Problèmes de fractions et de partages : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « problèmes de fractions et de partages », question par question.
Chaque réponse de ce corrigé commence par une courte phrase qui dit sur quelle quantité porte la fraction, car c’est là que se jouent la plupart des erreurs dans les problèmes de partage. Les calculs sont posés comme sur une copie, avec la simplification faite au bon moment et une phrase-réponse en gras.
Deux schémas en barres montrent le terrain des Morel et le legs de Madame Vasseur une fois partagés : compare-les à ton propre raisonnement. Chaque problème se termine par une vérification où la somme des parts redonne le total. Le barème détaillé sépare méthode et résultat, et les pièges signalés reprennent les confusions les plus fréquentes.
L’énoncé complet se trouve ici : Problèmes de fractions et de partages : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : problèmes de fractions et de partages
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Prendre une fraction d’une quantité | 3 points |
| 2. Le terrain de la famille Morel | 4 points |
| 3. Le budget du voyage scolaire | 4 points |
| 4. Comparer pour décider | 3 points |
| 5. Un legs partagé en quatre | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : problèmes de fractions et de partages
Exercice 1 – Prendre une fraction d’une quantité (3 points)
- Prendre les \(\frac{3}{5}\) de 45, c’est multiplier 45 par \(\frac{3}{5}\), donc on divise par 5 puis on multiplie par 3.
\(\frac{3}{5} \times 45 = 3 \times (45 \div 5) = 3 \times 9 = 27\)
27 inscrits du club théâtre sont en 4ème. - Ensuite, une heure dure 60 minutes.
\(\frac{7}{12} \times 60 = 7 \times (60 \div 12) = 7 \times 5 = 35\)
L’entraînement dure 35 minutes. - D’abord, \(\frac{2}{9} \times 243 = 2 \times (243 \div 9) = 2 \times 27 = 54\) : Lina a lu 54 pages.
Ensuite, il lui reste \(1 – \frac{2}{9} = \frac{9}{9} – \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\) du roman, soit \(\frac{7}{9} \times 243 = 7 \times 27 = 189\) pages.
Vérification : \(243 – 54 = 189\).
Il lui reste les \(\frac{7}{9}\) du roman, c’est-à-dire 189 pages.
Piège classique : à la question 2, répondre « 0,7 heure » ou « 70 minutes ». Une fraction d’heure se convertit toujours à partir de 60 minutes.
Exercice 2 – Le terrain de la famille Morel (4 points)
- D’abord, \(\frac{1}{4} \times 360 = 360 \div 4 = 90\)
La pelouse a une aire de 90 m². - Ensuite, \(1 – \frac{1}{4} = \frac{4}{4} – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
Le reste représente les \(\frac{3}{4}\) du terrain. - Le potager occupe les \(\frac{2}{3}\) du reste, c’est-à-dire les \(\frac{2}{3}\) des \(\frac{3}{4}\) du terrain. Ainsi, « les \(\frac{2}{3}\) de » se traduit par une multiplication :
\(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
Le potager occupe la moitié du terrain, soit \(\frac{1}{2}\). - \(\frac{1}{2}\) n’est pas égal à \(\frac{2}{3}\) (\(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) et \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\)) : Monsieur Morel a tort, il a pris les \(\frac{2}{3}\) du reste pour les \(\frac{2}{3}\) du terrain entier.
Ensuite, terrasse : \(1 – \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = \frac{4}{4} – \frac{1}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\) du terrain.
Puis potager : \(\frac{1}{2} \times 360 = 180\) ; terrasse : \(\frac{1}{4} \times 360 = 90\).
Vérification : \(90 + 180 + 90 = 360\).
La terrasse occupe \(\frac{1}{4}\) du terrain ; le potager mesure 180 m² et la terrasse 90 m².
Piège classique : calculer les \(\frac{2}{3}\) de 360 m² au lieu des \(\frac{2}{3}\) du reste (270 m²). Le schéma en barres aide à voir de quelle quantité on prend la fraction.
Exercice 3 – Le budget du voyage scolaire (4 points)
- Les quatre fractions ont pour somme 1, car elles forment le budget entier. Ensuite, on additionne les trois fractions connues avec le dénominateur commun 24 :
\(\frac{3}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{9}{24} + \frac{8}{24} + \frac{4}{24} = \frac{21}{24}\)
\(1 – \frac{21}{24} = \frac{24}{24} – \frac{21}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)
Les repas représentent \(\frac{1}{8}\) du budget. - D’abord, transport : \(\frac{3}{8} \times 4\,800 = 3 \times 600 = 1\,800\) €.
Puis hébergement : \(\frac{1}{3} \times 4\,800 = 1\,600\) €.
Ensuite, activités : \(\frac{1}{6} \times 4\,800 = 800\) €.
Enfin, repas : \(\frac{1}{8} \times 4\,800 = 600\) €.
Vérification : \(1\,800 + 1\,600 + 800 + 600 = 4\,800\).
Transport 1 800 €, hébergement 1 600 €, activités 800 €, repas 600 €. - Ici, \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), ou encore \(1\,600 + 800 = 2\,400\) €, qui est exactement la moitié de 4 800 €.
C’est faux : ces deux postes représentent exactement la moitié du budget, pas plus.
Exercice 4 – Comparer pour décider (3 points)
- Comme les gourdes sont identiques, il suffit de comparer \(\frac{5}{8}\) et \(\frac{7}{12}\). Ensuite, on les écrit avec le dénominateur commun 24 :
\(\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}\) et \(\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}\).
Comme \(15 > 14\), on a \(\frac{5}{8} > \frac{7}{12}\).
C’est Nora qui a bu le plus. - On compare les proportions, pas les effectifs, car les classes n’ont pas le même nombre d’élèves.
D’abord, 4ème A : \(\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\).
Ensuite, 4ème B : \(\frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4}\).
Le principal se trompe : la proportion de demi-pensionnaires est la même dans les deux classes, les \(\frac{3}{4}\) des élèves.
Piège classique : à la question 1, dire que \(\frac{7}{12}\) est plus grand parce que 7 et 12 sont plus grands que 5 et 8. On ne compare deux fractions qu’une fois écrites avec le même dénominateur.
Exercice 5 – Un legs partagé en quatre (6 points)
- \(\frac{2}{7} \times 8\,400 = 2 \times (8\,400 \div 7) = 2 \times 1\,200 = 2\,400\)
Anouk reçoit 2 400 €. - D’abord, après la part d’Anouk, il reste \(8\,400 – 2\,400 = 6\,000\) €.
\(\frac{3}{5} \times 6\,000 = 3 \times 1\,200 = 3\,600\)
Bastien reçoit 3 600 €. - D’abord, après la part d’Anouk, il reste \(1 – \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\) de la somme. Ensuite, Bastien reçoit les \(\frac{3}{5}\) de ces \(\frac{5}{7}\) :
\(\frac{3}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{3 \times 5}{5 \times 7} = \frac{3}{7}\)
Bastien reçoit bien les \(\frac{3}{7}\) de la somme totale. Contrôle : \(\frac{3}{7} \times 8\,400 = 3 \times 1\,200 = 3\,600\) €. - Ensuite, après les parts d’Anouk et de Bastien, il reste \(6\,000 – 3\,600 = 2\,400\) €.
Puis Célia : \(\frac{5}{8} \times 2\,400 = 5 \times 300 = 1\,500\) €.
Enfin, association : \(2\,400 – 1\,500 = 900\) €.
Vérification : \(2\,400 + 3\,600 + 1\,500 + 900 = 8\,400\).
Célia reçoit 1 500 € et l’association 900 €. - Ensuite, Anouk et Célia réunies : \(2\,400 + 1\,500 = 3\,900\) €, et \(3\,600 < 3\,900\).
Bastien a tort : il a reçu 300 € de moins qu’Anouk et Célia réunies.
Piège classique : calculer la part de Bastien comme les \(\frac{3}{5}\) de 8 400 €, soit 5 040 €. Chaque fraction s’applique à ce qui reste, et non à la somme de départ.
À retenir de ce contrôle
- Prendre une fraction d’une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction : on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur.
- Les deux tiers du reste, quand le reste vaut les trois quarts, se calculent par le produit des deux fractions : 2/3 × 3/4 = 1/2.
- Dans un partage complet, la somme des fractions vaut 1 : la part manquante s’obtient en soustrayant les autres parts de 1.
- Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur ; comparer seulement les numérateurs ou les effectifs est une erreur fréquente.
- À la fin d’un problème de partage, on vérifie toujours que la somme des parts calculées redonne exactement la quantité de départ.
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