Corrigé des 20 exercices sur les équations et inéquations en 3ème à télécharger en PDF

On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre. Quand on divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité ; ici on s’arrange pour diviser par un nombre positif.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 4x + 3 \lt 7x &\iff 3 \lt 3x \iff x \gt 1 \\ \text{b. } 4x + 12 \gt 7x &\iff 12 \gt 3x \iff x \lt 4 \\ \text{c. } 4x + 3 \geqslant 7x + 8 &\iff -5 \geqslant 3x \iff x \leqslant -\tfrac{5}{3} \\ \text{d. } 4x + 3 \leqslant 7x + 56 &\iff -53 \leqslant 3x \iff x \geqslant -\tfrac{53}{3} \\ \text{e. } 4x + 12 \gt 7x + 56 &\iff -44 \gt 3x \iff x \lt -\tfrac{44}{3} \\ \text{f. } -4x + 3 \geqslant 7x – 8 &\iff 11 \geqslant 11x \iff x \leqslant 1 \\ \text{g. } -4x – 12 \geqslant 7x – 56 &\iff 44 \geqslant 11x \iff x \leqslant 4 \\ \text{h. } -4x + 12 \leqslant 7x + 8 &\iff 4 \leqslant 11x \iff x \geqslant \tfrac{4}{11} \\ \text{i. } 4x – 12 \gt 7x – 56 &\iff 44 \gt 3x \iff x \lt \tfrac{44}{3} \end{aligned} \]

De plus, pour j, k et l, on développe : les termes en \(x^2\) s’éliminent.

Suite du corrigé corrigé équations 3ème

\[ \begin{aligned} \text{j. } 4x^2 – 12x + 9 \lt 4x^2 + 2x – 4 &\iff 13 \lt 14x \iff x \gt \tfrac{13}{14} \\ \text{k. } -4x^2 + 12x – 9 \leqslant -4x^2 + 2x – 4 &\iff 10x \leqslant 5 \iff x \leqslant \tfrac{1}{2} \\ \text{l. } 18x^2 – 18x + 4 \geqslant 18x^2 – 52x – 6 &\iff 34x \geqslant -10 \iff x \geqslant -\tfrac{5}{17} \end{aligned} \]

Par ailleurs, Sur la droite graduée, la partie solution est coloriée ; le crochet est tourné vers la partie coloriée si la borne est une solution (\(\leqslant\), \(\geqslant\)), et tourné vers l’extérieur sinon (\(\lt\), \(\gt\)).

\[ \begin{aligned} 1)\ 5x + 2 = 2x + 6 &\iff 3x = 4 \iff x = \tfrac{4}{3} \\ 2)\ 6x + 6 = -2x + 14 &\iff 8x = 8 \iff x = 1 \\ 3)\ -12x – 9 = 2x + 6 &\iff -14x = 15 \iff x = -\tfrac{15}{14} \end{aligned} \]

Pour les équations avec quotients, on utilise l’égalité des produits en croix (ou on multiplie par le dénominateur commun).

\[ \begin{aligned} 4)\ 4(x + 3) = 3(2x + 1) &\iff 4x + 12 = 6x + 3 \iff 9 = 2x \iff x = \tfrac{9}{2} \\ 5)\ 2x – 3 = 3(-5x + 1) &\iff 2x – 3 = -15x + 3 \iff 17x = 6 \iff x = \tfrac{6}{17} \\ 6)\ 4(3 – 4x) = 5(2x + 1) &\iff 12 – 16x = 10x + 5 \iff 7 = 26x \iff x = \tfrac{7}{26} \end{aligned} \]

Ainsi, Vérification du 2) : \(2(3 + 3) = 12\) et \(-2(1 – 7) = 12\).

1)

\[ (3x – 5)(x + 3) = 3x^2 + 9x – 5x – 15 = 3x^2 + 4x – 15 \]

2) D’après la question 1, l’équation \(3x^2 + 4x – 15 = 0\) s’écrit \((3x – 5)(x + 3) = 0\). C’est une équation produit nul :

\[ 3x – 5 = 0 \iff x = \frac{5}{3} \qquad \text{ou} \qquad x + 3 = 0 \iff x = -3 \]

Soit \(n\) le nombre de baguettes cuites. Puis le matin, il en vend \(\frac{2}{3}n\) ; l’après-midi 90 ; il en reste 20. Donc :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}n + 90 + 20 &= n \\ 110 &= n – \frac{2}{3}n = \frac{1}{3}n \\ n &= 330 \end{aligned} \]

Donc, Vérification : le matin \(\frac{2}{3} \times 330 = 220\), puis \(330 – 220 – 90 = 20\) baguettes restantes.

1.

\[ \begin{aligned} A &= (4x^2 – 12x + 9) – (8x^2 – 12x + 14x – 21) \\ &= 4x^2 – 12x + 9 – 8x^2 – 2x + 21 \\ &= -4x^2 – 14x + 30 \end{aligned} \]

Également, 2. Facteur commun \((2x – 3)\) :

\[ A = (2x – 3)\left[(2x – 3) – (4x + 7)\right] = (2x – 3)(-2x – 10) \]

Par conséquent, 3. \((2x – 3)(-2x – 10) = 0\) : \(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2}\) ; \(-2x – 10 = 0\) donne \(x = -5\).

1) \(E = (2x)^2 – 7^2 = (2x – 7)(2x + 7)\).

En effet, 2) a)

\[ \begin{aligned} F &= -10x^2 + 18x + 35x – 63 + 4x^2 – 49 \\ &= -6x^2 + 53x – 112 \end{aligned} \]

Ensuite, b)

\[ \begin{aligned} F(1) &= -6 + 53 – 112 = -65 \\ F\left(-\tfrac{1}{2}\right) &= -6 \times \tfrac{1}{4} – \tfrac{53}{2} – 112 = -1{,}5 – 26{,}5 – 112 = -140 \\ F(\sqrt{2}) &= -6 \times 2 + 53\sqrt{2} – 112 = 53\sqrt{2} – 124 \end{aligned} \]

De plus, c) Avec la question 1, \(F = (2x – 7)(-5x + 9) + (2x – 7)(2x + 7)\), d’où :

\[ F = (2x – 7)\left[(-5x + 9) + (2x + 7)\right] = (2x – 7)(-3x + 16) \]

Par ailleurs, Contrôle : pour \(x = 1\), \((-5) \times 13 = -65\).

Ainsi, d) \(F = 0 \iff 2x – 7 = 0\) ou \(-3x + 16 = 0\), soit \(x = \dfrac{7}{2}\) ou \(x = \dfrac{16}{3}\).

Chaque expression est un carré de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\). De plus, un carré est nul si et seulement si le nombre élevé au carré est nul : il y a une seule solution.

\[ \begin{aligned} \text{a) } x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2 = 0 &\iff x = -7 \\ \text{b) } y^2 – 12y + 36 = (y – 6)^2 = 0 &\iff y = 6 \\ \text{c) } 4x^2 – 20x + 25 = (2x – 5)^2 = 0 &\iff x = \tfrac{5}{2} \\ \text{d) } 9z^2 + 24z + 16 = (3z + 4)^2 = 0 &\iff z = -\tfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Soit \(x\) le nombre de pièces de 2 €. Ensuite, il y a 35 pièces, donc \(35 – x\) pièces de 1 €. Par ailleurs, la somme totale vaut 65 € :

\[ \begin{aligned} 2x + 1 \times (35 – x) &= 65 \\ x + 35 &= 65 \\ x &= 30 \end{aligned} \]

Donc, il y a 30 pièces de 2 € et \(35 – 30 = 5\) pièces de 1 €. Vérification : \(30 \times 2 + 5 \times 1 = 65\) €.

On factorise avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), puis on applique la règle du produit nul.

Également, 1.

\[ \begin{aligned} (x – 7)^2 – (2x + 5)^2 &= \left[(x – 7) – (2x + 5)\right]\left[(x – 7) + (2x + 5)\right] \\ &= (-x – 12)(3x – 2) \end{aligned} \]

Par conséquent, Solutions : \(x = -12\) ou \(x = \dfrac{2}{3}\).

En effet, 2.

\[ (7x + 1)^2 – (3x + 4)^2 = (4x – 3)(10x + 5) \]

Ensuite, Solutions : \(x = \dfrac{3}{4}\) ou \(x = -\dfrac{1}{2}\).

De plus, 3.

\[ (6x – 1)^2 – (2x + 1)^2 = (4x – 2)(8x) \]

Par ailleurs, Solutions : \(x = \dfrac{1}{2}\) ou \(x = 0\).

1) N est sur [AD] qui mesure 10 cm, donc \(0 \leqslant x \leqslant 10\).

Ainsi, 2) a) NORD est un rectangle de côtés \(ND = 10 – x\) et \(DR = x\) :

\[ \mathcal{A}(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 \]

Donc, b) On développe l’expression proposée :

\[ 25 – (x – 5)^2 = 25 – (x^2 – 10x + 25) = 10x – x^2 \]

Également, On retrouve bien l’aire de NORD.

Par conséquent, 3) a) Un carré est toujours positif ou nul, donc \((x – 5)^2 \geqslant 0\) et \(\mathcal{A}(x) \leqslant 25\). Puis l’aire vaut 25 exactement quand \((x – 5)^2 = 0\), c’est-à-dire pour \(x = 5\). Ensuite, l’aire maximale est donc 25 cm², obtenue quand \(AN = 5\) cm : N est le milieu de [AD].

b) Dans ce cas \(ND = DR = 5\) cm : le rectangle NORD a deux côtés consécutifs égaux, c’est un carré.

On choisit l’inconnue : on note \( x \) le nombre total de médailles distribuées.

• Le club A remporte un tiers des médailles : \( \dfrac{x}{3} \) médailles.
• Le club B remporte deux septièmes des médailles : \( \dfrac{2x}{7} \) médailles.
• Le club C remporte 16 médailles.

Les trois clubs se partagent toutes les médailles, d’où l’équation :

\[ \dfrac{x}{3} + \dfrac{2x}{7} + 16 = x \]

En effet, on réduit au même dénominateur 21 :

\[ \begin{aligned} \dfrac{7x}{21} + \dfrac{6x}{21} + 16 &= x \\ \dfrac{13x}{21} + 16 &= x \\ 16 &= x – \dfrac{13x}{21} \\ 16 &= \dfrac{8x}{21} \\ x &= \dfrac{16 \times 21}{8} = 42 \end{aligned} \]

De même, Vérification : le club A a \( 42 \div 3 = 14 \) médailles, le club B a \( 2 \times 42 \div 7 = 12 \) médailles et le club C en a 16. Puis on trouve bien \( 14 + 12 + 16 = 42 \).

Les points A, I, C d’une part et D, I, F d’autre part sont alignés dans le même ordre (I est entre A et C, et entre D et F). C’est une configuration de Thalès « en papillon ».

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DA) et (FC) sont parallèles lorsque :

\[ \dfrac{IA}{IC} = \dfrac{ID}{IF} \quad \text{soit} \quad \dfrac{7x + 5}{5x} = \dfrac{12}{7} \]

De plus, on utilise l’égalité des produits en croix (les deux fractions sont égales) :

\[ \begin{aligned} 7(7x + 5) &= 12 \times 5x \\ 49x + 35 &= 60x \\ 35 &= 11x \\ x &= \dfrac{35}{11} \end{aligned} \]

Également, Vérification : pour \( x = \dfrac{35}{11} \), on a \( IA = 7 \times \dfrac{35}{11} + 5 = \dfrac{300}{11} \) et \( IC = 5 \times \dfrac{35}{11} = \dfrac{175}{11} \), donc \( \dfrac{IA}{IC} = \dfrac{300}{175} = \dfrac{12}{7} \), qui est bien égal à \( \dfrac{ID}{IF} \).

Ainsi, la valeur exacte \( \dfrac{35}{11} \) n’est pas décimale : \( x \approx 3{,}18 \).

On lit sur la figure : BC = 3 m, EF = 1 m, CE = 4 m, CD = 40 cm = 0,4 m et EA = x. De plus, les segments [BC], [GD] et [FE] sont verticaux : ils sont tous perpendiculaires à la droite (CA), donc parallèles entre eux.

Par ailleurs, Calcul de x. Dans le triangle ABC, E est sur [AC], F est sur [AB] et (EF) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{EF}{CB} \quad \text{soit} \quad \dfrac{x}{4 + x} = \dfrac{1}{3} \]

car AC = CE + EA = 4 + x. Avec les produits en croix :

\[ \begin{aligned} 3x &= 4 + x \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Donc EA = 2 m et AC = 6 m. Vérification : \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).

Pour aller plus loin : la hauteur h. On a AD = AC − CD = 6 − 0,4 = 5,6 m. Comme (GD) est parallèle à (BC), le théorème de Thalès donne :

\[ \dfrac{GD}{BC} = \dfrac{AD}{AC} \quad \text{donc} \quad h = \dfrac{3 \times 5{,}6}{6} = 2{,}8 \text{ m} \]

Trois nombres entiers consécutifs s’écrivent facilement à partir de celui du milieu : on note \( n \) le nombre du milieu, les deux autres sont \( n – 1 \) et \( n + 1 \).

Par conséquent, La somme de leurs carrés vaut 1 325 :

\[ (n – 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = 1\,325 \]

En effet, on développe avec les identités remarquables :

\[ \begin{aligned} (n^2 – 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) &= 1\,325 \\ 3n^2 + 2 &= 1\,325 \\ 3n^2 &= 1\,323 \\ n^2 &= 441 \end{aligned} \]

Ensuite, les solutions de \( n^2 = 441 \) sont \( n = 21 \) et \( n = -21 \). Comme on cherche des entiers positifs, on garde \( n = 21 \). Ensuite, les trois nombres sont donc 20, 21 et 22.

Vérification : \( 20^2 + 21^2 + 22^2 = 400 + 441 + 484 = 1\,325 \).

Pour chaque équation, on regroupe les termes en \( x \) d’un côté et les nombres de l’autre (en ajoutant ou soustrayant le même nombre aux deux membres), puis on divise par le coefficient de \( x \).

\[ \begin{aligned} \text{a. } x + 0{,}6 = 4{,}8 &\iff x = 4{,}8 – 0{,}6 \iff x = 4{,}2 \\ \text{b. } -2 + x = 5 &\iff x = 5 + 2 \iff x = 7 \\ \text{c. } -2x = 5 &\iff x = \dfrac{5}{-2} \iff x = -\dfrac{5}{2} \\ \text{d. } -3 + x = -9 &\iff x = -9 + 3 \iff x = -6 \\ \text{e. } -6x = -8 &\iff x = \dfrac{-8}{-6} \iff x = \dfrac{4}{3} \\ \text{f. } 4x + 5 = 0 &\iff 4x = -5 \iff x = -\dfrac{5}{4} \\ \text{g. } 9 – 3x = 0 &\iff 9 = 3x \iff x = 3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{h. } 4 + 2x = 10 – 4x &\iff 6x = 6 \iff x = 1 \\ \text{i. } 9x – 7 = 3 – 3x + 8 &\iff 9x – 7 = 11 – 3x \iff 12x = 18 \iff x = \dfrac{3}{2} \\ \text{j. } 3x + 1 = 2x – 2 &\iff x = -3 \\ \text{k. } 5x + 10 = 3x + 40 &\iff 2x = 30 \iff x = 15 \\ \text{l. } 4 + 2x = 20 – 8x &\iff 10x = 16 \iff x = \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

m. On développe d’abord la parenthèse :

Suite du corrigé corrigé équations 3ème

\[ \begin{aligned} 2(3x – 1) – 2x &= 7x + 3 \\ 6x – 2 – 2x &= 7x + 3 \\ 4x – 2 &= 7x + 3 \\ -5 &= 3x \\ x &= -\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Par ailleurs, n. Attention au signe « − » devant la parenthèse : il change le signe de chaque terme.

\[ \begin{aligned} 10x – 5 – 3(2x + 5) &= -20 \\ 10x – 5 – 6x – 15 &= -20 \\ 4x – 20 &= -20 \\ 4x &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned} \]

On isole \(x\) :

\[5x-7 \gt 2x+5\]\[5x-2x \gt 5+7\]\[3x \gt 12\]\[x \gt 4\]

On divise par \(3\) (nombre positif) : le sens de l’inégalité ne change pas.

Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 4. Le point d’abscisse 4 est exclu (cercle vide).

1. Formule A : \(12+3n\). Formule B : \(5n\).

2. \[12+3n \lt 5n\]\[12 \lt 5n-3n\]\[12 \lt 2n\]\[n \gt 6\]

3. Il faut \(n \gt 6\) avec \(n\) entier : la formule A est la plus avantageuse à partir de 7 séances.

   Vérification : pour \(7\) séances, \(12+3\times 7=33\) € contre \(5\times 7=35\) € ; pour \(6\) séances, les deux formules coûtent \(30\) €.

On utilise la règle : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

1. \(3x-6=0\) ou \(x+4=0\), soit \(x=2\) ou \(x=-4\). Solutions : \(2\) et \(-4\).
2. \[(2x+1)^2-3^2=0\]\[(2x+1-3)(2x+1+3)=0\]\[(2x-2)(2x+4)=0\]

   Donc \(2x-2=0\) ou \(2x+4=0\), soit \(x=1\) ou \(x=-2\). Solutions : \(1\) et \(-2\).

3. \[x(x-5)=0\]

   Donc \(x=0\) ou \(x-5=0\). Solutions : \(0\) et \(5\).

1. On multiplie les deux membres par \(6\), dénominateur commun :

   \[2(x+2)-3(x-1)=6\]\[2x+4-3x+3=6\]\[-x+7=6\]\[x=1\]

   Vérification : \(\dfrac{3}{3}-\dfrac{0}{2}=1\). Solution : \(1\).

2. On multiplie par \(4\) :

   \[3x-1=2(x+7)\]\[3x-1=2x+14\]\[x=15\]

   Vérification : \(\dfrac{44}{4}=11\) et \(\dfrac{22}{2}=11\). Solution : \(15\).

1. Le périmètre est \(2\big(x+(x+5)\big)\) :

   \[2(2x+5)=34\]\[2x+5=17\]\[2x=12\]\[x=6\]

2. Largeur : \(6\) cm ; longueur : \(6+5=11\) cm. Contrôle : \(2\times(6+11)=34\) cm.

   \[\mathcal{A}=6\times 11=66\]

   Aire du rectangle : 66 cm².

3. \[4x+10 \lt 50\]\[4x \lt 40\]\[x \lt 10\]

   Le périmètre est inférieur à 50 cm pour \(0 \lt x \lt 10\).