Quatrième proportionnelle et pourcentages : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « quatrième proportionnelle et pourcentages », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction qu’un professeur attend en 4ème. Tu y trouveras le calcul des quotients qui prouve ou réfute la proportionnalité, le produit en croix posé proprement, et la lecture des deux graphiques tracée en pointillés. Pour les pourcentages, chaque remise ou hausse passe par un coefficient multiplicateur, ce qui évite les calculs en deux temps. Le plan est redessiné avec ses dimensions réelles. Compare ta copie ligne par ligne, repère où tu as perdu des points grâce au barème détaillé, et lis les pièges signalés : ce sont les erreurs les plus fréquentes sur ce chapitre.
L’énoncé complet se trouve ici : Quatrième proportionnelle et pourcentages : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : quatrième proportionnelle et pourcentages
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Pommes, vélos et pots de peinture | 4 points |
| 2. Le tissu et le taxi | 3 points |
| 3. Remises, hausses et taux | 4 points |
| 4. Le plan de l’appartement | 4 points |
| 5. Le vélo électrique de Léna | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : quatrième proportionnelle et pourcentages
Exercice 1 – Pommes, vélos et pots de peinture (4 points)
- D’abord, pommes : on divise chaque prix par la masse correspondante.
\(3{,}40 \div 2 = 1{,}70\) ; \(8{,}50 \div 5 = 1{,}70\) ; \(11{,}90 \div 7 = 1{,}70\).
Les trois quotients sont égaux : le tableau des pommes est un tableau de proportionnalité, de coefficient \(1{,}70\) (le kilogramme coûte \(1{,}70\) €).
Ensuite, vélos : \(6 \div 1 = 6\) et \(15 \div 3 = 5\).
Comme \(6 \neq 5\), le tableau des vélos n’est pas un tableau de proportionnalité. - La surface peinte est proportionnelle au volume de peinture, donc on utilise un produit en croix.
a) Produit en croix : \(\dfrac{10 \times 30}{4} = \dfrac{300}{4} = 75\).
Avec 10 litres, Mathis peut peindre \(75\text{ m}^2\).
b) Ensuite, produit en croix : \(\dfrac{51 \times 4}{30} = \dfrac{204}{30} = 6{,}8\).
Il lui faut \(6{,}8\) litres de peinture.
Piège classique : conclure « proportionnel » pour les vélos après avoir seulement remarqué que le prix augmente avec la durée. Des grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles.
Exercice 2 – Le tissu et le taxi (3 points)
- Le graphique 1 est une droite qui passe par l’origine du repère, donc il représente une situation de proportionnalité. En revanche, le graphique 2 est une droite qui ne passe pas par l’origine, car une course de 0 km coûte déjà \(4\) €. Seul le graphique 1 (le tissu) représente une situation de proportionnalité.
- D’abord, on lit que 3 m de tissu coûtent \(36\) €.
Ensuite, \(36 \div 3 = 12\).
Un mètre de tissu coûte \(12\) €. - D’abord, on lit qu’une course de 3 km coûte \(10\) € et qu’une course de 6 km coûte \(16\) €.
Or \(2 \times 10 = 20\) et \(16 \neq 20\), donc Noah a tort : la distance double, mais le prix ne double pas.
Piège classique : penser qu’une droite suffit pour avoir la proportionnalité. Il faut une droite et qu’elle passe par l’origine.
Exercice 3 – Remises, hausses et taux (4 points)
- On calcule \(240 \times \dfrac{15}{100} = 240 \times 0{,}15 = 36\), donc \(15\,\%\) de \(240\) € font \(36\) €.
- Ici, \(\dfrac{176}{640} = 0{,}275 = \dfrac{27{,}5}{100}\).
\(27{,}5\,\%\) des élèves font partie d’un club sportif. - Baisser de \(30\,\%\), c’est multiplier par \(1 – 0{,}30 = 0{,}70\).
Ensuite, \(65 \times 0{,}70 = 45{,}50\).
Le jean coûte \(45{,}50\) € pendant les soldes. - Augmenter de \(2{,}5\,\%\), c’est multiplier par \(1 + 0{,}025 = 1{,}025\).
Ensuite, \(720 \times 1{,}025 = 738\).
Le nouveau loyer est de \(738\) € par mois. - D’abord, la baisse est de \(24 – 18 = 6\) €.
Ensuite, \(\dfrac{6}{24} = 0{,}25 = \dfrac{25}{100}\).
Le prix du livre a baissé de \(25\,\%\).
Piège classique : à la question 5, diviser 6 par 18 (le nouveau prix) et trouver environ 33 %. Un pourcentage d’évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de départ.
Exercice 4 – Le plan de l’appartement (4 points)
- À l’échelle 1/200, une longueur de 1 cm sur le plan représente \(200\text{ cm}\), soit \(2\text{ m}\), en réalité : les longueurs réelles sont 200 fois plus grandes que sur le plan.
- D’abord, longueur : \(3 \times 200 = 600\text{ cm} = 6\text{ m}\).
Ensuite, largeur : \(2{,}5 \times 200 = 500\text{ cm} = 5\text{ m}\).
Le salon mesure \(6\text{ m}\) sur \(5\text{ m}\). - D’abord, salon : \(6 \times 5 = 30\). Ensuite, chambre : ses dimensions réelles sont \(2 \times 200 = 400\text{ cm} = 4\text{ m}\) et \(1{,}8 \times 200 = 360\text{ cm} = 3{,}6\text{ m}\), donc \(4 \times 3{,}6 = 14{,}4\).
Le salon a une aire de \(30\text{ m}^2\) et la chambre une aire de \(14{,}4\text{ m}^2\). - D’abord, \(7\text{ m} = 700\text{ cm}\) et \(700 \div 200 = 3{,}5\).
Sur le plan, le couloir mesurera \(3{,}5\text{ cm}\). - Ici, la plus grande dimension du salon est \(6\text{ m} = 600\text{ cm}\), et \(600 \div 50 = 12\).
Sur le plan au 1/50, elle mesurera \(12\text{ cm}\).
Piège classique : calculer l’aire sur le plan (\(3 \times 2{,}5 = 7{,}5\text{ cm}^2\)) puis la multiplier par 200. L’aire n’est pas multipliée par 200 : on passe d’abord aux longueurs réelles, puis on calcule l’aire.
Exercice 5 – Le vélo électrique de Léna (5 points)
- Une remise de \(15\,\%\) revient à multiplier par \(1 – 0{,}15 = 0{,}85\).
Ensuite, \(1\,280 \times 0{,}85 = 1\,088\).
Au magasin A, Léna paie \(1\,088\) €. - D’abord, les frais de livraison valent \(1\,150 \times 0{,}04 = 46\) €, donc Léna paie \(1\,150 + 46 = 1\,196\) € (ou directement \(1\,150 \times 1{,}04 = 1\,196\)).
Comme \(1\,088 < 1\,196\), le magasin A est le moins cher. - D’abord, \(20\,\%\) de \(1\,088\) € : \(1\,088 \times 0{,}20 = 217{,}60\) €.
Comme \(217{,}60 > 200\), le remboursement est limité à \(200\) €.
Ensuite, \(1\,088 – 200 = 888\).
La ville rembourse \(200\) € et le vélo coûte finalement \(888\) € à Léna. - D’abord, \(888 \div 55 \approx 16{,}1\).
Après 16 mois, Léna a économisé \(16 \times 55 = 880\) €, ce qui ne suffit pas (\(880 < 888\)).
Ensuite, après 17 mois, elle a économisé \(17 \times 55 = 935\) €, et \(935 > 888\).
Le vélo est remboursé au bout de 17 mois.
Piège classique : répondre « 16 mois » en arrondissant \(16{,}1\) au plus proche. Au bout de 16 mois, il manque encore 8 € : il faut arrondir au mois supérieur.
À retenir de ce contrôle
- Un tableau est de proportionnalité si tous les quotients d’une ligne par l’autre sont égaux ; ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.
- Une situation est proportionnelle si et seulement si sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère.
- Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % revient à multiplier par 1 − t/100.
- Le pourcentage de réduction se calcule sur le prix de départ : on divise la baisse par l’ancien prix, jamais par le nouveau.
- À l’échelle 1/200, une longueur réelle est 200 fois plus grande que sur le plan : on travaille dans la même unité avant de convertir.
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