Aires du parallélogramme et du disque : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « aires du parallélogramme et du disque », question par question.
Ce corrigé suit la rédaction attendue en 5e : chaque réponse commence par la formule utilisée, continue par le calcul avec les valeurs de l’énoncé, puis se termine par une phrase avec l’unité d’aire ou de longueur. Les multiplications par \(3{,}14\) sont détaillées pour que tu puisses les refaire à la main.
Pour le triangle, une figure montre en vert la deuxième hauteur qu’il fallait utiliser. Sous chaque exercice, le barème précise ce qui rapporte des points, la méthode comptant autant que le résultat. Les pièges signalés, comme la confusion entre rayon et diamètre ou l’oubli du carré dans l’unité, sont les plus fréquents dans les copies.
L’énoncé complet se trouve ici : Aires du parallélogramme et du disque : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : aires du parallélogramme et du disque
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Conversions d’aires | 3 points |
| 2. Un triangle et sa hauteur extérieure | 4 points |
| 3. Le parallélogramme EFGH | 4 points |
| 4. Deux disques | 4 points |
| 5. Le jardin de Mme Diallo | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : aires du parallélogramme et du disque
Exercice 1 – Conversions d’aires (3 points)
Entre deux unités d’aire voisines, on multiplie ou on divise donc par 100.
- \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2\), donc \(5\text{ m}^2 = 5 \times 100\text{ dm}^2\) : \(5\text{ m}^2 = 500\text{ dm}^2\).
- \(100\text{ cm}^2 = 1\text{ dm}^2\), donc \(3\,400 \div 100 = 34\) : \(3\,400\text{ cm}^2 = 34\text{ dm}^2\).
- \(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\), donc \(2{,}5 \times 10\,000 = 25\,000\) : \(2{,}5\text{ m}^2 = 25\,000\text{ cm}^2\).
- \(100\text{ mm}^2 = 1\text{ cm}^2\), donc \(780 \div 100 = 7{,}8\) : \(780\text{ mm}^2 = 7{,}8\text{ cm}^2\).
- \(1\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ mm}^2\), donc \(0{,}45 \times 10\,000 = 4\,500\) : \(0{,}45\text{ dm}^2 = 4\,500\text{ mm}^2\).
- \(1\text{ hm}^2 = 10\,000\text{ m}^2\), donc \(12\,000 \div 10\,000 = 1{,}2\) : \(12\,000\text{ m}^2 = 1{,}2\text{ hm}^2\).
Piège classique : multiplier par 10 comme pour les longueurs. Pour les aires, chaque unité compte deux chiffres dans le tableau de conversion.
Exercice 2 – Un triangle et sa hauteur extérieure (4 points)
- La hauteur relative à [BC] est le segment issu du sommet opposé A et perpendiculaire à la droite (BC). C’est le segment [AH].
- Ainsi, l’aire d’un triangle = base \(\times\) hauteur \(\div 2\).
Aire de ABC \(= \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{5 \times 6}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\)
L’aire du triangle ABC est \(15\text{ cm}^2\). - Ensuite, on peut aussi calculer l’aire avec la base [AC] et la hauteur [BK] : \(\dfrac{AC \times BK}{2} = 15\).
Donc \(AC \times BK = 30\), soit \(10 \times BK = 30\).
\(BK = 30 \div 10 = 3\)
La hauteur BK mesure \(3\text{ cm}\).
![Triangle ABC avec la hauteur [AH] de 6 cm et, en vert, la hauteur [BK] de 3 cm perpendiculaire à [AC]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/corrige-aires-parallelogramme-disque-controle-maths-5eme-corr-ex2-triangle.png)
Piège classique : prendre AB ou HC comme hauteur. La hauteur doit partir du sommet opposé et être perpendiculaire à la base, même si elle sort du triangle.
Exercice 3 – Le parallélogramme EFGH (4 points)
- Aire d’un parallélogramme = côté \(\times\) hauteur relative à ce côté.
Aire de EFGH \(= EF \times 4{,}5 = 8 \times 4{,}5 = 36\)
L’aire de EFGH est \(36\text{ cm}^2\). - Ensuite, avec le côté [FG] et sa hauteur h : \(FG \times h = 36\), soit \(5 \times h = 36\).
\(h = 36 \div 5 = 7{,}2\)
La hauteur relative à [FG] mesure \(7{,}2\text{ cm}\). - Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur : \(GH = EF = 8\text{ cm}\) et \(HE = FG = 5\text{ cm}\).
Périmètre \(= 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26\)
Le périmètre de EFGH est \(26\text{ cm}\). - Aire du rectangle = longueur \(\times\) largeur, donc en notant l la largeur : \(9 \times l = 36\) et \(l = 36 \div 9 = 4\).
La largeur du rectangle est \(4\text{ cm}\).
Piège classique : calculer \(8 \times 5 = 40\). On ne multiplie pas deux côtés du parallélogramme : on multiplie un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.
Exercice 4 – Deux disques (4 points)
- D’abord, longueur d’un cercle = \(2 \times \pi \times\) rayon.
Longueur \(\approx 2 \times 3{,}14 \times 5 = 10 \times 3{,}14 = 31{,}4\)
Le cercle mesure environ \(31{,}4\text{ cm}\). - Puis aire d’un disque = \(\pi \times\) rayon \(\times\) rayon.
Aire du disque 1 \(\approx 3{,}14 \times 5 \times 5 = 3{,}14 \times 25\)
\(3 \times 25 = 75\) et \(0{,}14 \times 25 = 3{,}5\), donc \(3{,}14 \times 25 = 78{,}5\).
L’aire du disque 1 est d’environ \(78{,}5\text{ cm}^2\). - Le diamètre mesure \(6\text{ cm}\), donc le rayon mesure \(6 \div 2 = 3\text{ cm}\).
Aire du disque 2 \(\approx 3{,}14 \times 3 \times 3 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26\)
L’aire du disque 2 est d’environ \(28{,}26\text{ cm}^2\). - Timéo a multiplié \(3{,}14\) par \(10\), c’est-à-dire par le diamètre : il a calculé la longueur du cercle (\(31{,}4\text{ cm}\)), pas l’aire. Il fallait multiplier \(3{,}14\) par le rayon au carré, \(5 \times 5 = 25\), et trouver environ \(78{,}5\text{ cm}^2\).
Piège classique : au disque 2, utiliser 6 comme rayon et trouver \(113{,}04\text{ cm}^2\). On divise d’abord le diamètre par 2.
Exercice 5 – Le jardin de Mme Diallo (5 points)
- ABCD est un parallélogramme : aire \(= AB \times \text{hauteur} = 20 \times 12 = 240\).
Le terrain a une aire de \(240\text{ m}^2\). - Le bassin est un disque de rayon \(3\text{ m}\) : \(3{,}14 \times 3 \times 3 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26\).
Le bassin a une aire d’environ \(28{,}26\text{ m}^2\). - On enlève le bassin au terrain : \(240 – 28{,}26 = 211{,}74\).
La surface à engazonner mesure environ \(211{,}74\text{ m}^2\). - 8 sacs couvrent \(8 \times 25 = 200\text{ m}^2\), ce qui ne suffit pas car \(200 < 211{,}74\). 9 sacs couvrent \(9 \times 25 = 225\text{ m}^2\), ce qui suffit car \(225 > 211{,}74\).
Mme Diallo doit acheter 9 sacs. - \(9 \times 14 = 126\)
Elle va payer 126 €.
Piège classique : répondre 8 sacs en arrondissant \(211{,}74 \div 25 \approx 8{,}47\) à l’unité la plus proche. Avec 8 sacs, près de \(12\text{ m}^2\) resteraient sans gazon.
À retenir de ce contrôle
- L’aire d’un triangle est égale à base fois hauteur divisé par 2, la hauteur étant perpendiculaire à la base choisie, même si elle tombe à l’extérieur.
- L’aire d’un parallélogramme est égale à un côté multiplié par la hauteur relative à ce côté, et non par l’autre côté.
- La longueur d’un cercle vaut deux fois pi fois le rayon ; l’aire d’un disque vaut pi fois le rayon au carré.
- Entre deux unités d’aire voisines, on multiplie ou on divise par 100 : 1 m² vaut 100 dm² et 10 000 cm².
- Quand on achète un matériel à l’unité, on arrondit toujours le nombre de sacs ou de pots au nombre entier supérieur.
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