Développer et factoriser une expression : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « développer et factoriser une expression », question par question.
Cette correction reprend chaque calcul ligne par ligne : les termes semblables sont regroupés à part, chaque produit d’une double distributivité est écrit avant la réduction, et chaque factorisation est contrôlée en redéveloppant. Compare ta copie étape par étape, pas seulement le résultat final.
Les erreurs les plus fréquentes viennent des signes : un moins devant une parenthèse, un produit de deux nombres négatifs. Les encadrés « piège » les signalent. Le barème détaillé t’indique où tu gagnes des points même avec une petite erreur de calcul. Refais ensuite les questions manquées sans regarder, puis vérifie ton résultat en remplaçant \(x\) par un nombre.
L’énoncé complet se trouve ici : Développer et factoriser une expression : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : développer et factoriser une expression
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Réduire et supprimer des parenthèses | 3 points |
| 2. Simple distributivité | 4 points |
| 3. Le rectangle en quatre morceaux | 5 points |
| 4. Factoriser puis tester une égalité | 4 points |
| 5. La pelouse autour du bassin | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : développer et factoriser une expression
Exercice 1 – Réduire et supprimer des parenthèses (3 points)
- D’abord, on regroupe les termes en \(x\) et les nombres :
\(A = 5x – 2x + 3 + 7\)
\(A = 3x + 10\) - Ici, on regroupe les termes en \(x^2\), les termes en \(x\), puis les nombres :
\(B = 4x^2 + 2x^2 – x + 6x – 9\)
\(B = 6x^2 + 5x – 9\) - On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles :
\(C = 3 \times 5 \times x \times x\)
\(C = 15x^2\) - La parenthèse précédée d’un signe moins disparaît, car chaque terme change de signe. Celle précédée d’un signe plus disparaît sans changement :
\(D = 7 – 2x + 5 + x + 1\)
\(D = -2x + x + 7 + 5 + 1\)
\(D = -x + 13\)
Piège classique : écrire \(D = 7 – 2x – 5 + x + 1\) en oubliant de changer le signe du \(-5\). En effet, le moins devant la parenthèse transforme \(-5\) en \(+5\).
Exercice 2 – Simple distributivité (4 points)
- \(E = 6 \times 2x – 6 \times 3\)
\(E = 12x – 18\) - \(F = -4 \times x + (-4) \times 5\)
\(F = -4x – 20\) - \(G = 2x \times 3x – 2x \times 7\)
\(G = 6x^2 – 14x\) - On développe chaque produit, car il faut distribuer \(-2\) sur les deux termes de la seconde parenthèse :
\(H = 3x + 12 – 10x + 2\)
\(H = -7x + 14\) - D’abord, on développe \(x(x + 2)\), puis on supprime la parenthèse précédée d’un signe moins :
\(I = x^2 + 2x – x^2 + 5x\)
Ainsi, les termes \(x^2\) et \(-x^2\) s’annulent : \(I = 7x\)
Piège classique : dans \(H\), écrire \(-2 \times (-1) = -2\). Or le produit de deux nombres négatifs est positif, donc \(-2 \times (-1) = 2\).
Exercice 3 – Le rectangle en quatre morceaux (5 points)
- L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur, donc :
rectangle 1 : \(x \times x = x^2\) ; rectangle 2 : \(3 \times x = 3x\) ;
rectangle 3 : \(x \times 5 = 5x\) ; rectangle 4 : \(3 \times 5 = 15\).
Les quatre aires sont \(x^2\), \(3x\), \(5x\) et \(15\) (en \(\text{cm}^2\)). - Ensuite, \(x^2 + 3x + 5x + 15 = x^2 + 8x + 15\).
L’aire du grand rectangle est bien \(x^2 + 8x + 15\) en \(\text{cm}^2\). - On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde :
\((x + 3)(x + 5) = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5\)
\((x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15\)
\((x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15\). On retrouve donc le résultat de la question 2, car les quatre produits sont les aires des quatre rectangles. - Puis \(L = 2x \times x + 2x \times 4 – 1 \times x – 1 \times 4\)
\(L = 2x^2 + 8x – x – 4\)
\(L = 2x^2 + 7x – 4\) - Enfin, \(M = x \times 3 + x \times (-x) – 6 \times 3 – 6 \times (-x)\)
\(M = 3x – x^2 – 18 + 6x\)
\(M = -x^2 + 9x – 18\)
Piège classique : dans \(M\), oublier que \(-6 \times (-x) = +6x\), ou encore écrire \(x \times (-x) = -2x\) au lieu de \(-x^2\).
Exercice 4 – Factoriser puis tester une égalité (4 points)
Partie A. Dans chaque cas, on repère d’abord le facteur commun, puis on vérifie en redéveloppant.
- \(5x + 35 = 5 \times x + 5 \times 7\), donc \(5x + 35 = 5(x + 7)\).
- \(12x – 18 = 6 \times 2x – 6 \times 3\), donc \(12x – 18 = 6(2x – 3)\).
- \(x^2 + 9x = x \times x + x \times 9\), donc \(x^2 + 9x = x(x + 9)\).
- \(14x^2 – 21x = 7x \times 2x – 7x \times 3\), donc \(14x^2 – 21x = 7x(2x – 3)\).
Vérification : \(7x \times 2x = 14x^2\) et \(7x \times 3 = 21x\).
Partie B.
- D’abord, pour \(x = 0\) : \((0 + 2)(0 + 3) = 2 \times 3 = 6\) et \(0^2 + 6 = 6\).
Les deux membres valent 6 : l’égalité est vraie pour \(x = 0\). - Ensuite, pour \(x = 1\) : \((1 + 2)(1 + 3) = 3 \times 4 = 12\) et \(1^2 + 6 = 7\).
On obtient 12 d’un côté et 7 de l’autre : l’égalité est fausse pour \(x = 1\). - Une égalité vraie « pour tout nombre \(x\) » doit l’être pour chaque valeur. Or elle est fausse pour \(x = 1\), donc Nolwenn a tort. En effet, le test réussi avec \(x = 0\) ne prouvait rien.
\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6\), donc \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\).
Piège classique : factoriser \(14x^2 – 21x\) en \(7(2x^2 – 3x)\). C’est juste, mais incomplet, car le facteur commun est \(7x\) et pas seulement 7.
Exercice 5 – La pelouse autour du bassin (4 points)
- Le périmètre d’un rectangle est le double de la somme de sa longueur et de sa largeur, donc :
\(P = 2(x + 10) + 2(x + 6)\)
\(P = 2x + 20 + 2x + 12\)
\(P = 4x + 32\) (en mètres). - La pelouse est ce qui reste du jardin quand on enlève le bassin. On soustrait donc l’aire du carré, \(x \times x = x^2\), à l’aire du rectangle. Ainsi, \(A = (x + 10)(x + 6) – x^2\).
\(A = x^2 + 6x + 10x + 60 – x^2\)
\(A = x^2 – x^2 + 16x + 60\)
\(A = 16x + 60\) (en \(\text{m}^2\)). - \(16x + 60 = 4 \times 4x + 4 \times 15\), donc \(A = 4(4x + 15)\).
- Pour \(x = 5\), \(A = 16 \times 5 + 60 = 80 + 60 = 140\).
Ensuite, on vérifie sur la figure. Le jardin mesure 15 m sur 11 m et le bassin 5 m de côté, donc \(15 \times 11 – 5 \times 5 = 165 – 25 = 140\).
Enfin, \(140 \div 20 = 7\).
La pelouse mesure \(140\text{ m}^2\) : Bastien doit acheter 7 sacs de semences.
Piège classique : calculer le périmètre de la pelouse ou ajouter le côté du bassin au périmètre du jardin. Or la question porte seulement sur le contour extérieur du jardin.
À retenir de ce contrôle
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des termes qu’elle contient quand on la supprime.
- Pour développer (a + b)(c + d), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : on obtient quatre produits.
- Factoriser, c’est transformer une somme en produit : on met en évidence le facteur commun et on vérifie en redéveloppant.
- Un test avec une seule valeur de x peut prouver qu’une égalité est fausse, jamais qu’elle est vraie pour tout nombre x.
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