Constructions et inégalité triangulaire : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « constructions et inégalité triangulaire », question par question.
Dans cette correction, chaque réponse sur l’inégalité triangulaire suit le même schéma : repérer le plus grand côté, calculer la somme des deux autres, comparer, conclure. Les constructions sont données dans l’ordre où il faut les faire, avec les arcs de compas laissés visibles, et les figures du corrigé montrent le résultat attendu. Pour les hauteurs et les médiatrices, la rédaction cite la propriété utilisée, ce qui rapporte des points au même titre que le tracé. Vérifie tes figures à la règle graduée et au rapporteur : une erreur de 2 mm ou de 2 degrés est tolérée. Le barème indique ce qui compte dans chaque question.
L’énoncé complet se trouve ici : Constructions et inégalité triangulaire : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : constructions et inégalité triangulaire
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Constructible ou pas ? | 4 points |
| 2. Trois croquis à reproduire | 6 points |
| 3. Les hauteurs d’un triangle | 3 points |
| 4. Médiatrices et cercle circonscrit | 3 points |
| 5. L’enclos des chèvres | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : constructions et inégalité triangulaire
Exercice 1 – Constructible ou pas ? (4 points)
- Le plus grand côté mesure \(11\text{ cm}\). On calcule la somme des deux autres : \(5 + 7 = 12\). Comme \(11 < 12\), le triangle est constructible.
- Le plus grand côté mesure \(8\text{ cm}\), donc on calcule \(3 + 4{,}5 = 7{,}5\). Comme \(8 > 7{,}5\), le triangle n’est pas constructible : les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre.
- Le plus grand côté mesure \(6\text{ cm}\), et \(2{,}5 + 3{,}5 = 6\). Il y a égalité, alors le triangle est aplati, les trois points sont alignés.
- Appelons \(x\) la longueur du troisième côté, en cm.
Si \(x\) est le plus grand côté, il faut \(x < 4 + 9\), soit \(x < 13\).
Sinon, si \(9\text{ cm}\) est le plus grand côté, il faut \(9 < 4 + x\), soit \(x > 5\).
Ainsi, le troisième côté peut mesurer 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 cm.
Piège classique : additionner les deux premières longueurs de l’énoncé au lieu des deux plus petites. À la question 3, il faut comparer \(6\) à \(2{,}5 + 3{,}5\), et non \(3{,}5\) à \(6 + 2{,}5\).
Exercice 2 – Trois croquis à reproduire (6 points)
- D’abord, on trace le segment \([AB]\) de \(6\text{ cm}\). Le point \(C\) est à \(4\text{ cm}\) de \(A\) : on trace donc un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\text{ cm}\). Il est aussi à \(5\text{ cm}\) de \(B\), alors on trace un arc de centre \(B\) et de rayon \(5\text{ cm}\). Le point \(C\) est à l’intersection des deux arcs.
- On trace \([DE]\) de \(5{,}5\text{ cm}\). Ensuite, avec le rapporteur centré en \(D\), on trace une demi-droite qui fait un angle de \(50^\circ\) avec \([DE)\). Enfin, on y place \(F\) à \(4\text{ cm}\) de \(D\), puis on trace \([EF]\).
- On trace \([GH]\) de \(7\text{ cm}\), puis on trace en \(G\) une demi-droite qui fait \(40^\circ\) avec \([GH)\), et en \(H\) une demi-droite qui fait \(65^\circ\) avec \([HG)\), du même côté. Le point \(I\) est leur point d’intersection.
- La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), donc :
\(\widehat{GIH} = 180^\circ – 40^\circ – 65^\circ = 75^\circ\).
L’angle \(\widehat{GIH}\) mesure \(75^\circ\), ce que confirme le rapporteur sur la figure.
Piège classique : au croquis 3, tracer l’angle de \(65^\circ\) en \(H\) de l’autre côté de \([GH]\) : les deux demi-droites ne se coupent alors jamais.
Exercice 3 – Les hauteurs d’un triangle (3 points)
- La hauteur issue de \(K\) est la droite qui passe par \(K\) et qui est perpendiculaire à \((LM)\). Comme l’angle en \(L\) est obtus, on prolonge le côté \([LM]\) au-delà de \(L\) : le pied \(H\) est à l’extérieur du segment.
- La hauteur issue de \(M\) passe par \(M\) et est perpendiculaire à \((KL)\). Ainsi, on prolonge \([KL]\) au-delà de \(L\) : le pied \(N\) est lui aussi à l’extérieur du triangle.
- L’aire d’un triangle vaut base \(\times\) hauteur \(\div 2\), donc avec la base \([LM]\) et la hauteur \([KH]\) :
\(\text{Aire} = 6 \times 4 \div 2 = 12\).
L’aire du triangle \(KLM\) est \(12\text{ cm}^2\).
Piège classique : tracer la perpendiculaire à \([LM]\) passant par \(L\) : une hauteur passe toujours par le sommet opposé, ici \(K\).
Exercice 4 – Médiatrices et cercle circonscrit (3 points)
- On trace \([RS]\) de \(6\text{ cm}\), puis \(T\) à l’intersection de l’arc de centre \(R\) de rayon \(7\text{ cm}\) et de l’arc de centre \(S\) de rayon \(5\text{ cm}\). Le triangle existe car \(7 < 6 + 5\).
- Pour la médiatrice de \([RS]\), on trace deux arcs de même rayon (plus de \(3\text{ cm}\)) centrés en \(R\) et en \(S\), de part et d’autre du segment ; la droite qui joint leurs deux points d’intersection est la médiatrice. Ensuite, on fait de même pour \([ST]\). Les deux médiatrices se coupent en \(O\).
- Un point de la médiatrice d’un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
\(O\) est sur la médiatrice de \([RS]\), donc \(OR = OS\).
\(O\) est sur la médiatrice de \([ST]\), donc \(OS = OT\).
Donc \(OR = OS = OT\). - Comme \(OS = OT = OR\), le cercle passe aussi par \(S\) et par \(T\). C’est le cercle circonscrit au triangle \(RST\). Son centre \(O\) est aussi sur la médiatrice de \([RT]\).
Exercice 5 – L’enclos des chèvres (4 points)
- \(10 + 12 + 2 = 24\) : tout le grillage est utilisé. Mais le plus grand côté mesure \(12\text{ m}\) et \(10 + 2 = 12\). Il y a égalité, donc le triangle serait aplati. Les trois poteaux seraient alignés : l’enclos n’aurait pas d’intérieur, il est impossible.
- \(10 + 8 + 6 = 24\) : tout le grillage est utilisé. Le plus grand côté mesure \(10\text{ m}\) et \(8 + 6 = 14\). Comme \(10 < 14\), l’enclos existe.
À l’échelle \(1\text{ cm}\) pour \(2\text{ m}\), les côtés mesurent \(10 \div 2 = 5\text{ cm}\), \(8 \div 2 = 4\text{ cm}\) et \(6 \div 2 = 3\text{ cm}\). On trace \([XY]\) de \(5\text{ cm}\), puis \(Z\) à l’intersection de l’arc de centre \(X\) de rayon \(4\text{ cm}\) et de l’arc de centre \(Y\) de rayon \(3\text{ cm}\). - Il reste \(24 – 10 – 13 = 1\) mètre pour le troisième côté. Le plus grand côté serait \(13\text{ m}\), or \(10 + 1 = 11\) et \(13 > 11\). Ce n’est pas possible : le triangle ne se refermerait pas.
- Les deux côtés autres que celui de \(10\text{ m}\) mesurent ensemble \(24 – 10 = 14\text{ m}\).
Avec \(12\text{ m}\), le dernier côté mesure \(2\text{ m}\) : c’est le cas aplati de Jade.
Avec \(11\text{ m}\), le dernier côté mesure \(3\text{ m}\) et \(10 + 3 = 13\), or \(11 < 13\) : le triangle existe.
Le plus long côté peut mesurer au maximum \(11\text{ m}\).
Piège classique : à la question 2, construire un triangle de \(10\text{ cm}\), \(8\text{ cm}\) et \(6\text{ cm}\) en oubliant l’échelle : toutes les longueurs réelles doivent être divisées par 2.
À retenir de ce contrôle
- Un triangle est constructible lorsque la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres ; en cas d’égalité, il est aplati.
- Pour construire un triangle, on trace d’abord un côté de longueur connue, puis on place le troisième sommet au compas ou au rapporteur.
- La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé, parfois prolongé.
- Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point, centre du cercle circonscrit qui passe par les trois sommets.
- La somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180 degrés, ce qui permet de calculer le troisième angle.
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