \frac{28}{21} = \frac{40}{30} = \frac{1{,}6}{1{,}2} = \frac{148}{111} \]

Enfin, chaîne de \( \frac{7}{6} \) : \( 18 = 6 \times 3 \), \( 98 = 7 \times 14 \), \( 14 = 7 \times 2 \), \( 102 = 6 \times 17 \), \( 3 = 6 \times 0{,}5 \).

\[ \frac{7}{6} = \frac{21}{18} = \frac{98}{84} = \frac{14}{12} = \frac{119}{102} = \frac{3{,}5}{3} \]

\[ \begin{aligned} a)\ & 35 = 5 \times 7 \text{ donc } \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \mathbf{\frac{14}{35}} \\ b)\ & 20 = 4 \times 5 \text{ donc } \frac{4}{3} = \frac{4 \times 5}{3 \times 5} = \mathbf{\frac{20}{15}} \\ c)\ & 28 = 4 \times 7 \text{ donc } \frac{11}{4} = \frac{11 \times 7}{4 \times 7} = \mathbf{\frac{77}{28}} \end{aligned} \]

Par ailleurs, pour prendre une fraction d’une quantité, on divise la quantité par le dénominateur (on obtient une part), puis on multiplie par le numérateur (on prend le nombre de parts voulu). Quand c’est possible, on simplifie d’abord la fraction.

a. Ensuite, on a \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) : on prend la moitié de 200 L.

\[ \frac{2}{4} \times 200 = \frac{1}{2} \times 200 = 200 : 2 = 100 \text{ L} \]

b. Par conséquent, un cinquième de 40 kg vaut \( 40 : 5 = 8 \text{ kg} \), donc deux cinquièmes valent :

\[ \frac{2}{5} \times 40 = (40 : 5) \times 2 = 8 \times 2 = 16 \text{ kg} \]

c. De plus, un huitième de 5,60 € vaut \( 5{,}60 : 8 = 0{,}70 \) €, donc :

\[ \frac{7}{8} \times 5{,}60 = (5{,}60 : 8) \times 7 = 0{,}70 \times 7 = 4{,}90 \text{ €} \]

d. Ainsi, un douzième de 8,4 km vaut \( 8{,}4 : 12 = 0{,}7 \) km. Puis la fraction \( \frac{13}{12} \) est plus grande que 1 : on obtient plus que 8,4 km.

\[ \frac{13}{12} \times 8{,}4 = (8{,}4 : 12) \times 13 = 0{,}7 \times 13 = 9{,}1 \text{ km} \]

Par conséquent, on traduit chaque expression par une fraction, puis on calcule « quantité divisée par le dénominateur, multipliée par le numérateur ».

a. De plus, la moitié, c’est \( \frac{1}{2} \) :

\[ \frac{1}{2} \times 2\,800 = 2\,800 : 2 = 1\,400 \]

b. Ainsi, les deux septièmes, c’est \( \frac{2}{7} \) :

\[ \frac{2}{7} \times 35 = (35 : 7) \times 2 = 5 \times 2 = 10 \]

c. Enfin, les sept quarts, c’est \( \frac{7}{4} \) :

\[ \frac{7}{4} \times 2{,}8 = (2{,}8 : 4) \times 7 = 0{,}7 \times 7 = 4{,}9 \]

d. Ensuite, les trois dixièmes, c’est \( \frac{3}{10} \) :

\[ \frac{3}{10} \times 7{,}5 = (7{,}5 : 10) \times 3 = 0{,}75 \times 3 = 2{,}25 \]

e. Par ailleurs, le sixième, c’est \( \frac{1}{6} \) :

\[ \frac{1}{6} \times 36 = 36 : 6 = 6 \]

Enfin, un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : \( 12\,\% = \frac{12}{100} \). Prendre 12 % d’un nombre, c’est donc le multiplier par \( \frac{12}{100} \), c’est-à-dire par 0,12.

a.

\[ 12\,\% \text{ de } 21 = \frac{12}{100} \times 21 = \frac{252}{100} = 2{,}52 \]

b. Ensuite, on a 120 % est plus que 100 % : le résultat dépasse 36.

\[ 120\,\% \text{ de } 36 = \frac{120}{100} \times 36 = 1{,}2 \times 36 = 43{,}2 \]

c. Ainsi, on trouve 200 %, c’est \( \frac{200}{100} = 2 \) : on double le nombre.

\[ 200\,\% \text{ de } 7{,}52 = 2 \times 7{,}52 = 15{,}04 \]

d. Enfin, trois pour cent, c’est 3 % :

\[ 3\,\% \text{ de } 240 = \frac{3}{100} \times 240 = \frac{720}{100} = 7{,}2 \]

e. Ensuite, trente pour cent, c’est 30 % :

\[ 30\,\% \text{ de } 12{,}4 = \frac{30}{100} \times 12{,}4 = 0{,}3 \times 12{,}4 = 3{,}72 \]

Ainsi, les pièces n’ont pas toutes la même taille : on exprime chaque pièce coloriée comme fraction du grand carré, puis on additionne en mettant au même dénominateur.

Enfin, figure 1. Le carré est partagé en 4 quarts.

• Le quart en haut à droite est entièrement colorié : \( \frac{1}{4} \).
• Le quart en bas à gauche est coupé par une diagonale ; un des deux triangles est colorié : la moitié d’un quart, soit \( \frac{1}{8} \).
• Le quart en bas à droite est coupé par ses deux diagonales en 4 triangles égaux ; un seul est colorié : \( \frac{1}{4} \) d’un quart, soit \( \frac{1}{16} \).

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16} \]

Ensuite, figure 2. Le carré est partagé en 3 bandes horizontales de même hauteur.

• La bande du haut est coloriée : \( \frac{1}{3} \).
• La bande du milieu est coupée en 2 ; la moitié gauche est coloriée : \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).
• La bande du bas est coupée en 3 ; un rectangle est colorié : \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{6}{18} + \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{11}{18} \]

Par ailleurs, figure 3. Les diagonales et la médiane verticale partent du centre du carré.

• Le grand triangle de gauche a pour sommets deux coins du carré et le centre : c’est \( \frac{1}{4} \) du carré (les deux diagonales découpent le carré en 4 triangles égaux).
• Le triangle en bas à droite est la moitié du triangle du bas (coupé par la médiane verticale) : \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \).
• Le triangle gris de droite est la moitié du triangle « centre, milieu du côté droit, coin en haut à droite », qui vaut lui-même \( \frac{1}{8} \) : il vaut \( \frac{1}{16} \).
• Le petit triangle gris du haut est la moitié d’un petit carré dont le côté vaut le quart du côté du grand carré, et ce petit carré représente \( \frac{1}{16} \) du grand : \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{32} \).

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32} = \frac{15}{32} \]

Enfin, le grand carré est partagé en 3 bandes horizontales de même hauteur, chacune vaut donc \( \frac{1}{3} \) du carré.

• La bande du haut est entièrement grisée : \( \frac{1}{3} \) du carré.
• La bande du milieu est partagée en 2 rectangles égaux, dont un est grisé : \( \frac{1}{2} \text{ de } \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) du carré.
• La bande du bas est partagée en 3 carrés égaux, dont un est grisé : \( \frac{1}{3} \text{ de } \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \) du carré.

Ensuite, on additionne en prenant 18 comme dénominateur commun (18 est un multiple de 3, de 6 et de 9) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} &= \frac{1 \times 6}{3 \times 6} + \frac{1 \times 3}{6 \times 3} + \frac{1 \times 2}{9 \times 2} \\ &= \frac{6}{18} + \frac{3}{18} + \frac{2}{18} \\ &= \frac{11}{18} \end{aligned} \]

Ainsi, on trouve 11 et 18 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

Enfin, pour chaque figure, on compte le nombre de parts égales (le dénominateur), puis le nombre de parts bleues (le numérateur).

• a. Le carré est partagé par ses diagonales en 4 triangles égaux ; 1 est bleu : \( \frac{1}{4} \).
• b. Le disque est partagé en 3 parts égales ; 1 est bleue : \( \frac{1}{3} \).
• c. Le carré est quadrillé en \( 4 \times 4 = 16 \) cases ; 6 sont bleues : \( \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \).
• d. Le disque est partagé en 7 parts égales ; 4 sont bleues : \( \frac{4}{7} \).
• e. L’octogone est partagé en 8 triangles égaux ; 7 sont bleus : \( \frac{7}{8} \).

De plus, une fraction ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Ensuite, le nombre qui manque est donc toujours celui déjà écrit de l’autre côté du trait de fraction.

\[ \begin{aligned} \textbf{a. } \frac{2}{5} &= \frac{2 \times 3}{5 \times \mathbf{3}} = \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{15}} \\ \textbf{b. } \frac{3}{7} &= \frac{3 \times \mathbf{2}}{7 \times 2} = \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{14}} \\ \textbf{c. } \frac{15}{20} &= \frac{15 : \mathbf{5}}{20 : 5} = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}} \\ \textbf{d. } \frac{50}{40} &= \frac{50 : 10}{40 : \mathbf{10}} = \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}} \end{aligned} \]

De même, le quotient \( \frac{a}{b} \) est le nombre \( a : b \). Puis pour le calculer de tête, on sépare la partie entière et on utilise les résultats connus : \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \), \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \), \( \frac{1}{5} = 0{,}2 \).

• a. \( \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 2 + 0{,}25 = \mathbf{2{,}25} \)
• b. \( \frac{13}{2} = \frac{12}{2} + \frac{1}{2} = 6 + 0{,}5 = \mathbf{6{,}5} \)
• c. \( \frac{12}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = 2 + 0{,}4 = \mathbf{2{,}4} \)
• d. \( \frac{37}{5} = \frac{35}{5} + \frac{2}{5} = 7 + 0{,}4 = \mathbf{7{,}4} \)

Par conséquent, autre méthode pour les cinquièmes : on multiplie le haut et le bas par 2 pour obtenir des dixièmes, par exemple \( \frac{37}{5} = \frac{74}{10} = 7{,}4 \).

Par ailleurs, chaque disque, chaque triangle représente une unité. De plus, on compte les parts bleues, puis on regroupe les unités complètes.

a. De même, chaque disque est partagé en 4 quarts. Ensuite, il y a \( 4 + 4 + 1 = 9 \) quarts bleus :

\[ \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} \]

b. Par conséquent, chaque triangle est partagé en 2 moitiés. Par ailleurs, il y a \( 2 + 2 + 1 = 5 \) moitiés bleues :

\[ \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} \]

Par ailleurs, par définition, le quotient \( \frac{a}{b} \) est le nombre qui, multiplié par b, donne a : \( b \times \frac{a}{b} = a \). Puis le nombre manquant est donc une fraction.

• a. \( 7 \times \square = 3 \), donc \( \square = \frac{3}{7} \).
• b. \( \square \times 5 = 8 \), donc \( \square = \frac{8}{5} \) (soit 1,6).
• c. \( \square = 13 : 11 \), donc \( \square = \frac{13}{11} \).
• d. \( 13 \times \square = 11 \), donc \( \square = \frac{11}{13} \).

De même, vérification pour a : \( 7 \times \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3 \). Attention à ne pas confondre c et d : \( \frac{13}{11} \) et \( \frac{11}{13} \) sont deux nombres différents.

Ensuite, sur le quadrillage, l’unité (de 0 à 1) mesure 6 carreaux. Ensuite, un carreau représente donc \( \frac{1}{6} \). Puis on écrit chaque nombre avec le dénominateur 6 : le numérateur donne le nombre de carreaux à compter depuis 0.

• \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \) : 2 carreaux après 0.
• \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \) : 3 carreaux après 0.
• \( \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \) : 8 carreaux, soit 2 carreaux après 1.
• \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \) : 9 carreaux, soit 3 carreaux après 1.
• \( \frac{13}{6} \) : 13 carreaux, soit 1 carreau après 2.
• \( \frac{7}{3} = \frac{14}{6} \) : 14 carreaux, soit 2 carreaux après 2.

Par ailleurs, le point \( \frac{7}{3} \) tombe au-delà de la flèche : il faut donc prolonger la demi-droite, comme le demande l’énoncé.

De même, ordre obtenu sur la droite : \( \frac{1}{3} \lt \frac{1}{2} \lt 1 \lt \frac{4}{3} \lt \frac{3}{2} \lt 2 \lt \frac{13}{6} \lt \frac{7}{3} \).

Ensuite, la copie de Hisham. Sa division est bien posée : 7 divisé par 3 donne 2, reste 1 ; on abaisse un 0 : 10 divisé par 3 donne 3, reste 1 ; puis encore 10, encore 3, reste 1… Le reste 1 revient toujours : la division ne s’arrête jamais et le chiffre 3 se répète sans fin.

Par ailleurs, sa vérification est juste et très utile : \( 2{,}33 \times 3 = 6{,}99 \) et non 7. De plus, elle prouve que 2,33 n’est pas égal à 7/3, c’est seulement une valeur approchée. Hisham a donc raison d’écrire « presque » : sa conclusion est correcte.

De même, la copie de Marie. La calculatrice affiche 2,333333333 parce que son écran n’a qu’un nombre limité de chiffres : elle coupe l’écriture. Ensuite, on vérifie : \( 2{,}333333333 \times 3 = 6{,}999999999 \), qui n’est pas 7. Par ailleurs, le signe « = » écrit par Marie est donc faux : il faudrait écrire \( \frac{7}{3} \approx 2{,}333333333 \).

Par conséquent, conclusion. Le quotient de 7 par 3 n’est pas un nombre décimal : aucune écriture décimale ne lui est exactement égale. Sa valeur exacte s’écrit sous forme de fraction, \( \frac{7}{3} \) ; 2,33 et 2,333333333 n’en sont que des valeurs approchées.

Enfin, on utilise la propriété : on ne change pas une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Puis on cherche d’abord par quoi le dénominateur a été multiplié ou divisé.

• a. \( 45 = 5 \times 9 \), donc \( \frac{8}{5} = \frac{8 \times 9}{5 \times 9} = \mathbf{\frac{72}{45}} \).
• b. \( 15 = 3 \times 5 \), donc \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \mathbf{\frac{10}{15}} \).
• c. \( 18 = 6 \times 3 \), donc \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \mathbf{\frac{3}{18}} \).
• d. \( 3 = 12 \div 4 \), donc \( \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \mathbf{\frac{2}{3}} \).
• e. \( 5 = 10 \div 2 \), donc \( \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \mathbf{\frac{3}{5}} \).
• f. \( 9 = 27 \div 3 \), donc \( \frac{12}{27} = \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \mathbf{\frac{4}{9}} \).

De plus, À chaque étape, on repère par quel nombre le dénominateur (ou le numérateur) connu a été multiplié ou divisé, et on fait la même opération sur l’autre terme.

• a. \( 12 \div 2 = 6 \) donc le numérateur est \( 76 \div 2 = 38 \). Puis \( 38 \div 2 = 19 \) donc le dénominateur est \( 6 \div 2 = 3 \) :
  \[ \frac{76}{12} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \]
• b. \( 100 \div 10 = 10 \) donc le numérateur est \( 50 \div 10 = 5 \). Puis \( 5 \div 5 = 1 \) donc le dénominateur est \( 10 \div 5 = 2 \) :
  \[ \frac{50}{100} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
• c. \( 7 \times 4 = 28 \) donc le dénominateur est \( 5 \times 4 = 20 \). Puis \( 20 \times 5 = 100 \) donc le numérateur est \( 28 \times 5 = 140 \) :
  \[ \frac{7}{5} = \frac{28}{20} = \frac{140}{100} \]
• d. \( 100 \div 4 = 25 \) donc le numérateur est \( 16 \div 4 = 4 \). Puis \( 4 \times 8 = 32 \) donc le dénominateur est \( 25 \times 8 = 200 \) :
  \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = \frac{32}{200} \]

De même, un nombre est divisible par 2 s’il est pair (son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8). Tant que le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, on les divise par 2.

• a. 14 et 36 sont pairs : \( \frac{14}{36} = \frac{14 \div 2}{36 \div 2} = \frac{7}{18} \). 7 est impair : on s’arrête. \( \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \).
• b. 72 et 26 sont pairs : \( \frac{72}{26} = \frac{72 \div 2}{26 \div 2} = \frac{36}{13} \). 13 est impair : on s’arrête. \( \frac{72}{26} = \frac{36}{13} \).
• c. 244 et 104 sont pairs, et le restent une fois divisés par 2 :
  \[ \frac{244}{104} = \frac{122}{52} = \frac{61}{26} \]
  61 est impair : on s’arrête. \( \frac{244}{104} = \frac{61}{26} \) (on a divisé en tout par 4).

Ensuite, un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• a. Pour 66 : \( 6 + 6 = 12 \) ; pour 87 : \( 8 + 7 = 15 \). 12 et 15 sont divisibles par 3 (mais pas par 9) :
  \[ \frac{66}{87} = \frac{66 \div 3}{87 \div 3} = \frac{22}{29} \]
  Pour 22 : \( 2 + 2 = 4 \), qui n’est pas divisible par 3 : on s’arrête. \( \frac{66}{87} = \frac{22}{29} \).
• b. Pour 36 : \( 3 + 6 = 9 \) ; pour 45 : \( 4 + 5 = 9 \). Les deux sont divisibles par 9 :
  \[ \frac{36}{45} = \frac{36 \div 9}{45 \div 9} = \frac{4}{5} \]
  \( \frac{36}{45} = \frac{4}{5} \).
• c. Pour 108 : \( 1 + 0 + 8 = 9 \) ; pour 27 : \( 2 + 7 = 9 \). Les deux sont divisibles par 9 :
  \[ \frac{108}{27} = \frac{108 \div 9}{27 \div 9} = \frac{12}{3} = 4 \]
  Le résultat est un nombre entier : \( \frac{108}{27} = 4 \) (en effet \( 27 \times 4 = 108 \)).

Ainsi, deux dominos se touchent si leurs moitiés en contact portent des fractions égales. Ensuite, on commence donc par simplifier chaque moitié pour reconnaître les égalités :

Domino	Moitié 1	Moitié 2
1	\( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)	\( \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \)
2	\( \frac{35}{28} = \frac{5}{4} \)	\( \frac{2}{3} \)
3	\( \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \)	\( \frac{1}{3} \)
4	\( \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \)	\( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)
5	\( \frac{1}{7} \)	\( \frac{4}{9} \)
6	\( \frac{7}{3} \)	\( \frac{1}{2} \)
7	\( \frac{5}{4} \)	\( \frac{8}{56} = \frac{1}{7} \)
8	\( \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \)	\( \frac{4}{11} \)

Enfin, on part du domino déjà placé, qui se termine par \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \), et on cherche à chaque fois le domino qui contient la fraction égale à la dernière moitié posée (on peut retourner un domino) :

• \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \) : domino 3, qui se termine par \( \frac{1}{3} \) ;
• \( \frac{1}{3} = \frac{3}{9} \) : domino 1, qui se termine par \( \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \) ;
• \( \frac{7}{3} \) : domino 6, qui se termine par \( \frac{1}{2} \) ;
• \( \frac{1}{2} = \frac{10}{20} \) : domino 4 (retourné), qui se termine par \( \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \) ;
• \( \frac{2}{3} \) : domino 2 (retourné), qui se termine par \( \frac{35}{28} = \frac{5}{4} \) ;
• \( \frac{5}{4} \) : domino 7, qui se termine par \( \frac{8}{56} = \frac{1}{7} \) ;
• \( \frac{1}{7} \) : domino 5, qui se termine par \( \frac{4}{9} \) ;
• \( \frac{4}{9} = \frac{12}{27} \) : domino 8, qui termine le circuit par \( \frac{4}{11} \).

Ensuite, À chaque étape, un seul domino contient la fraction cherchée : la solution est donc unique, et chaque domino est utilisé une fois. Puis on suit le circuit dans le sens du chemin (vers la droite, puis vers le bas, vers la gauche, vers le bas et de nouveau vers la droite) :

Par ailleurs, pour créer 10 dominos (deuxième consigne, réponse libre) : on choisit une suite de fractions, par exemple \( \frac{1}{4},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{6}\ldots \), et on écrit chaque fraction sous deux écritures différentes sur deux dominos voisins (\( \frac{1}{4} \) puis \( \frac{3}{12} \), \( \frac{3}{5} \) puis \( \frac{9}{15} \)…), en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre.

Enfin, on multiplie numérateur et dénominateur par le nombre qui transforme le dénominateur en 24 :

• \( A = \frac{1}{2} = \frac{1 \times 12}{2 \times 12} = \mathbf{\frac{12}{24}} \)
• \( B = \frac{4}{6} = \frac{4 \times 4}{6 \times 4} = \mathbf{\frac{16}{24}} \)
• \( C = \frac{4}{3} = \frac{4 \times 8}{3 \times 8} = \mathbf{\frac{32}{24}} \)
• \( D = \frac{3}{12} = \frac{3 \times 2}{12 \times 2} = \mathbf{\frac{6}{24}} \)
• \( E = \frac{8}{24} \) : elle a déjà 24 pour dénominateur, \( E = \frac{8}{24} \).

a. Ensuite, les fractions ont le même dénominateur : elles sont rangées dans le même ordre que leurs numérateurs. Comme \( 6 \lt 8 \lt 12 \lt 16 \lt 32 \) :

\[ \frac{6}{24} \lt \frac{8}{24} \lt \frac{12}{24} \lt \frac{16}{24} \lt \frac{32}{24} \]

b. Par ailleurs, chaque fraction de dénominateur 24 est égale au quotient de départ correspondant, donc D < E < A < B < C :

\[ \frac{3}{12} \lt \frac{8}{24} \lt \frac{1}{2} \lt \frac{4}{6} \lt \frac{4}{3} \]

Enfin, dans chaque cas, les deux fractions ont le même numérateur. Si on partage une même quantité en plus de parts, chaque part est plus petite : de deux quotients de même numérateur, le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur.

• a. \( 4 \lt 7 \), donc \( \frac{9}{4} \gt \frac{9}{7} \).
• b. \( 9 \gt 2 \), donc \( \frac{8}{9} \lt \frac{8}{2} \) (d’ailleurs \( \frac{8}{9} \lt 1 \) et \( \frac{8}{2} = 4 \)).
• c. \( 17 \gt 7 \), donc \( \frac{1}{17} \lt \frac{1}{7} \).
• d. \( 5 \gt 4 \), donc \( \frac{10}{5} \lt \frac{10}{4} \) (on vérifie : \( \frac{10}{5} = 2 \) et \( \frac{10}{4} = 2{,}5 \)).
• e. \( 21 \gt 19 \), donc \( \frac{5{,}5}{21} \lt \frac{5{,}5}{19} \).
• f. \( 3{,}25 \lt 3{,}52 \), donc \( \frac{8{,}2}{3{,}25} \gt \frac{8{,}2}{3{,}52} \).

a. De plus, une chaîne ne peut pas réunir plus que la totalité des téléspectateurs : la fraction doit être inférieure ou égale à 1. Or pour la chaîne C, le numérateur est plus grand que le dénominateur (\( 39 \gt 34 \)), donc \( \frac{39}{34} \gt 1 \) : cela voudrait dire plus de téléspectateurs qu’il n’y en a. La chaîne C ment assurément.

b. Ainsi, on compare \( \frac{7}{17} \) et \( \frac{20}{51} \). Comme \( 51 = 17 \times 3 \), on écrit la première fraction avec le dénominateur 51 :

\[ \frac{7}{17} = \frac{7 \times 3}{17 \times 3} = \frac{21}{51} \]

Enfin, les deux fractions ont maintenant le même dénominateur et \( 21 \gt 20 \), donc \( \frac{21}{51} \gt \frac{20}{51} \), c’est-à-dire \( \frac{7}{17} \gt \frac{20}{51} \). La chaîne A a réalisé la meilleure audience.

De plus, le loyer représente \( \frac{3}{7} \) de 840 € :

\[ \frac{3}{7} \times 840 = (840 \div 7) \times 3 = 120 \times 3 = 360 \text{ €} \]

Ainsi, la nourriture représente \( \frac{1}{4} \) de 840 € :

\[ \frac{1}{4} \times 840 = 840 \div 4 = 210 \text{ €} \]

Enfin, les dépenses s’élèvent à \( 360 + 210 = 570 \) €, donc il reste :

\[ 840 – 570 = 270 \text{ €} \]

Par ailleurs, on a donc Vérification par les fractions : les dépenses représentent \( \frac{3}{7} + \frac{1}{4} = \frac{12}{28} + \frac{7}{28} = \frac{19}{28} \) du revenu, il reste donc \( \frac{9}{28} \) du revenu, et \( \frac{9}{28} \times 840 = (840 \div 28) \times 9 = 30 \times 9 = 270 \) €.

Ainsi, quand les dénominateurs sont différents, on écrit les deux fractions avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

• a. \( \frac{6}{2} = \frac{12}{4} \) et \( 9 \lt 12 \), donc \( \frac{9}{4} \lt \frac{6}{2} \).
• b. \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \) et \( 8 \gt 6 \), donc \( \frac{8}{9} \gt \frac{2}{3} \).
• c. \( \frac{10}{4} = \frac{40}{16} \) et \( 45 \gt 40 \), donc \( \frac{45}{16} \gt \frac{10}{4} \).
• d. \( \frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63} \) et \( 35 \lt 45 \), donc \( \frac{35}{63} \lt \frac{5}{7} \).
• e. \( \frac{3{,}2}{5} = \frac{6{,}4}{10} \) et \( 6{,}4 \gt 6{,}04 \), donc \( \frac{3{,}2}{5} \gt \frac{6{,}04}{10} \).
• f. \( 420 = 210 \times 2 \), donc \( \frac{10}{210} = \frac{20}{420} \) et \( 20 \gt 3 \) : \( \frac{10}{210} \gt \frac{3}{420} \).
• g. \( 36 = 12 \times 3 \), donc \( \frac{0{,}7}{12} = \frac{2{,}1}{36} \) et \( 2{,}1 \lt 2{,}4 \) : \( \frac{0{,}7}{12} \lt \frac{2{,}4}{36} \).
• h. \( 2 \lt 12 \), donc \( \frac{2}{12} \lt 1 \), et \( 1 \lt 6 \) : \( \frac{2}{12} \lt 6 \).