Corrigé des 60 exercices sur la proportionnalité en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Exercice 1. On calcule le quotient « ligne du bas ÷ ligne du haut » dans chaque colonne.

Également, Premier tableau :

\[ \frac{56}{7} = 8 \quad \frac{88}{11} = 8 \quad \frac{104}{13} = 8 \quad \frac{168}{21} = 8 \quad \frac{200}{25} = 8 \]

Par conséquent, Tous les quotients sont égaux : le tableau est proportionnel, de coefficient 8.

En effet, Second tableau :

\[ \frac{29{,}8}{4} = 7{,}45 \quad \frac{52{,}15}{7} = 7{,}45 \quad \frac{62{,}58}{8{,}4} = 7{,}45 \quad \frac{745}{100} = 7{,}45 \]

mais \(12 \times 7{,}45 = 89{,}4\) et non 89. Ensuite, le tableau n’est pas proportionnel (à cause d’une seule colonne).

Par ailleurs, Exercice 2. La colonne complète est 8 → 2,4 : le coefficient vaut \(2{,}4 \div 8 = 0{,}3\).

• \(3{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}96\)
• \(2{,}7 \div 0{,}3 = 9\)
• \(14 \times 0{,}3 = 4{,}2\)
• \(6 \div 0{,}3 = 20\)

Françoise et Georges partent au même moment. Par ailleurs, il suffit donc de comparer les durées de parcours :

• Françoise arrive à l’Arcelle au bout de 5 minutes ;
• Georges arrive au bout de 4 minutes.

Georges arrive donc le premier, une minute avant Françoise.

Remarque : Françoise va pourtant plus vite. Puis elle parcourt \(2\,750 \div 5 = 550\) m par minute, contre \(1\,800 \div 4 = 450\) m par minute pour Georges ; mais sa piste est beaucoup plus longue.

On compare le prix et la durée de ski :

\[ \frac{30}{8} = 3{,}75 \qquad \frac{25{,}50}{5} = 5{,}10 \qquad \frac{22{,}50}{4} = 5{,}625 \]

De plus, Les quotients ne sont pas égaux. Autre façon de le voir : la demi-journée de 4 h est la moitié de la journée de 8 h, mais elle coûte 22,50 € et non 30 ÷ 2 = 15 €.

1. Le nombre de mailles est proportionnel à la largeur.

Pour 1 cm il faut \(14 \div 8 = 1{,}75\) maille, donc pour 36 cm :

\[ 36 \times 1{,}75 = 63 \]

Par ailleurs, Marie a besoin de 63 mailles.

Ainsi, 2. La masse est proportionnelle au volume. Ensuite, un cm³ d’acier pèse \(148 \div 20 = 7{,}4\) g, donc :

\[ 35 \times 7{,}4 = 259 \text{ g} \]

Donc, la règle de 35 cm³ pèse 259 g.

1°) On multiplie la première ligne par 4 pour obtenir la seconde (et on divise par 4 dans l’autre sens).

\[ 6 \div 4 = 1{,}5 \qquad 0 \times 4 = 0 \qquad 15 \times 4 = 60 \qquad 7 \div 4 = 1{,}75 \]

Également, Attention : la colonne déjà remplie « 12 et 4 » ne respecte pas le coefficient 4 (\(12 \times 4 = 48\)). Puis il s’agit très probablement d’une coquille de l’énoncé (on attendrait 1 au-dessus de 4).

Par conséquent, 2°) On calcule les quotients « bas ÷ haut ».

• Tableau 1 : \(2 \div 4 = 0{,}5\), \(3 \div 6 = 0{,}5\), \(4 \div 8 = 0{,}5\) : oui, opérateur \(\times 0{,}5\) (on divise par 2).
• Tableau 2 : \(3 \div 12 = 0{,}25\) mais \(4 \div 13 \approx 0{,}31\) : non.
• Tableau 3 : \(6 \div 2 = 3\), \(9 \div 3 = 3\), \(12 \div 4 = 3\) : oui, opérateur \(\times 3\).

Premier tableau :

\[ \frac{6}{2} = 3 \qquad \frac{9}{3} = 3 \qquad \frac{15}{5} = 3 \]

En effet, Les quotients sont égaux : c’est un tableau de proportionnalité de coefficient 3.

Ensuite, second tableau :

\[ \frac{12}{5} = 2{,}4 \qquad \frac{5}{2} = 2{,}5 \qquad \frac{24}{10} = 2{,}4 \]

De plus, le quotient de la deuxième colonne est différent : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

• Tableau (3 ; 6 ; 9) / (2 ; 4 ; 5) : \(3 \times 3 = 9\) donc, si c’était proportionnel, on aurait \(2 \times 3 = 6\) sous le 9, pas 5. Non proportionnel.
• Tableau (2 ; 5 ; 10 ; 12) / (5 ; 12,5 ; 25 ; 30) : \(5 \div 2 = 2{,}5\), \(12{,}5 \div 5 = 2{,}5\), \(25 \div 10 = 2{,}5\), \(30 \div 12 = 2{,}5\). Proportionnel, coefficient 2,5.
• Tableau (4 ; 6 ; 10) / (2,5 ; 3,75 ; 6) : \(2{,}5 \div 4 = 0{,}625\), \(3{,}75 \div 6 = 0{,}625\) mais \(6 \div 10 = 0{,}6\). Non proportionnel.
• Tableau (1 ; 2 ; 3 ; 4) / (3 ; 4 ; 5 ; 6) : \(3 \div 1 = 3\) mais \(4 \div 2 = 2\). Non proportionnel (on ajoute 2, on ne multiplie pas).

a. Longueur réelle : \(10 \text{ m} = 1\,000 \text{ cm}\). Longueur sur le plan : 20 cm.

Par ailleurs, b. L’échelle est le quotient de la longueur sur le plan par la longueur réelle, dans la même unité :

\[ \frac{20}{1\,000} = \frac{1}{50} \]

1 cm sur le plan représente 50 cm en réalité.

L’échelle est le coefficient par lequel on multiplie les longueurs de la figure de départ :

\[ \frac{6}{4} = 1{,}5 = \frac{3}{2} \]

Ainsi, l’échelle est supérieure à 1 : c’est bien un agrandissement.

On exprime les deux longueurs en centimètres : \(52{,}5 \text{ m} = 5\,250 \text{ cm}\).

\[ \text{échelle} = \frac{\text{longueur sur la maquette}}{\text{longueur réelle}} = \frac{21}{5\,250} = \frac{1}{250} \]

En effet \(5\,250 \div 21 = 250\) : 1 cm sur la maquette représente 250 cm, soit 2,5 m, sur le vrai bateau.

L’échelle d’une carte est le quotient « distance sur la carte ÷ distance réelle », les deux distances étant exprimées dans la même unité.

Donc, On convertit la distance réelle en centimètres : 1 km = 100 000 cm, donc

\[ 84 \text{ km} = 84 \times 100\,000 \text{ cm} = 8\,400\,000 \text{ cm} \]

On calcule ensuite l’échelle :

\[ \frac{28}{8\,400\,000} = \frac{1}{300\,000} \quad \text{car} \quad 8\,400\,000 \div 28 = 300\,000 \]

Autrement dit, 1 cm sur la carte représente 300 000 cm, c’est-à-dire 3 km dans la réalité. Vérification : \( 28 \times 3 = 84 \) km.

À l’échelle \( \frac{1}{100\,000} \), 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. De plus, la distance réelle est proportionnelle à la distance sur la carte :

\[ 9 \times 100\,000 = 900\,000 \text{ cm} \]

On convertit en kilomètres : 1 km = 100 000 cm, donc

\[ 900\,000 \text{ cm} = 900\,000 \div 100\,000 \text{ km} = 9 \text{ km} \]

Également, Astuce : à cette échelle, 1 cm sur la carte correspond exactement à 1 km en réalité.

À l’échelle \( \frac{1}{1\,000\,000} \), 1 cm sur la carte représente 1 000 000 cm, soit 10 km, dans la réalité.

Par conséquent, On convertit la distance réelle en centimètres :

\[ 62 \text{ km} = 62 \times 100\,000 \text{ cm} = 6\,200\,000 \text{ cm} \]

En effet, la distance sur la carte s’obtient en divisant par 1 000 000 :

\[ 6\,200\,000 \div 1\,000\,000 = 6{,}2 \text{ cm} \]

Ensuite, Vérification avec « 1 cm pour 10 km » : \( 62 \div 10 = 6{,}2 \) cm.

a. Le coefficient de proportionnalité permet de passer de la ligne du blé à la ligne de la farine. Ensuite, on le calcule avec la colonne complète :

\[ 12 \div 15 = 0{,}8 \]

De plus, le coefficient ❶ est 0,8. Cela signifie que 1 kg de blé donne 0,8 kg de farine (on multiplie la masse de blé par 0,8 pour obtenir la masse de farine).

Par ailleurs, b. Quantité ❷ : on multiplie par 0,8.

\[ 25 \times 0{,}8 = 20 \]

Quantité ❸ : on remonte de la farine au blé, donc on divise par 0,8.

\[ 36 \div 0{,}8 = 45 \]

Ainsi, Vérification : \( 45 \times 0{,}8 = 36 \).

Donc, Interprétation : avec 25 kg de blé, on obtient 20 kg de farine ; pour obtenir 36 kg de farine, il faut 45 kg de blé.

On lit sur l’image : 3 coupes → 750 points et 5 coupes → 1 250 points.

Également, a. On calcule le nombre de points par coupe dans chaque cas :

\[ 750 \div 3 = 250 \qquad 1\,250 \div 5 = 250 \]

Par conséquent, Les deux quotients sont égaux : chaque coupe rapporte 250 points. Par ailleurs, le nombre de points est donc proportionnel au nombre de coupes, avec le coefficient 250.

En effet, b. On cherche le nombre de coupes pour 4 000 points : on divise par 250.

\[ 4\,000 \div 250 = 16 \]

Ensuite, Il faut 16 coupes.

De plus, c. Pour 9 coupes, on multiplie par 250 :

\[ 9 \times 250 = 2\,250 \]

Par ailleurs, Louise a obtenu 2 250 points.

On lit sur l’image : le premier sac contient 4 boules et pèse 2,8 kg ; le second contient 3 boules et pèse 1,2 kg.

Ainsi, Si la masse était proportionnelle au nombre de boules, la masse pour une boule serait la même dans les deux sacs. Or :

\[ 2{,}8 \div 4 = 0{,}7 \text{ kg} \qquad 1{,}2 \div 3 = 0{,}4 \text{ kg} \]

Donc, les deux quotients sont différents. Autre façon de le voir : avec une boule de plus seulement, le premier sac pèse plus du double du second (\( 1{,}2 \times 2 = 2{,}4 \) et 2,8 est encore plus grand).

Les objets sont vendus à l’unité : le prix P est proportionnel au nombre N d’objets, et le coefficient est le prix d’un objet.

a. 4 cahiers coûtent 10 €, donc un cahier coûte

\[ 10 \div 4 = 2{,}5 \text{ €} \]

On lit donc : \( P = N \times 2{,}5 \).

b. 4 gommes coûtent 3 €, donc une gomme coûte

\[ 3 \div 4 = 0{,}75 \text{ €} \]

On lit donc : \( P = N \times 0{,}75 \).

Également, Vérification : \( 4 \times 2{,}5 = 10 \) et \( 4 \times 0{,}75 = 3 \).

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Puis on écrit chaque fraction avec le dénominateur 100 :

\[ \frac{3}{2} = \frac{150}{100} \qquad \frac{4}{10} = \frac{40}{100} \qquad \frac{1}{2} = \frac{50}{100} \qquad \frac{3}{4} = \frac{75}{100} \qquad \frac{3}{3} = 1 = \frac{100}{100} \]

• \( \frac{3}{2} \) correspond à 150 % ;
• \( \frac{4}{10} \) correspond à 40 % ;
• \( \frac{1}{2} \) correspond à 50 % ;
• \( \frac{3}{4} \) correspond à 75 % ;
• \( \frac{3}{3} \) correspond à 100 %.

a. Dans la première colonne, \( 7 \times 8 = 56 \) : le coefficient de proportionnalité est 8 (il faut 8 litres pour 1 cm de hauteur).

• Case jaune : \( 60 \times 8 = 480 \).
• Case bleue : \( 320 \div 8 = 40 \) (on remonte, donc on divise).

Par conséquent, b.

• Case jaune : il faut verser 480 litres d’eau pour que l’eau atteigne une hauteur de 60 cm.
• Case bleue : avec 320 litres, l’eau atteint une hauteur de 40 cm.

On utilise les pourcentages « faciles » : 50 %, c’est la moitié ; 25 %, c’est le quart ; 10 %, c’est le dixième ; 75 %, ce sont les trois quarts.

• a. 50 % de 48 € : \( 48 \div 2 = 24 \), soit 24 €.
• b. 25 % de 36 km : \( 36 \div 4 = 9 \), soit 9 km.
• c. 10 % de 78 kg : \( 78 \div 10 = 7{,}8 \), soit 7,8 kg.
• d. 75 % de 80 L : un quart de 80 vaut 20, donc trois quarts valent \( 3 \times 20 = 60 \), soit 60 L.

On calcule le prix d’un croissant dans chaque colonne (quotient « prix ÷ nombre de croissants ») :

\[ 6{,}80 \div 8 = 0{,}85 \qquad 10{,}20 \div 12 = 0{,}85 \qquad 12{,}75 \div 15 = 0{,}85 \]

En effet, Les trois quotients sont égaux : chaque croissant coûte 0,85 € quel que soit le sachet.

On calcule le nombre de personnes par minute dans chaque colonne :

\[ 76 \div 10 = 7{,}6 \qquad 152 \div 20 = 7{,}6 \qquad 258 \div 30 = 8{,}6 \qquad 360 \div 45 = 8 \]

Les quotients ne sont pas tous égaux. Ensuite, on peut aussi raisonner sans division : 30 min, c’est 10 min multipliées par 3, mais \( 76 \times 3 = 228 \) et non 258.

a. On convertit les longueurs en mètres :

• 70 cm = 0,7 m (1 m = 100 cm) ;
• 1,2 m reste 1,2 m ;
• 20 dm = 2 m (1 m = 10 dm).

Ensuite, b. Avec les longueurs en mètres, on calcule le prix d’un mètre de corde dans chaque colonne :

\[ 1{,}75 \div 0{,}7 = 2{,}5 \qquad 3 \div 1{,}2 = 2{,}5 \qquad 5 \div 2 = 2{,}5 \]

De plus, les trois quotients sont égaux : le tableau est bien un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5 (la corde coûte 2,50 € le mètre).

On exprime toutes les durées en mois : 1 an = 12 mois.

Par ailleurs, On calcule le prix d’un mois dans chaque cas :

\[ 19{,}5 \div 3 = 6{,}5 \qquad 39 \div 6 = 6{,}5 \qquad 68 \div 12 \approx 5{,}67 \]

Ainsi, Autre raisonnement : 12 mois, c’est 4 fois 3 mois. Si le prix était proportionnel, l’abonnement d’un an coûterait \( 4 \times 19{,}5 = 78 \) €, et non 68 €.

Calcul de x

• Méthode 1 (coefficient de proportionnalité). Pour 1 tour de pédalier, le vélo avance \( 3{,}6 \div 2 = 1{,}8 \) m. Donc \( x = 5 \times 1{,}8 = 9 \).
• Méthode 2 (coefficient multiplicateur entre colonnes). On passe de 2 tours à 5 tours en multipliant par \( 5 \div 2 = 2{,}5 \). Donc \( x = 3{,}6 \times 2{,}5 = 9 \).

Donc, Calcul de y

• Méthode 1 (coefficient de proportionnalité). \( y = 7 \times 1{,}8 = 12{,}6 \).
• Méthode 2 (addition des colonnes). 7 tours = 2 tours + 5 tours, donc la distance est la somme des distances : \( y = 3{,}6 + 9 = 12{,}6 \).

On place dans le tableau la donnée connue (200 feuilles pour 160 g) et les deux questions (250 feuilles et 60 g).

Également, le coefficient de proportionnalité est la masse d’une feuille :

\[ 160 \div 200 = 0{,}8 \text{ g} \]

Par conséquent, a. Masse de 250 feuilles : on multiplie par 0,8.

\[ 250 \times 0{,}8 = 200 \text{ g} \]

En effet, b. Nombre de feuilles pour 60 g : on divise par 0,8.

\[ 60 \div 0{,}8 = 75 \]

Ensuite, Vérification : \( 75 \times 0{,}8 = 60 \).

Si 85 % de la clé sont occupés, il reste \( 100 – 85 = 15 \) % de libre.

De plus, On calcule 15 % de 16 Go :

\[ \frac{15}{100} \times 16 = 0{,}15 \times 16 = 2{,}4 \text{ Go} \]

Par ailleurs, Vérification par l’autre chemin : l’espace occupé vaut \( 0{,}85 \times 16 = 13{,}6 \) Go, et \( 16 – 13{,}6 = 2{,}4 \) Go.

Maël a une réduction de 35 % sur une place à 28 €. Prendre 35 % d’un nombre, c’est le multiplier par \( \frac{35}{100} \).

Montant de la réduction :

\[ \frac{35}{100} \times 28 = \frac{980}{100} = 9{,}8 \text{ €} \]

De même, Prix à payer :

\[ 28 – 9{,}8 = 18{,}2 \text{ €} \]

Également, Vérification : payer 100 % − 35 % = 65 % du prix, et \( 0{,}65 \times 28 = 18{,}2 \). Puis le résultat est le même.

Attention : sur l’étiquette, les matières grasses sont données en pourcentage (3,6 %), alors que les protéines sont données en grammes (3,6 g). De plus, les deux calculs de Mylène utilisent le même nombre 3,6, mais pas avec le même sens.

Également, a. Premier calcul :

\[ \frac{3{,}6}{24} \times 100 = 0{,}15 \times 100 = 15 \]

En effet, Ici 3,6 représente les 3,6 g de protéines sur les 24 g du biscuit. Ensuite, le résultat est un pourcentage : les protéines représentent 15 % de la masse du biscuit.

Par ailleurs, Deuxième calcul :

\[ \frac{3{,}6}{100} \times 24 = 0{,}036 \times 24 = 0{,}864 \]

De plus, Ici 3,6 représente les 3,6 % de matières grasses. Par ailleurs, le calcul donne 3,6 % de 24 g : un biscuit contient 0,864 g de matières grasses.

Par ailleurs, b. On calcule le pourcentage de glucides, comme dans le premier calcul :

\[ \frac{17{,}1}{24} \times 100 = 0{,}7125 \times 100 = 71{,}25 \]

Ainsi, les glucides représentent 71,25 % de la masse du biscuit, et \( 71{,}25 \gt 70 \).

L’échelle \( \frac{1}{4\,000} \) signifie que 1 cm sur le dessin représente 4 000 cm dans la réalité : les longueurs du dessin s’obtiennent en divisant les longueurs réelles par 4 000, dans la même unité.

Donc, a. On convertit la hauteur en centimètres : 828 m = 82 800 cm.

\[ 82\,800 \div 4\,000 = 20{,}7 \text{ cm} \]

Également, la tour mesure 20,7 cm sur le dessin.

Par conséquent, b. 1,80 m = 180 cm.

\[ 180 \div 4\,000 = 0{,}045 \text{ cm} = 0{,}45 \text{ mm} \]

En effet, Alex mesurerait 0,45 mm sur le dessin, c’est-à-dire moins d’un demi-millimètre : à peine un point de crayon. Puis il ne peut pas se représenter de façon visible (et encore moins reconnaissable) à cette échelle.

La longueur de l’appartement mesure 18 cm sur le plan et 9 m = 900 cm dans la réalité. Ensuite, les distances réelles sont proportionnelles aux distances sur le plan.

Ensuite, a. Coefficient de proportionnalité (on passe de la ligne du plan à la ligne de la réalité) :

\[ 900 \div 18 = 50 \]

• 1 cm sur le plan : \( 1 \times 50 = 50 \) cm dans la réalité ;
• 16,2 cm sur le plan : \( 16{,}2 \times 50 = 810 \) cm, soit 8,10 m dans la réalité.

De plus, b. 1 cm sur le plan représente 50 cm dans la réalité : l’échelle est \( \frac{1}{50} \).

La production totale est de 350 tonnes.

• Marché national (un quart) : \( 350 \div 4 = 87{,}5 \) t.
• Marché européen (30 %) : \( \frac{30}{100} \times 350 = 105 \) t.
• Marché américain (10 %) : \( \frac{10}{100} \times 350 = 35 \) t.
• Marché asiatique (le reste) : \( 350 – 87{,}5 – 105 – 35 = 122{,}5 \) t.

Par ailleurs, Vérification : \( 87{,}5 + 105 + 35 + 122{,}5 = 350 \) t. (Le quart correspond à 25 %, donc l’Asie reçoit 100 % − 25 % − 30 % − 10 % = 35 % de la production, et 35 % de 350 font bien 122,5 t.)

On convertit d’abord : 2 L = 2 000 mL. Puis le sel représente 0,9 % de ce volume :

\[ \frac{0{,}9}{100} \times 2\,000 = 0{,}9 \times 20 = 18 \text{ mL} \]

Ainsi, le flacon contient 18 mL de chlorure de sodium, soit 0,018 L.

a. Rabais de 15 % sur 230 € :

\[ \frac{15}{100} \times 230 = 34{,}5 \text{ €} \qquad 230 – 34{,}5 = 195{,}5 \text{ €} \]

Donc, le nouveau prix de vente est 195,50 €.

Également, b. Remise de 25 % sur 125 € (25 %, c’est le quart) :

\[ \frac{25}{100} \times 125 = 125 \div 4 = 31{,}25 \text{ €} \qquad 125 – 31{,}25 = 93{,}75 \text{ €} \]

Par conséquent, le nouveau prix de vente est 93,75 €.

a. Dans chaque tableau, on cherche combien d’élèves font du sport sur 100 : on passe de la colonne de gauche à celle de droite en multipliant par le même nombre.

• 6e A : \( 25 \times 4 = 100 \), donc \( 8 \times 4 = 32 \).
• 6e B : 13 est la moitié de 26, donc on prend la moitié de 100 : \( 100 \div 2 = 50 \).
• 6e C : \( 25 \times 4 = 100 \), donc \( 10 \times 4 = 40 \).

En effet, b.

• 32 % des élèves de 6e A font du sport en club.
• 50 % des élèves de 6e B font du sport en club.
• 40 % des élèves de 6e C font du sport en club.

Les deux joueurs n’ont pas fait le même nombre de tirs : on ne compare pas 102 et 64, mais leurs taux de réussite, en pourcentage.

• Marcel : \( \frac{102}{120} = 0{,}85 \), soit 85 % de réussite.
• Simon : \( \frac{64}{80} = 0{,}8 \), soit 80 % de réussite.

Ensuite, Comme \( 85 \gt 80 \), Marcel réussit une plus grande proportion de ses tirs.

On écrit chaque proportion sous forme de fraction sur 100.

\[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 20}{5 \times 20} = \frac{80}{100} = 80\ \% \qquad \frac{3}{10} = \frac{3 \times 10}{10 \times 10} = \frac{30}{100} = 30\ \% \]

a. Nombre d’accidents supplémentaires en 2016 :

\[ 4\,483 – 4\,261 = 222 \]

De plus, on exprime cette hausse en pourcentage du nombre de 2015 :

\[ \frac{222}{4\,261} \times 100 \approx 5{,}2 \]

Par ailleurs, Il y a eu environ 5,2 % d’accidents corporels en plus en 2016.

Ainsi, b. Hausse de 8,7 % des 5 238 blessés de 2015 :

\[ \frac{8{,}7}{100} \times 5\,238 \approx 455{,}7 \qquad 5\,238 + 455{,}7 \approx 5\,694 \]

Donc, un nombre de blessés est un nombre entier : on arrondit à l’unité.

Un tableau est de proportionnalité si l’on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre.

a. \( 15 \div 10 = 1{,}5 \) mais \( 25 \div 15 \approx 1{,}67 \). De plus, les quotients sont différents : le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

Également, b. On compare les colonnes à la première : \( 63 = 7 \times 9 \) et \( 81 = 9 \times 9 \) ; \( 73{,}5 = 7 \times 10{,}5 \) et \( 94{,}5 = 9 \times 10{,}5 \). Chaque colonne s’obtient en multipliant la colonne (7 ; 9) par un même nombre : le tableau est un tableau de proportionnalité (le coefficient est \( \frac{9}{7} \)).

c. \( 26 \div 10{,}4 = 2{,}5 \) mais \( 19{,}5 \times 2{,}5 = 48{,}75 \), et non 50,5 (\( 50{,}5 \div 19{,}5 \approx 2{,}59 \)). Ensuite, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

On calcule le prix d’une séance dans chaque colonne :

\[ \frac{8}{1} = 8 \qquad \frac{32}{4} = 8 \qquad \frac{112}{14} = 8 \]

Par conséquent, Tous les quotients sont égaux à 8 : le prix est toujours égal à 8 fois le nombre de séances.

Premier tableau. La colonne complète 8 → 24 donne le coefficient : \( 24 \div 8 = 3 \). Par ailleurs, on multiplie par 3 pour descendre, on divise par 3 pour monter.

• \( 1 \times 3 = 3 \) ; \( 12 \times 3 = 36 \) ; \( 75 \div 3 = 25 \).

Deuxième tableau. La colonne complète 361 → 1 444 donne \( 1\,444 \div 361 = 4 \) : on multiplie par 4.

• \( 185 \times 4 = 740 \) ; \( 72 \div 4 = 18 \) ; \( 1\,700 \div 4 = 425 \).

Par ailleurs, Troisième tableau. Attention au sens de la flèche : elle va du bas vers le haut. Puis on multiplie la ligne du bas par 5 pour obtenir celle du haut.

• \( 3 \times 5 = 15 \) ; \( 10 \times 5 = 50 \) ; \( 26 \times 5 = 130 \) ; \( 60 \div 5 = 12 \).

2 beignets pèsent 300 g, donc 1 beignet pèse \( 300 \div 2 = 150 \) g. Ensuite, on vérifie avec l’autre pesée : \( 3 \times 150 = 450 \) g. Puis la masse est bien proportionnelle au nombre de beignets.

• 5 beignets : \( 5 \times 150 = 750 \) g (ou 300 g + 450 g, car 5 = 2 + 3).
• 6 beignets : \( 6 \times 150 = 900 \) g (ou \( 2 \times 450 \), car 6 = 2 × 3).
• 10 beignets : \( 10 \times 150 = 1\,500 \) g, soit 1,5 kg (ou \( 2 \times 750 \)).
• 1 beignet : \( 300 \div 2 = 150 \) g.

Dans chaque tableau, on cherche comment passer d’une ligne à l’autre avec la colonne complète, puis on applique la même opération à l’autre colonne.

• a. \( 3 \div 2 = 1{,}5 \) : on passe du haut au bas en multipliant par 1,5. Donc \( 4 \times 1{,}5 = 6 \).
• b. \( 80 \div 10 = 8 \) : le bas vaut 8 fois le haut. Pour remonter, on divise par 8 : \( 16 \div 8 = 2 \).
• c. \( 51 \div 17 = 3 \) : le bas vaut 3 fois le haut. Donc \( 3 \div 3 = 1 \).
• d. \( 500 \div 5 = 100 \) : on passe du haut au bas en divisant par 5. Donc \( 25 \div 5 = 5 \).
• e. Ici le coefficient n’est pas simple : on passe par l’unité. 120 donne 90, donc 1 donne \( 90 \div 120 = 0{,}75 \), et 100 donne \( 0{,}75 \times 100 = 75 \). Autre méthode : \( 120 \div 6 = 20 \) donne \( 90 \div 6 = 15 \), et \( 100 = 20 \times 5 \) donne \( 15 \times 5 = 75 \).

On utilise les propriétés de la proportionnalité : si l’on multiplie (ou additionne, soustrait) des colonnes, on obtient encore une colonne du tableau.

• a. \( 28 = 4 \times 7 \), donc on multiplie aussi la première colonne du bas par 7 : \( 9 \times 7 = 63 \). (Autre façon : \( 28 = 2 \times 12 + 4 \), donc \( 2 \times 27 + 9 = 63 \).)
• b. \( 56 = 7 \times 8 \), donc la case du haut vaut \( 8 \times 8 = 64 \). On vérifie que le tableau est cohérent : \( 14 \times \frac{7}{8} = 12{,}25 \).
• c. Dans les deux premières colonnes, le haut vaut 3 fois le bas (\( 100 \times 3 = 300 \), \( 7 \times 3 = 21 \)). Donc \( 179 \times 3 = 537 \).
• d. \( 9{,}9 = 10 – 0{,}1 \) : on soustrait les deux premières colonnes, donc la case du bas vaut \( 2 – 0{,}02 = 1{,}98 \). (On peut aussi diviser par 5 : \( 9{,}9 \div 5 = 1{,}98 \).)
• e. Le bas vaut le haut divisé par 10 (\( 50 \div 10 = 5 \), \( 7 \div 10 = 0{,}7 \)). Donc \( 514 \div 10 = 51{,}4 \).

a. Le tableau associe le nombre de spectateurs (21 250) au nombre de places (25 000), et on cherche le nombre qui correspond à 100 places : c’est le pourcentage de places occupées.

De plus, on passe de 25 000 à 100 en divisant par 250. De plus, on fait la même chose dans l’autre ligne :

Par ailleurs :\[ 21\,250 \div 250 = 85 \]

Ainsi, b. Sur 100 places, 85 étaient occupées : le stade était rempli à 85 %.

Donc, Vérification : \( \dfrac{21\,250}{25\,000} \times 100 = 0{,}85 \times 100 = 85 \).

Trois pourcentages faciles à retenir :

• 50 %, c’est la moitié : on divise par 2 ;
• 25 %, c’est le quart : on divise par 4 (la moitié de la moitié) ;
• 75 %, ce sont les trois quarts : 25 % + 50 %.

Également, a. 24 : \( 24 \div 4 = 6 \) ; \( 24 \div 2 = 12 \) ; \( 6 + 12 = 18 \).

Par conséquent, b. 40 : \( 40 \div 4 = 10 \) ; \( 40 \div 2 = 20 \) ; \( 10 + 20 = 30 \).

En effet, c. 16,8 : \( 16{,}8 \div 4 = 4{,}2 \) ; \( 16{,}8 \div 2 = 8{,}4 \) ; \( 4{,}2 + 8{,}4 = 12{,}6 \).

Pour calculer 20 % de tête, on prend 10 % (on divise par 10) puis on double. Ensuite, on peut aussi diviser par 5, car 20 %, c’est un cinquième.

• a. 10 % de 70 = 7, donc 20 % de 70 = 14.
• b. 10 % de 90 = 9, donc 20 % de 90 = 18.
• c. 10 % de 100 = 10, donc 20 % de 100 = 20.
• d. 10 % de 112 = 11,2, donc 20 % de 112 = 22,4.
• e. 10 % de 0,7 = 0,07, donc 20 % de 0,7 = 0,14.
• f. 10 % de 18,2 = 1,82, donc 20 % de 18,2 = 3,64.
• g. 10 % de 22,2 = 2,22, donc 20 % de 22,2 = 4,44.
• h. 10 % de 43,9 = 4,39, donc 20 % de 43,9 = 8,78.

Prendre t % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par \( \dfrac{t}{100} \) : on multiplie par t, puis on divise par 100.

Ensuite, a.

De plus :\[ 37\ \% \text{ de } 28 = \dfrac{37}{100} \times 28 = \dfrac{37 \times 28}{100} = \dfrac{1\,036}{100} = 10{,}36 \]

Par ailleurs, b.

Ainsi :\[ 79\ \% \text{ de } 0{,}8 = \dfrac{79 \times 0{,}8}{100} = \dfrac{63{,}2}{100} = 0{,}632 \]

Donc, c.

Également :\[ 4{,}5\ \% \text{ de } 150 = \dfrac{4{,}5 \times 150}{100} = \dfrac{675}{100} = 6{,}75 \]

Par conséquent, d. Astuce : 99 %, c’est 100 % moins 1 %.

En effet :\[ 99\ \% \text{ de } 6\,300 = 6\,300 – 1\ \% \text{ de } 6\,300 = 6\,300 – 63 = 6\,237 \]

Le total est de 10 millions de tonnes, soit 10 000 000 t. Par ailleurs, on calcule chaque pourcentage de ce total. 1 % de 10 000 000 t, c’est \( 10\,000\,000 \div 100 = 100\,000 \) t.

• Distribution : \( 14 \times 100\,000 = 1\,400\,000 \) t, soit 1,4 million de tonnes ;
• Consommation : \( 33 \times 100\,000 = 3\,300\,000 \) t, soit 3,3 millions de tonnes ;
• Transformation : \( 21 \times 100\,000 = 2\,100\,000 \) t, soit 2,1 millions de tonnes ;
• Production : \( 32 \times 100\,000 = 3\,200\,000 \) t, soit 3,2 millions de tonnes.

Ensuite, Vérification : 14 + 33 + 21 + 32 = 100 %, et 1,4 + 3,3 + 2,1 + 3,2 = 10 millions de tonnes.

a. Une remise de 25 %, c’est enlever le quart du prix. Puis le nouveau prix vaut alors 75 % du prix de référence.

• 50 € : réduction \( 50 \div 4 = 12{,}50 \) € ; nouveau prix \( 50 – 12{,}50 = 37{,}50 \) €.
• 130 € : réduction \( 130 \div 4 = 32{,}50 \) € ; nouveau prix \( 130 – 32{,}50 = 97{,}50 \) €.
• 240 € : réduction \( 240 \div 4 = 60 \) € ; nouveau prix \( 240 – 60 = 180 \) €.

De plus, b. Première démarque : on enlève 25 % du prix de référence. Deuxième démarque : on enlève 10 % du dernier prix (et non du prix de référence).

Par exemple pour 202 € : \( 202 \div 4 = 50{,}50 \), puis \( 202 – 50{,}50 = 151{,}50 \) ; ensuite 10 % de 151,50 = 15,15, et \( 151{,}50 – 15{,}15 = 136{,}35 \).

Remarque : deux remises successives de 25 % puis 10 % ne font pas 35 % de remise, car la seconde porte sur un prix déjà baissé.

Un cèpe perd 93 % de sa masse en séchant : il en reste donc \( 100 – 93 = 7 \) %. Ensuite, on calcule 7 % de chaque masse, après l’avoir convertie en grammes (1 kg = 1 000 g).

• Lundi : 1,4 kg = 1 400 g ; \( \dfrac{7 \times 1\,400}{100} = 98 \) g.
• Mercredi : 3,9 kg = 3 900 g ; \( \dfrac{7 \times 3\,900}{100} = 273 \) g.
• Samedi : 2,5 kg = 2 500 g ; \( \dfrac{7 \times 2\,500}{100} = 175 \) g.

Au total, Anatole obtient 98 + 273 + 175 = 546 g de cèpes séchés.

a. L’échelle est donnée sous forme graphique, en bas à gauche de la carte : le segment noir représente 2 km dans la réalité (et la barre entière 4 km). Puis pour l’écrire sous forme de fraction, on mesure ce segment noir à la règle sur la feuille : s’il mesure 1 cm, alors 1 cm sur la carte représente 2 km = 200 000 cm, et l’échelle est 1/200 000.

Par ailleurs, pour les distances, on mesure l’écart entre les deux phares et on compte combien de fois il contient le segment de 2 km (c’est une situation de proportionnalité).

Ainsi, b. Entre le phare de la Jument et le phare des Pierres Noires, on reporte environ 9 fois le segment de 2 km : \( 9 \times 2 = 18 \), soit environ 18 km.

Donc, c. Entre le phare de Kereon et le phare du Creac’h, on reporte environ 3,5 fois le segment : \( 3{,}5 \times 2 = 7 \), soit environ 7 km.

Également, d. Entre le phare du Stiff et le phare de la Pointe Saint Mathieu, on reporte environ 11,5 fois le segment : \( 11{,}5 \times 2 = 23 \), soit environ 23 km.

Suite du corrigé corrigé proportionnalité 5ème

Par conséquent, ce sont des distances à vol d’oiseau, arrondies au kilomètre : une mesure un peu différente à la règle donne un résultat voisin.

a. L’échelle graphique est découpée en 5 carreaux et représente 2,5 m : chaque carreau vaut 0,5 m. Mesurée à la règle sur la fiche, cette barre fait 2,5 cm : 1 cm sur le plan représente 1 m = 100 cm dans la réalité. L’échelle du plan est donc 1/100.

b. On mesure chaque cote sur le plan, puis on applique l’échelle (1 cm → 1 m), ou on compte combien de carreaux de 0,5 m elle contient.

• Cote du garage (en bas à gauche) : environ 5,4 cm, soit environ 5,4 m (presque 11 carreaux de 0,5 m).
• Cote du milieu (séjour) : environ 4,6 cm, soit environ 4,6 m.
• Cote de droite (escalier) : environ 2,3 cm, soit environ 2,3 m.
• Cote verticale (profondeur de la maison) : environ 6,3 cm, soit environ 6,3 m.

En effet, Vérification : la longueur totale est d’environ 5,4 + 4,6 + 2,3 = 12,3 m, ce qui correspond bien à la grande cote mesurée d’un bout à l’autre du plan.

À l’échelle 1/87, la maquette est 87 fois plus petite que la vraie voiture : on divise chaque dimension réelle par 87. De même pour les autres échelles. De plus, on arrondit au mm, c’est-à-dire au dixième de cm.

Ensuite, Exemple pour la longueur à l’échelle 1/87 :

De plus :\[ 457 \div 87 \approx 5{,}253 \text{ cm} \approx 5{,}3 \text{ cm} \]

Par ailleurs, plus le dénominateur de l’échelle est petit, plus la maquette est grande : la maquette au 1/24 est la plus grande (19 cm de long).

Pour un carré de côté c : périmètre = 4 × c et aire = c × c.

• Côté 3 cm : périmètre \( 4 \times 3 = 12 \) cm ; aire \( 3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2 \).
• Côté 4 cm : périmètre \( 4 \times 4 = 16 \) cm ; aire \( 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \).
• Côté 10 cm : périmètre \( 4 \times 10 = 40 \) cm ; aire \( 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2 \).

Ainsi, a. On passe toujours du côté au périmètre en multipliant par 4 (8 ÷ 2 = 12 ÷ 3 = 16 ÷ 4 = 40 ÷ 10 = 4). Oui, le périmètre est proportionnel au côté, le coefficient est 4.

b. \( 4 \div 2 = 2 \) mais \( 9 \div 3 = 3 \) : les quotients ne sont pas égaux. Non, l’aire n’est pas proportionnelle au côté (quand le côté double, de 2 à 4 cm, l’aire est multipliée par 4, de 4 à 16 cm²).

c. \( 8 \div 4 = 2 \) mais \( 12 \div 9 \approx 1{,}33 \) : non, le périmètre n’est pas proportionnel à l’aire. D’ailleurs, pour le côté 4 cm, le périmètre et l’aire valent tous les deux 16, alors que pour le côté 2 cm ils valent 8 et 4.

Un tableau est de proportionnalité si l’on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ensuite, il suffit donc de trouver deux colonnes où ce n’est pas le cas.

a. \( 15 \div 10 = 1{,}5 \) mais \( 25 \div 15 \approx 1{,}67 \) : les quotients sont différents. Autre façon de voir : 30 est le double de 15, mais 50 n’est pas le double de 25. Le tableau n’est pas proportionnel.

b. \( 20 \div 8 = 2{,}5 \) mais \( 40 \div 15 \approx 2{,}67 \). Si le coefficient était 2,5, on aurait \( 15 \times 2{,}5 = 37{,}5 \) et non 40. Le tableau n’est pas proportionnel.

Donc, c. \( 50 \div 20 = 2{,}5 \) et \( 150 \div 60 = 2{,}5 \), mais \( 80 \times 2{,}5 = 200 \) et non 220. Le tableau n’est pas proportionnel (seule la dernière colonne pose problème).

Également, d. Pas besoin de calculatrice : dans la première colonne, le nombre du bas (765,87) est plus grand que celui du haut (123,35), il faudrait donc multiplier par un nombre plus grand que 1. Par ailleurs, dans la seconde colonne, le nombre du bas (1 236,23) est plus petit que celui du haut (1 354,76), il faudrait multiplier par un nombre plus petit que 1. Puis le coefficient ne peut pas être le même : le tableau n’est pas proportionnel.

a. Le prix est proportionnel au nombre de bouteilles (toutes les bouteilles ont le même prix). Ensuite, on traduit la situation par un tableau de proportionnalité :

Par conséquent, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par \( 9 \div 6 = 1{,}5 \) : une bouteille coûte 1,50 €.

En effet, b. 3 bouteilles, c’est la moitié de 6 bouteilles : \( 9 \div 2 = 4{,}50 \). 3 bouteilles coûtent 4,50 €.

Ensuite, c. \( 5 \times 1{,}50 = 7{,}50 \). 5 bouteilles coûtent 7,50 €.

De plus, d. \( 22 \times 1{,}50 = 33 \). 22 bouteilles coûtent 33 €. (On peut aussi voir 22 = 6 + 6 + 6 + 3 + 1 : 9 + 9 + 9 + 4,50 + 1,50 = 33.)

La production totale est de 350 tonnes.

• Marché national : un quart, soit \( 350 \div 4 = 87{,}5 \) t.
• Marché européen : 30 %, soit \( \dfrac{30 \times 350}{100} = 105 \) t.
• Marché américain : 10 %, soit \( 350 \div 10 = 35 \) t.
• Marché asiatique : le reste, soit \( 350 – 87{,}5 – 105 – 35 = 122{,}5 \) t.

Vérification : un quart, c’est 25 %, donc l’Asie représente \( 100 – 25 – 30 – 10 = 35 \) % de la production, et 35 % de 350 t = 122,5 t.

On complète un tableau de proportionnalité : 620 élèves correspondent à 100 %, et on cherche le pourcentage qui correspond à 372 élèves.

On passe de 620 à 100 en divisant par 6,2, donc :

Par ailleurs :\[ 372 \div 6{,}2 = 60 \]

Ainsi, Autre calcul : \( \dfrac{372}{620} = 0{,}6 = \dfrac{60}{100} \).

a. On calcule 56,35 % des 1 912 083 suffrages exprimés :

Donc :\[ \dfrac{56{,}35 \times 1\,912\,083}{100} \approx 1\,077\,458{,}8 \]

Également, Un nombre de personnes est entier : environ 1 077 459 personnes ont voté pour M. Hollande en Bretagne (le pourcentage publié étant arrondi, on ne peut pas être plus précis).

Par conséquent, b. On cherche la part des votes exprimés parmi les 2 019 910 votants :

En effet :\[ \dfrac{1\,912\,083}{2\,019\,910} \times 100 \approx 94{,}66 \]

Ensuite, environ 94,7 % des votes étaient exprimés (les autres étaient des votes blancs ou nuls).

De plus, c. On calcule 28,51 % des 400 394 suffrages exprimés :

Par ailleurs :\[ \dfrac{28{,}51 \times 400\,394}{100} \approx 114\,152{,}3 \]

Ainsi, environ 114 152 personnes ont voté pour M. Sarkozy à La Réunion.