Corrigé des 47 exercices sur les fractions en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

De même, situation 1. On réduit au même dénominateur (le plus petit multiple commun) puis on simplifie.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{3}{4}+\frac{2}{6} = \frac{3}{4}+\frac{1}{3} = \frac{9}{12}+\frac{4}{12} = \frac{13}{12} \\ B &= \frac{2}{15}+\frac{3}{20} = \frac{8}{60}+\frac{9}{60} = \frac{17}{60} \\ C &= \frac{9}{8}+\frac{5}{12} = \frac{27}{24}+\frac{10}{24} = \frac{37}{24} \\ D &= \frac{15}{66}-\frac{10}{44} = \frac{5}{22}-\frac{5}{22} = 0 \\ E &= -\frac{3}{5}-\frac{-3}{4} = -\frac{3}{5}+\frac{3}{4} = -\frac{12}{20}+\frac{15}{20} = \frac{3}{20} \end{aligned} \]

Par conséquent, situation 2. On décompose les facteurs pour faire apparaître les facteurs communs.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{5\times 16}{12\times 20} = \frac{5\times 4\times 4}{4\times 3\times 4\times 5} = \frac{1}{3} \\ B &= \frac{9\times 21\times 10}{27\times 10\times 7} = \frac{9\times 3\times 7\times 10}{9\times 3\times 10\times 7} = 1 \end{aligned} \]

De plus, situation 3. On simplifie avant de multiplier, et la multiplication passe avant l’addition.

\[ \begin{aligned} A &= 1+\frac{15}{7}\times\frac{14}{25} = 1+\frac{3\times 5\times 2\times 7}{7\times 5\times 5} = 1+\frac{6}{5} = \frac{11}{5} \\ B &= \frac{-4}{9}\times\frac{27}{12}+\frac{16}{8}\times\frac{5}{-4} = -\frac{4\times 27}{9\times 12}+2\times\left(-\frac{5}{4}\right) = -1-\frac{5}{2} = -\frac{7}{2} \\ C &= \frac{4}{15}-\frac{24}{72}\times\frac{30}{20} = \frac{4}{15}-\frac{1}{3}\times\frac{3}{2} = \frac{4}{15}-\frac{1}{2} = \frac{8}{30}-\frac{15}{30} = -\frac{7}{30} \end{aligned} \]

Ainsi, situation 4. Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\frac{5}{3}}{2} = \frac{5}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{5}{6} \\ B &= \frac{\frac{-7}{4}}{\frac{3}{-5}} = \frac{-7}{4}\times\frac{-5}{3} = \frac{35}{12} \end{aligned} \]

Par conséquent, on calcule d’abord chaque parenthèse.

\[ \begin{aligned} 2+\frac{4}{5}-\frac{7}{10} &= \frac{20}{10}+\frac{8}{10}-\frac{7}{10} = \frac{21}{10} \\ \frac{7}{2}-\frac{3}{5} &= \frac{35}{10}-\frac{6}{10} = \frac{29}{10} \\ I &= \frac{21}{10}\times\frac{29}{10} = \frac{609}{100} \end{aligned} \]

Par conséquent, on obtient \(609 = 3\times 7\times 29\) et \(100 = 2^2\times 5^2\) n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

Ainsi, on trouve \(A\) contient trois facteurs négatifs (\(-1\), \(-3\) et \(-10\)) : il est négatif.

\[ A = \frac{-1}{2}\times\frac{-3}{4}\times\frac{5}{6}\times\frac{7}{-10} = -\frac{1\times 3\times 5\times 7}{2\times 4\times 6\times 10} = -\frac{105}{480} = -\frac{7}{32} \]
\[ B = \frac{7}{6}+\frac{5}{4}-\frac{13}{12} = \frac{14}{12}+\frac{15}{12}-\frac{13}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]
\[ C = -\frac{3}{2}-\frac{5}{3}-\frac{2}{5} = -\frac{45}{30}-\frac{50}{30}-\frac{12}{30} = -\frac{107}{30} \]

Par conséquent, pour \(D\), on calcule séparément le numérateur et le dénominateur :

\[ D = \frac{3-\frac{5}{2}}{1+\frac{1}{5}} = \frac{\frac{6}{2}-\frac{5}{2}}{\frac{5}{5}+\frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{2}\times\frac{5}{6} = \frac{5}{12} \]

\[ \begin{aligned} A &= \frac{5}{7}+\frac{13}{7} = \frac{18}{7} \\ B &= \frac{2}{3}-\frac{8}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \\ C &= \frac{5}{3}+\frac{15}{2} = \frac{10}{6}+\frac{45}{6} = \frac{55}{6} \\ D &= \frac{3}{7}+\frac{4}{3} = \frac{9}{21}+\frac{28}{21} = \frac{37}{21} \\ E &= \frac{-12}{5}+\frac{28}{2} = \frac{-12}{5}+14 = \frac{-12}{5}+\frac{70}{5} = \frac{58}{5} \\ F &= \frac{-5}{3}-\frac{3}{4} = \frac{-20}{12}-\frac{9}{12} = -\frac{29}{12} \\ G &= \frac{5}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{6} = \frac{15}{6}+\frac{8}{6}-\frac{5}{6} = \frac{18}{6} = 3 \end{aligned} \]

Ainsi, on a donc 1. Puis la multiplication est prioritaire sur l’addition : on calcule d’abord \(\frac{3}{5}\times\frac{7}{9}\).

Ensuite, on a 2. Ensuite, on simplifie par 3 avant de multiplier :

\[ \begin{aligned} A &= \frac{12}{5}+\frac{3\times 7}{5\times 3\times 3} = \frac{12}{5}+\frac{7}{15} \\ &= \frac{36}{15}+\frac{7}{15} = \frac{43}{15} \end{aligned} \]

Ensuite, on a donc 1. Puis le calcul entre parenthèses est prioritaire : on calcule d’abord \(\frac{4}{5}-\frac{-3}{20}\).

Ensuite, on a 2.

\[ \begin{aligned} \frac{4}{5}-\frac{-3}{20} &= \frac{16}{20}+\frac{3}{20} = \frac{19}{20} \\ C &= \frac{-2}{3}\times\frac{19}{20} = -\frac{2\times 19}{3\times 2\times 10} = -\frac{19}{30} \end{aligned} \]

Par conséquent, les élèves qui n’ont pas voté pour un candidat sont les absents et ceux qui ont voté blanc. De plus, on additionne les deux proportions (dénominateur commun 60) :

\[ \frac{1}{20}+\frac{1}{6} = \frac{3}{60}+\frac{10}{60} = \frac{13}{60} \]

De plus, autrement dit, sur 60 élèves, 13 n’auraient pas voté pour un candidat.

De même, juliette doit lire \(\frac{4}{5}\) du roman et en a déjà lu \(\frac{1}{3}\). Ensuite, il lui reste :

\[ \frac{4}{5}-\frac{1}{3} = \frac{12}{15}-\frac{5}{15} = \frac{7}{15} \]

De plus, on obtient 1. Par ailleurs, le quotient de 3 par \(\frac{1}{4}\) est \(3\div\frac{1}{4} = 3\times 4 = 12\). Puis on ajoute 2 :

\[ 3\div\frac{1}{4}+2 = 12+2 = 14 \]

Par ailleurs, grégoire a 14 ans.

Ensuite, on a 2. Ensuite, le quotient de 2 par \(\frac{1}{7}\) est \(2\div\frac{1}{7} = 2\times 7 = 14\). Puis on le soustrait à 30 :

\[ 30-2\div\frac{1}{7} = 30-14 = 16 \]

Par conséquent, charlotte a 16 ans.

Par ailleurs, lionel a vidé \(\frac{5}{8}\) du réservoir ; pour le remplir de nouveau, il doit remettre exactement ces \(\frac{5}{8}\). Donc \(\frac{5}{8}\) de la capacité correspondent à 37,5 L.

De même, un huitième du réservoir contient \(37{,}5\div 5 = 7{,}5\) L, donc le réservoir entier contient :

\[ 8\times 7{,}5 = 60 \text{ L} \]

Par conséquent, vérification : \(\frac{5}{8}\times 60 = 37{,}5\) L.

Par ailleurs, la grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule d’abord séparément le numérateur et le dénominateur du quotient, puis la division, et la soustraction en dernier.

\[ \begin{aligned} 3+\frac{1}{3} &= \frac{9}{3}+\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \\ 2-\frac{1}{2} &= \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ \frac{3+\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{2}} &= \frac{10}{3}\div\frac{3}{2} = \frac{10}{3}\times\frac{2}{3} = \frac{20}{9} \\ F &= 2-\frac{20}{9} = \frac{18}{9}-\frac{20}{9} = -\frac{2}{9} \end{aligned} \]

Par conséquent, on obtient 2 et 9 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

1) Ensuite, les trois dépenses sont des fractions de la même somme de départ : on peut donc les additionner. De plus, le plus petit dénominateur commun à 4, 10 et 3 est 60.

\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{3} = \frac{15}{60}+\frac{6}{60}+\frac{20}{60} = \frac{41}{60} \]

Par ailleurs, jean a dépensé \(\frac{41}{60}\) de sa somme.

2) De même, la somme entière correspond à \(\frac{60}{60}\) :

\[ 1-\frac{41}{60} = \frac{60}{60}-\frac{41}{60} = \frac{19}{60} \]

Par conséquent, il n’a pas dépensé \(\frac{19}{60}\) de sa somme.

3) De plus, ces \(\frac{19}{60}\) correspondent aux 19 € qui restent. Ensuite, un soixantième de la somme vaut donc \(19\div 19 = 1\) €, et la somme entière vaut \(60\times 1 = 60\) €.

Ainsi, jean possédait 60 € au début.

4) Enfin, on prend chaque fraction de 60 € :

\[ \begin{aligned} \text{vêtements : } \frac{1}{4}\times 60 &= 15 \text{ €} \\ \text{livre : } \frac{1}{10}\times 60 &= 6 \text{ €} \\ \text{scooter : } \frac{1}{3}\times 60 &= 20 \text{ €} \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \(15+6+20+19 = 60\) €.

Ainsi, pour \(A\), on réduit au même dénominateur 6. Par ailleurs, pour \(B\), on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Puis pour \(C\), le signe « : » indique une division : on multiplie par l’inverse de \(\frac{5}{7}\).

\[ \begin{aligned} A &= \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6} \\ B &= \frac{-3}{5}\times\frac{1}{2} = \frac{-3\times 1}{5\times 2} = -\frac{3}{10} \\ C &= \frac{3}{4}\div\frac{5}{7} = \frac{3}{4}\times\frac{7}{5} = \frac{21}{20} \end{aligned} \]

Enfin, aucune de ces fractions ne peut être simplifiée davantage : elles sont déjà irréductibles.

De plus, on règle d’abord le signe, puis on simplifie avant d’effectuer les produits.

\[ A = \frac{-5}{6}+\frac{1}{8} = \frac{-20}{24}+\frac{3}{24} = -\frac{17}{24} \]

Ainsi, pour \(B\) : \(\frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}\) (quotient de deux nombres négatifs), donc le produit a un seul facteur négatif et il est négatif.

\[ B = \frac{-11}{8}\times\frac{-6}{-5} = -\frac{11}{8}\times\frac{6}{5} = -\frac{11\times 2\times 3}{2\times 4\times 5} = -\frac{33}{20} \]

Enfin, pour \(C\), on multiplie par l’inverse de \(\frac{5}{-9}\), qui est \(\frac{-9}{5}\) ; deux facteurs négatifs donnent un résultat positif.

\[ C = \frac{-7}{6}\div\frac{5}{-9} = \frac{-7}{6}\times\frac{-9}{5} = \frac{7\times 3\times 3}{2\times 3\times 5} = \frac{21}{10} \]

Ensuite, pour \(D\), un seul facteur est négatif : le résultat est négatif. Ensuite, on simplifie par 5 et par 2.

\[ D = 7\times\frac{-2}{5}\times\frac{15}{26} = -\frac{7\times 2\times 3\times 5}{5\times 2\times 13} = -\frac{21}{13} \]

Ainsi, on respecte les priorités : parenthèses, puis multiplications, puis additions et soustractions.

\[ \begin{aligned} H &= \frac{5}{3}-\frac{5}{7}\times\left(2+\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3}-\frac{5}{7}\times\frac{7}{3} \\ &= \frac{5}{3}-\frac{5\times 7}{7\times 3} = \frac{5}{3}-\frac{5}{3} = 0 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I &= \frac{8}{3}\times\frac{8}{5}-\frac{7}{5}\times 2 = \frac{64}{15}-\frac{14}{5} \\ &= \frac{64}{15}-\frac{42}{15} = \frac{22}{15} \end{aligned} \]

Enfin, pour \(J\), on calcule le numérateur \(-5-(-7) = -5+7 = 2\) et le dénominateur \(-4-5 = -9\) :

\[ J = -3+\frac{2}{-9} = -\frac{27}{9}-\frac{2}{9} = -\frac{29}{9} \]

De plus, un tiers de la tarte a été mangé, il en reste :

\[ 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Ainsi, antonin prend les \(\frac{3}{4}\) de ce reste (et non de la tarte entière). Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier :

\[ \frac{3}{4}\times\frac{2}{3} = \frac{3\times 2}{2\times 2\times 3} = \frac{1}{2} \]

Par conséquent, les deux fractions portent sur le même litre de café : on les additionne pour obtenir la part bue.

\[ \frac{3}{5}+\frac{2}{7} = \frac{21}{35}+\frac{10}{35} = \frac{31}{35} \]

De plus, il reste :

\[ 1-\frac{31}{35} = \frac{35}{35}-\frac{31}{35} = \frac{4}{35} \]

1. De même, on écrit chaque fraction avec le dénominateur 100 :

\[ \frac{3}{5} = \frac{3\times 20}{5\times 20} = \frac{60}{100} = 60\,\% \qquad \frac{11}{20} = \frac{11\times 5}{20\times 5} = \frac{55}{100} = 55\,\% \]

Par conséquent, comme \(60\,\% \gt 55\,\%\), on a \(\frac{3}{5} \gt \frac{11}{20}\).

2. De plus, attention : les deux villages n’ont pas le même nombre de votants, il faut donc calculer le nombre de voix et pas seulement comparer les fractions.

\[ \begin{aligned} \text{Monsieur A : } \frac{3}{5}\times 1\,030 &= \frac{3\times 1\,030}{5} = 3\times 206 = 618 \text{ voix} \\ \text{Madame B : } \frac{11}{20}\times 1\,140 &= \frac{11\times 1\,140}{20} = 11\times 57 = 627 \text{ voix} \end{aligned} \]

Par conséquent, on obtient \(627 \gt 618\) : Madame B a obtenu plus de voix, alors que sa proportion de voix est plus petite, parce que son village compte davantage de votants.

Par conséquent, première façon : on calcule la masse récoltée en Provence-Alpes-Côte d’Azur, puis on la retire du total.

\[ \begin{aligned} \frac{7}{20}\times 68\,000 &= 7\times 3\,400 = 23\,800 \text{ t} \\ 68\,000-23\,800 &= 44\,200 \text{ t} \end{aligned} \]

De plus, deuxième façon : on calcule d’abord la fraction de la production récoltée dans les autres régions, puis on l’applique au total.

\[ \begin{aligned} 1-\frac{7}{20} &= \frac{13}{20} \\ \frac{13}{20}\times 68\,000 &= 13\times 3\,400 = 44\,200 \text{ t} \end{aligned} \]

Ainsi, les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Par conséquent, À chaque semaine, la fraction porte sur les candidats encore en jeu, pas sur les 80 du départ. Puis on avance donc semaine par semaine.

• Semaine 1 : \(\frac{1}{4}\times 80 = 20\) candidats éliminés, il en reste \(80-20 = 60\).
• Semaine 2 : \(\frac{2}{3}\times 60 = 40\) candidats éliminés, il en reste \(60-40 = 20\).
• Semaine 3 : \(\frac{3}{5}\times 20 = 12\) candidats éliminés, il en reste \(20-12 = 8\).

De plus, on peut aussi le faire en une ligne, en multipliant les fractions qui restent à chaque étape :

\[ 80\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{5} = 80\times\frac{6}{60} = 80\times\frac{1}{10} = 8 \]

De même, le matin, Sabine boit \(\frac{2}{5}\) de la bouteille :

\[ \frac{2}{5}\times 1{,}5 = \frac{3}{5} = 0{,}6 \text{ L} \]

Par conséquent, il reste \(1{,}5-0{,}6 = 0{,}9\) L.

De plus, À midi, elle boit les \(\frac{2}{3}\) du reste :

\[ \frac{2}{3}\times 0{,}9 = 0{,}6 \text{ L} \]

Ainsi, L’après-midi, elle termine la bouteille, c’est-à-dire ce qui reste :

\[ 0{,}9-0{,}6 = 0{,}3 \text{ L} \]

Enfin, vérification avec les fractions de la bouteille : à midi, \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{5} = \frac{2}{5}\), donc l’après-midi \(1-\frac{2}{5}-\frac{2}{5} = \frac{1}{5}\) de la bouteille, et \(\frac{1}{5}\times 1{,}5 = 0{,}3\) L.

De plus, nombre de timbres étrangers : \(\frac{3}{11}\) des 2 057 timbres.

\[ \frac{3}{11}\times 2\,057 = 3\times 187 = 561 \]

Ainsi, nombre de timbres allemands : \(\frac{5}{17}\) des 561 timbres étrangers.

\[ \frac{5}{17}\times 561 = 5\times 33 = 165 \]

Enfin, autre méthode : les timbres allemands représentent \(\frac{5}{17}\times\frac{3}{11} = \frac{15}{187}\) de la collection, et \(\frac{15}{187}\times 2\,057 = 15\times 11 = 165\).

1. De plus, le matin et le midi, Pierre mange :

\[ \frac{1}{4}+\frac{2}{5} = \frac{5}{20}+\frac{8}{20} = \frac{13}{20} \]

Ainsi, le soir, il mange le reste :

\[ 1-\frac{13}{20} = \frac{7}{20} \]

2. Enfin, on applique chaque fraction à 240 g (\(240\div 20 = 12\)) :

\[ \begin{aligned} \text{matin : } \frac{1}{4}\times 240 &= 60 \text{ g} \\ \text{midi : } \frac{2}{5}\times 240 &= 96 \text{ g} \\ \text{soir : } \frac{7}{20}\times 240 &= 7\times 12 = 84 \text{ g} \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \(60+96+84 = 240\) g.

Ainsi, natation et course à pied représentent (dénominateur commun 24) :

\[ \frac{1}{24}+\frac{1}{3} = \frac{1}{24}+\frac{8}{24} = \frac{9}{24} \]

Enfin, le vélo représente le reste de la distance :

\[ 1-\frac{9}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5\times 3}{8\times 3} = \frac{5}{8} \]

De plus, la moitié des élèves va en seconde générale et technologique et \(\frac{5}{12}\) en seconde professionnelle :

\[ \frac{1}{2}+\frac{5}{12} = \frac{6}{12}+\frac{5}{12} = \frac{11}{12} \]

Ainsi, les élèves qui redoublent sont tous les autres :

\[ 1-\frac{11}{12} = \frac{1}{12} \]

1. Par conséquent, si tous les élèves ont participé au sondage, la somme des quatre fractions doit valoir 1 (toute la classe). De plus, on réduit au dénominateur 12 :

\[ \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{5}{12}+\frac{1}{12} = \frac{2}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}+\frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

De plus, la somme vaut 1 : tous les élèves de la classe ont bien participé au sondage.

2. Ainsi, la phrase de l’énoncé est incomplète (« Peut-on dire que ? »). Ensuite, une question naturelle est : peut-on dire que la moitié des élèves ont lu au moins deux livres ? Les élèves qui ont lu au moins deux livres représentent :

\[ \frac{5}{12}+\frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Enfin, oui : exactement la moitié des élèves ont lu deux livres ou plus (et donc l’autre moitié en a lu un ou aucun).

3. Ensuite, les élèves qui ont lu un ou deux livres représentent :

\[ \frac{1}{3}+\frac{5}{12} = \frac{4}{12}+\frac{5}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]

Par ailleurs, oui, des élèves ont lu un ou deux livres : ils forment les trois quarts de la classe.

Enfin, on additionne les proportions connues avec le dénominateur commun 18 :

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9} = \frac{6}{18}+\frac{3}{18}+\frac{2}{18} = \frac{11}{18} \]

Ensuite, les élèves restants ont choisi l’espagnol :

\[ 1-\frac{11}{18} = \frac{7}{18} \]

Ainsi, prendre « \(\frac{1}{4}\) des \(\frac{5}{6}\) », c’est calculer le produit des deux fractions.

a) Enfin, thomas :

\[ \frac{1}{4}\times\frac{5}{6} = \frac{5}{24} \]

b) Ensuite, tom :

\[ \frac{1}{2}\times\frac{3}{4} = \frac{3}{8} \]

c) Par ailleurs, on compare avec le même dénominateur 24 : \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\) et \(\frac{9}{24} \gt \frac{5}{24}\).

Enfin, on calcule la part de tablette mangée par chacun :

\[ \begin{aligned} \text{René : } \frac{1}{4}\times\frac{2}{3} &= \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \\ \text{Rémi : } \frac{1}{2}\times\frac{1}{3} &= \frac{1}{6} \end{aligned} \]

Ensuite, les deux fractions sont égales et les tablettes sont identiques.

De plus, on obtient « Le quart des deux tiers » : prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier. Alexandra a donc dépensé :

\[ \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Enfin, on simplifie par 2 à la fin (ou dès le départ : le 2 du numérateur et le 4 du dénominateur).

1. De plus, L’air est formé de diazote, de dioxygène et de gaz rares : les trois proportions ont pour somme 1 (tout l’air). Par ailleurs, on additionne d’abord le diazote et le dioxygène, en réduisant au dénominateur 50 :

\[ \frac{39}{50} + \frac{1}{5} = \frac{39}{50} + \frac{10}{50} = \frac{49}{50} \]

Ainsi, la proportion de gaz rares est ce qui manque pour arriver à 1 :

\[ 1 – \frac{49}{50} = \frac{50}{50} – \frac{49}{50} = \frac{1}{50} \]

Enfin, les gaz rares représentent \( \frac{1}{50} \) de l’air, soit 2 %. (Le diagramme, qui utilise des valeurs réelles arrondies, indique environ 1 % ; dans l’exercice on travaille avec les fractions de l’énoncé.)

Ainsi, on trouve 2. a) L’argon représente les \( \frac{9}{10} \) des gaz rares, qui sont eux-mêmes \( \frac{1}{50} \) de l’air. Puis on multiplie :

\[ \frac{9}{10} \times \frac{1}{50} = \frac{9}{500} \]

Par ailleurs, la proportion d’argon dans l’air est \( \frac{9}{500} \).

b) De même, on convertit : 2 L = 200 cL. Ensuite, le volume d’argon est :

\[ \frac{9}{500} \times 200 = \frac{9 \times 200}{500} = \frac{1\,800}{500} = 3{,}6 \text{ cL} \]

Par conséquent, on obtient 1° Après le passage de Marylise, il reste \( 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \) du paquet. Martin prend le tiers de ce reste :

\[ \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \]

Par ailleurs, martin a pris \( \frac{2}{15} \) des bonbons.

Par ailleurs, on a donc 2° Juliette prend tout ce qui reste. Puis on écrit tout au dénominateur 15 :

\[ 1 – \frac{3}{5} – \frac{2}{15} = \frac{15}{15} – \frac{9}{15} – \frac{2}{15} = \frac{4}{15} \]

Par conséquent, il reste \( \frac{4}{15} \) des bonbons pour Juliette.

Ainsi, on trouve 3° Avec 75 bonbons :

• Marylise : \( \frac{3}{5} \times 75 = 3 \times 15 = 45 \) bonbons ;
• Martin : \( \frac{2}{15} \times 75 = 2 \times 5 = 10 \) bonbons ;
• Juliette : \( \frac{4}{15} \times 75 = 4 \times 5 = 20 \) bonbons.

Ainsi, vérification : 45 + 10 + 20 = 75. De plus, le compte est bon.

De plus, après l’export vers l’Espagne, il reste \( 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \) de la production. Paris reçoit les deux tiers de ce reste :

\[ \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15} \]

Ainsi, la part vendue en Italie est ce qui reste de la production totale :

\[ 1 – \frac{3}{5} – \frac{4}{15} = \frac{15}{15} – \frac{9}{15} – \frac{4}{15} = \frac{2}{15} \]

Enfin, autre façon de voir : l’Italie reçoit le tiers restant du reste, soit \( \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \). Ensuite, on retrouve le même résultat.

De plus, on calcule la fraction du groupe total qui monte dans chaque autocar. À chaque étape, on prend une fraction du reste, donc on multiplie.

• Autocar 1 : \( \frac{1}{5} \) du groupe. Il reste \( 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
• Autocar 2 : le quart du reste, \( \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \). Il reste \( \frac{4}{5} – \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \).
• Autocar 3 : le tiers du reste, \( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \). Il reste \( \frac{3}{5} – \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \).
• Autocar 4 : la moitié du reste, \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \). Il reste \( \frac{2}{5} – \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \).
• Autocar 5 : les derniers touristes, soit \( \frac{1}{5} \) du groupe.

Ainsi, chaque autocar transporte \( \frac{1}{5} \) du groupe : la répartition est donc équitable, quel que soit le nombre de voyageurs.

Ensuite, calcul de Q. Avant de calculer, on regarde chaque facteur du numérateur. Par ailleurs, le dernier vaut :

\[ 1 – \frac{6}{6} = 1 – 1 = 0 \]

Par ailleurs, un produit dont un facteur est nul est nul : le numérateur vaut 0. Puis le dénominateur \( 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \) n’est pas nul, donc :

\[ Q = \frac{0}{\frac{5}{6}} = 0 \]

De même, calcul de R. On simplifie chaque fraction du dénominateur :

\[ \frac{17}{34} = \frac{17 \times 1}{17 \times 2} = \frac{1}{2} \qquad \frac{51}{68} = \frac{17 \times 3}{17 \times 4} = \frac{3}{4} \qquad \frac{153}{170} = \frac{17 \times 9}{17 \times 10} = \frac{9}{10} \]

Par conséquent, le dénominateur est donc exactement le numérateur : \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{10} \). Ensuite, ce nombre n’est pas nul (il vaut \( \frac{43}{20} \)), et un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1 :

\[ R = 1 \]

Par ailleurs, les règles de priorité : d’abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Sans parenthèses et avec seulement des additions et soustractions, on calcule de gauche à droite.

Calcul	Opération à effectuer en premier	Raison
E	×	la multiplication passe avant l’addition
F	+ (dans les parenthèses)	les parenthèses d’abord
G	×	la multiplication passe avant la soustraction
H	− (dans les parenthèses)	les parenthèses d’abord
J	+ (dans les parenthèses)	les parenthèses d’abord
K	− (le premier signe)	que des − et des + : de gauche à droite
L	− (dans les parenthèses)	les parenthèses d’abord
M	+ (le premier signe)	que des + et des − : de gauche à droite

Par conséquent, on remarque que E et J, F et K, G et L, H et M s’écrivent avec les mêmes nombres : seules les parenthèses changent, et donc l’ordre des calculs. Puis les exercices 37 et 38 montrent que les résultats sont différents (sauf pour H et M).

Par ailleurs, N : la multiplication d’abord.

\[ N = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5} + \frac{28}{25} = \frac{40}{25} + \frac{28}{25} = \frac{68}{25} \]

Par ailleurs, P : les parenthèses d’abord.

\[ P = \frac{53}{30} – \left( \frac{3}{10} + \frac{9}{10} \right) = \frac{53}{30} – \frac{12}{10} = \frac{53}{30} – \frac{36}{30} = \frac{17}{30} \]

De même, Q : la multiplication d’abord.

\[ Q = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} – \frac{3}{2} = \frac{49}{12} – \frac{18}{12} = \frac{31}{12} \]

R : les parenthèses d’abord.

\[ R = \frac{3}{7} + \left( \frac{17}{14} – \frac{23}{28} \right) = \frac{3}{7} + \left( \frac{34}{28} – \frac{23}{28} \right) = \frac{12}{28} + \frac{11}{28} = \frac{23}{28} \]

Ce sont les mêmes nombres qu’à l’exercice 37, mais les parenthèses sont placées autrement.

S : les parenthèses d’abord.

\[ S = \left( \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \right) \times \frac{4}{5} = \frac{15}{5} \times \frac{4}{5} = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5} \]

T : seulement une soustraction et une addition : on calcule de gauche à droite.

\[ T = \frac{53}{30} – \frac{3}{10} + \frac{9}{10} = \frac{53}{30} – \frac{9}{30} + \frac{27}{30} = \frac{44}{30} + \frac{27}{30} = \frac{71}{30} \]

U : les parenthèses d’abord.

\[ U = \frac{7}{6} \times \left( \frac{7}{2} – \frac{3}{2} \right) = \frac{7}{6} \times \frac{4}{2} = \frac{7}{6} \times 2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

V : de gauche à droite, au dénominateur commun 28.

\[ V = \frac{3}{7} + \frac{17}{14} – \frac{23}{28} = \frac{12}{28} + \frac{34}{28} – \frac{23}{28} = \frac{23}{28} \]

Comparaison avec l’exercice 37 : S ≠ N, T ≠ P et U ≠ Q, les parenthèses changent le résultat. De plus, en revanche V = R, car une addition suivie d’une soustraction donne le même résultat, qu’on commence par l’une ou par l’autre.

L’expression est \( A = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}}} \). Ensuite, on calcule en partant du bas (la fraction la plus « profonde ») et on remonte étage par étage. Par ailleurs, on utilise que diviser 1 par une fraction revient à prendre son inverse.

\[ \begin{aligned} 1 + \frac{1}{2} &= \frac{3}{2} \\ 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} &= 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \\ 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} &= 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \\ A = 1 + \frac{1}{\frac{8}{5}} &= 1 + \frac{5}{8} = \frac{13}{8} \end{aligned} \]

Quand les dénominateurs sont égaux, on additionne (ou soustrait) les numérateurs. Sinon, on réduit d’abord au même dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3} \\ B &= \frac{5}{11} – \frac{7}{11} = \frac{-2}{11} = -\frac{2}{11} \\ C &= \frac{7}{4} + \frac{9}{3} = \frac{21}{12} + \frac{36}{12} = \frac{57}{12} = \frac{19}{4} \\ D &= \frac{5}{7} – \frac{4}{5} = \frac{25}{35} – \frac{28}{35} = -\frac{3}{35} \end{aligned} \]

Pour C, on pouvait aussi remarquer que \( \frac{9}{3} = 3 = \frac{12}{4} \), d’où \( C = \frac{7}{4} + \frac{12}{4} = \frac{19}{4} \).

Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, en respectant les priorités (la multiplication avant l’addition ou la soustraction), puis on simplifie.

\[ A = \frac{7 + 7 \times 4}{14 + 7 \times 2} = \frac{7 + 28}{14 + 14} = \frac{35}{28} = \frac{7 \times 5}{7 \times 4} = \frac{5}{4} \]
\[ B = \frac{5 – 4 \times 5}{4 \times 3 + 5} = \frac{5 – 20}{12 + 5} = \frac{-15}{17} = -\frac{15}{17} \]

15 = 3 × 5 et 17 est un nombre premier qui ne divise pas 15 : la fraction \( \frac{15}{17} \) est irréductible.

On ne calcule pas les produits : on décompose chaque facteur pour faire apparaître les facteurs communs, puis on les simplifie.

\[ A = \frac{14 \times 21 \times 18}{6 \times 7 \times 9} = \frac{2 \times 7 \times 3 \times 7 \times 2 \times 9}{2 \times 3 \times 7 \times 9} = 2 \times 7 = 14 \]
\[ B = \frac{36 \times 35 \times 14}{7 \times 24 \times 15} = \frac{12 \times 3 \times 5 \times 7 \times 2 \times 7}{7 \times 12 \times 2 \times 3 \times 5} = 7 \]

Pour A, après simplification par 2, 3, 7 et 9, il reste 2 × 7 au numérateur. Puis pour B, on simplifie par 12, 3, 5, 7 et 2, et il reste 7.

On calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on divise en multipliant par l’inverse.

\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \qquad \frac{4}{3} – \frac{1}{6} = \frac{8}{6} – \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \]
\[ A = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{7}{6}} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 7} = \frac{4}{7} \]

A : les parenthèses d’abord, puis la division.

\[ \begin{aligned} A &= \left( \frac{5}{3} – \frac{8}{3} \right) \div \left( \frac{5}{7} + \frac{3}{2} \right) = \frac{-3}{3} \div \left( \frac{10}{14} + \frac{21}{14} \right) \\ &= -1 \div \frac{31}{14} = -1 \times \frac{14}{31} = -\frac{14}{31} \end{aligned} \]

B : numérateur et dénominateur séparément.

\[ \frac{4}{7} + \frac{3}{4} = \frac{16}{28} + \frac{21}{28} = \frac{37}{28} \qquad \frac{3}{8} – \frac{6}{5} = \frac{15}{40} – \frac{48}{40} = -\frac{33}{40} \]
\[ B = \frac{37}{28} \times \left( -\frac{40}{33} \right) = -\frac{37 \times 4 \times 10}{4 \times 7 \times 33} = -\frac{370}{231} \]

370 = 2 × 5 × 37 et 231 = 3 × 7 × 11 n’ont aucun facteur commun : la fraction est irréductible.

C : la division passe avant l’addition.

\[ \frac{5}{-3} \div \frac{-4}{7} = \frac{5}{-3} \times \frac{7}{-4} = \frac{35}{12} \]

(le produit de deux nombres négatifs est positif). Puis :

\[ C = -\frac{2}{7} + \frac{35}{12} = -\frac{24}{84} + \frac{245}{84} = \frac{221}{84} \]

221 = 13 × 17 et 84 = 2 × 2 × 3 × 7 : la fraction est irréductible.

D : la division d’abord.

\[ \frac{5}{-7} \div \frac{4}{35} = -\frac{5}{7} \times \frac{35}{4} = -\frac{5 \times 5 \times 7}{7 \times 4} = -\frac{25}{4} \]
\[ \begin{aligned} D &= \frac{8}{6} – \frac{3}{4} – \frac{25}{4} = \frac{4}{3} – \frac{28}{4} = \frac{4}{3} – 7 \\ &= \frac{4}{3} – \frac{21}{3} = -\frac{17}{3} \end{aligned} \]

A : la multiplication d’abord.

\[ A = \frac{4}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{5} + \frac{56}{15} = \frac{12}{15} + \frac{56}{15} = \frac{68}{15} \]

B : la division d’abord (on multiplie par l’inverse).

\[ B = \frac{4}{5} – \frac{7}{5} \div \frac{8}{3} = \frac{4}{5} – \frac{7}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{4}{5} – \frac{21}{40} = \frac{32}{40} – \frac{21}{40} = \frac{11}{40} \]

C : la division d’abord.

\[ C = \frac{2}{3} + \frac{7}{9} \div \frac{21}{27} = \frac{2}{3} + \frac{7}{9} \times \frac{27}{21} = \frac{2}{3} + \frac{7 \times 9 \times 3}{9 \times 7 \times 3} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} \]

D : numérateur et dénominateur séparément.

\[ \frac{3}{4} – \frac{5}{2} = \frac{3}{4} – \frac{10}{4} = -\frac{7}{4} \qquad \frac{4}{7} + \frac{3}{2} = \frac{8}{14} + \frac{21}{14} = \frac{29}{14} \]
\[ D = -\frac{7}{4} \times \frac{14}{29} = -\frac{7 \times 2 \times 7}{2 \times 2 \times 29} = -\frac{49}{58} \]

A : la multiplication d’abord, en simplifiant avant de multiplier.

\[ A = \frac{3}{4} – \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3}{4} – \frac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3} = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{9}{12} – \frac{8}{12} = \frac{1}{12} \]

B : les deux multiplications d’abord.

\[ \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} = 1 \qquad \frac{16}{45} \times \frac{35}{8} = \frac{8 \times 2 \times 5 \times 7}{5 \times 9 \times 8} = \frac{14}{9} \]
\[ B = 1 + \frac{14}{9} = \frac{9}{9} + \frac{14}{9} = \frac{23}{9} \]

C : numérateur et dénominateur séparément, au dénominateur commun 6.

\[ -\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} – \frac{2}{6} = -\frac{5}{6} \qquad \frac{3}{2} – \frac{2}{3} = \frac{9}{6} – \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \]
\[ C = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1 \]

Un nombre divisé par son opposé donne −1.

A : les deux multiplications d’abord.

\[ A = -\frac{7}{5} \times \frac{1}{2} – \frac{3}{10} \times \frac{3}{4} = -\frac{7}{10} – \frac{9}{40} = -\frac{28}{40} – \frac{9}{40} = -\frac{37}{40} \]

B : les parenthèses, puis la multiplication, puis la soustraction.

\[ \frac{3}{2} – \frac{5}{4} = \frac{6}{4} – \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \qquad \frac{7}{6} – 1 = \frac{7}{6} – \frac{6}{6} = \frac{1}{6} \]
\[ B = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} – \frac{1}{6} = \frac{2}{12} – \frac{1}{6} = \frac{1}{6} – \frac{1}{6} = 0 \]

C : les parenthèses d’abord.

\[ \frac{9}{4} – \frac{1}{2} = \frac{9}{4} – \frac{2}{4} = \frac{7}{4} \qquad \frac{7}{2} – 2 = \frac{7}{2} – \frac{4}{2} = \frac{3}{2} \]

Puis la division et la multiplication, avant l’addition :

\[ \begin{aligned} C &= \frac{7}{4} \div \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{7}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \end{aligned} \]