Calculs avec les fractions : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « calculs avec les fractions », question par question.
Cette correction reprend chaque calcul ligne par ligne : mise au même dénominateur, décomposition en produits de facteurs, puis simplification. Pour les produits et les quotients, le signe du résultat est décidé en premier, ce qui évite la plupart des oublis de signe moins.
La droite graduée de l’exercice 4 est redessinée avec les cinq points placés et leurs abscisses, ce qui te permet de contrôler ton rangement. Le barème détaillé sépare les points de méthode et les points de résultat. Compare ta copie étape par étape, repère la ligne où ton calcul diverge, puis lis les encadrés sur les erreurs classiques avant de refaire les expressions ratées sans regarder la solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Calculs avec les fractions : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : calculs avec les fractions
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Un rectangle en deux couleurs | 4 points |
| 2. Multiplier en simplifiant d’abord | 4 points |
| 3. Diviser par une fraction | 3 points |
| 4. Des fractions sur la droite graduée | 3 points |
| 5. Calculer avec les priorités | 3 points |
| 6. Le cocktail de Yanis | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : calculs avec les fractions
Exercice 1 – Un rectangle en deux couleurs (4 points)
- Le rectangle compte 12 cases. Ensuite, 4 cases sont bleues : \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3 cases sont orange : \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).
Le bleu représente \(\frac{1}{3}\) du rectangle et l’orange \(\frac{1}{4}\). - Les cases coloriées (bleues ou orange) sont au nombre de \(4 + 3 = 7\) sur 12, donc elles représentent \(\frac{7}{12}\) du rectangle. Or elles représentent aussi \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\).
Par le calcul, on écrit les deux fractions avec le dénominateur commun 12 :
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\).
On retrouve bien \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}\). - D’abord, 24 est un multiple commun de 6 et de 8.
\(A = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} + \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24}\) donc \(A = \frac{29}{24}\) (29 est premier : la fraction est irréductible).
Ensuite, 30 est un multiple commun de 10 et de 15.
\(B = \frac{7 \times 3}{10 \times 3} – \frac{4 \times 2}{15 \times 2} = \frac{21}{30} – \frac{8}{30}\) donc \(B = \frac{13}{30}\). - \(C = -\frac{9}{12} + \frac{5}{12} = -\frac{4}{12}\) donc \(C = -\frac{1}{3}\).
Ensuite, 18 est un multiple commun de 9 et de 6.
\(D = \frac{4}{18} – \frac{15}{18}\) donc \(D = -\frac{11}{18}\).
Piège classique : additionner les numérateurs et les dénominateurs, \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}\). La figure montre que c’est faux, car on n’additionne que des fractions de même dénominateur.
Exercice 2 – Multiplier en simplifiant d’abord (4 points)
- \(E = \frac{6 \times 14}{35 \times 9} = \frac{2 \times 3 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 3}\)
On simplifie par 3 et par 7 : \(E = \frac{4}{15}\). - Un facteur est négatif, donc le produit est négatif.
\(F = -\frac{15 \times 4}{8 \times 25} = -\frac{3 \times 5 \times 4}{2 \times 4 \times 5 \times 5}\)
On simplifie par 4 et par 5 : \(F = -\frac{3}{10}\). - Deux facteurs sont négatifs, donc le produit est positif.
\(G = \frac{7 \times 18}{12 \times 21} = \frac{7 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}\)
On simplifie par 7, 2, 3 et 3 : \(G = \frac{1}{2}\). - Un seul facteur est négatif, donc le produit est négatif.
\(H = -\frac{5 \times 9 \times 4}{6 \times 15} = -\frac{5 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2}{2 \times 3 \times 3 \times 5}\)
Il reste \(-\frac{2}{1}\) donc \(H = -2\).
Piège classique : multiplier d’abord, par exemple \(6 \times 14 = 84\) et \(35 \times 9 = 315\), puis peiner à simplifier \(\frac{84}{315}\). En effet, décomposer avant de calculer évite les grands nombres.
Exercice 3 – Diviser par une fraction (3 points)
- L’inverse d’un nombre non nul est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.
L’inverse de \(\frac{3}{7}\) est \(\frac{7}{3}\), celui de \(-\frac{5}{2}\) est \(-\frac{2}{5}\), celui de 4 est \(\frac{1}{4}\). - Diviser par une fraction, c’est donc multiplier par son inverse.
\(I = \frac{4}{9} \times \frac{15}{8} = \frac{4 \times 3 \times 5}{3 \times 3 \times 2 \times 4}\) donc \(I = \frac{5}{6}\). - \(J = -\frac{10}{21} \times \frac{7}{5} = -\frac{2 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 5}\) donc \(J = -\frac{2}{3}\).
\(K = 6 \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{24}{3}\) donc \(K = -8\).
Piège classique : croire que l’inverse de \(-\frac{5}{2}\) est \(\frac{5}{2}\) (c’est son opposé). Pourtant, un nombre et son inverse ont toujours le même signe.
Exercice 4 – Des fractions sur la droite graduée (3 points)
- Une graduation vaut \(\frac{1}{6}\), donc on compte les graduations.
A est à 5 graduations à gauche de 0 : \(-\frac{5}{6}\).
B est à 8 graduations à droite de 0 : \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).
C est à 9 graduations à gauche de 0 : \(-\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}\).
A a pour abscisse \(-\frac{5}{6}\), B a pour abscisse \(\frac{4}{3}\) et C a pour abscisse \(-\frac{3}{2}\). - D’abord, en sixièmes : \(-\frac{2}{3} = -\frac{4}{6}\) et \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\). On place donc D à 4 graduations à gauche de 0 et E à 3 graduations à droite de 0.
Ensuite, les numérateurs en sixièmes sont \(-9\), \(-5\), \(-4\), \(3\) et \(8\).
\(-\frac{3}{2} < -\frac{5}{6} < -\frac{2}{3} < \frac{1}{2} < \frac{4}{3}\)
- Enfin, \(\frac{4}{3} – \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{8}{6} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}\).
De \(-5\) à \(8\) graduations, on compte bien 13 graduations d’un sixième.
La différence des abscisses est \(\frac{13}{6}\).
Piège classique : ranger les nombres négatifs comme les positifs et écrire \(-\frac{2}{3} < -\frac{5}{6}\). En effet, plus un nombre négatif est loin de 0, plus il est petit.
Exercice 5 – Calculer avec les priorités (3 points)
- La multiplication est prioritaire sur l’addition, donc on l’effectue d’abord.
\(L = \frac{2}{3} + \frac{5}{12}\)
\(L = \frac{8}{12} + \frac{5}{12}\)
\(L = \frac{13}{12}\) - On calcule d’abord la parenthèse, puis on multiplie.
\(M = \left(\frac{2}{4} – \frac{5}{4}\right) \times \frac{8}{9}\)
\(M = -\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = -\frac{3 \times 2 \times 4}{4 \times 3 \times 3}\)
\(M = -\frac{2}{3}\) - On calcule la parenthèse, puis la division, enfin la soustraction.
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(N = \frac{5}{3} – \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{3} – \frac{2}{3} \times 2\)
\(N = \frac{5}{3} – \frac{4}{3}\)
\(N = \frac{1}{3}\)
Piège classique : dans \(L\), calculer d’abord \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) puis multiplier par \(\frac{5}{4}\). En effet, la multiplication passe avant l’addition.
Exercice 6 – Le cocktail de Yanis (3 points)
- D’abord, on additionne les trois quantités avec le dénominateur commun 12.
\(\frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}\)
Yanis a préparé \(\frac{11}{6}\) L de cocktail. - Ensuite, on cherche combien de fois \(\frac{1}{6}\) L est contenu dans \(\frac{11}{6}\) L.
\(\frac{11}{6} \div \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \times 6 = 11\)
Yanis peut remplir 11 verres pleins. - Enfin, on divise la quantité de jus d’orange par la quantité totale.
\(\frac{3}{4} \div \frac{11}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{11} = \frac{3 \times 2 \times 3}{2 \times 2 \times 11} = \frac{9}{22}\)
Le jus d’orange représente \(\frac{9}{22}\) du cocktail.
À retenir de ce contrôle
- Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit d’abord avec le même dénominateur, puis on ajoute ou soustrait seulement les numérateurs.
- Pour multiplier des fractions, on décide du signe, on décompose numérateurs et dénominateurs, on simplifie, puis on multiplie ce qui reste.
- Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse ; un nombre et son inverse ont le même signe.
- Pour comparer des fractions, on les écrit avec un même dénominateur positif ; parmi deux nombres négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro.
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